Luận văn: Đa thức và đa thức lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ BÁCH DIỆP ĐA THỨC VÀ ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời cảm ơn 4 Mở đầu 5 1 Một số vấn đề cơ bản về đa thức 7 1.1 Định nghĩa và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hệ số và giá trị đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đa thức với yếu tố giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Phép chia đa thức. Ước và bội . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Đa thức lượng giác và ứng dụng 22 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Biểu diễn một số đa thức lượng giác đặc biệt . . . . . . . . 23 2.2.1 Định nghĩa đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Tính chất của đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Ước lượng đa thức đại số trên một khoảng và định lý Bernstein- Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Một số phương pháp tính tổng các đa thức lượng giác . . . 28 2.3.1 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Phương pháp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Phương pháp số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.4 Phương pháp đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 35 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Tài liệu tham khảo 36 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Lời cảm ơn Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sỹ của tôi đã được hoàn thành với tên đề tài "Đa thức và đa thức lượng giác". Những kết quả ban đầu mà tôi thu được đó là nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Nông Quốc Chinh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán- Tin của Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và các thủ tục hành chính để tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian vừa qua. Đội ngũ cán bộ của phòng đào tạo và Khoa Toán- Tin đã hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp Cao học Toán K4C chúng tôi với một thái độ nhiệt tình và thân thiện nhất. Điều này sẽ mãi là ấn tượng rất tốt đẹp trong lòng mỗi chúng tôi đối với nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và những người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông, đa thức và đa thức lượng giác là một trong những nội dung khó đối với học sinh, đặc biệt là trong đại số và hình học. Nhiều bài toán có lời giải phức tạp hoặc không thể giải được bằng phương pháp đại số nhưng lại cho lời giải dễ dàng và hiệu quả bằng phương pháp lượng giác. Thực tế, phương pháp giải toán về đa thức và đa thức lượng giác nói chung đã được biết đến nhiều trong quá trình giải toán ở bậc trung học phổ thông, tuy nhiên phần ứng dụng của nó trong đại số vẫn luôn là vấn đề hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời sự phát hiện những ứng dụng đa dạng của nó trong đại số cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này. Luận văn "Đa thức và đa thức lượng giác" trình bày một số vấn đề liên quan đến mảng đa thức và đa thức lượng giác và những ví dụ minh họa cụ thể. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài "Đa thức và đa thức lượng giác" nhằm hệ thống các kiến thức về đa thức và đa thức lượng giác trong phương pháp giải các dạng bài tập trong chương trình trung học phổ thông. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình và các sách chuyên đề về đa thức, đa thức lượng giác, các bài báo toán học viết về đa thức và đa thức lượng giác, nhằm hệ thống các dạng toán liên quan đến đề tài nghiên cứu. Đối tượng khảo sát của đề tài luận văn là các vấn đề cơ bản của đa thức, các 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 hàm lượng giác cơ bản. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi của nội dung kiến thức từ đó sắp xếp, trình bày hệ thống và khai thác các ứng dụng theo đề tài nghiên cứu. Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán, kinh nghiệm giảng dạy của các bạn học viên trong lớp, đồng thời sử dụng các trang web www.diendantoanhoc.net, www.mathlinks.ro để học hỏi và trao đổi kinh nghiệm. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học đại số, lượng giác, phát triển năng lực giải toán cho học sinh trong trường trung học phổ thông và đem lại niềm đam mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 2 chương. Chương 1. Một số vấn đề cơ bản về đa thức. Chương 2. Đa thức lượng giác và ứng dụng. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản về đa thức 1.1 Định nghĩa và các phép toán 1.1.1 Định nghĩa. (i) Cho hàm số f : R R . Ta gọi f là đa thức nếu f là hằng số hoặc n Z , n 1 và các số thực a 0 , a 1 , a 2 , , a n với a 0 0 sao cho f x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 , trong đó a n 0 là hệ số cao nhất, a 0 là hệ số tự do. Đặc biệt a n 1 thì f gọi là đa thức chuẩn tắc hay mônic. (ii) Với a n 0 thì n là bậc của đa thức f(x), ký hiệu degf n. Đặc biệt, f là hằng số thì degf 0. (iii) Hai đa thức là bằng nhau nếu nó có cùng bậc và các hệ số tương ứng là bằng nhau. Đôi khi ta viết gọn f x n i 0 a i x n i hoặc f x n k 0 b k x k . 