Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ ❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✺ ✶✳✶ ▼➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ➜❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✷✺ ✷✳✶ ➜❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✷ ❈❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✸ ▼ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ❑Õt ❧✉❐♥ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ P●❙✳❚❙✳ ▲➟ ị t tỏ ò ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❈➠✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ●❙✳❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳❚❙❑❍✳ P❤ï♥❣ ❍å ❍➯✐✱ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣✱ ❚❙✳ ❱ò ❚❤Õ ❑❤➠✐ ✈➭ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ t❐♣ t❤Ó ❝➳♥ ❜é ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ P❚❉❚ ◆é✐ ❚ró ◗✉➯♥ ❇➵ ✲ ❚Ø♥❤ ❍➭ ●✐❛♥❣ ♥➡✐ t➠✐ ➤❛♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝✱ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ñ♥❣ ❤é t➠✐ ❝➯ ✈Ị ✈❐t ❝❤✃t ✈➭ t✐♥❤ t❤➬♥ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ❦❤ã❛ ❤ä❝ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ▼ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ứ ữ s tr ị ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ tr➟♥ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ◆♦❡t❤❡r✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ét ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ Mn tr➟♥ ♠ét ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤✉➮♥ ◆♦❡t❤❡r n∈Z ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ R0 (Mn ) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤✐ r➺♥❣ ♥Õ✉ Rn ✱ n∈Z n ➤đ ❧í♥✳ ❚õ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ó s✉② r❛ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ tr ị M R ữ s✐♥❤ t❤× ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ R (M/qn M ) ❧➭ ột tứ ỗ m s q ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ dim M ❝đ❛ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ R (M/qn M ) ✈➭ ❝ị♥❣ ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ t ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ t ♣❤➬♥ tö x1 , , xt ∈ m ➤Ó (M/(x1 , , xt )M ) < ∞✳ ➜è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ dim M ❧➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r N-dimR A ❝đ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts ❬❘♦❪ ✈í✐ t➟♥ ❣ä✐ ✬✬❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧✧ ✈➭ s❛✉ ➤ã ❉✳ ❑✐r❜② ❬❑✷❪ ➤ỉ✐ t❤➭♥❤ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ➤Ĩ tr➳♥❤ ♥❤➬♠ ❧➱♥✳ ❚r♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬❑✶❪✱ ❉✳ ❑✐r❜② ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✈í✐ ❜❐❝ ➤đ ♥❤á✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❦Õt q ỉ r r ỗ rt R (0 R✲♠➠➤✉♥ A tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ (R, m) ỗ q m s :A q) < ∞✱ ➤é ❞➭✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ R (0 :A qn ) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❦❤✐ n ➤đ ❧í♥✱ ❣ä✐ A ø♥❣ ✈í✐ q✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬❘♦❪✱ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ✈➭ ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ A t ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ t ♣❤➬♥ tö x1 , , xt ∈ m ➤Ó (0 :A (x1 , , xt )R) < ∞✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦ ✶✳ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❍✐❧❜❡rts ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞ ✷✹ ✭✶✾✼✸✮✱ ✹✼✲✺✼✳ ✷✳ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts✱ ❑r✉❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❛rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r q✉❛s✐ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞ ✷✻ ✭✶✾✼✺✮✱ ✷✻✾✲✷✼✸✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❆rt✐♥ ✈➭ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ P❤➬♥ ➤➬✉ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❆rt✐♥ ✈➭ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✵✽ ♥➝♠ ✷✵✶✷ ❚➳❝ ❣✐➯ ❱ị ❱✐Ưt ❍➢♥❣ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✶✳✶ ▼➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ t✐Õt ♥➭② ❧➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ❝đ❛ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❧è✐ ❝é♥❣✳ ❚❛ ♥ã✐ ❜ë✐ ❈❤♦ A ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ t❤❡♦ A ❧➭ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❤ä ♥❤ã♠ ❝♦♥ {Ai }i∈I ♥Õ✉ A s✐♥❤ Ai ✈➭ Ai ∩ Li = {0} ✈í✐ ♠ä✐ i ∈ I, tr♦♥❣ ➤ã Li ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ i∈I A s✐♥❤ ❜ë✐ t❐♣ Aj ✳ ◆Õ✉ A ❧➭ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❤ä ♥❤ã♠ ❝♦♥ {Ai }i∈I i=j∈I t❤× t❛ ✈✐Õt Ai ✳ A= i∈I ❈❤ó ý r➺♥❣ ♣❤➬♥ tư A ❧➭ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❤ä ♥❤ã♠ ❝♦♥ {Ai }i∈I ế ỗ a A ề ể ễ ột ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤ ♠ét tỉ♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ a = ai1 + + aik ✱ tr♦♥❣ ➤ã aij ∈ Aij ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, , k ✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ♥Õ✉ ❈❤♦ S ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ S ❧➭ S ❝ã sù ❜✐Ó✉ ❞✐Ơ♥ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ S = ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ Sn ❝ñ❛ ♠ét ❤ä ♥❤ã♠ n∈Z ❝♦♥ {Sn } ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❝é♥❣ S s❛♦ ❝❤♦ Sn Sm ⊆ Sn+m ✈í✐ ọ m, n Z ỗ tử ủ Sn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ n✳ Sn ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ t❤× n∈Z ✈➭ Sn ❧➭ S0 ✲♠➠➤✉♥ ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ Z ✶✳✶✳✸ ❇ỉ ➤Ị✳ ◆Õ✉ ❝♦♥ ❝ñ❛ S S = S0 ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ✺ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤➞♥ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ tr♦♥❣ t❤Ó S0 ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤Ð♣ S0 ➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝✱ ❝ơ S0 S0 ⊆ S0 ➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Sn ❧➭ S0 ✲♠➠➤✉♥✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤Ø r❛ q✉② t➽❝ ϕ : S0 × Sn → Sn ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ(a, x) = ax ❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ râ r➭♥❣ ✈× tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ t❛ ❝ã ✶✳✶✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ t❤ê✐ ●✐➯ sö S0 Sn ⊆ Sn ✳ L ❧➭ ✈➭♥❤✳ ▼ét L✲➤➵✐ sè ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ S ✈➭ ➤å♥❣ S ❧➭ ♠ét L✲♠➠➤✉♥✳ ▼ét L✲➤➵✐ sè S ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tö a1 , , an ∈ S s❛♦ ❝❤♦ S = {f (a1 , , an ) | f (x1 , , xn ) ∈ L[x1 , , xn ]}, tr♦♥❣ ➤ã L[x1 , , xn ] ❧➭ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ n ❜✐Õ♥ ✈í✐ ệ số tr L ỗ tử c L ➤➢ỵ❝ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✈í✐ ♣❤➬♥ tư c1 ∈ S ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ♥ã✐ {a1 , , an } ❧➭ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ ➤➵✐ sè S ✈➭ t❛ ✈✐Õt S = L[a1 , , an ] ❚õ ♥❛② ➤Õ♥ ❤Õt ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt S= Sn ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ n∈Z ❜❐❝✳ ❘â r➭♥❣ S ❝ã ❝✃✉ tró❝ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ ♠ét S0 ✲➤➵✐ sè✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tö a1 , , an ∈ S1 s❛♦ ❝❤♦ S = S0 [a1 , , an ] t❤× t❛ ♥ã✐ S ❧➭ S0 ✲➤➵✐ sè ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤✉➮♥✳ ✶✳✶✳✺ ❇ỉ ➤Ị✳ ●✐➯ sư ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ S S0 ✳ ❧➭ ➤➵✐ sè ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤✉➮♥✳ ❑❤✐ ➤ã ◆Õ✉ t❤➟♠ ❣✐➯ t❤✐Õt S0 S ❧➭ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r t❤× S ❝ị♥❣ ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö S = S0 [a1 , , an ] ✈í✐ a1 , , an ∈ S1 ❑❤✐ ➤ã ϕ : S0 [x1 , , xn ] → S ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ(f (x1 , , xn )) = f (a1 , , an ) ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉ ✈➭♥❤✱ tr♦♥❣ ➤ã ❱× t❤Õ S0 [x1 , , xn ] ❧➭ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ n ❜✐Õ♥ tr➟♥ S0 ✳ S ∼ = S0 [x1 , , xn ]/ Ker ϕ✳ ❱× S0 ❧➭ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ së ❍✐❧❜❡rt✱ S0 [x1 , , xn ] ❝ò♥❣ ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ❉♦ ➤ã ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ S0 [x1 , , xn ]/ Ker ϕ ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ❙✉② r❛ S ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ❈❤♦ ✶✳✶✳✻ ❱Ý ❞ô✳ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ S = K[x1 , xn ] ❧➭ ✈➭♥❤ ➤❛ α n t❤ø❝ n ❜✐Õ♥ ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ K ✳ ▼ét ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ S ❝ã ❞➵♥❣ ax1 xα n ✈í✐ a ∈ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tư tõ ❝đ❛ S ❝ã ❜❐❝ α1 + + αn ✳ ❚❛ q✉② ➢í❝ ♣❤➬♥ ❝ã ❜❐❝ t✉ú ý✳ ❍❛✐ tõ u = axα1 xαnn ✈➭ v = bxβ1 xβnn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥Õ✉ ➤å♥❣ ❞➵♥❣ αi = βi ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , n ▼ét ➤❛ t❤ø❝ f ∈ S ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ t t ỗ ọ n ế f tổ ủ ữ từ ỗ từ ề ❝ã ❜❐❝ n✳ 0✱ ➤➷t Sn ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ n✳ ➜➷t Sn = n n < ú ý r ỗ tứ tr S ➤Ị✉ ✈✐Õt ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ tõ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➵♥❣✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ ó từ ù ỗ t❤ø❝ f ∈ S ➤Ị✉ ✈✐Õt ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ❙✉② r❛ S= Sn ✳ n∈Z ❉Ô t❤✃② Sn Sm ⊆ Sn+m ✈í✐ ♠ä✐ n, m✳ ❱× t❤Õ S ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ❚❛ ❣ä✐ ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ♥❤➢ tr➟♥ ❝đ❛ ✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ S ❧➭ ♣❤➞♥ ❜❐❝ tù ♥❤✐➟♥✳ Sn ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ▼ét ✐➤➟❛♥ I ❝đ❛ S= n∈Z S ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤❛② ♣❤➞♥ ❜❐❝ ♥Õ✉ I = (I ∩ Sn ) n∈Z ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ➤Ó ♠ét ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ✶✳✶✳✽ ❇æ ➤Ị✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ S = Sn ✳ ❈➳❝ ♣❤➳t n∈Z ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ fi ∈ I ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ I ✈í✐ fi ∈ S i ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ fi ∈ I ✱ ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ❝ã ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❣å♠ ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö ✭✐✮⇒✭✐✐✮✳ ◆Õ✉ fi f= ∈ I ✱ ✈í✐ ♠ä✐ i t❤× râ r➭♥❣ fi ∈ I ✈í✐ fi ∈ Si ✳ ❱× I = fi ∈ I ✳ ◆❣➢ỵ❝ (I ∩ Sn ) ✈➭ f ∈ I ♥➟♥ f n∈Z ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ f= gi ✈í✐ gi ∈ I ∩ Si ❱× f ❝❤Ø ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ❝➳❝❤ ❜✐Ĩ✉ 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ❞✐Ô♥ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t ♥➟♥ t❛ ♣❤➯✐ ❝ã fi ♠ä✐ i✳ ❱× t❤Õ fi = gi ✈í✐ ∈ I ∩ Si ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ fi ∈ I ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ✭✐✐✮⇒✭✐✐✐✮✳ ●✐➯ sư Fj S Fj S ỗ j ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ Fj = I = j∈J nj fjk , fjk ∈ Sk t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ❘â r➭♥❣ k=−mj I ⊆ (fjk , j ∈ J, k = mj , , nj )S ❚❤❡♦ ✭✐✐✮✱ fjk ∈ I ✈í✐ ♠ä✐ j, k ❱× t❤Õ (fjk , j ∈ J, k = −mj , , nj )S ⊆ I ❱❐② ✈í✐ I = (fjk , j ∈ J, k = −mj , , nj )S ✱ tø❝ ❧➭ I ❝ã ♠ét ❤Ö s✐♥❤ {fjk } j ∈ J ✈➭ k = −mj , , nj ❧➭ ❤Ư ❣å♠ ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ✭✐✐✐✮⇒✭✐✮✳ ❚❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ (I ∩ Sn )✳ ▲✃② f ∈ I ✳ ❚❤❡♦ I ⊆ n∈Z ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✐✐✐✮✱ I ❝ã ♠ét ❤Ư s✐♥❤ (fk ) ✈í✐ fk ∈ Sk ✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ f = fk1 G1 + + fkn Gn ✈í✐ fki ∈ Ski ∩ I ✈➭ Gi ∈ S ❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ✈Õ ♣❤➯✐ rå✐ ♥❤ã♠ ❝➳❝ ❤➵♥❣ tư ➤å♥❣ ❞➵♥❣✱ t❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t✱ ỗ tử ề tộ f tổ ủ I ì ó ột tổ ủ ữ tử ỗ tử ề ứ ột tư fki ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× t❤Õ f∈ (I ∩ Sn )✳ n∈Z ✶✳✶✳✾ ❈❤ó ý✳ ✭✐✮ ◆Õ✉ ❚õ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥ t❛ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✿ S ❧➭ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ◆♦❡t❤❡r t❤× ♠ét ✐➤➟❛♥ I ❝đ❛ S ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ I ❝ã ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❣å♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ✭✐✐✮ ❚ỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ✐➤➟❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❧➭ ✐➤➟❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ ✭✐✐✐✮ ●✐❛♦ ❝ñ❛ ❤❛✐ ✐➤➟❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❧➭ ✐➤➟❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ✶✳✶✳✶✵ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ S = Sn ❧➭ ✈➭♥❤ ♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ▼ét S ✲♠➠➤✉♥ X n∈Z ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ♥Õ✉ ❝ã ♠ét ❤ä (Xn )n∈Z ❝➳❝ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ✭❛✬✮ (0 :Mn xs R) = ✈➭ Mn /xs Mn−1 = ✈í✐ ♠ä✐ n > p❀ ✭❜✬✮ ❱í✐ ♠ä✐ n < k t❛ ❝ã (0 :(0:Mn xs R) (x1 , , xs−1 )R) = ✈➭ (0 :Mn /xs Mn−1 (x1 , , xs−1 )R) = ì Mn ó ộ ữ (0 :Mn xs R) ✈➭ Mn /xs Mn−1 ❝ã ➤é ❞➭✐ ữ ọ k xs R) Mn /xs Mn−1 ∈ µ ✈í✐ ♠ä✐ k q✉② ♥➵♣✱ p✳ ❉♦ ➤ã (0 :Mn p✳ ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt (0 :M xs R) ✈➭ M/xs M ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ µs−1 ✷✳✶✳✼ ❇ỉ ➤Ị✳ ●✐➯ sư A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ tå♥ t➵✐ ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ọ n n J I rt ó ỗ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R s❛♦ ❝❤♦ I ❝ñ❛ R✱ (0 :A I n ) = (0 :A J n ) n ≥ 0✳ ➜➷t ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ Γ = {(0 :A I ) | I ⊆ I ✈➭ I ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤} ❘â r➭♥❣ Γ = ∅ ✈× t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ I = ⊆ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✭s✐♥❤ ❜ë✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö 0✮ ✈➭ ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã A = (0 :A 0) ∈ Γ ❉♦ A ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ Γ ❝ã ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♠✐♥❤ (0 :A J) ✈í✐ J ⊆ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ (0 :A I) = (0 :A J)✳ ❱× J ⊆ I ♥➟♥ (0 :A I) ⊆ (0 :A J) ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư m ∈ / (0 :A I) ❑❤✐ ➤ã Im = ✈➭ ❞♦ ➤ã am = ✈í✐ a ∈ I ♥➭♦ ➤ã✳ ➜➷t J = J + aR✳ ❑❤✐ ➤ã J ⊆ I ✈➭ J ❝ị♥❣ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❘â r➭♥❣ (0 :A J ) ⊆ (0 :A J) ❉♦ tÝ♥❤ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ (0 :A J) t❛ ♣❤➯✐ ❝ã (0 :A J ) = (0 :A J) ❱× a ∈ J ✈➭ am = ♥➟♥ m ∈ / (0 :A J ) ❱× t❤Õ m ∈ / (0 :A J) ❱❐② (0 :A I) = (0 :A J)✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ n ≥ r➺♥❣ (0 :A I n ) = (0 :A J n )✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ n = ❧➭ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ ❚❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➟♥ r❛ n = ❈❤♦ n > ❱× J n ⊆ I n (0 :A I n ) ⊆ (0 :A J n )✳ ▲✃② m ∈ (0 :A J n ) ❑❤✐ ➤ã J n m = ❙✉② J n−1 (Jm) = ❱× t❤Õ Jm ⊆ (0 :A J n−1 ) ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ Jm ⊆ (0 :A I n−1 )✳ ❉♦ ➤ã I n−1 (Jm) = ❙✉② r❛ I n−1 m ⊆ (0 :A J) ❱× (0 :A J) = (0 :A I) ♥➟♥ I n−1 m ⊆ (0 :A I) ❱× t❤Õ I(I n−1 m) = ❤❛② 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ I n m = ❉♦ ➤ã m ∈ (0 :A I n ) ❱❐②✱ (0 :A J n ) = (0 :A I n ) ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 0✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞②✱ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉ A ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R s❛♦ ❝❤♦ (0 :A I) < ∞ t❤× R (0 :A I n ) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝✳ ✷✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ (0 :A I) n ✈➭ A R ó ộ ữ tì R (0 :A ♣❤➬♥ tư t❤× I n) (0 :A I n ) I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ I ◆Õ✉ I n ) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ s ❝ã ❤Ư s✐♥❤ ❣å♠ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✼✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ sư ✐➤➟❛♥ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ●✐➯ sư R✳ ❝ị♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ R (0 :A ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❆rt✐♥ ✈➭ s I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ I = (a1 , , as )R✳ ➜➷t M −n = (0 :A I n )/(0 :A I n−1 ) +∞ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ ✈➭ M n = ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 0✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ M = M n ỗ i = 1, , s ✈➭ n −1✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ❝đ❛ xi ✈í✐ ♣❤➬♥ tư m = m + (0 :A I −n ) ∈ M n−1 ✱ tr♦♥❣ ➤ã m ∈ (0 :A I −n+1 ) ❧➭ xi m = xi (m + :A I −n ) = m + :A I −n−1 ●✐➯ sö m + (0 :A I −n ) = m + (0 :A I −n ) ✈í✐ m, m ∈ (0 :A I −n+1 )✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã m − m ∈ (0 :A I −n )✳ ❙✉② r❛ I −n (m − m ) = 0✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã I −n−1 I(m − m ) = 0✳ ❉♦ I = (a1 , , as )R ♥➟♥ t❛ ❝ã I −n−1 (a1 , , as )R(m − m ) = ❉♦ ➤ã I −n−1 (m − m ) = ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , s✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá (m − m ) ∈ (0 :A I −n−1 ) ❤❛② m + :A I −n−1 = m + :A I −n−1 ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , s✳ ❱❐② ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tr➟♥ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❞Ơ t❤✃② ♥ã ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ tr➟♥ ❘â r➭♥❣ M ✳ ❱× t❤Õ M ❝ã ❝✃✉ tró❝ R[x1 , , xs ]✲♠➠➤✉♥✳ M n = ✈í✐ ọ n > r ỗ n < −1✱ ♥Õ✉ ❝ã 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ♣❤➬♥ tö m = m + :A I −n ∈ M n s xi m = tì t ị ĩ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ tr➟♥ t❛ ❝ã ➤ã I −n−1 ( s R)m = ❤❛② m ∈ (0 :A I −n )✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá m = i=1 ✈➭ s✉② r❛ m ∈ (0 :A I n1 ) ỗ i = 1, , s✳ ❉♦ s (0 :Mn xi R) = ✈í✐ ♠ä✐ n < −1✳ ❈ị♥❣ ❝➬♥ ❝❤ó ý r➺♥❣ i=1 M−1 = (0 :A I) ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚õ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ t❛ t❤✃② R[x1 , , xs ]✲♠➠➤✉♥ M t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭❛✮✱ ✭❜✮✱ ✭❝✮ tr♦♥❣ ❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✻ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✺✱ ❤➭♠ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ q✉➳ g(n) = M ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❆rt✐♥ ❝đ❛ µs ✳ R (M −n ) ✈í✐ n ∈ N ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ s − 1✳ ❱× M −n = (0 :A I n )/(0 :A I n−1 ) ♥➟♥ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ s❛✉✿ → (0 :A I n−1 ) → (0 :A I n ) → M −n → ❈❤ó ý r➺♥❣ M n ∈ µ ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ Z✳ ❉♦ ➤ã n ≥ 1✳ ❉♦ (0 :A I) = M −1 ♥➟♥ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ R (0 R (M −n ) :A I) = (0 :A I ) ❝ò♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ < ∞ ✈í✐ ♠ä✐ R (M −1 ) R (0 :A I ) ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈ø t✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥✱ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣✱ t❛ s✉② r❛ R (0 :A ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 1✳ ❱× t❤Õ f (n) = R (0 :A t❛ ❝ã R (0 :A I n ) = R (0 :A I n−1 ) + I n ) ✈í✐ n ≥ 1✳ ❙✉② r❛ f (n − 1) = < ∞✳ ❚õ R (0 :A I n) < ∞ R (M −n ) ➜➷t I n−1 ) ✈➭ ❞♦ ➤ã f (n) − f (n − 1) = g(n) ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 1✳ ❚❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥✱ g(n) ❧➭ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ q✉➳ s−1✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✸✱ f (n) = R (0 :A I n) ❧➭ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ q✉➳ s✳ ➜❛ t❤ø❝ R (0 :A ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ I n ) tr ị í ợ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt A ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ I ✳ ❈❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✷✳✷✳✶ ❈❤ó ý✳ ❚r♦♥❣ s✉èt t✐Õt ♥➭②✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❞✉② ♥❤✃t m ✭✈➭♥❤ R ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✮✱ A 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ R✲♠➠➤✉♥ tï② ý M ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❆rt✐♥✮✳ ✷✳✷✳✷ ❇ỉ ➤Ị✳ ◆Õ✉ t❤× → M → M → M” → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M ”} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ✈➭ M = M/M ✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r t❛ ❞Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ N-dimR M ≥ max{N-dimR M , N-dimR M ”} ●✐➯ sö max{N-dimR M , N-dimR M ”} = d ◆Õ✉ d = −1 t❤× M , M = ✈➭ ❞♦ ➤ã M = 0✳ ❙✉② r❛ N-dimR M = −1 ◆Õ✉ d = t❤× M = ❤♦➷❝ M ” = ✈➭ M , M ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ❉♦ ➤ã M = ❝ò♥❣ ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ❙✉② r❛ N-dimR M = ❈❤♦ d > ◆Õ✉ N-dimR M < d t❤× d = max{N-dimR M , N-dimR M ”} ✈➠ ❧Ý✳ ▲✃② N-dimR M < d, M0 ⊆ M1 ⊆ ❧➭ ♠ét ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❞➲② t➝♥❣ (M0 + M )/M ⊆ (M1 + M )/M ⊆ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ” ✈➭ ❞➲② t➝♥❣ M0 ∩ M ⊆ M1 ∩ M ⊆ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ M ✳ ❳Ðt ❞➲② ❦❤í♣ → Mn+1 ∩(Mn +M )/Mn → Mn+1 /Mn → Mn+1 /Mn+1 ∩(Mn +M ) → ❱× N-dim M d ♥➟♥ tå♥ t➵✐ n0 s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ n0 N-dimR Mn+1 /(Mn+1 ∩ (Mn + M )) = N-dimR (Mn+1 + M )/M ❱× N-dimR M (Mn + M )/M ) < d − d ♥➟♥ tå♥ t➵✐ n1 s❛♦ ❝❤♦ N-dimR Mn+1 ∩ (Mn + M )/Mn N-dimR Mn+1 ∩ M /Mn ∩ M < d − 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ n1 ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ ❝❤♦ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ t❛ ❝ã N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d−1 ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ n2 , tr♦♥❣ ➤ã n2 = max{n0 , n1 } ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r t❛ s✉② r❛ ✷✳✷✳✸ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ A=0 ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ N-dimR M = d ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ➤ã