Đa thức hilbert và bội

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC ĐA THỨC HILBERT VÀ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên / /2012 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Đại số phân bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Vành môđun phân bậc 1.3 Định lý Artin - Rees hệ 13 Đa thức Hilbert bội 17 2.1 Định lý đa thức Hilbert 17 2.2 Đa thức Hilbert vành địa phương 21 2.3 Số bội iđêan m-nguyên sơ tính chất 26 2.4 Một số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 18 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho A vành Artin, B = A[x1 , , xm ] vành đa thức m biến với hệ số A Khi B vành phân bậc với cấu trúc phân bậc tự nhiên Nếu M = ⊕ Mn B -mơđun phân bậc hữu hạn sinh n≥0 Mn A-môđun A (Mn ) < ∞ Hơn nữa, với n đủ lớn A (Mn ) đa thức với hệ số hữu tỷ Kết nội dung Định lý đa thức Hilbert Đa thức Hilbert đóng vai trị quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số, cho phép nghiên cứu cấu trúc môđun M thông qua đại lượng số cụ thể bậc hệ số đa thức Một iđêan q ∈ Spec(R) vành Noether địa phương (R, m) gọi iđêan tham số M q m-nguyên sơ sinh d phần tử, d = dim M , M R-mơđun hữu hạn sinh Khi M mơđun Cohen-Macaulay tồn iđêan tham số q cho R (M/qM ) = e(q, M ), với e(q, M ) số bội môđun M q Nếu Sup{ R (M/qM )−e(q, M )} < ∞, q chạy khắp tập iđêan tham số R M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Như vậy, lớp môđun quan trọng quen thuộc Đại số giao hoán đặc trưng qua lý thuyết bội hàm độ dài Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết Định lý đa thức Hilbert vành Noether với số tính chất bậc đa thức, hệ số cao (số bội) Thơng qua số bội trình bày 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn gồm chương: Chương 1: Đại số phân bậc Trình bày số khái niệm ban đầu vành môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees hệ với mục đích phục vụ chương chương luận văn Chương 2: Đa thức Hilbert số bội Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert vành Noether (khơng địi hỏi địa phương) Tiếp theo trình bày bậc Đa thức Hilbert vành Noether địa phương Đây nội dung quan trọng toàn luận văn để thơng qua nghiên cứu tính chất có liên quan hệ tham số số bội Trình bày số đặc trưng mơđun Cohen-Maccaulay, mơđun CohenMaccaulay suy rộng thông qua lý thuyết bội hàm độ dài Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường hai tài liệu tham khảo là: "Commutative Ring Theory" H.Matsumura "Lessons on rings, modules and multiplicities" D Northcott Với mong muốn hệ thống lại số nội dung quan trọng đa thức Hilbert ứng dụng việc nghiên cứu lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn, nhiên, điều kiện thời gian, lực, kinh nghiệm thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đại số phân bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị Các khái niệm vành, môđun Artin Noether