1.1.2 Định nghĩa. Với hai đa thức f x n i 0 a i x n i , g x n k 0 b i x n i . Ta định nghĩa tổng f x g x k i 0 a i b i x k i , tích f x g x n m j 0 c j x n m i và phép hợp thành f g x f g x trong đó k max m; n , c j i t j a i b t . 1.1.3 Bổ đề. Cho f x , g x , h x R x . Khi đó (i) deg f x g x max deg f x , deg g x . (ii) Nếu f x 0 và g x 0 thì f x g x 0 và deg f x g x deg f x deg g x . 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 (iii) Nếu f x 0 và f x g x f x h x thì g x h x . 1.1.4 Ví dụ. Cho các đa thức sau: f x x 3 2x 2 x 1, g x 4x 2 x 3, h x x 3 x 2 9. Xác định f x g x ;f x g x ;g h x Giải. Ta có f x g x x 3 2x 2 x 1 4x 2 x 3 x 3 2x 2 2. f x g x x 3 2x 2 x 1 . 4x 2 x 3 4x 5 9x 4 9x 3 11x 2 4x 3. g h x g h x 4 x 3 x 2 8 2 x 3 x 2 8 3 4x 6 8x 5 4x 4 63x 3 63x 2 251. 1.1.5 Ví dụ. Tìm đa thức f x trong các trường hợp a) f x 1 x 2 5x 1. b) f x 2 x 3 6x 2 12x 8. Giải. a) Đặt t x 1 suy ra x t 1 thì f x 1 x 2 5x 1 trở thành f t t 1 2 5 t 1 1 t 2 3t 5. Vậy f x x 2 3x 5. b) Ta có f x 2 x 3 6x 2 12x 8 x 2 3 16. Vậy f x x 3 16. 1.1.6 Ví dụ. Tìm tất cả các đa thức khác không P x thỏa mãn đồng nhất thức P x 2 P x 2 , x R 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Giải. Giả sử đa thức cần tìm có dạng P x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 , a n 0. Giả thiết rằng một trong các hệ số a n 1 , a n 2 , , a 0 0 chọn số k lớn nhất (k n) sao cho a k 0. Khi đó ta có P x 2 a n x 2n a k x 2k a 1 x 2 a 0 a n x n a k x k a 1 x a 0 2 P x 2 Cân bằng hệ số của x n k ta nhận được 0 2a n a k . Điều này trái với giả thiết a n 0. Suy ra a n 1 a n 2 a 1 a 0 0 và P x a n x n . Từ điều kiện a n x 2n P x 2 P x 2 a 2 n x 2n ta nhận được a n 1. Vậy P x x n , n Z . 1.2 Hệ số và giá trị đa thức 1.2.1 Định nghĩa. Cho f R x ,degf n. Nếu viết f x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a o n i 0 a i x i thì hệ số theo x k là a k . 1.2.2 Định nghĩa. Cho f x a n x n a n 1 x n 1 a n 1 x a 0 , g x b m x m b m 1 x m 1 b m 1 x b 0 , ta nói đa thức f x là đồng nhất với g x , kí hiệu f g nếu n m và a i b i , i 0, 1, , n. Công thức nhị thức Newton a b n a n na n 1 b n n 1 2! .a n 2 b 2 n n 1 n 2 3! a n 3 b 3 n n 1 n k 1 k! a n k b k nab n 1 b n n k 0 C k n a n k b k với C k n n! k! n k ! . Tổng các hệ số Cho đa thức P(x) sau khi khai triển, rút gọn được dạng P x a n x n a n 1 x n 1 a k x k a 1 x a 0 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 với cách viết hệ số a k đi theo lũy thừa x k . Ta có P 1 a n a n 1 a 0 , P 1 1 n a n 1 n 1 a n 1 1 a 1 a 0 . Suy ra P 1 P 1 2 a 0 a 2 a 4 a 2m và P 1 P 1 2 a 1 a 3 a 5 a 2m 1 . Do đó khi khai triển đa thức ta có Tổng các hệ số là P 1 ; Tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ: P 1 P 1 2 ; Tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn: P 1 P 1 2 . 1.2.3 Ví dụ. Tìm hệ số theo x 3 của đa thức sau khi khai triển và tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn a) P x x 1 3 x 2 3 x 4 4 b) Q x x 1 2 x 4 8x 3 x 2 1 . Lời giải a) Ta có x a 3 khai triển thì hệ số theo x 3 là 1; Mà x 4 4 x 4 4x 3 .4 6x 2 .4 2 4.x.4 3 4 4 nên hệ số theo x 3 là 16; Vậy hệ số theo x 3 của P x sau khi khai triển là 18. Tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn P 1 P 1 2 742 2 371. b) Ta có Q x x 2 2x 1 x 4 8x 3 x 2 1 Vì x 3 có thể được viết thành x 3 x 3 .x 0 x 2 .x 1 nên hệ số theo x 3 là 2 8 6. Tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn Q 1 Q 1 2 36 0 2 18. 1.2.4 Ví dụ. Tìm hệ số và tổng các hệ số sau khi khai triển a) Theo x m của khai triển P x 1 x n , 0 m n; b) Theo x 8 của khai triển Q x x 4 50 3x 2 5 41 . Lời giải a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton P x 1 x n n k 0 C k n 1 n k x k n k 0 C k n x k Do đó hệ số theo x m là C m n 0 m n . b Q(x) = (x + 4) 50 3x 2 5 41 50 i 0 C i 50 x 50 i .4 i 41 j 0 C j 41 3x 2 41 j . 5 j 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... b1 , b2 , , bm Nh vy Q cú ớt nht mt nghim tha món bt ng thc |y | Ă 1981 Do P chia ht cho Q nờn P py q  0 Gi Đs |aj | Ô 1980, dj Khi ú ta cú Đ Đ Đ 0  |P py q|  Đy n a1 y nĂ1 an Đ Ơ |y n | Ă Đa1 y nĂ1 Đ Ă Ă |an | Ơ 1981n Ă 1980.1981nĂ1 Ă Ă 1980  1 Mõu thun ny cho thy |aj | Ă 1980 vi j no ú 1.5 Nghim ca a thc 1.5.1 nh ngha Cho f nu f pq  0 Rrxs v R, ta gi l mt nghim ca f 1.5.2 nh lý . toán, kinh nghiệm giảng dạy của các bạn học viên trong lớp, đồng thời sử dụng các trang web www.diendantoanhoc.net, www.mathlinks.ro để học hỏi và trao đổi kinh nghiệm. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC