Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HÂN VỀ ĐỊNH LÝ HELLY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HÂN VỀ ĐỊNH LÝ HELLY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tập compact Rn 1.1.1 Tập compact 4 1.1.2 Dãy Cauchy 11 Tập hợp lồi 13 1.2.1 1.2.2 Khái niệm ví dụ 13 Tính chất tập lồi 14 Chương Về định lý Helly số ứng dụng 20 2.1 Định lý Helly 20 2.1.1 2.1.2 2.2 Một số ứng dụng Định lý Helly 28 2.2.1 2.2.2 2.3 Tính chất giao hữu hạn 20 Định lý Helly 23 Định lý Thư viện Nghệ thuật 28 Bài toán Vincensini 36 Một số toán áp dụng 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người tận tâm, nhiệt tình bảo, động viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giáo sư Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội; Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học Em xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học Tốn K9B2 ln giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hân Mở đầu Tập hợp lồi khái niệm xuất từ lâu nhiều ngành Tốn học, nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu E Buchman F.A Vanlentine, V.L Klee, C Carathéodery Đặc biệt nhà toán học E Helly Định lý Helly kết hình học rời rạc giao tập hợp lồi Định lý cho ta điều kiện đủ để nhận biết họ hình lồi có giao khác rỗng Nó phát E Helly năm 1913, xuất vào năm 1923, chứng minh khỏc ca Radon (1921) v Kăonig (1922) ó c đăng Định lý Helly phát biểu sau: Giả sử F := {F1 , F2 , , Fk } họ gồm k tập hợp lồi F1 , F2 , , Fk Rn , k > n Nếu giao n+1 tập họ F khác rỗng, giao tất tập hợp họ F khác rỗng, nghĩa kj=1 Fj = ∅ Để áp dụng cho số vô hạn tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα , α ∈ I} họ tập hợp lồi compact Rn giao không n + tập họ F khác rỗng giao tất tập hợp họ khác rỗng Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh định lý Helly, trình bày số ứng dụng định lý Helly định lý Thư Viện Nghệ Thuật, toán Vincensini, đồng thời tìm hiểu số đề thi học sinh giỏi tốn quốc gia quốc tế áp dụng định lý Helly để giải Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm tính chất tập compact, tập hợp lồi không gian Rn Chương trình bày chứng minh định lý Helly, số ứng dụng định lý Helly số toán áp dụng định lý Helly để giải Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tập hợp compact tập hợp lồi không gian Rn Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập hợp compact số tính chất tập compact Rn Mục 1.2 giới thiệu tập hợp lồi số tính chất tập hợp lồi Nội dung chương viết sở tài liệu [6], [7] 1.1 1.1.1 Tập compact Rn Tập compact Định nghĩa 1.1.1 Một tập K Rn gọi tập compact tập vơ hạn K có điểm tụ thuộc K Chú ý 1.1.2 Cho K ∈ Rn tập compact, Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn hai điều kiện: (i) Mỗi tập hợp vô hạn K có điểm tụ p; (ii) Điểm tụ p phải thuộc K Định lý 1.1.3 (xem [6]) Tập hợp K Rn compact (i) Mỗi tập hợp vô hạn K có điểm tụ p; (ii) Tất điểm tụ K thuộc K Định lý 1.1.4 (xem [6]) Tập tập hợp K compact Rn tập đóng bị chặn Cho I = {(x1 , x2 , , xn )} ∈ Rn ; ≤ xi ≤ bi , i = 1, n với a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) ta đặt l (I) cạnh lớn I, nghĩa l (I) = sup {b1 − a1 , b2 − a2 , , bn − an } Định lý 1.1.5 (Bolzano–Weierstrass) (xem [6]) Mọi tập vô hạn bị chặn Rn có điểm tụ Chứng minh Giả sử A tập hợp vô hạn bị chặn Rn cho I1 hình đóng chứa A Chia I1 thành 2n hình đóng cách cắt ngang cạnh Vì I1 chứa vơ số điểm A, nên tồn hình I2 số hình chia nhỏ chứa vô số điểm A Tiếp theo ta lại chia hình I2 thành 2n hình đóng cách cắt ngang cạnh nó, cho có hình đóng I3 , số hình chia nhỏ, chứa vô số điểm A Tiếp tục theo cách này, ta nhận dãy {Ik }k≥1 hình đóng lồng khác rỗng, hình chứa vơ hạn điểm A Chú ý cạnh dài hình thứ k thỏa mãn < l (Ik ) = l (I1 ) 2k−1 dãy số thực {l(Ik )}k≥1 hội tụ đến Như vậy, với i thỏa mãn ≤ i ≤ n, khoảng đóng [ak,i , bk,i ] Ik tạo thành dãy tập lồng khác rỗng compact R Do đó, tồn điểm pi ