Đa thức Hilbert và bội

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC ĐA THỨC HILBERT VÀ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên / /2012 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Đại số phân bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Vành môđun phân bậc 1.3 Định lý Artin - Rees hệ 13 Đa thức Hilbert bội 17 2.1 Định lý đa thức Hilbert 17 2.2 Đa thức Hilbert vành địa phương 21 2.3 Số bội iđêan m-nguyên sơ tính chất 26 2.4 Một số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 18 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khóa học 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho A vành Artin, B = A[x1 , , xm ] vành đa thức m biến với hệ số A Khi B vành phân bậc với cấu trúc phân bậc tự nhiên Nếu M = ⊕ Mn B -môđun phân bậc hữu hạn sinh n≥0 Mn A-môđun A (Mn ) < ∞ Hơn nữa, với n đủ lớn A (Mn ) đa thức với hệ số hữu tỷ Kết nội dung Định lý đa thức Hilbert Đa thức Hilbert đóng vai trò quan trọng Đại số giao hoán Hình học đại số, cho phép nghiên cứu cấu trúc môđun M thông qua đại lượng số cụ thể bậc hệ số đa thức Một iđêan q ∈ Spec(R) vành Noether địa phương (R, m) gọi iđêan tham số M q m-nguyên sơ sinh d phần tử, d = dim M , M R-môđun hữu hạn sinh Khi M môđun Cohen-Macaulay tồn iđêan tham số q cho R (M/qM ) = e(q, M ), với e(q, M ) số bội môđun M q Nếu Sup{ R (M/qM )−e(q, M )} < ∞, q chạy khắp tập iđêan tham số R M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Như vậy, lớp môđun quan trọng quen thuộc Đại số giao hoán đặc trưng qua lý thuyết bội hàm độ dài Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết Định lý đa thức Hilbert vành Noether với số tính chất bậc đa thức, hệ số cao (số bội) Thông qua số bội trình bày 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn gồm chương: Chương 1: Đại số phân bậc Trình bày số khái niệm ban đầu vành môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees hệ với mục đích phục vụ chương chương luận văn Chương 2: Đa thức Hilbert số bội Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert vành Noether (không đòi hỏi địa phương) Tiếp theo trình bày bậc Đa thức Hilbert vành Noether địa phương Đây nội dung quan trọng toàn luận văn để thông qua nghiên cứu tính chất có liên quan hệ tham số số bội Trình bày số đặc trưng môđun Cohen-Maccaulay, môđun CohenMaccaulay suy rộng thông qua lý thuyết bội hàm độ dài Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường hai tài liệu tham khảo là: "Commutative Ring Theory" H.Matsumura "Lessons on rings, modules and multiplicities" D Northcott Với mong muốn hệ thống lại số nội dung quan trọng đa thức Hilbert ứng dụng việc nghiên cứu lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán, nhiên, điều kiện thời gian, lực, kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đại số phân bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị Các khái niệm vành, môđun Artin Noether coi biết Mục trình bày lại định nghĩa độ dài môđun, chiều vành môđun Những vấn đề sở để nghiên cứu đa thức Hilbert số bội mục sau Ta kí hiệu R vành giao hoán Noether M môđun R Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho M R-môđun, M = M gọi môđun đơn môđun M (ii)Cho M R-môđun, dãy môđun M M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mr = gọi chuỗi hợp thành M môđun Mi /Mi+1 đơn Khi r gọi độ dài chuỗi hợp thành M hay độ dài M kí hiệu R (M ) Nếu M chuỗi hợp thành R (M ) = ∞ Chú ý 1.1.2 (a) [1, Định lý 7.41] Cho dãy khớp ngắn R-môđun −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi ta có R (M2 ) = R (M1 ) + R (M3 ) (b) [3] Một cách tổng quát, cho −→ M1 −→ M2 −→ · · · −→ Mn −→ n dãy khớp R-môđun có độ dài hữu hạn Khi (−1)i R (Mi ) = i=1 (c) [3] Cho R vành, B C hai R-môđun Khi R (B) + R (B⊕C) = R (C) Định nghĩa 1.1.3 (i) Một dãy