coi biết Mục trình bày lại định nghĩa độ dài môđun, chiều vành môđun Những vấn đề sở để nghiên cứu đa thức Hilbert số bội mục sau Ta ln kí hiệu R vành giao hốn Noether M mơđun R Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho M R-môđun, M = M gọi mơđun đơn khơng có mơđun ngồi M (ii)Cho M R-môđun, dãy môđun M M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mr = gọi chuỗi hợp thành M mơđun Mi /Mi+1 đơn Khi r gọi độ dài chuỗi hợp thành M hay độ dài M kí hiệu R (M ) Nếu M khơng có chuỗi hợp thành R (M ) = ∞ Chú ý 1.1.2 (a) [1, Định lý 7.41] Cho dãy khớp ngắn R-môđun −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi ta có R (M2 ) = R (M1 ) + R (M3 ) (b) [3] Một cách tổng quát, cho −→ M1 −→ M2 −→ · · · −→ Mn −→ n dãy khớp R-mơđun có độ dài hữu hạn Khi (−1)i R (Mi ) = i=1 (c) [3] Cho R vành, B C hai R-mơđun Khi R (B) + R (B⊕C) = R (C) Định nghĩa 1.1.3 (i) Một dãy giảm iđêan nguyên tố p0 p1 pn−1 pn gọi xích nguyên tố R n gọi độ dài xích (ii) Chặn độ dài tất xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R (còn gọi chiều vành) kí hiệu dim R (iii) Cho M R-môđun Chiều Krull M , kí hiệu dim M , xác định dim M = dim(R/AnnR M ) Chú ý 1.1.4 (a) [3] Nếu R = Z dim Z = (b) [3] Cho k trường R = k[x] Khi dim(k[x]) = (c) [4, Định lý 15.4] Cho R vành bất kì, dim R[x1 , , xn ] = dim R + n 1.2 Vành môđun phân bậc Định nghĩa 1.2.1 Một vành phân bậc vành R với họ nhóm (Rn )n≥0 nhóm cộng R cho R = ⊕ Rn Rn Rm ⊆ Rn+m ; ∀ n, m ≥ n≥0 Khi đó, ta có R0 R0 ⊆ R0 R0 Rn ⊆ Rn Do R0 vành vành R Rn R0 -mơđun 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2.2 Cho R vành phân bậc, R-môđun phân bậc R-môđun M với họ môđun (Mn )n≥0 M cho M = ⊕ Mn Rn Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ n≥0 Do R0 Mn ⊆ Mn nên Mn R0 -môđun Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun phân bậc Phần tử x ∈ M gọi x thuộc Mn n gọi bậc x Mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn cách dạng tổng hữu hạn thành phần x = xn1 + xn2 + · · · + xnk , xni ∈ Mni , ∀ i = 1, k Định nghĩa 1.2.4 (i) Cho M = ⊕ Mn môđun phân bậc vành n≥0 phân bậc R = ⊕ Rn Một môđun N M gọi môđun n≥0 phân bậc (môđun nhất) N = ⊕ (N ∩ Mn ) n≥0 (ii) Cho I iđêan vành phân bậc R = ⊕ Rn I gọi iđêan n≥0 phân bậc (iđêan nhất) I = ⊕ (I ∩ Rn ) n≥0 Sau tiêu chuẩn để môđun vành phân bậc phân bậc Mệnh đề 1.2.5 Cho M = ⊕ Mn môđun phân bậc vành phân bậc n≥0 R = ⊕ Rn Cho N mơđun M Khi N môđun phân n≥0 bậc với ∀ x ∈ N thành phần x thuộc N , tức x ∈ N : x = xi + · · · + xi+k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Chứng minh (⇒) Giả sử N mơđun phân bậc M , N = ⊕ (N ∩ Mi ) (∗) Lấy tùy ý x ∈ N , từ (∗) ta có x = xi + · · · + xi+k ; xi ∈ n≥0 (N ∩ Mi ), ∀ i = i, i + k Vậy xi ∈ N, ∀ i = i, i + k 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (⇐) Giả sử ∀ x ∈ N có tính chất x = xi + · · · + xi+k với xj ∈ Mj , ∀ j = i, i + k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Ta chứng minh N phân bậc, tức chứng minh N = ⊕ (N ∩ Mj ) Thật vậy, ta có ⊕ (N ∩ Mj ) ⊆ j≥0 j≥0 N Ngược lại, lấy x ∈ N x ∈ M , x = xi + · · · + xi+k với xj ∈ Mj , ∀ j = i, i + k Theo ta có xj ∈ N , xj ∈ N ∩ Mj Vậy x ∈ ⊕ (N ∩ Mj ) Vậy ⊕ (N ∩ Mj ) = N j≥0 j≥0 Với kí hiệu mệnh đề ta có hệ trực tiếp sau: Hệ 1.2.6 [3].N môđun phân bậc M N có hệ sinh gồm toàn phần tử Tương tự ta có tiêu chuẩn để iđêan vành phân bậc phân bậc Mệnh đề 1.2.7 [3] Cho I = ⊕ (I ∩Rn ) iđêan vành phân bậc R = n≥0 ⊕ Rn Khi I iđêan phân bậc với ∀ x ∈ I thành n≥0 phần x thuộc I , tức x ∈ I : x = xi + · · · + xi+k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Hệ 1.2.8 [3] I iđêan phân bậc R I có hệ sinh gồm tồn phần tử Định nghĩa 1.2.9 Cho M , N R-môđun phân bậc Một R-đồng cấu môđun phân bậc R-đồng cấu môđun f : M → N cho f (M n ) ⊆ Nn , ∀ n ≥ 0, M = ⊕ Mn N = ⊕ Nn n≥0 n≥0 Ví dụ 1.2.10 a) Mọi vành R xem vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn , R0 = R Rn = 0, ∀ n > n≥0 b) Vành đa thức R = k[x1 , x2 , , xn ], với k trường có cấu trúc phân bậc tự nhiên R = ⊕ Rn , R0 = k Rn = {f ∈ R|f đa n≥0 thức bậc n} 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.2.6 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M (R, m)môđun hữu hạn sinh Khi ta có dim M = δ(M ) = d(M ) Chứng minh Ta chứng minh dim M ≥ δ(M ) ≥ d(M ) ≥ dim M (i) dim M ≥ δ(M ): hiển nhiên (theo Mệnh đề 2.2.4) (ii)δ(M ) ≥ d(M ): Đặt δ(M ) = r tức tồn phần tử x1 , , xn ∈ m cho R (M/(x1 , , xr )M ) Đặt M = M/(x1 , , xr )M < ∞ I = (x1 , , xr )M ; Ta có GI (M ) = M /IM ⊕ IM /I M ⊕ · · · Mà R (M ) < ∞ nên tồn n cho mn M = Vì mn ⊆ AnnR M Do đó, I n M = nên (GI (M ))n = với n đủ lớn Do deg PM ,I (n) = tức d(M ) = M + x1 M ) = R (M/I n M )− R (I n M + x1 M /I n M ) Chú ý I n M + x1 M /I n M ∼ = x1 M /x1 M ∩ I n M Ta có ánh xạ Mặt khác ta có R (M/I n M −→ x1 M −→ x1 M /x1 M ∩ I n M , đặt f ánh xạ hợp thành ánh xạ sau: f M −→ x1 M /x1 M ∩ I n M : Dễ thấy Ker f = I n M : x1 = {a ∈ M |ax1 ⊆ I n M } Vì ta có đẳng cấu M/I n M : x1 ∼ = x1 M /x1 M ∩ I n M Mà I n−1 M ⊆ I n M : x1 Do PM/x1 M ,I (n) = ≥ R (M/I R (M/I n n M) − M) − R (x1 M /x1 M R (M/I n−1 ∩ I nM ) M) = PM,I (n − 1) − PM,I (n − 2) , với n đủ lớn Vậy deg PM/x1 M ,I ≥ deg PM,I − Tiếp tục cho phần tử x2 , , xr ta deg PM/(x1 , ,xr )M ,I ≥ deg PM,I −r Mà theo chứng minh deg PM/(x1 , ,xr )M ,I = deg PM ,I = 0, nên ta có deg PM/x1 M ,I ≥ r tức d(M ) ≥ r = δ(M ) (iii) d(M ) ≥ dim M : 24 26Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trường hợp M = R Ta đặt d(M ) = k Nếu k = 0: Khi deg PR,I (n) = nên n R (R/m ) số Vì mn ⊇ mn+1 ⊇ nên tồn n cho mn = mn+1 = · · · Mặt khác, ∩ mn = nên mn = (theo định lý giao Krull), dim R = Vậy n≥0 dim R = d(R) = k Nếu k > 0: Với dim R = 0: Hiển nhiên có bất đẳng thức Với dim R > 0: Xét xích nguyên tố p0 p1 pk−1 pk = p Xét phần tử