Đa thức và đa thức lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ BÁCH DIỆP ĐA THỨC VÀ ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số vấn đề đa thức 1.1 Định nghĩa phép toán 1.2 Hệ số giá trị đa thức 1.3 Đa thức với yếu tố giải tích 1.4 Phép chia đa thức Ước bội 1.5 Nghiệm đa thức 1.6 Đa thức bất khả quy Đa thức lượng giác ứng dụng 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Một số tính chất 2.2 Biểu diễn số đa thức lượng giác đặc biệt 2.2.1 Định nghĩa đa thức Chebyshev 2.2.2 Tính chất đa thức Chebyshev 2.2.3 Ước lượng đa thức đại số khoảng định lý Bernstein- Markov 2.3 Một số phương pháp tính tổng đa thức lượng giác 2.3.1 Phương pháp sai phân 2.3.2 Phương pháp đại số 2.3.3 Phương pháp số phức 2.3.4 Phương pháp đạo hàm Kết luận 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 11 12 16 18 22 22 22 23 23 24 25 28 28 29 31 32 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sỹ tơi hồn thành với tên đề tài "Đa thức đa thức lượng giác" Những kết ban đầu mà thu nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Nông Quốc Chinh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Khoa Toán- Tin Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho tài liệu thủ tục hành để tơi hồn thành luận văn thời gian vừa qua Đội ngũ cán phòng đào tạo Khoa Tốn- Tin hết lịng ủng hộ, giúp đỡ lớp Cao học Tốn K4C chúng tơi với thái độ nhiệt tình thân thiện Điều ấn tượng tốt đẹp lịng chúng tơi nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn học phổ thơng, đa thức đa thức lượng giác nội dung khó học sinh, đặc biệt đại số hình học Nhiều tốn có lời giải phức tạp giải phương pháp đại số lại cho lời giải dễ dàng hiệu phương pháp lượng giác Thực tế, phương pháp giải toán đa thức đa thức lượng giác nói chung biết đến nhiều q trình giải tốn bậc trung học phổ thơng, nhiên phần ứng dụng đại số vấn đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc học phổ thông, đồng thời phát ứng dụng đa dạng đại số ln đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Luận văn "Đa thức đa thức lượng giác" trình bày số vấn đề liên quan đến mảng đa thức đa thức lượng giác ví dụ minh họa cụ thể MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài "Đa thức đa thức lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức đa thức đa thức lượng giác phương pháp giải dạng tập chương trình trung học phổ thơng ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình sách chuyên đề đa thức, đa thức lượng giác, báo toán học viết đa thức đa thức lượng giác, nhằm hệ thống dạng toán liên quan đến đề tài nghiên cứu Đối tượng khảo sát đề tài luận văn vấn đề đa thức, 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hàm lượng giác PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi nội dung kiến thức từ xếp, trình bày hệ thống khai thác ứng dụng theo đề tài nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên toán, kinh nghiệm giảng dạy bạn học viên lớp, đồng thời sử dụng trang web www.diendantoanhoc.net, www.mathlinks.ro để học hỏi trao đổi kinh nghiệm Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học