giảm iđêan nguyên tố p0 p1 pn−1 pn gọi xích nguyên tố R n gọi độ dài xích (ii) Chặn độ dài tất xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R (còn gọi chiều vành) kí hiệu dim R (iii) Cho M R-môđun Chiều Krull M , kí hiệu dim M , xác định dim M = dim(R/AnnR M ) Chú ý 1.1.4 (a) [3] Nếu R = Z dim Z = (b) [3] Cho k trường R = k[x] Khi dim(k[x]) = (c) [4, Định lý 15.4] Cho R vành bất kì, dim R[x1 , , xn ] = dim R + n 1.2 Vành môđun phân bậc Định nghĩa 1.2.1 Một vành phân bậc vành R với họ nhóm (Rn )n≥0 nhóm cộng R cho R = ⊕ Rn Rn Rm ⊆ Rn+m ; ∀ n, m ≥ n≥0 Khi đó, ta có R0 R0 ⊆ R0 R0 Rn ⊆ Rn Do R0 vành vành R Rn R0 -môđun 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2.2 Cho R vành phân bậc, R-môđun phân bậc R-môđun M với họ môđun (Mn )n≥0 M cho M = ⊕ Mn Rn Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ n≥0 Do R0 Mn ⊆ Mn nên Mn R0 -môđun Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun phân bậc Phần tử x ∈ M gọi x thuộc Mn n gọi bậc x Mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn cách dạng tổng hữu hạn thành phần x = xn1 + xn2 + · · · + xnk , xni ∈ Mni , ∀ i = 1, k Định nghĩa 1.2.4 (i) Cho M = ⊕ Mn môđun phân bậc vành n≥0 phân bậc R = ⊕ Rn Một môđun N M gọi môđun n≥0 phân bậc (môđun nhất) N = ⊕ (N ∩ Mn ) n≥0 (ii) Cho I iđêan vành phân bậc R = ⊕ Rn I gọi iđêan n≥0 phân bậc (iđêan nhất) I = ⊕ (I ∩ Rn ) n≥0 Sau tiêu chuẩn để môđun vành phân bậc phân bậc Mệnh đề 1.2.5 Cho M = ⊕ Mn môđun phân bậc vành phân bậc n≥0 R = ⊕ Rn Cho N môđun M Khi N môđun phân n≥0 bậc với ∀ x ∈ N thành phần x thuộc N , tức x ∈ N : x = xi + · · · + xi+k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Chứng minh (⇒) Giả sử N môđun phân bậc M , N = ⊕ (N ∩ Mi ) (∗) Lấy tùy ý x ∈ N , từ (∗) ta có x = xi + · · · + xi+k ; xi ∈ n≥0 (N ∩ Mi ), ∀ i = i, i + k Vậy xi ∈ N, ∀ i = i, i + k 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (⇐) Giả sử ∀ x ∈ N có tính chất x = xi + · · · + xi+k với xj ∈ Mj , ∀ j = i, i + k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Ta chứng minh N phân bậc, tức chứng minh N = ⊕ (N ∩ Mj ) Thật vậy, ta có ⊕ (N ∩ Mj ) ⊆ j≥0 j≥0 N Ngược lại, lấy x ∈ N x ∈ M , x = xi + · · · + xi+k với xj ∈ Mj , ∀ j = i, i + k Theo ta có xj ∈ N , xj ∈ N ∩ Mj Vậy x ∈ ⊕ (N ∩ Mj ) Vậy ⊕ (N ∩ Mj ) = N j≥0 j≥0 Với kí hiệu mệnh đề ta có hệ trực tiếp sau: Hệ 1.2.6 [3].N môđun phân bậc M N có hệ sinh gồm toàn phần tử Tương tự ta có tiêu chuẩn để iđêan vành phân bậc phân bậc Mệnh đề 1.2.7 [3] Cho I = ⊕ (I ∩Rn ) iđêan vành phân bậc R = n≥0 ⊕ Rn Khi I iđêan phân bậc với ∀ x ∈ I thành n≥0 phần x thuộc I , tức x ∈ I : x = xi + · · · + xi+k xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Hệ 1.2.8 [3] I iđêan phân bậc R I có hệ sinh gồm toàn phần tử Định nghĩa 1.2.9 Cho M , N R-môđun phân bậc Một R-đồng cấu môđun phân bậc R-đồng cấu môđun f : M → N cho f (M n ) ⊆ Nn , ∀ n ≥ 0, M = ⊕ Mn N = ⊕ Nn n≥0 n≥0 Ví dụ 1.2.10 a) Mọi vành R xem vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn , R0 = R Rn = 0, ∀ n > n≥0 b) Vành đa thức R = k[x1 , x2 , , xn ], với k trường có cấu trúc phân bậc tự nhiên R = ⊕ Rn , R0 = k Rn = {f ∈ R|f đa n≥0 thức bậc n} 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... bậc 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Vành môđun phân bậc 1.3 Định lý Artin - Rees hệ 13 Đa thức Hilbert bội 17 2.1 Định lý đa thức Hilbert ... qua lý thuyết bội hàm độ dài Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết Định lý đa thức Hilbert vành Noether với số tính chất bậc đa thức, hệ số cao (số bội) Thông qua số bội trình bày... khái niệm ban đầu vành môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees hệ với mục đích phục vụ chương chương luận văn Chương 2: Đa thức Hilbert số bội Trình bày lại định lý Đa thức Hilbert vành Noether (không