Luận văn: Định lý Ptoleme và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DOÃN BẢO NGUYÊN ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN MINH Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tháng 06 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Định lý Ptôlêmê và bất đẳng thức Ptôlêmê 5 1.1 Định lý Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bất đẳng thức Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Định lý Ptôlêmê mở rộng 14 2.1 Định lý Ptôlêmê trong không gian . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Bất đẳng thức Ptôlêmê trong không gian ba chiều . 14 2.1.2 Bất đẳng thức Ptôlêmê trong không gian n chiều . . 17 2.2 Định lý Bretchneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Định lý Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Ứng dụng của định lý Ptôlêmê và bất đẳng thức Ptôlêmê 34 3.1 Ứng dụng trong việc chứng minh một số kết quả hình học . 34 3.1.1 Điểm Toricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Bất đẳng thức Erdos-Mordell . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Công thức tính sin(α + β) . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 Định lý Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.5 Định lý hàm số cosin trong tam giác . . . . . . . . 39 3.1.6 Hệ thức Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.7 Định lý Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Ứng dụng trong việc giải một số bài toán . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Định lý Ptôlêmê và tứ giác điều hòa . . . . . . . . . 42 3.2.2 Định lý Ptôlêmê và một số bài toán cực trị hình học 45 3.2.3 Định lý Ptôlêmê và một số đẳng thức, bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Ptôlêmê hay Claudius Ptolemaeus (khoảng 100-178) là một nhà bác học Hy Lạp xuất xứ từ Tebaida, học hành và làm việc tại Alexandria. Ptôlêmê sinh ra ở thành phố Ptôlêmmai Hecmin (Thượng Ai Cập), trong cuộc đời của mình ông đã có công đóng góp vào sự phát triển khoa học của nhân loại. Ông đã viết nhiều tác phẩm trong các lĩnh vực như toán học, thiên văn học, địa lý và âm nhạc Bất đẳng thức Ptôlêmê và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptôlêmê về tính chất của tứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh điển và đẹp của hình học sơ cấp. 1. Lý do chọn đề tài Định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê và những mở rộng của nó, những ứng dụng của nó rất quan trọng trong việc giải quyết một số bài toán hình học. Nêu cách thức vận dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê để giải một số bài toán ở cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Với ý tưởng này, tôi chọn đề tài cho mình là Định lý Ptôlêmê và một số ứng dụng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày về nội dung của định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê. Ứng dụng của định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê vào giải quyết một số bài toán hình học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khảo sát lý thuyết định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê và những định lý hình học, những bài toán có liên quan.Đó là những ứng dụng quan trọng của các kết quả này trong hình học. Sử dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê trong một số bài toán dành cho học sinh giỏi toán các Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 cấp. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán, các tạp trí toán học và tuổi trẻ cũng như từ bài học kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên trong lớp. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương. Luận văn được hoàn thành dưới sự định hướng và hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày. Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của Khoa Toán, phòng đào tạo sau đại học trường ĐHKH - ĐHTN. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các bạn học viên lớp toán K5A, các thày cô trong tổ toán và Ban Giám Hiệu trường THPT Hoàng Su Phì Hà Giang đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Định lý Ptôlêmê và bất đẳng thức Ptôlêmê 1.1 Định lý Ptôlêmê Định lý 1.1 (Xem [2]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khi đó AC.BD = AB.CD + AD.BC Có rất nhiều cách chứng minh định lý này, sau đây xin trình bày một số cách chứng minh. • Cách 1: Sử dụng kết quả của hai tam giác đồng dạng Chứng minh. Lấy M thuộc đường chéo AC sao cho  ABD =  MBC Khi đó xét ∆ABD và ∆MBC có:  ABD =  MBC và  ADB =  MCB Nên ∆ABD đồng dạng với ∆MBC (g.g) do đó ta có AD BD = MC BC ⇒ AD.BC = BD.MC (1.1) Lại có AD BD = MC BC và  ABM =  DBC nên ∆ABM đồng dạng với ∆DBC (g.g). Suy ra AB AM = BD CD ⇒ AB.CD = AM.BD (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Hình 1.1 Từ (1.1) và (1.2) suy ra AD.BC + AB.CD = BD.MC + AM.BD = AC.BD • Cách 2: Sử dụng đường thẳng Simson Trước hết ta có định lý về đường thẳng Simson Từ một điểm D trên vòng tròn ngoại tiếp ∆ABC ta lần lượt hạ các đường vuông góc xuống BC, CA, AB, chúng tương ứng gặp BC, CA, AB tại A 1 , B 1 , C 1 . Khi đó các điểm A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng, và đường thẳng tạo bởi ba điểm này được gọi là đường thẳng Simson. Ta sẽ sử dụng đường thẳng Simson để chứng minh định lý Ptôlêmê. Chứng minh. Hạ DA 1 vuông góc với BC, DB 1 vuông góc với AC và DC 1 vuông góc với AB thì A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng và A 1 B 1 + B 1 C 1 = A 1 C 1 (1.3) Áp dụng định lý hàm số sin cho các đường tròn đường kính DC, DB, DA và các dây cung A 1 B 1 , A 1 C 1 và B 1 C 1 tương ứng, ta có A 1 B 1 = DC. sin C, A 1 C 1 = DB. sin B, B 1 C 1 = AD. sin A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Hình 1.2 Lại áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABC, ta có sin C = AB 2R , sin B = AC 2R , sin A = BC 2R Thay vào đẳng thức (1.3) và rút gọn, ta thu được AD.BC + AB.CD = AC.BD • Cách 3: Chứng minh định lý Ptôlêmê dùng định lý hàm số sin trong tam giác Chứng minh. Đặt  ABD =  ACD = α;  DBC =  DAC = β  BDC =  BAC = γ;  BCA =  BDA = δ Áp dụng định lý hàm số sin trong các tam giác ABD, ACD, ABC ta có AB.CD + AD.BC = 2R 2 (2 sin δ sin β + 2 sin α sin γ) = 2R 2 [cos(δ −β) − cos(δ + β) + cos(α−γ) −cos(α + γ)] (1.4) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Hình 1.3 Vì α + β + γ + δ = 180 0 suy ra cos(δ + β) = −cos(α + γ) (1.5) Từ (1.4) và (1.5) suy ra AB.CD + AD.BC = 2R 2 [cos(δ −β) + cos(α − γ)] (1.6) Lại áp dụng định lý hàm số sin vào ∆ACD, ∆BCD, có AC.BD = 2Rsin(γ+δ)2Rsin(δ+α) = 2R 2 [cos(α−γ)−cos(α+γ+2δ)] (1.7) Vì (α + γ + 2δ) + (β − δ) = 180 0 suy ra cos(α + γ + 2δ) = −cos(β −δ) (1.8) Thay (1.8) vào (1.7) ta có AC.BD = 2R 2 [cos(α −γ) + cos(δ −β)] (1.9) Từ (1.6) và (1.9) suy ra AD.BC + AB.CD = AC.BD. Hệ quả 1.1 (Xem [5]). Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp với  ABC =  ADC = 90 0 , khi đó ta có BD = AC.sin  BDA Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chứng minh. Ta có AC.sin  BAD = AC.sin(  BAC +  DAC) = AC( BC AC . AD AC + DC AC . AB AC ) = AB.DC + BC.AD AC = BD Vì AB.CD + BC.AD = AC.BD theo định lý Ptôlêmê. Hình 1.4 Bài toán 1.1 (Xem [5]). Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho  AP B −  ACB =  AP C −  ABC. Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, APC. Chứng minh rằng các đường thẳng AP, BO 1 , CO 2 đồng quy tại một điểm. Giải. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P tương ứng xuống BC, CA, AB. Ta có  DF E =  DF P +  EFP =  DBP +  EAP = (90 0 −  DP B + 90 0 −  EPA) = 180 0 − (360 0 −  AP B −  DP E) = −180 0 +  AP B + (180 0 −  ACB) =  AP B −  ACB Tương tự ta cũng có  DEF =  AP C −  ABC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... được chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chương 3 Ứng dụng của định lý Ptôlêmê và bất đẳng thức Ptôlêmê Định lý Ptôlêmê và mở rộng của nó có nhiều ứng dụng trong các bài toán về đẳng thức, bất đẳng thức hình học Trước hết ta xét ứng dụng định lý Ptôlêmê và mở rộng của nó trong việc chứng minh một số kết quả kinh điển 3.1 Ứng dụng trong việc chứng... Rc = 0, Rd = 0 Khi Ra = Rb = Rc = Rd = 0 thì định lý Casey trở thành định lý Ptôlêmê Phải chăng định lý Casey được suy ra bằng cách "nở" các điểm A, B, C, D Định lý Casey là mở rộng của định lý Ptôlêmê, nó sẽ giúp cho việc giải một số bài toán có liên quan đến đường tròn tiếp xúc nhau, độ dài tiếp tuyến và dây cung Sau đây là một số bài toán áp dụng định lý Casey Bài toán 2.7 (Xem [7]) Cho tam giác... chỉ khi cos ϕ = −1 ⇔ ϕ = 1800 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 khi và chỉ khi tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Như vậy định lý Ptôlêmê và bất đẳng thức Ptôlêmê đều là hệ quả của định lý Bretchneider ii) Từ định lý này cho ta một kết quả hình học: "Với mỗi tứ diện ABCD, đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh bằng tích số đo các cặp cạnh đối của tứ... Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có BC +CD ≥BD (1.14) Từ (1.13) và (1.14) ta có BC CD BD + ≥ AB.AC AC.AD AB.AD Hay AB.CD + BC.AD ≥ AC.BD • Cách 3: Sử dụng số phức Cách chứng minh này cũng sử dụng bất đẳng thức tam giác, nhưng được phát biểu như tính chất của số phức Với các số phức x, y bất kỳ ta có |x| + |y| ≥ |x + y| (1.15) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = kx với k là một số thực không âm Số hóa... = ⇒ DB.AM = AB.CD CD AM (1.12) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác kết hợp (1.11) và (1.12) ta có: AD.BC + AB.DC = BD(AM + CM ) ≥ BD.AC • Cách 2: Sử dụng phép nghịch đảo và bất đẳng thức tam giác Trước hết ta nhắc lại kiến thức về phép nghịch đảo Với một điểm O cố định trên mặt phẳng và một số k = 0 Nếu ứng với mỗi điểm P cuả mặt phẳng khác với điểm O, ta tìm được một điểm P khác nằm trên OP sao cho... Ptôlêmê mở rộng 2.1 2.1.1 Định lý Ptôlêmê trong không gian Bất đẳng thức Ptôlêmê trong không gian ba chiều Định lý 2.1 (Xem [3]) Cho ABCD là tứ diện bất kì, ta có AB.CD + BC.AD > AC.BD Hình 2.1 Chứng minh Trong mặt phẳng (BCD) ta lấy điểm E sao cho B và E khác phía với đường thẳng CD và AC = CE , AD = DE Từ đó ta có ∆ACD = ∆ECD Suy ra AP = P E , trong đó P là giao điểm của BE và CD Số hóa bởi Trung tâm... B = 6Rb2 m2 VAD1 C1 B SABC1 SABD1 c2 c2 và = = 2 2 Suy ra V SABC SABD b m c4 V (2.13) b2 m2 Từ (2.12) và (2.13) suy ra hệ thức S = 6V R Bài toán được chứng minh VAD1 C1 B = 2.3 Định lý Casey Trước hết, ta đến với bài toán đơn giản sau Bài toán 2.4 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), M thuộc cung nhỏ BC Chứng minh rằng AM = BM + CM Giải Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác nội tiếp ABM C ta... i=1 i=1 Khai căn bậc hai của hai vế của bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh 2.2 Định lý Bretchneider Định lý 2.3 (Xem [3]) Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB = a,BC = b, CD = c, DA = d và các đường chéo AC = m, BD = n, A + C = ϕ Khi đó ta có m2 n2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(A + C) Chứng minh Lấy trong tứ giác ABCD một điểm M sao cho M DC = ADB , M CD = ABD Khi đó ∆DBA đồng dạng với ∆DCM AB... chứa các điểm A, B, C và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB Gọi l1 , l2 , l3 lần lượt là độ dài các tiếp tuyến kẻ từ A, B, C tới các đường tròn (C1 ), (C2 ), (C3 ) tương ứng, d12 , d23 , d31 là độ dài các tiếp tuyến chung ngoài của các cặp đường tròn (C1 ) và (C2 ); (C2 ) và (C3 ); (C3 ) và (C1 ) Chứng minh rằng: d12 = d23 = d31 khi và chỉ khi b+c c+a a+b l1 = , l2 = , l3 = 2 2 2 Số hóa bởi Trung tâm... chứng minh bài toán 2.5, ta được đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ √ √ BC k.AM.AM = CA k.BM.BM + AB k.CM.CM ⇔ AM.BC = AB.CN + AC.BM Đẳng thức cuối đúng theo định lý Ptôlêmê Vậy bài toán được chứng minh Tiếp tục mở rộng bài toán, xem các điểm A, B, C là các "đường tròn điểm” Như vậy ta sẽ mở rộng bài toán bằng cách thay các điểm A, B, C bằng các đường tròn Ta có định lý sau, đây chính là định . - Đại học Thái Nguyên Tháng 06 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục. cách thức vận dụng định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê để giải một số bài toán ở cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Với ý tưởng này, tôi chọn đề tài cho. Ptôlêmê và một số ứng dụng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày về nội dung của định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê. Ứng dụng của định lý Ptôlêmê, bất đẳng thức Ptôlêmê