đại số, lượng giác, phát triển lực giải toán cho học sinh trường trung học phổ thông đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Một số vấn đề đa thức Chương Đa thức lượng giác ứng dụng 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số vấn đề đa thức 1.1 Định nghĩa phép toán 1.1.1 Định nghĩa (i) Cho hàm số f : R Ñ R Ta gọi f đa thức f số ❉n € Z  , n ➙ số thực a0 , a1 , a2 , , an với a0 ✘ cho f ♣xq ✏ an xn   an✁1 xn✁1     a1 x   a0 , an ✘ hệ số cao nhất, a0 hệ số tự Đặc biệt an ✏ f gọi đa thức chuẩn tắc hay mơnic (ii) Với an ✘ n bậc đa thức f(x), ký hiệu degf ✏ n Đặc biệt, f số degf ✏ (iii) Hai đa thức có bậc hệ số tương ứng Đôi ta viết gọn f ♣xq ✏ n ➦ i✏0 x n✁ i f ♣xq ✏ 1.1.2 Định nghĩa Với hai đa thức f ♣xq Ta định nghĩa tổng f ♣xq n➦  m j ✏0 cj   g♣xq ✏ k ➦ n ➦ k ✏0 bk xk ✏ ➦ aixn✁i, g♣xq ✏ n n ➦ i✏0 k ✏0 ♣ai   biqxk✁i, i✏0 tích f ♣xqg ♣xq cj xn m✁i phép hợp thành f✆ g ♣xq ✏ f ♣g ♣xqq k ✏ ➦ i t✏j bi xn✁i ✏ ✏ maxtm; n✉, b t 1.1.3 Bổ đề Cho f ♣xq, g ♣xq, h♣xq € Rrxs Khi (i) deg♣f ♣xq   g ♣xqq ↕ maxtdeg f ♣xq, deg g ♣xq✉ (ii) Nếu f ♣xq ✘ g ♣xq ✘ f ♣xqg ♣xq ✘ deg♣f ♣xqg ♣xqq ✏ deg f ♣xq   deg g ♣xq 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) Nếu f ♣xq ✘ f ♣xqg ♣xq ✏ f ♣xqh♣xq g ♣xq ✏ h♣xq 1.1.4 Ví dụ Cho đa thức sau: f ♣xq ✏ x3 ✁ 2x2   x ✁ 1, g ♣xq ✏ 4x2 ✁ x   3, h♣xq ✏ ✁x3   x2   Xác định f ♣xq   g ♣xq;f ♣xqg ♣xq;g✆ h♣xq Giải Ta có f ♣xq   g ♣xq ✏ x3 ✁ 2x2   x ✁   4x2 ✁ x   ✏ x3   2x2   f ♣xqg ♣xq ✏ ♣x3 ✁ 2x2   x ✁ 1q.♣4x2 ✁ x   3q ✏ 4x5 ✁ 9x4   9x3 ✁ 11x2   4x ✁ g✆ h♣xq ✏ g ♣h♣xqq ✏ 4♣✁x3   x2   8q2 ✁ ♣✁x3   x2   8q   ✏ 4x6 ✁ 8x5   4x4 ✁ 63x3   63x2   251 1.1.5 Ví dụ Tìm đa thức f ♣xq trường hợp a) f ♣x   1q ✏ x2   5x ✁ b) f ♣x ✁ 2q ✏ x3 ✁ 6x2   12x   Giải a) Đặt t thành ✏ x   suy x ✏ t ✁ f ♣x   1q ✏ x2   5x ✁ trở f ♣tq ✏ ♣t ✁ 1q2   5♣t ✁ 1q ✁ ✏ t2   3t ✁ Vậy f ♣xq ✏ x2   3x ✁ b) Ta có f ♣x ✁ 2q ✏ x3 ✁ 6x2   12x   ✏ ♣x ✁ 2q3   16 Vậy f ♣xq ✏ x3   16 1.1.6 Ví dụ Tìm tất đa thức khác khơng P ♣xq thỏa mãn đồng thức P ♣x2 q ✑ rP ♣xqs2 , x € R 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Giả sử đa thức cần tìm có dạng P ♣xq ✏ an xn   an✁1 xn✁1     a1 x   a0 , an Giả thiết hệ số an✁1 , an✁2 , , a0 (k ➔ n) cho ak ✘ Khi ta có ✘ ✘ chọn số k lớn P ♣x2 q ✑ an x2n   ak x2k     a1 x2   a0 ✑ ♣anxn   ak xk     a1x   a0q2 ✑ rP♣xqs2 Cân hệ số xn k ta nhận ✏ 2an ak Điều trái với giả thiết an ✘ Suy an✁1 ✏ an✁2 ✏ ✏ a1 ✏ a0 ✏ P ♣xq ✏ an xn Từ điều kiện an x2n ✑ P ♣x2 q ✑ rP ♣xqs2 ✑ a2n x2n ta nhận an ✏ Vậy P ♣xq ✏ xn , n € Z  1.2 Hệ số giá trị đa thức € Rrxs,degf ✏ n n ➦ n n✁ Nếu viết f ♣xq ✏ an x   an✁1 x     a1x   ao ✏ aixi hệ số 1.2.1 Định nghĩa Cho f theo xk ak i✏0 1.2.2 Định nghĩa Cho f ♣xq ✏ an xn   an✁1 xn✁1     an✁1 x   a0 , g ♣xq ✏ bm xm   bm✁1 xm✁1     bm✁1 x   b0 , ta nói đa thức f ♣xq đồng với g ♣xq, kí hiệu f ✑ g n ✏ m ✏ bi , i ✏ 0, 1, , n Công thức nhị thức Newton ♣a   bqn ✏ an   nan✁1b   n♣n2!✁ 1q an✁2b2   n♣n ✁ 13!q♣n ✁ 2q an✁3b3     n♣n ✁ 1q ♣n ✁ k   n✁k k a b     nabn✁1   bn k! n ➦ ✏ ♣Cnk an✁k bk qvới Cnk ✏ k!♣nn!✁ kq! k ✏0 Tổng hệ số Cho đa thức P(x) sau khai triển, rút gọn dạng P ♣xq ✏ an xn   an✁1 xn✁1     ak xk     a1 x   a0 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 với cách viết hệ số ak theo lũy thừa xk Ta có P ♣1q ✏ an   an✁1     a0 , P ♣✁1q ✏ ♣✁1qn an  ♣✁1qn✁1 an✁1     ♣✁1qa1   a0 Suy P ♣1q   P ♣✁1q ✏ 2♣a0   a2   a4     a2m   q P ♣1q ✁ P ♣✁1q ✏ 2♣a1   a3   a5     a2m 1   q Do khai triển đa thức ta có Tổng hệ số P ♣1q; P ♣1q ✁ P ♣✁1q Tổng hệ số theo lũy thừa lẻ: ; P ♣1q   P ♣✁1q Tổng hệ số theo lũy thừa chẵn: 1.2.3 Ví dụ Tìm hệ số theo x3 đa thức sau khai triển tổng hệ số theo lũy thừa chẵn a) P ♣xq ✏ ♣x   1q3   ♣x   2q3   ♣x   4q4 b) Q♣xq ✏ ♣x   1q2 ♣x4   8x3 ✁ x2   1q Lời giải a) Ta có ♣x   aq3 khai triển hệ số theo x3 1; Mà ♣x   4q4 ✏ x4   4x3   6x2 42   4.x.43   44 nên hệ số theo x3 16; Vậy hệ số theo x3 P ♣xq sau khai triển 18 P ♣1q   P ♣✁1q 742 Tổng hệ số theo lũy thừa chẵn ✏ ✏ 371 b) Ta có Q♣xq ✏ ♣x2   2x   1q♣x4   8x3 ✁ x2   1q Vì x3 viết thành x3 ✏ x3 x0 ✏ x2 x1 nên hệ số theo x3 ✁2   ✏ Q♣1q   Q♣✁1q 36   ✏ ✏ 18 Tổng hệ số theo lũy thừa chẵn 1.2.4 Ví dụ Tìm hệ số tổng hệ số sau khai triển a) Theo xm khai triển P ♣xq ✏ ♣1   xqn , ↕ m ↕ n; b) Theo x8 khai triển Q♣xq ✏ ♣x   4q50   ♣3x2 ✁ 5q41 Lời giải a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton P ♣xq ✏ ♣1   xq n ✏ n ➳ k ✏0 Cnk 1n✁k xk Do hệ số theo xm Cnm ♣0 ↕ m ↕ nq bqQ(x) = (x + 4)50  ♣3x2   ♣✁5qq41 ✏ n ➳ k ✏0 Cnk xk ✏ ➦ C50i x50✁i.4i  ➦ C41j ♣3x2q41✁j ♣✁5qj 50 41 i✏0 j ✏0 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Chương Đa thức lượng giác ứng dụng 2.1 Định nghĩa n ➦ ♣ak cos kx   bk sin kxq ♣2.1q k ✏1 a0 , ak , bk € ♣k € t1, 2, , n✉q; ⑤an ⑤   ⑤bn ⑤ ✘ 0♣n € N✝ q gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk € R♣k € 1, 2, , nq 2.1.2 Định nghĩa Nếu đa thức (2.1) tất hệ số bk ♣k € 1, 2, , nq ta có đa thức lượng giác cấp n cos Cn ♣xq ✏ a0   a1 cos x   a2 cos 2x     an cos nx, ♣an ✘ 0q♣2.2q Nếu đa thức (2.1) tất hệ số ak ♣k € 1, 2, , nq 2.1.1 Định nghĩa Biểu thức Ln ♣xq ✏ a0   ta có đa thức lượng giác cấp n sin Sn ♣xq ✏ a0   b1 sin x   b2 sin 2x     bn sin nx, ♣bn 2.1.1 ✘ 0q.♣2.3q Một số tính chất Tính chất Cho Lm ♣xq Ln ♣xq hai đa thức lượng giác Khi a) Lm ♣xq   Ln ♣xq đa thức lượng giác bậc k , với k ↕ max tm, n✉; bqLm ♣xq.Ln ♣xq đa thức lượng giác bậc m   n Tính chất Với đa thức lượng giác Ln ♣xq dạng (2.1) luôn tồn đa thức đại số Pn ♣tq Qn✁1 ♣tq cho Ln ♣xq ✏ Pn ♣cos xq   sin xQn✁1 ♣cos xq Tính chất Với Sn ♣xq dạng (2.3) luôn tồn đa thức đại số Qn✁1 ♣tq để Sn ♣xq ✏ b0   sin xQn✁1 ♣cos xq Tính chất Với Sn ♣xq dạng (2.3) ln tồn đa thức đại số Pn ♣tq để Cn ♣xq ✏ Pn ♣cos xq Trong Pn ♣tq đa thức bậc n t có hệ số an 2n✁1 22Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Ngược lại, với đa thức Pn ♣tq với hệ số từ phép đặt ẩn phụ t ✏ cosx ta biến đổi đa thức Cn ♣xq dạng (2.2) với an ✏ 21✁n Bài toán Cho đa thức lượng giác f ♣xq ✏ cos 4x   a cos 2x   b sin 2x Chứng minh a) f ♣xq nhận giá trị dương âm với a, b; b) Nếu f ♣xq ➙ ✁1, ❅x a ✏ b ✏ Chứng minh a) Theo ✁giả✠thiết: f ♣xq ✏ cos 4x   a cos 2x   b sin 2x π Ta có f ♣0q ✏   a; f ✏ ✁ a ✁π ✠ Suy f ♣0q   f ✏ → nên f ♣xq có giá trị dương ✁π ✠ ✁ π✠ Ta có f ✏ ✁1   b, f ✁ ✏ ✁1 ✁ b ✁4π ✠ ✁ π✠ Suy f   f ✁ ✏ ✁2 ➔ nên f ♣xq có giá trị âm 4✁ π✠ ✏ ✁1 ✁ b ➙ ✁1 ñ b ↕ f ✁ b) Ta có ✁ π ✠4 ✏ ✁1   b ➙ ✁1 ñ b ➙ f Do b ✏ Nên f ♣xq ➙ ✁1 ô cos4x   a cos 2x ➙ ✁1, ❅x ô 2t2   at ➙ 0, ❅t € r✁1; 1s ♣với t ✏ cos2xq ôa=0.V ya=b=0 2.2 2.2.1 Biểu diễn số đa thức lượng giác đặc biệt Định nghĩa đa thức Chebyshev Định nghĩa 1: Các đa thức Tn ♣xq♣n € Nq xác định sau: ✧ T0 ♣xq ✏ 1; T1 ♣xq ✏ x, Tn 1 ♣xq ✏ 2xTn ♣xq ✁ Tn✁1 ♣xq, ❅n → gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Định nghĩa 2: Các ✧ đa thức Un ♣xq♣n € Nq xác định sau: U0 ♣xq ✏ 0; U1 ♣xq ✏ 1, Un 1 ♣xq ✏ 2xUn ♣xq ✁ Un✁1 ♣xq, ❅n → gọi đa thức Chebyshev (loại 2) 23Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 2.2.2 Tính chất đa thức Chebyshev * Tính chất đa thức Tn ♣xq Tính chất 1: Tn ♣xq ✏ cos♣n arccos xq với x € r✁1; 1s Tính chất 2: Tn ♣xq € Z rxs bậc n có hệ số bậc cao 2n✁1 hàm chẵn n chẵn; hàm lẻ n lẻ Tính chất 3: Tn ♣xq có n nghiệm đoạn r✁1; 1s là: xk ✏ cos 2k2n 1 π, ♣k ✏ 0, 1, , n ✁ 1q Tính chất 4: ⑤Tn♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € r✁1; 1s , ⑤Tn♣xq⑤ ✏ n   điểm x ✏ cos kπn , k € Z Các điểm x gọi nút nội suy Chebyshev Tn ♣xq ✏ ♣✁1qk * Tính chất đa thức Un ♣xq Tính chất 1: ♣n arccos xq , ❅x € ♣✁1; 1q Un ♣xq ✏ sin❄ ♣1✁x q Tính chất 2: ✶ nt Un ♣xq ✏ n1 Tn ♣xq = sin sin t , cos t ✏ x đa thức bậc n ✁ có hệ số bậc cao 2n✁1 hàm chẵn n lẻ; hàm lẻ n chẵn Tính chất 3: ⑤Un✞♣x✶q⑤ ↕✞ n, ❅x € r✁1; 1s ✞Tn ♣xq✞ ↕ n2 , ❅x € r✁1; 1s Trường hợp ⑤x⑤ ➙ 1, xét hàm: shx ✏ 21 ♣ex ✁ e✁x q chx ✏ 12 ♣ex   e✁x q thì: ♣ntq Tn ♣xq ✏ ch♣ntq, Un ♣xq ✏ shsht x ✏ cht 24Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 2.2.3 Ước lượng đa thức đại số khoảng định lý Bernstein- Markov Bài toán ước lượng đa thức gồm nhiều dạng toán khác nhau, ước lượng miền giá trị đa thức tập cho trước, ước lượng hệ số đa thức, ước lượng nghiệm đa thức, ước lượng giá trị đạo hàm, Trong phần này, ta có sử dụng cơng thức nội suy Lagranger Trước hết, xin nêu lại công thức Đồng thức Lagranger αn 1 q ♣x✁α1 q♣x✁α2 q ♣x✁αn q f ♣xq ✏ f ♣α1 q ♣α♣1x✁✁αα22q♣q♣αx1✁✁αα33qq ♣♣xα✁1 ✁ αn 1 q    f ♣αn 1 q ♣αn 1 ✁α1 q♣αn 1 ✁α2 q ♣αn 1 ✁αn q Hay: f ♣xq ✏ n➦  1 j f ♣αj q n➧  1 x✁αi αj ✁αi i✏1 i✘j Bài tốn 2: bậc khơng vượt q n ✁ có hệ số bậc cao Cho đa thức Pn✁1 ♣xq ❄ a0 , thỏa mãn điều kiện: ✁ x2 ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € r✁1, 1s Chứng minh rằng: ⑤a0 ⑤ ↕ 2n✁1 Lời giải: Ta viết đa thức cho dạng nội suy Lagrange theo nút nội ✁1 π nghiệm đa thức Chebyshev T ♣xq suy xj ✏ cos 2j2n n Pn✁1 ♣xq ✏ Suy ra: a0 n ✏ n ➦ j ✏1 Vậy nên: ⑤a0 ⑤ j ✁1 ♣✁1q 2n✁1 n ↕ n ➦ j ✏1 2n✁1 n ❜ ✁ x2j Pn✁1 ♣xj q Txn✁♣xxjq ♣✁1q j ✁1 ❜ n ✞❜ ➦ ✞ ✞ j ✏1 ✁ x2j P ♣xj q ✁ x2j P ✞ ✞ xj ✞ ♣ q ↕ 2n✁1 n n ✏ 2n✁1.