N-dimR A = ♥Õ✉ dim(R/ AnnR A) = ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ợ A ó ộ ữ R/ AnnR A ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ❞♦ ➤ã R (A) < ∞ ❱× ✈❐②✱ t❤❡♦ ▼❛ts✉♠✉r❛ ❬▼❛t❪✱ ✈➭♥❤ R/ AnnR A ❧➭ ❆rt✐♥ ✈➭ ❑❤✐ ➤ã N-dimR A = 0✱ ❦❤✐ ➤ã A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ dim(R/ AnnR A) = 0✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư dim(R/ AnnR A) = 0✳ AnnR A ❧➭ ✐➤➟❛♥ m ♥❣✉②➟♥ s➡✳ ❱× t❤Õ✱ tå♥ t➵✐ n ∈ N s❛♦ ❝❤♦ mn ⊆ AnnR A ❙✉② r❛ mn A ⊆ (AnnR A)A = 0✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã ❞➲② = mn A ⊆ mn−1 A ⊆ ⊆ mA ⊆ A ❈❤ó ý r➺♥❣ m ⊆ AnnR (mi A/mi+1 A) ✈í✐ ♠ä✐ i✳ ❱× t❤Õ mi A/mi+1 A ❝ã ❝✃✉ tró❝ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ R/m✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ✈➭ ✈× t❤Õ ♥ã ❧➭ R/m✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ❙✉② r❛ R (mi A/mi+1 A) n−1 ♠ä✐ i✳ ❱× t❤Õ R A ✈➭ ✈× t❤Õ = = dimR/m (mi A/mi+1 A) < ∞ ✈í✐ i i+1 A) R (m A/m < ∞✳ ❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛ A ◆♦❡t❤❡r i=0 N-dim A = 0✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝đ❛ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ x1 , , xt ∈ m ➤Ĩ A✱ ✈➭ ❝ị♥❣ ❧➭ sè t ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ❝ã t ♣❤➬♥ tö R (0 :A (x1 , , xt )R) < ∞✳ ✷✳✷✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ❤✐Ư✉ ❧➭ ❝đ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A = 0✱ ❦Ý cl-dimR A✱ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜í✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ cl-dimR A = inf{t ∈ N | ∃x1 , , xt ∈ m : ◆Õ✉ A ❧➭ ❜❐❝ R (0 :A (x1 , , xt )R) < ∞} A = t❤× t❛ ➤➷t cl-dimR A = −1 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ ✷✳✷✳✺ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✳ ✭✐✮ ❈❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ B ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ cl-dimR A ❝đ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ A ❧✉➠♥ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ B A t❤× cl-dimR B ❧➭ ♠➠ ➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ cl-dimR A✳ A s❛♦ ❝❤♦ B = A ✈➭ R (B) < ∞ t❤× cl-dimR A = cl-dimR (A/B) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ ✭✐✮ ❚❛ ❝ã m ⊆ AnnR (0 :A m) ❱× t❤Õ (0 :A m) ❝ã ❝✃✉ tró❝ R/m✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ❞♦ ➤ã ♥ã ❧➭ R/m✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ❙✉② r❛ R (0 :A m) = dimR/m (0 :A m) < ∞ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✼✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ R (0 :A I ⊆ m s❛♦ ❝❤♦ (0 :A m) = (0 :A I) ❱× t❤Õ I) < ∞ ✈➭ ❞♦ ➤ã cl-dimR A ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ sè ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ I ✳ ✭✐✐✮ ❱í✐ x1 , , xt ∈ m✱ ➤➷t I = (x1 , , xt )R ❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ R✲♠➠➤✉♥ X t❛ ❧✉➠♥ ❝ã Hom(R/I, X) ∼ = (0 :X I)✳ ❱× t❤Õ tõ ❞➲② ❦❤í♣ → B → A → A/B → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❝➯♠ s✐♥❤ → (0 :B I) → (0 :A I) → (0 :A/B I) → Ext1R (R/I, B) ❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ R (0 :A tø❝ ❧➭ cl-dim B ✭✐✐✐✮✳ ❱× R (B) ❉♦ ➤ã R (0 :A tá I) < ∞ t❤× I) < ∞✱ R (0 :B cl-dimR A < ∞ ♥➟♥ R (0 :B I) < ∞ ✈➭ I) < ∞ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ R (0 :A/B R (ExtR (R/I, B)) < ∞✳ I) < ∞✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ cl-dimR A = cl-dimR (A/B) ✷✳✷✳✻ ❇ỉ ➤Ò✳ ◆Õ✉ cl-dimR A > cl-dimR A = cl-dimR A ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝❤♦ ●✐➯ sư ✈➭ t❤× ❝ã ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ xB = B ✈í✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư B ❝đ❛ A s❛♦ ❝❤♦ x ∈ m✳ N-dimR A = d ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ x1 , , xd ∈ m s❛♦ (0 :A I) < ∞✱ tr♦♥❣ ➤ã I = (x1 , , xd )R✳ ❱× (0 :A I) < ∞ ♥➟♥ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ s t❛ ❞Ơ ❞➭♥❣ s✉② r❛ ➤➢ỵ❝ 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0 :A I s ) < ∞ ✈í✐ ♠ä✐ s ∈ N✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ❱× A ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ ❞➲② ❣✐➯♠ A ⊆ IA ⊆ I A ⊆ ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ t ∈ N s❛♦ ❝❤♦ I t A = I t+1 A ➜➷t J = I t ✈➭ B = JA ❉♦ I ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✭s✐♥❤❜♦✇✐r ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ ❘â r➭♥❣ d ♣❤➬♥ tư✮ ♥➟♥ J ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ●ä✐ b1 , , bm ❧➭ ♠ét m J ✳ ❳Ðt ➳♥❤ ①➵ ϕ : A → JA ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ(a) = (b1 a, , bm a) i=1 ϕ ❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ Ker ϕ = {a ∈ A | bi a = 0, ∀i = 1, , m} = (0 :A J) ❈❤ó ý r➺♥❣ R (0 :A J) < ∞✱ ❞♦ ➤ã R (Ker ϕ) < ∞✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤å♥❣ ❝✃✉ ♠➠➤✉♥ t❛ ❝ã A/ Ker ϕ ∼ = Im ϕ ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✺✭✐✐✐✮ t❛ ❝ã cl-dimR A = cl-dimR (A/ Ker ϕ) = cl-dimR Im ϕ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✺✭✐✐✮✱ cl-dimR Im ϕ m cl-dimR ⊕ JA = cl-dimR JA i=1 ❱× t❤Õ ❧➵✐ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✺✭✐✐✮ t❛ ❝ã cl-dimR A ❱× t❤Õ cl-dimR JA cl-dimR A cl-dimR A = cl-dimR B ❈❤ó ý r➺♥❣ I t+1 A = I t A = B ❉♦ ➤ã IB = B ❱× t❤Õ✱ t➠♥ t➵✐ x ∈ I ⊆ m s❛♦ ❝❤♦ xB = B ❱í✐ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A = t❛ ➤➷t fA (n) = A (0 :A mn ) ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶✳✽✱ f (n) ❧➭ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ d = d(A) ❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ f (n)✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ d n+i t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ a0 , , ad ✈í✐ ad > s❛♦ ❝❤♦ fA (n) = i i=0 ✷✳✷✳✼ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ → A → A → A” → ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ●✐➯ sư ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❑❤✐ ➤ã ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) ❝ã ❜❐❝ fA (n) = R (0 :A d ✈➭ ❤Ư sè ❝đ❛ nk fA (n) − fA (n) trï♥❣ ✈í✐ ❤Ư sè ❝đ❛ nk mn ) ❝đ❛ A ❧➭ d✳ tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) ✈í✐ ♠ä✐ k ≥ d 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝♦♥ ❝đ❛ ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt A ❧➭ ♠➠➤✉♥ A ✈➭ A = A/A ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ → (0 :A mn ) → (0 :A mn ) → (0 :A mn )/(0 :A mn ) → t❛ ❝ã fA (n) − fA (n) = R (0 :A mn )/(0 :A mn ) = = R ((0 :A mn + A )/A ) = R (0 :A mn ) = fA (n) R (0 :A R ((A ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ❆rt✐♥✲❘❡❡s ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ tå♥ t➵✐ sè mn )/(0 :A mn ∩ A ) :A mn )/A ) r ∈ N s❛♦ ❝❤♦ A + (0 :A mn ) = A + (0 :A mr ) :A mn−r ⊇ (A :A mn−r ) ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ r ❱× t❤Õ R ((0 :A mn + A )/A ) ≥ R (0 :A mn−r ) = fA (n − r) ❙✉② r❛ fA (n) ≥ fA (n) − fA (n) ≥ fA (n − r) ✈í✐ n ➤đ ❧í♥✳ ❱× fA (n) ❝ã ❜❐❝ d ♥➟♥ fA (n) ❝ã ❜❐❝ t❤Õ fA (n) ❝ã ❜❐❝ d ❱× d ❉♦ ➤ã ✈í✐ k > d✱ ❝➳❝ ❤Ư sè ø♥❣ ✈í✐ nk ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) − fA (n) ✈➭ fA ✈í✐ d✳ ❉♦ ➤ã fA (n) − fA (n) ❝ã ❜❐❝ (n) ➤Ị✉ ❜➺♥❣ ✈➭ ✈× t❤Õ ❝❤ó♥❣ ❜➺♥❣ ò k = d tì í ✈Õ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦ nd rå✐ ❧✃② ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐ n t✐Õ♥ tí✐ ✈➠ ❝ï♥❣✱ t❛ ➤➢ỵ❝ ❤Ư sè ø♥❣ ✈í✐ nd ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) − fA (n) ✈➭ fA (n) ❧➭ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞②✱ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ✸ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt N-dimR A✱ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ cl-dimR A ✈➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ deg fA (n) ❝ñ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ rt A ị ý ỗ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A t❛ ❝ã N-dimR A = cl-dimR A = deg fA (n) 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ cl-dimR A ●✐➯ sư deg fA (n) cl-dimR A = d ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö x1 , , xd ∈ m s❛♦ ❝❤♦ R (0 :A (x1 , , xd )R) < ∞✳ ➜➷t I = (x1 , , xd )R✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶✳✽✱ R (0 :A I n ) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ q✉➳ d✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶✳✽✱ fA (n) ❧➭ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝✳ ❱× I ⊆ m ♥➟♥ deg fA (n) = deg ❉♦ ➤ã deg fA (n) R (0 :A mn ) deg R (0 :A I n) d cl-dimR A ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ cl-dimR A N-dimR A ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ d = N-dimR A ❱í✐ d = −1✱ t❛ ❝ã A = ✈➭ ✈× t❤Õ cl-dimR A = −1 ◆Õ✉ d = t❤× A ❧➭ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ❞♦ ➤ã R (A) < ∞✳ ❱× t❤Õ cl-dimR A = ❈❤♦ d > ❑❤✐ ➤ã A ❦❤➠♥❣ ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✱ ✈× t❤Õ R (A) = ∞✱ ❞♦ ➤ã cl-dimR A > ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✺✱ tå♥ t➵✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ B ❝ñ❛ A s❛♦ ❝❤♦ cl-dimR A = cl-dimR B ✈➭ xB = B ✈í✐ x ∈ m ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ♠➠ ➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ ♥❣✉②➟♥ d ❳Ðt ❞➲② t➝♥❣ (0 :B x) ⊆ (0 :B x2 ) ⊆ cl-dimR B B ✳ ❱× N-dimR B N-dimR A = d ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè n s❛♦ ❝❤♦ N-dimR (0 :B xm+1 )/(0 :B xm ) ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❛ ❝ã N-dimR (0 :B xn+1 )/(0 :B xn ) t❛ ❞Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ➳♥❤ ①➵ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉✳ ❉♦ ➤ã cl-dimR (0 :B x) = k d − ✈í✐ ♠ä✐ m ≥ n d − 1✳ ❱× xB = B ♥➟♥ xn (0 :B xn+1 )/(0 :B xn ) → (0 :B x) ❧➭ N-dimR (0 :B x) d − ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ d − ❱× t❤Õ tå♥ t➵✐ k ♣❤➬♥ tư x1 , , xk ∈ m s❛♦ ❝❤♦ R (0 :B ❱× t❤Õ (x, x1 , , xk )R) = cl-dimR B k+1 ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ R (0 :(0:B xR) d ❉♦ ➤ã cl-dimR A N-dimR A N-dimR A✳ deg fA (n) ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ d = deg fA (n) ❱í✐ d = −1✱ t❛ ❝ã fA (n) = ❧í♥✳ ❱× t❤Õ (x1 , , xk )R) < ∞ R (0 :A mn ) = ✈í✐ n ➤đ (0 :A m) = 0✳ ❙✉② r❛ A = ✈➭ ❞♦ ➤ã N-dimR A = −1 ❈❤♦ 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✵ d = ❑❤✐ ➤ã fA (n) = R (0 :A mn ) ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❦❤✐ n ➤ñ ❧í♥✳ ❙✉② r❛ A ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ❞♦ ➤ã A ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ❱× t❤Õ N-dimR A = ●✐➯ sö d > ❈❤♦ A0 ⊆ A1 ⊆ ❧➭ ♠ét ❞➲② t➝♥❣ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ủ A ỗ s N í ệ gs (n) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ As+1 /As ❱× As ⊆ A ♥➟♥ deg fAs (n) ✷✳✷✳✼✱ ❤Ư sè ❝đ❛ deg fA (n) = d ✈í✐ ♠ä✐ s✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị nd tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fAs+1 (n) − fAs (n) ✈➭ gs (n) ❧➭ ♥❤➢ ♥❤❛✉✳ ❉♦ ➤ã ❤Ư sè ❝đ❛ nd tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fAs+1 (n) − fA0 (n) = [fAs+1 (n) − fAs (n)] + + [fA1 (n) − fA0 (n)] ✈➭ gs (n) + gs−1 (n) + + g0 (n) ❧➭ ♥❤➢ ♥❤❛✉✳ ❱× ♥➟♥ t❤ø❝ fAs+1 (n) − fA0 (n) As+1 ⊆ A ✈➭ A0 ⊆ As+1 fA (n)✳ ●ä✐ ❤Ư sè ❝đ❛ nd tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ fA (n) ❧➭ ad ❑❤✐ ➤ã ad ≥ ✈➭ ❤Ö sè ❝ñ❛ nd tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fAs+1 (n)−fA0 (n) ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ ad ✈í✐ ♠ä✐ s✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ỗ t N ệ số ủ nd tr ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ gt (n) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥ sè t s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤Ö sè ❝đ❛ nd tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ gt (n) ➤Ị✉ ❞➢➡♥❣ t❤× ❦❤✐ s ➤đ ❧í♥ t❛ ❝ã ❤Ư sè ❝đ❛ nd tr♦♥❣ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ gs (n) + gs−1 (n) + + g0 (n) ❧í♥ ❤➡♥ ad , ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❱× t❤Õ✱ ❝❤Ø ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ sè ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ gt (n) ❦❤➳❝ 0✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ♠ä✐ t ➤Ĩ ❤Ư sè ❝đ❛ nd tr♦♥❣ n0 s❛♦ ❝❤♦ deg gt (n) t ≥ n0 ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ N-dimR (At+1 /At ) d − ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ n0 ❉♦ ➤ã✱ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r t❛ s✉② r❛ N-dimR A N-dimR A d ❱❐② deg fA (n)✳ ✷✳✷✳✾ ❍Ư q✉➯✳ ◆Õ✉ t❤× d − ✈í✐ (0 :A x) = ✈➭ x∈m ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤á❛ ♠➲♥ xA = A N-dimR A > ✈➭ N-dimR (0 :A x) = N-dimR A − ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ (0 :A x) = ♥➟♥ A = ◆Õ✉ N-dimR A = t❤× A ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ❞♦ ➤ã xA = A t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ◆❛❦❛②❛♠❛✳ ❱× t❤Õ N-dimR A > ●✐➯ sö N-dimR A = d ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✽✱ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) = R (0 :A mn ) ❝ã ❜❐❝ d✳ ❙✉② r❛ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ f(0:A x) (n) = 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên R (0 :(0:A x) mn ) http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ ❝ã ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ q✉➳ d✳ ❱× xA = A ♥➟♥ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ → (0 :A x) → x A → A → ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✼✱ ❤Ư sè ❜❐❝ d ❝ñ❛ ❤❛✐ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ fA (n) − f(0:A x) (n) ✈➭ fA (n) ❧➭ ♥❤➢ ♥❤❛✉✳ ❙✉② r❛ f(0:A x) (n) ❝ã ❜❐❝ ♥❤á ❤➡♥ t❤ù❝ sù d ì tế t ị í t ó N-dimR (0 :A x) d − ◆Õ✉ N-dimR (0 :A x) = k < d − t❤× tå♥ t➵✐ k ♣❤➬♥ tö x1 , , xk ∈ m s❛♦ ❝❤♦ (0 :A (x, x1 , , xk )R) = ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✽ t❛ ❝ã ❱❐② (x1 , , xk )R) < ∞ R (0 :(0:A x) N-dimR A + k < d, ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ N-dimR (0 :A x) = d − ✷✳✸ ▼ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝đ❛ ❑✐r❜② ❬❑✶❪✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✶ ✈➭ ✷✳✷✳✽ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❆rt✐♥ ✈➭ ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ tứ ợ ị ĩ M ♠ét R✲♠➠➤✉♥✳ ▼ét ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ❝ã ❞➵♥❣ m = axi11 xiss ✈í✐ a ∈ M ✈➭ i1 , , is ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tõ ♥❣➢ỵ❝ ❜❐❝ i1 + + is ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ x1 , , xs ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ M ✳ ❍❛✐ tõ ♥❣➢ỵ❝ m = axi11 xiss ✈➭ m = a xj11 xjss ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➵♥❣ ♥Õ✉ ik ➤å♥❣ = jk ✈í✐ ♠ä✐ k = 1, , s ột tổ ủ ữ từ ợ ợ ọ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ x1 , , xs ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ M ✳ ❱í✐ ❤❛✐ tõ ♥❣➢ỵ❝ ➤å♥❣ ❞➵♥❣ m = axi11 xiss ✈➭ m = bxi11 xiss ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ m + m = (a + b)xi11 xiss ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➺♥❣ ợ từ ợ ỗ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➳❝❤ t t tổ ủ ữ từ ợ ➤å♥❣ ❞➵♥❣✳ ❚❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ −1 M [x−1 , , xs ]✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ tr♦♥❣ −1 M [x−1 , , xs ] t❤❡♦ ❝➳❝❤ tù ♥❤✐➟♥ ✭❝é♥❣ t❤❡♦ ❝➳❝ tõ ➤å♥❣ ❞➵♥❣✮ ✈➭ tÝ❝❤ ✈➠ 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ợ ị s❛✉✿ ✈í✐ m ✈➭ x = rxj11 xjss ∈ R[x1 , , xs ]✱ tr♦♥❣ ➤ã r ∈ R ✈➭ a ∈ M ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ xm ❧➭ ♣❤➬♥ tư raxi11 +j1 xiss +js ♥Õ✉ t✃t ❝➯ ik + jk ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ➤ã −1 = axi11 xiss t❤✉é❝ M [x−1 , , xs ] k = 1, 2, , s ✈➭ ❜➺♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✳ ❑❤✐ −1 M [x−1 , , xs ] ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét R[x1 , , xs ]✲♠➠➤✉♥✱ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ s ❜✐Õ♥ x1 , , xs tr➟♥ M ✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ së ❍✐❧❜❡rt ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ r➺♥❣ ♥Õ✉ t❤ø❝ ♠➠➤✉♥ R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r t❤× ✈➭♥❤ ➤❛ R[x1 , , xs ] ❝ị♥❣ ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤➢ s❛✉✿ dim R[x1 , , xs ] = dim R+s ❉➢í✐ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ ữ ết q ó rt ị ý ❈❤♦ ✭✐✮ ✭✐✐✮ −1 R[x1 , , xs ]✲♠➠➤✉♥ A[x−1 , , xs ] ❝ò♥❣ ❧➭ ❆rt✐♥✳ −1 N-dimR[x1 , ,xt ] A[x−1 , , xs ] = N-dimR A + s ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ t❛ ➤➷t A = ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ➤ã ➜➷t −1 S = R[x1 , , xs ] ✈➭ B = A[x−1 , , xs ]✳ ❱í✐ n > Bn = 0✳ ➜➷t B0 = A✳ ❱í✐ n < 0✱ ♥Õ✉ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ f ∈ B ❧➭ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ tõ ♥❣➢ỵ❝ ❝ã ❝ï♥❣ ❜❐❝ n t❤× t❛ ♥ã✐ f ❧➭ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t n✳ ❘â r➭♥❣ B = ❜❐❝ n✳ ➜➷t Bn Bn ❚❛ ❝ã n∈Z Bn = ✈í✐ ♠ä✐ n > 0✳ ❈❤♦ n < ●✐➯ sö f ∈ (0 :Bn (x1 , , xs )R)✳ ❑❤✐ ➤ã f ∈ Bn ✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã t❤Ĩ ✈✐Õt f = ❝➳❝ tõ ♥❣➢ỵ❝ ❜❐❝ t k=1 mk ✈í✐ mk = ak xi1k1 xisks ❧➭ n✳ ❱í✐ ỗ k {1, , t} ố ị ì n < tr số ikj ➽t ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét sè ➞♠✳ ●✐➯ sö j ❧➭ ❝❤Ø sè s❛♦ ❝❤♦ ikj < ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã i +1 = xj mk = ak xi1k1 xjkj ❈❤ó ý r➺♥❣ ❜❐❝ ❝đ❛ xj mk ❧➭ n + ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣✳ ❱× t❤Õ xisks ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❝➳❝ sè ik1 , , ikj + 1, iks xj mi = ❦Ð♦ t❤❡♦ ak = 0✳ ❙✉② r❛ f = ❱❐② (0 :Bn (x1 , , xs )R) = ✈í✐ ♠ä✐ n < 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✸ ❱í✐ n = 0✱ t❛ ❝ã B0 = A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✶ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ sè p = = k ✱ t❛ s✉② r❛ B ❧➭ S ✲♠➠➤✉♥ ✭♣❤➞♥ ❜❐❝✮ ❆rt✐♥✳ ✭✐✐✮ ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s = ➜➷t x1 = x✱ S = R[x] ✈➭ B = A[x−1 ❑Ý ❤✐Ö✉ L = R[[x]] ❧➭ ✈➭♥❤ ❝➳❝ ỗ ũ từ ì tứ ột ế x ệ số tr R ỗ m B ọ −n ❧➭ ❜❐❝ ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ❜❐❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ tõ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ f ✳ ❑❤✐ ➤ã xn+1 f ì tế t ó tể ị ĩ tí ❤➢í♥❣ ❝đ❛ ♠ét ♣❤➬♥ tư ✈í✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư tr♦♥❣ m= x −i ∈ B ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ♥❤➞♥ ➤❛ t❤ø❝ i=0 ✈í✐ = 0✳ ri xi ∈ L i=0 n n ri xi i=0 m✳ ❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛ B ❝ã ❝✃✉ tró❝ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ L✲♠➠➤✉♥ ỗ ủ S B ❝❤Ø ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ L✲♠➠➤✉♥ B ✳ ❱× t❤Õ B ❧➭ L✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ N-dimS B = N-dimL B ❉♦ ➤ã t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❤Õ N-dimL B = N-dimR A + ❧➭ ➤ñ✳ ❘â r➭♥❣ x ∈ AnnL (0 :B x) ❱× (0 :B x) ❝ã ❝✃✉ tró❝ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ L/xL✲♠➠➤✉♥ ✈➭ ❤❛✐ ❞➭♥ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ L✲♠➠➤✉♥ (0 :B x) ✈➭ R✲♠➠➤✉♥ (0 :B x) ❧➭ ♥❤➢ ♥❤❛✉✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ L/xL ∼ = R✳ ❱× t❤Õ (0 :B x) ❝ã ❝✃✉ tró❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚❛ ❝ã n n x (0 :B x) = m = −i i=0 i=0 n n x−i ∈ B a0 ∈ A, = x−i+1 = ∈ B xm = i=0 n x−i+1 = i=1 x−i ∈ B a0 ∈ A, = 0, ∀i ≥ = A = i=0 n ◆❤➢ ✈❐②✱ (0 :B x) = A ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈í✐ ♠ä✐ m = n m = xg ✱ tr♦♥❣ ➤ã g = x−i ∈ B t❛ ❝ã i=0 x−i−1 ∈ B ✳ ❱× t❤Õ B = xB ❚❤❡♦ ❍Ö q✉➯ i=0 ✷✳✷✳✾ t❛ s✉② r❛ N-dimR A = N-dimS (0 :B x) = N-dimS B − 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét ❝➳❝❤ ❤Ư t❤è♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➬② ➤đ✱ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦✿ ❬❑✶❪✳ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❍✐❧❜❡rts ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✭✷✮ ✷✹ ✭✶✾✼✸✮✱ ✹✼✲✺✼✳ ❬❘♦❪✳ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts✱ ❑r✉❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r q✉❛s✐✲ ❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✷✻ ✭✶✾✼✺✮✱ ✷✻✾✲✷✼✸✳ ❈ơ t❤Ĩ✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ s ã rì ế tứ ị ✈Ò ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝✱ tõ ➤ã ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét t✐➟✉ rt ị í ã ❙ư ❞ơ♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❆rt✐♥ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤é ❞➭✐ R (0 :A mn ) ❧➭ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝✱ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A tr➟♥ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ R ✭❝ã ❞✉② t ột ự m ị í ã ❚r×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r N-dimR A ❝đ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A✱ tõ ➤ã ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ N-dimR A ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt R (0 :A tö x1 , , xt ∈ m ➤Ó mn ) ✈➭ ❝ò♥❣ ❧➭ sè t ❜Ð ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ❝ã t ♣❤➬♥ R (0 :A (x1 , , xt )) < ị í ã ụ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❆rt✐♥ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣➢ỵ❝ ❜✐Õ♥ ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ −1 A[x−1 , , xs ] ❝đ❛ s A ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✸✳✷✮✳ 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❈❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●✐➳♦ tr×♥❤ ➜➵✐ sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐ t❐♣ ■✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜❍◗●❍◆✱ ✷✵✵✸✳ ❬❈◆❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥✱ ❖♥ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ✶✷✶✲✶✸✵✳ ❬❑✶❪ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❍✐❧❜❡rts ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✭✷✮ ✷✹ ✭✶✾✼✸✮✱ ✹✼✲✺✼✳ ❬❑✷❪ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❧❡♥❣t❤ ❢♦r ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✹✶ ✭✶✾✾✵✮✱ ✹✶✾✲✹✷✾✳ ❬▼❛t❪ ❍✳ ▼❛ts✉♠✉r❛✱ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣ t❤❡♦r②✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✶✾✽✻✳ ❬❘♦❪ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts✱ ❑r✉❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r q✉❛s✐✲❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✷✻ ✭✶✾✼✺✮✱ ✷✻✾✲✷✼✸✳ ✹✺ 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người