x ∈ pk−1 \p Khi ta có xích ngun tố R/p + xR p0 /p + xR p2 /p + xR pk−1 /p + xR Vì dim(R/p + xR) ≥ k − Xét dãy khớp ·x → R/p → R/p → R/p + xR Ta có d(R) ≥ d(R/p) d(R/p + xR) ≥ k − Do d(R/p) ≥ k Vậy d(R) ≥ dim R Trường hợp M = R: Xét dãy môđun sau M = Mn Mn−1 M0 = cho Mi /Mi−1 ∼ = R/pi pi ∈ Spec R Khi ta có dãy khớp ngắn sau −→ = M0 −→ M1 −→ M1 /M0 −→ 0 −→ M1 −→ M2 −→ M2 /M1 −→ −→ Mn−1 −→ Mn = M −→ M/Mn−1 −→ Ta có: d(M ) = max{d(M/Mn−1 ), d(Mn−1 )} = max{d(R/pn ), d(Mn−1 )} = max{d(R/pn ), d(Mn−2 ), d(R/pn−1 )} 25 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = max{d(R/pn ), d(R/pn−1 ), , d(R/p1 )} ≥ max{dim(R/pn ), , dim(R/p1 )} = dim M 2.3 Số bội iđêan m-nguyên sơ tính chất Trong phần ta ln kí hiệu (R, m) vành địa phương, M Rmôđun hữu hạn sinh, dim M = d Định nghĩa 2.3.1 Một hệ gồm d phần tử {x1 , , xd } nằm m thỏa mãn tính chất R (M/(x1 , , xd )M ) cho PM,I (n) = e0 n+d n+d−1 − e1 + · · · + (−1)d ed d d−1 Các số e0 , , ed gọi hệ số Hilbert M I Kí hiệu ei (I, M ) Đặc biệt, số nguyên dương e0 biểu diễn gọi số bội M I Kí hiệu e(I, M ) Chú ý 2.3.5 [4, Công thức 14] Với giả thiết ta có cơng thức d! n→∞ nd Nếu d = e(I, M ) = R (M ) e(I, M ) = lim (a) (b) e(I, M ) > R (M/I n M ) dim M = d (c) e(I r , M ) = e(I, M )rd (d) Nếu I, I iđêan m-nguyên sơ I ⊃ I e(I, M ) ≤ e(I , M ) Định lý 2.3.6 Cho dãy khớp R-môđun hữu hạn sinh −→ M −→ M −→ M −→ Khi e(I, M ) = e(I, M ) + e(I, M ) Chứng minh Coi M môđun M ; M = M/M Từ M /I n M = M/(M + I n M ) ta có R (M/I n M) = = R (M/(M R (M + I n M )) + /I n M ) + 27 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên R (M R (M + I n M /I n M ) /M ∩ I n M ) (∗) http://www.lrc-tnu.edu.vn Có I n M ⊂ M ∩ I n M Mặt khác theo định lý Artin-Rees, ∃ c > 0: M ∩ I n M ⊂ I n−c M , ∀ n > c Khi R (M /I n−c M ) ≤ R (M / M ∩ I nM ) ≤ R (M /I n M ) (∗∗) Từ (∗), (∗∗) cơng thức (a) ta có d! d n→∞ n e(I, M ) − e(I, M ) = lim R (M /M ∩ I n M ) = e(I, M ) Định lý 2.3.7 Cho q = (x1 , , xd ) iđêan tham số Khi (i) e(q, M ) ≤ R (M/qM ) (ii) e(q, M ) = R (M/qM ) Gq (M ) = ⊕ qn M /qn+1 M ∼ = n≥0 M/qM [T1 , , Td ] Chứng minh (i) Đặt N = M/qM [T1 , , Td ] ; M ∗ = Gq (M ) Khi ta có tồn cấu ⊕ qn M /qn+1 M : n≥0 φ : N −→ M ∗ Ta có M ∗ ∼ = N/K K = Ker φ Đặt B = R/q[T1 , , Td ] I = (T1 , , Td )B Khi M/qn+1 M ∼ = N/K + I n+1 N , ∀ n Khi n = M/qM ∼ = N/IN Do vậy, với n đủ lớn PM,q (n) = R (M/q n+1 R (N/I Vậy e(q, M ) ≤ M) = n+1 N) = R (N/K + I n+1 N ) R (M/qM ) d+n d R (M/qM ) (ii) Giả sử K = 0; ∃ = f (T1 , , Td ) ∈ K mà f (T1 , , Td ) bậc s Khi tập L = {f (T )g(T )|g(T ) đơn thức bậc n − s − 1} Do |L| = n−s+d d ⊆ K lập thành sở R/q-mơđun Với n đủ lớn ta có PM,q (n) = R (M/q n+1 M) = R (N/K 28 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên + I n+1 N ) http://www.lrc-tnu.edu.vn = R (N/I n+1 N) − = R (N/I n+1 N) − = R (M/qM ) + I n+1 N /I n+1 N ) n−s+d d d+n − n−s+d d d Vậy K = e(q, M ) Do e(q, M ) = R (K R (M/qM ) R (M/qM ) tức K = hay φ đẳng cấu Định lý 2.3.8 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh khác không Giả sử x = (x1 , , xd ) hệ tham số M n = (n1 , , nd ) ∈ Nd Khi ta có n1 nd R (M/(x1 , , xd )M ) ≤ n1 nd R (M/(x1 , , xd )M ) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Khi d = 1, xét dãy khớp ·x1 M/x1 M → M/x21 M → M/x1 M → Từ dãy khớp ta thấy R (M/x1 M ) ≤ R (M/x1 M ) Hồn tồn tương tự có dãy khớp ·x1 M/x21 M → M/x31 M → M/x1 M → 0, R (M/x1 M ) ≤ R (M/x1 M ) + R (M/x1 M ) Từ hai bất đẳng thức ta có R (M/x1 M ) có tục trình ta n1 R (M/x1 M ) ≤ n1 ≤ R (M/x1 M ) Tiếp R (M/x1 M ) Giả sử d > Đặt E = M/xn1 M F = M/(x2 , , xd )M Khi theo giả thiết quy nạp ta có n1 nd R (M/(x1 , , xd )M ) = n1 nd R (E/(x1 , , xd )E) ≤ n2 nd R (E/(x2 , , xd )E) = n2 nd R (F/x1 F ) ≤ n1 nd R (M/(x1 , , xd )M ) 29 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hiển nhiên theo Định lý ta có kết e((xn1 , , xnd d ); M ) = n1 nd e((x1 , , xd ); M ) Định lý 2.3.9 Cho (R, m) vành Noether địa phương với dim R = d; x1 , , xd hệ tham số R, I = (x1 , , xd ), M R-môđun hữu hạn d xi R Khi sinh Đặt R = R/(x1 ) ; M = M/x1 M I = I/x1 R = i=2 đó, x1 ước khác khơng M , ta có e(I, M ) = e(I , M ) Chứng minh Từ R (M/I R (M /I n+1 M ) = n+1 M) − = R (x1 M/x1 M = R (M/I R (M n /I n+1 M ) = R ((I n+1 + I n+1 M ) ta có R (x1 M ∩ I n+1 M ) = M) − d R (M/x1 M + I n+1 M /I n+1 M ) R (M/(I n+1 M : x1 )) M : x1 )/I n M ) xi R Khi đó, I = x1 R + a I n+1 = x1 I n + an+1 Mặt khác, đặt a = i=2 I n+1 M : x1 = I n M + (an+1 M : x1 ) Hơn nữa, theo Định lý Artin-Rees, ∃ c > cho ∀ n > c ta có an+1 M ∩ x1 M = an−c (ac+1 M ∩ x1 M ) an+1 M : x1 ⊂ an−c M Vậy (I n+1 M : x1 )/I n M = I n M + (an+1 M : x1 )/I n M ⊂ (I n M + an−c M )/I n M ∼ = an−c M/an−c M ∩ I n M Coi an−c M/an−c M ∩ I n M mơđun R/I c Vì a sinh d − phần tử, an−c sinh R (a n−c n−c+d−2 d−2 phần tử, nên với n > c ta có M/an−c M ∩ I n M ) ≤ n−c+d−2 d−2 R (R/I c )m, với m số phần tử sinh M Vế phải đa thức bậc d − n, e(I , M ) = (d − 1)! lim n→∞ 30 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên R (M /I n+1 M ) nd−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn = (d − 1)! lim R (M/I n+1 n→∞ M) − nd−1 R (M/I n M) = e(I, M ) 2.4 Một số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng Trong phần ta trình bày số khái niệm dãy quy Từ nghiên cứu cấu trúc lớp mơđun quen thuộc môđun CohenMacaulay (CM) môđun CM suy rộng thơng qua dãy quy, lý thuyết bội hàm độ dài Định nghĩa 2.4.1 (i) Cho R-vành giao hoán, M R-môđun Một phần tử x ∈ R gọi M -chính quy :M x = 0, tức xa = với ∀ a ∈ M, a = (ii) Một dãy phần tử x1 , , xn ∈ R gọi dãy quy M ( cịn gọi M -dãy) (x1 , , xn )M = M xi M/(x1 , , xi−1 )M quy, với i = 1, , n Các mệnh đề sau nêu lên tính chất dãy quy Mệnh đề 2.4.2 [1, Bổ đề 16.4] Cho M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương: (i) Dãy x1 , , xn dãy M -chính quy (ii)Dãy x1 , , xi dãy M -chính quy dãy xi+1 , , xn dãy M/(x1 , , xi )M -chính quy với ∀ i = 1, 2, , n − Mệnh đề 2.4.3 [1, Định lý 16.9] Cho (R, m)-vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, dãy x1 , , xn dãy M -chính quy với hoán vị phần tử x1 , , xn ta M -chính quy 31 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 2.4.4 [4, Định lý 16.1] Nếu dãy x1 , , xn dãy M -chính quy với số ngun dương α1 , , αn ta có xα1 , , xαnn dãy M -chính quy Mệnh đề 2.4.5 [5, Mệnh đề 1.2.12] Cho (R, m)-vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh dãy x1 , , xt dãy M -chính quy x1 , , xt phần hệ tham số M Với khái niệm dãy quy nêu cho phép đến khái niệm độ sâu mơđun, để từ đến khái niệm môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 2.4.6 Cho I iđêan vành R, M R-môđun hữu hạn sinh cho M = IM Khi độ dài cực đại dãy M -chính quy iđêan I gọi độ sâu iđêan I R-môđun M Kí hiệu: depthR (I, M ) Nếu R vành Noether địa phương ta kí hiệu độ sâu R-môđun M depthR M đơn giản depth M Định nghĩa 2.4.7 Môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay M = M = depth M = dim M Định lý sau nêu lên đặc trưng môđun CM Định lý 2.4.8 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Các mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun CM (ii) Mọi iđêan tham số q = (x1 , , xd ) ta có e(q, M ) = R (M/qM ) (iii) Tồn iđêan tham số q = (x1 , , xd ) ta có e(q, M ) = R (M/qM ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử (x1 , , xd ) hệ tham số M q = (x1 , , xd ) Vì M mơđun CM nên (x1 , , xd ) dãy quy Khi ta có đẳng cấu Gq (M ) ∼ = M/qM [X1 , , Xd ] Theo Định lý 2.3.7 ta có e(q, M ) = R (M/qM ) 32 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii)⇒(iii) Hiển nhiên (iii)⇒(i) Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số thỏa mãn e(q, M ) = R (M/qM ) Đặt B = M/qM [X1 , , Xd ] Khi tồn iđêan b B cho Gq (M ) ∼ = B/b Gọi ϕB (n) , ϕb (n) đa thức Hilbert B b Khi đó, với n đủ lớn ϕB (n) = Ta có R (q n R (M/qM ) n+1−d d−1 /qn+1 ) = ϕB (n) − ϕb (n) /qn+1 ) ϕB (n) có bậc cao d − hệ số e(q) bậc cao nên ϕb (n) có bậc khơng vượt q d − (d − 1)! Ta chứng minh b = (0) Thật vậy, giả sử b = (0), ta chọn Ta lại thấy R (q n phần tử khác không f (X) ∈ b Vì q iđêan tham số nên mr ⊂ q Đặt m/q = m Ta có mr = (0) Do thay f tích f với phần tử m Giả sử f = mà mf = Khi b ⊃ fB ∼ = (M/mM )[X1 , , Xd ], deg f = p ϕb (n) n−p+d−1 d−1 n−p+d−1 d−1 (∗), độ dài thành phần bậc n − p (M/mM )[X1 , , Xd ] Từ (∗) ta thấy ϕb (n) có bậc lớn d − (mâu thuẫn với nhận xét trên) Do b = (0) Khi ta có đẳng cấu Gq (M ) ∼ = B = (M/qM )[X1 , , Xd ] Vậy (x1 , , xd ) M -dãy Suy M môđun CM 33 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngồi đặc trưng trên, lớp mơđun CM cịn có đặc trưng khác sau: (a) M CM với iđêan nguyên tố p ∈ AssR (M ) dim(R/p) = depth(M ) (b) Cho phần tử x khác không, x ∈ m x không ước không M Khi đó, M CM M/xM CM (c) M CM Mp CM với ∀ p ∈ Supp(M ) Khi đó, depthp (M ) = depth(Mp ) (d) M CM hệ tham số M M -dãy (e) Nếu M CM, p ∈ Supp(M ) dim(Mp ) + dim(R/p) = dim(M ) Như vậy, cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh, với iđêan tham số q ta ln có e(q, M ) Đặt I(q, M ) = R (M/qM ) − e(q, M ), I(q, M ) R (M/qM ) Nếu M mơđun CM I(q, M ) = Nghiên cứu tiếp I(q, M ) ta có lớp mơđun quan trọng sau Định nghĩa 2.4.9 Một R-môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng I(M ) := Sup I(q, M ) < ∞ q chạy tập tất iđêan tham số R Trước tìm hiểu đặc trưng lớp mơđun CM suy rộng, ta có định nghĩa tính chất sau: Định nghĩa 2.4.10 Một hệ tham số x = (x1 , , xd ) M gọi hệ tham số chuẩn tắc nếu: I(x21 , , x2d ; M ) = I(q; M ), tức = 2 R (M/(x1 , , xd )M ) − e((x21 , , x2d ), M ) R (M/(x1 , , xd )M ) − e((x1 , , xd ), M ) 34 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý 2.4.11 [7, Bổ đề 1.3] (Công thức Auslander-Buchsbaum[A-B]) Cho x1 , , xd hệ tham số M Đặt q0 = 0; qi = (x1 , , xi ) ∀ i = 1, d Khi ta có d−1 I(q; M ) = R (qd−1 M : xd /qd−1 M ) + e(q; qi−1 M : xi /qi−1 M ) i=1 Bổ đề 2.4.12 Cho x1 , , xd hệ tham số M Khi md I(xn1 , , xnd d ; M ) ≤ I(xm , , xd ; M ) với số nguyên dương n1 ≤ m1 , , nd ≤ md Chứng minh Theo giả thiết ta giả sử ni = mi , ∀ i < d Khi đó, với i = 1, , d − ta có nd−1 nd−1 n1 nd n1 R ((x1 , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) nd−1 nd−1 n1 d ≤ R ((xn1 , , xd−1 )M : xm d /(x1 , , xd−1 )M ) ni−1 ni−1 e((xn1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) nd−1 ni−1 ni−1 = nd e((xn1 , , xd−1 , xd ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) nd−1 ni−1 ni−1 ≤ md e((xn1 , , xd−1 , xd ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) nd−1 ni−1 ni−1 n1 ni n1 d = e((xn1 , , xd−1 , xm d ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) Do vậy, theo Chú ý 2.4.11 ta có n d−1 d I(xn1 , , xnd d ; M ) ≤ I(xn1 , , xd−1 , xm d ; M ) Định lý 2.4.13 x1 , , xd hệ tham số chuẩn tắc M M môđun CM suy rộng, với I(M ) = I(q; M ) Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử x1 , , xd hệ tham số chuẩn tắc M , cần chứng minh M môđun CM suy rộng, với I(M ) = I(q; M ) Sử dụng [7,Bổ đề 15] ta cần chứng minh với số nguyên dương n1 , , nd I(xn1 , , xnd d ; M ) = I(q; M ) 35 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thật vậy, giả sử tồn số nguyên dương n1 , , nd cho I(xn1 , , xnd d ; M ) = I(q; M ) Vì ta biết n1 , , nd ∈ {1, 2} đẳng thức ln nên phải có max{n1 , , nd } > Khơng tính tổng quát, giả sử nd = max{n1 , , nd } > Khi đó, theo phương pháp quy nạp, giả thiết thêm n n n d−1 d−1 I(xn1 , , xd−1 , xd ; M ) = I(xn1 , , xd−1 , xd d−1 ; M ) = I(q; M ) Từ công thức phần chứng minh Bổ đề 2.4.12 thu nd−1 n1 R ((x1 , , xd−1 )M n d−1 : xd /(xn1 , , xd−1 )M ) nd−1 nd−1 nd−1 n1 /(xn1 , , xd−1 )M ), R ((x1 , , xd−1 )M : xd nd−1 ni−1 ni−1 e((xn1 , , xd−1 , xd ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) = (∗) =0 với i = 1, , d − Từ (*) ta có n n n n d−1 d−1 d−1 (xn1 , , xd−1 )M : xd = (xn1 , , xd−1 )M : xd d−1 = (xn1 , , xd−1 )M : xnd d Do đó, theo ý 2.4.11 ta có n d−1 I(xn1 , , xnd d ; M ) = I(xn1 , , xd−1 , xd ; M ) = I(q; M ) Mâu thuẫn với điều giả sử Vậy M môđun CM suy rộng với I(M ) = I(q; M ) (⇐) Giả sử M môđun CM suy rộng với I(M ) = I(q; M ) Ta chứng minh x1 , , xd hệ tham số chuẩn tắc M Thật vậy, ta ln có I(x21 , , x2d ; M ) = I(q; M ) Nhưng theo giả thiết I(M ) = I(q; M ), I(x21 , , x2d ; M ) = I(M ) Vậy x1 , , xd hệ tham số chuẩn tắc M 36 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Dùng đa thức Hilbert vành Noether để khảo sát cấu trúc vành hướng nghiên cứu quan trọng Đại số giao hoán Vì nhiều người làm Đại số quan tâm nghiên cứu Những kết đạt lĩnh vực nhiều sâu sắc Trong phạm vi luận văn tơi trình bày lại chứng minh số vấn đề nội dung đồng thời nêu số vần đề liên quan tới thành phần Đa thức Kết luận văn bao gồm nội dung sau 1) Trình bày lại cách có hệ thống kiến thức để chứng minh định lý Đa thức Hilbert 2) Trình bày lại mối liên quan bậc đa thức Hilbert với bất biến khác chiều môđun vành Noether địa phương 3) Trình bày lại khái niệm số bội môđun iđêan m-nguyên sơ, đặc biệt iđêan tham số tính chất số bội 4) Thông qua số bội để nghiên cứu cấu trúc số lớp môđun quan trọng môđun Cohen–Macaulay, môđun Cohen–Macaulay suy rộng 37 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] R Y Sharp, Steps in Commutative Algebra Cambridge University Press, 1980 [2] M Atiyal and G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addition - Wesley, Reading, Mass 1969 [3] Nguyễn Tự Cường, Bài giảng chuyên đề Đại số giao hoán, 2011 [4] H Matsumura, Commutative ring theory Cambridge University Press 1986 [5] W Bruns and J Herog, Cohen–Macaulay rings Cambridge University Press 1993 [6] D Northcott, Lessons on rings, modules and multiplicities Cambridge University Press 1968 [7] J Sturckrad and W Vogel, Buchsbaum Rings and Applications Springer - Verlag, Berlin 1986 38 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tồn đa thức Q(n) = A ((M/N + aM )n ) với n đủ lớn Ta có FM/N (n) − FM/N (n − 1) = Q(n) Vậy FM/N (n) đa thức có bậc deg Q(n) + Đa thức PM (n) định lý gọi đa thức Hilbert Chú ý 2.1.3 [3] Với đa thức. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đa thức Hilbert bội 2.1 Định lý đa thức Hilbert Cho A vành Artin (do A Noether) Ta có A (A) < ∞ Đặt B = A[x1 , , xm ], tức B A-đại số hữu hạn sinh Bn tập tất đa thức bậc n Khi... khái niệm ban đầu vành môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees hệ với mục đích phục vụ chương chương luận văn Chương 2: Đa thức Hilbert số bội Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert vành Noether (khơng