♣ điều phải chứng minh) Bài toán 3: Cho đa thức Pn✁1 ♣xq có❄bậc bé n hệ số bậc cao a0 , thỏa mãn điều kiện: ✁ x2 ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € r✁1, 1s Chứng minh rằng: ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € r✁1, 1s Lời giải: Với xj chọn tốn hàm số y ✏ cosx nghịch biến ♣0; π q nên ✁1 ➔ xn ➔ xn✁1 ➔ ➔ x2 ➔ x1 ➔ Nếu x1 ➔ x ➔ n ✞❜ ➦ ✞ ✞ ✞ ✞ xj ✞ ⑤⑤Txn✁♣xxjq⑤⑤ ↕ n1 ➦ ♣Tx✁♣xxqq ♣1q j ✏1 j ✏1 (do x ✁ xj → Tn ♣xq có dấu khơng đổi ♣x1 ; 1sq ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ n ✁ x2j Pn✁1 ♣ q 25Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n n j http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Mặt khác thì: Tn ♣xq ✏ 2n✁1 Nên ta có: Tn ♣xq ✏ ✶ ✞ ✞ ✞ ✶ Tn ♣xq n✁1 ✞ ✞ ✞ n ➦ k ✏1 n ➧ j ✏1 ♣x ✁ x j q ♣x✁xj q ♣x✁xk q n ➧ ✏ j ✏ n ➦ k ✏1 Tn ♣xq x✁ xk ♣ 2q Lại có: n ✏ ⑤Un ♣xq⑤ ↕ n Nên từ (1) (2) suy ra: ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € ♣x1; 1s Tương tự ta có: ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € r✁1, xn q Xét: ta có: ❄ xn2↕ x❛↕ x1 Khi π ✁ x ➙ ✁ x21 ✏ sin ♣arccos x1 q❄✏ sin 2n π Do ➙ sinx x ➙ π2 , sin 2n ➙ 2nπ n2 ✏ n1 ✁ x2 ➙ n1 suy ra: ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ 11 ✏ n Như ta chứng minh ⑤Pn✁1 ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € r✁1, 1s Bài toán 4: Cho đa thức lượng giác P ♣tq ✏ a1 sin t   a2 sin 2t     an sin ♣ntq Thỏa mãn điều kiện: ✞ ⑤P✞ ♣tq⑤ ↕ 1, ❅t € R③ t , ✁2π, ✁π, 0, π, 2π, ✉ n Chứng minh rằng: ✞ Psin♣ttq ✞ ↕ n, ❅t € R③ t , ✁2π, ✁π, 0, π, 2π, ✉ ✞ ✞ Lời giải: Nhận xét Psin♣ttq ✏ Pn✁1 ♣cos tq với Pn✁1 ♣xq đa thức loại Đặt cos t ✏ x Khi ❄ ⑤x⑤ ↕ P ♣tq ✏ sin Pn✁1 ♣cos tq ✏ ✁ x2Pn✁1 ♣xq Ta thấy Px thỏa mãn điều kiện nên ⑤Pn✁1 ♣x✞ q⑤ ↕✞ n, ❅x € r✁1, 1s Do ✞ Psin♣ttq ✞ ↕ n, ❅t € R③ t , ✁2π, ✁π, 0, π, 2π, ✉ ✞ ✞ Bài toán 5: Cho đa thức lượng giác: P ♣xq ✏ n ➦ ♣aj cos jx   bj sin jxq Thỏa mãn điều kiện: ⑤P ♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € R Chứng minh rằng: ⑤P ✶ ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € R j ✏0 Lời giải: Cho x0 tuỳ ý Do 26Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 cos ♣x0 ✁ xq ✁ cos ♣x0   xq ✏ sin x0 sin x sin ♣x0   xq ✁ sin ♣x0 ✁ xq ✏ cos x0 sin x nên g ♣xq ✏ P ♣x0  xq✁P ♣x0 ✁xq ✏ n ➦ j ✏0 P ✶ ♣x0  xq P ✶ ♣x0 ✁xq cj sin jx Suy g ✶ ♣xq ✏ Và g ✶ ♣0q ✏ P ✶ ♣x0 q Ta chứng minh ⑤g ✶ ♣0q⑤ ↕ n Thật vậy,✞ g ♣xq đa thức✞ lượng giác chứa sin và: P ♣x ✁xq⑤ ⑤g ♣xq⑤ ✏ ✞✞ P ♣x  xq✁2 P ♣x ✁xq ✞✞ ↕ ⑤P ♣x✞  xq⑤ ⑤ ↕1 ✞ ✞ g ♣ xq ✞ Nên theo kết ✞ sin x ✞ ↕ n, 0 0 ❅x € R③ t , ✁2π, ✁π, 0, π, 2π, ✉ Nhưng g ♣0q ✏ ✞ ✞ suy ✞ g♣xq✁g♣0q x ✞ ✞ x✁0 sin x ✞ ↕ n, ❅x € R③ t , ✁2π, ✁π, 0, π, 2π, ✉ Nên x Ñ 0: g ♣xq ✁ g ♣0q x✁0 , x sin x Ñ g✶ ♣0q Ñ1 Ta nhận được: ⑤g ✶ ♣0q⑤ ↕ n Từ ta có ⑤P ✶ ♣x0 q⑤ ↕ n Nhưng x0 chọn tùy ý nên suy ⑤P ✶ ♣xq⑤ ↕ n, ❅x € R Bài toán 6:(Định lý Berstein-Markov) Cho đa thức Pn ♣xq ✏ a0 xn   a1 xn✁1     an Thỏa mãn điều kiện ⑤Pn ♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € r✁1; 1s Chứng minh đó: ⑤P ✶n ♣xq⑤ ↕ n2 , ❅x € r✁1; 1s Lời giải: Đặt x ✏ cos a Khi theo giả thiết ⑤Pn ♣cos aq⑤ ↕ Do Pn ♣cos aq có dạng Pn ♣cos aq ✏ n ➦ j ✏0 ♣aj cos jα   bj sin jαq 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 ❄ ✞ ✶ ✞ Áp dụng kết 5, ta được: ⑤sin α.P ✶n ♣cos αq⑤ ↕ n ñ ✁ x2 ✞ P nn♣xq ✞ ↕ ✞ ✞ ✶ ✞ ✞ ✞ Cũng theo 5, ta có: ✞ P nn♣xq ✞ ✞ ↕n Suy ⑤P ✶ ♣xq⑤ ↕ n2 ♣ điều phải chứng minh) * Nhận xét: Dựa vào Định lý Berstein-Markov, sau áp dụng liên tiếp kết định lí này, kết sau: ✞ ta thu ✞ ♣ k q Nếu ⑤Pn ♣xq⑤ ↕ 1, ❅x € r✁1; 1s ✞P ♣xq✞ ↕ rn ♣n ✁ 1q ♣n ✁ 2q ♣n ✁ k   1qs2 , ❅x € r✁1; 1s 2.3 Một số phương pháp tính tổng đa thức lượng giác Bài tốn tính tổng dạng quen thuộc khơng đơn giản giải tốn lượng giác Thường dạng tốn lồng ghép vào tốn bước trung gian Tuy vậy, khơng phải bước dễ dàng Trong phần sau đây, xin đề cập số phương pháp mấu chốt để giải dạng tốn này: phương pháp sai phân, phương pháp đại số, phương pháp số phức phương pháp đạo hàm Như vậy, ta thấy toán giải nhiều cách khác 2.3.1 Phương pháp sai phân Cơ sở phương pháp - Phương pháp xoay quanh việc chuyển từ số ak dạng ak ✏ f ♣k   1q ✁ f ♣k q, nói cách khác biểu diễn số hạng biểu thức sai phân - Ta có: n ➦ i✏1 ui ✏ n ➦ i✏1 rf ♣i   1q ✁ f ♣iqs ✏ f ♣n   1q ✁ f ♣1q Để sử dụng phương pháp ta có cần nhớ nhiều tính chất lượng giác Cụ thể số công thức lượng giác như: 1) sin a sin b ✏ cos ♣a ✁ bq ✁ cos ♣a   bq 2) sin a cos b ✏ sin ♣a   bq   sin ♣a ✁ bq 1 3) cos ✏ sin✁12 x x ✁ sin2 x ✏ cot g2x ✁ cot gx 4) sin 2x 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 5) tgx ✏ cot gx ✁ cot g2x 6) sin an 1sinn 1 ✏ sin1 d ♣cot gan ✁ cot gan 1 q 7) tgan  1 ✁ tgan ✏ sin1 d ♣tgan 1 ✁ tgan q Ví dụ minh họa Ví dụ Cho cấp số cộng, cơng sai d Tính: Sn ✏ n ➦ k ✏1 sin ak Lời giải ✏   ✟ ✘ d d ✏ sin r a   ♣ k ✁ q d s sin ✏ cos a   k ✁ Ta có: sin a sin 1 k✟ ✘ 2 d ✁ ✏   cos a1   k ✁ 21 d✏   ✟ ✘ Xét g ♣k q ✏ cos a1   k ✁ 32 d Ta có: sin ak sin d2 ✏ g ♣k q ✁ g ♣k   1q   ✟   ✟ Vậy sin d2 Sn ✏ g ♣1q ✁ g ♣n   1q ✏ ✁2 sin a1   n✁2 d sin ✁2n d ✁ ñ Sn ✏ sin♣a   sindq sin♣ dq n n d Ví dụ Cho cấp số cộng tan ✉,cơng sai d Tính: ✏ ➦ 21 tg 2a n Sn i✏1 i i Lời giải Ta áp dụng tính chất trên: a a a 2k tg 2k ✏ 2k cot g 2k ✁ 2k✁1 cot g 2k✁1 Đặt: f ♣k q ✏ 21k cot g 2ak Khi đó: Sn ✏ f ♣1q ✁ f ♣0q   f ♣2q ✁ f ♣1q     f ♣nq ✁ f ♣n ✁ 1q ✏ f ♣nq ✁ f ♣1q ✏ 21n cot g 2an ✁ cot ga 2.3.2 Phương pháp đại số Cơ sở phương pháp Cơ sở phương pháp dựa phép biến đổi Abel Định lý phát biểu sau: Định lý: Cho dãy tan ✉ tbn ✉ Xét dãy số tBn ✉ tSn ✉ Trong đó: 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 ✏ Sn n ➦ k ✏1 ak bn ; Bn Thế thì: Sn ✏ Chứng minh n ➦ k ✏1 n ➦ k ✏1 n ➦ ✏ bk k ✏1 ♣ak ✁ ak 1q Bk   an 1.Bn ♣ak ✁ ak 1q Bk   an 1.Bn ✏ ✏ a1 b   n➦ ✁1 k ✏1 n ➦ ak 1 ✁ n➦ ✁1 k ✏1 ak Bk ✁ ✏ a1b1   n ➦ k ✏1 n ➦ k ✏1 ak 1 Bk   an 1 Bn ak ♣Bk ✁ Bk✁1 q ✏ Sn Hệ quả: Cho cấp số cộng tan ✉với công sai d cấp số nhân tbn ✉với công bội q ✘ ✑ n   ✟ ✙ b ➦ q n n✁ n Sn ✏ ak bk ✏ ♣1 ✁ q q a1   1✁q ✁ nq   ♣n ✁ 1q q d 1✁q ✏ a1 b   k ✏2 ak b k ✏ k ✏1 n ➦ ak 1 Bk n ➦ k ✏1 ak bk k ✏1 Định lý Viét: Nếu đa thức P ♣xq có: n ➦ k ✏1 xk ➦ ✏ ➦ aixn✁i ♣a ✘ 0qcó n nghiệm x1, x2, , xn ta n i✏0 ✏ ✁aa o 1↕i↕j ↕n xi xj x1 x2 xn ✏ aa ✏ ♣✁1qn aa n Ví dụ minh họa Ví dụ Cho tak ✉ cấp số cộng Tính: Sn ✏ n ➦ k ✏1 k sin ak Lời giải Áp dụng định lý Abel: n➦ ✁1 n✁ rk ✁ ♣k   1qs Bn ✁ n.Bn ✏ ✁ ➦ Bk   n.Bn k ✏1 k ✏1 n➦ ✁1 cos♣a ✁ q✁cosra  ♣k✁ qds ✁ ✏✁   n sin♣a   dq sin♣ dq Sn ✏ k ✏1 d 1 2 sin d2 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n n sin d2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Ví dụ π Tính: S ✏ tg 18   tg2 5π18   tg2 7π18 Lời giải Phương pháp: Ta cần tìm phương trình phù hợp để áp dụng định lý Viét π x ✏ ♣2k   1q 18 ô 3x ✏ π6 ♣2k   1q ✏✁ π6   k π3 ✠ ✏   ✟✘ ✁tg x ✏ ñ ♣tg3xq2 ✏ tg π6   k π3 ✏ 13 ñ 3tgx 1✁3tg x ô 3tg x ✁ 27tgx   33tg x ✁ ✏ Đặt t ✏ tg x, ta có: 5π 7π Phương trình: 3t3 ✁ 27t2   33t ✁ ✏ 0có nghiệm: tg 3π 18 ; tg 18 ; tg 18 π Theo Viét:tg 18   tg2 5π18   tg2 7π18 ✏ Vậy: S ✏ 2.3.3 Phương pháp số phức Cơ sở phương pháp Phương pháp chủ yếu dựa công thức: 1) Công thức Moivre:❅α € Rvà n € N ♣cos α   i sin αqn ✏ cos nα   i sin nα 2) Công thức Euler: ❅α € R iα ✁iα cos α ✏ e  2e iα ✁iα sin α ✏ e ✁2ie Hệ quả: α ✏ α α✘ α Ta có: 1✁eiα ✏ ei e✁i ✁ ei ✏ ✁2i sin α2 ei ñ 1✁eiα ✏ ✁2i sin α2 ei α Ví dụ minh họa Ví dụ Tính: n ➦ Sn ✏ k ✏1 ♣✁1qk✁1 cos kx Lời giải Ta xét tổng: n ➦ k ✏1 ♣✁1q k ✁1 cos kx  ✏ ♣cos x   i sin xq n ➦ ♣✁1q k ✁1 sin kx ✏ k ✏1 n n 1✁♣✁1q ♣cos x i sin xq 1 ♣cos x i sin xq 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n ➦ k ✏1 ♣✁1qk✁1 ♣cos x   i sin xqn http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 qxs rsin x✁♣✁1q sin♣n 1qxsi ✏ rcos x✁♣✁1q cos♣n♣1  1cos xq i sin i ✏ cos r♣cos x ✁ ♣✁1qn cos ♣n   1q xq ♣1 ✁ cos xq  sin x ♣sin x ✁ ♣✁1qn sin ♣n   1 r♣1✏  cos xq ♣sin x ✁ ♣✁1qn sin ♣n   1q xq✘ ✁ sin x ♣✏cos x ✁ ♣✁1qn cos ♣n   1q cos ✏ cos1   cos x ✁ ♣✁1qn cos 2n2 1 x cos x2   cos1 sin x ✁ ♣✁1qn sin 2n2 1 x.co     ✏ cos ✁♣✁2 1cosq cos x   sin ✁♣✁2 1cosq sin x i n n x 2 x 2 x x n x Từ suy ra: + Với n chẵn: Sn + Với n lẻ: Sn x 2n ✏ ✏ sin n x 2n 2 x   n n x sin x x cos cos n x sin n2 x cos x2   Ví dụ Tính: n ➦ k Sn ✏ Cn cos r♣k   1q xs k ✏0 n ➦ Nhận xét: Ta cần nhớ lại công thức nhị thức Newton:♣a   bqn k ✏1 Cnk ak bn✁k ✏ Kết hợp với cơng thức Moivre ta giải tốn Lời giải Ta có: Sn   iTn ✏ n ➦ k ✏0 Cnk rcos ♣k   1q x   sin ♣k   1q xs n ➦ ✏ Cnk rcos x   i sin ask 1 k ✏0 Do ta đặt:t ✏ cos x   i sin x n ñ Sn   iTn ✏ ➦ Cnk tk 1 ✏ t ♣t   1qn k ✏0 ✏ ♣cos x   i sin xq ♣cos x   1   i sin xqn ✟ ✏ 2n cos nx2 ♣ cos x   i sin xq cos nx2✟   i sin nx2 ✏ 2n cos nx2 cos n 2 x   i sin n 2 x n  Từ suy ra: Sn ✏ 2n cos nx cos x Áp dụng Moivre:Sn   iTn 2.3.4 Phương pháp đạo hàm Cơ sở phương pháp Phương pháp sử dụng đạo hàm để tính tổng dựa nguyên lý sau: Nếu cách biết trước tổng P ♣xq nhận giá trị m Mặt 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 khác tổng S ♣xq cần tính đạo hàm cấp k hay có dạng liên quan ta có : P ✏ m ; S ✏ P ♣kq ñ S ✏ m♣kq Các dạng thường gặp là: S ♣xq ✏ P ✶ ♣xq ✶ S ♣xq ✏ ♣xP ♣xqq ✶ S ♣xq ✏ ♣ln ⑤P ♣xq⑤q ✶ S ♣xq ✏ rf ♣P ♣xqqs ñ S ♣xq ✏ P ✶ ♣xq.f ✶ ♣xq Khi giải ta nên xét khả xảy để đạo hàm có nghĩa Ví dụ minh họa Ví dụ Tính tổng: Sn ✏ n ➦ k ✏1 k sin kx Lời giải Như nói trên, ta cần biết kết sau để tiến hành giải tóan phương pháp này: n ➦ ♣   xq sin♣ xq sin♣ q sin kx ✏ sin Chú ý rằng: ✡ k ✏1 ✂ n ➦ n n x n ✑ ➦ ✶✙ ✏ ✁ ♣cos kxq ✏ ✁ k ✏1 ✒ ✚④ cos♣   xq sin♣ xq ñ Sn ✏ ✁ sin♣ q k ✏1 k sin kx n ✂ n ➦ k ✏1 ✡✶ cos kx n x Ví dụ Cho x ✘ k 2nπ 1 với k ✏ ➦ tg♣2 xq2sin♣2 xq n Sn i✏1 € Z, n € N ✝ Hãy tính tổng: i i i Nhận xét: Bài toán cho ta cảm giác liên quan đến tổng sau: ✏ ➦ sin♣12 xq ✏ cot gx ✁ cot g ♣2nxq n Tn i✏1 i Lời giải Để ý thấy rằng: 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 ✑ sin♣2k xq ✙✶ = ✁2k k tg ♣ q sin♣2 xq 2k x ✏ ✁ ♣Tnnq✶ ➦ ✶ n ♣ cot gx ✁ cot g2 q Suy Sn ✏ ✏ ✁ x = sin1 x ✁ sin 2♣2 xq tg ♣2 xq sin♣2 xq Vậy Sn n k k ✏1 k k 2 n Có thể nói, tính tổng giá trị lượng giác phần định nhiều tốn Nhưng tính tổng giá trị lượng giác cần áp dụng hay tổng hợp phương pháp nêu Tuy nhiên, phương pháp có ưu, khuyết điểm riêng -Đối với phương pháp sai phân: ưu điểm sử dụng kiến thức bản, dễ thực cần nhớ nhiều công thức đẳng thức -Đối với phương pháp đại số: khai triển Abel mạnh lại dựa số tổng có sẵn áp dụng lại, cịn áp dụng Viét tính hữu hạn giá trị, khơng thể tính cho trường hợp tổng quát -Đối với phương pháp số phức: chứng minh độc đáo, hấp dẫn lại vượt ngồi chương trình phổ thơng nên dùng việc tìm hiểu thêm tốn học Đây phương pháp tham khảo nên phần ta không sâu -Đối với phương pháp đạo hàm: tương tự phương pháp đại số, dựa tổng có sẵn Ưu điểm nhanh, trình bày gọn, điểm yếu sử dụng lại số đẳng thức quen thuộc Tóm lại phương pháp nêu khơng có phương pháp hồn thiện Ta cần kết hợp phương pháp khéo léo giải trọn vẹn toán Trong phạm vi luận văn này, tác giả muốn đề cập đến để độc giả tham khảo làm phong phú vốn kiến thức lượng giác 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Kết luận Luận văn trình bày theo hướng hệ thống kiến thức đa thức đa thức lượng giác, đồng thời dựa sở đặc biệt khai thác sâu số ứng dụng đa thức lượng giác đại số Trong chương một, tác giả trình bày số vấn đề đa thức, bao gồm khái niệm bản, vấn đề liên quan đến đa thức số ví dụ minh họa Trong chương hai, tác giả trình bày số kiến thức đa thức lượng giác bao gồm khái niệm bản, biểu diễn số đa thức lượng giác đặc biệt đa thức Chebyshev số phương pháp tính tổng đa thức lượng giác Trong trình làm luận văn, tác giả có nhiều cố gắng, song chưa thể khai thác hết vấn đề liên quan đến luận văn Hy vọng thời gian tới, tác giả tiếp tục khai thác sâu hoàn chỉnh cho đề tài 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Tài liệu tham khảo [1] Trần Lưu Cường, Nguyễn Nam Bắc, Tô Anh Dũng, Huỳnh Bá Lân,Toán Olympic cho sinh viên, NXB Giáo Dục, Cần Thơ 2000 [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [3] [4] [5] 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tác giả trình bày số kiến thức đa thức lượng giác bao gồm khái niệm bản, biểu diễn số đa thức lượng giác đặc biệt đa thức Chebyshev số phương pháp tính tổng đa thức lượng giác Trong trình làm luận... chuyên đề đa thức, đa thức lượng giác, báo toán học viết đa thức đa thức lượng giác, nhằm hệ thống dạng toán liên quan đến đề tài nghiên cứu Đối tượng khảo sát đề tài luận văn vấn đề đa thức, 5Số... a) Lm ♣xq   Ln ♣xq đa thức lượng giác bậc k , với k ↕ max tm, n✉; bqLm ♣xq.Ln ♣xq đa thức lượng giác bậc m   n Tính chất Với đa thức lượng giác Ln ♣xq dạng (2.1) luôn tồn đa thức đại số Pn ♣tq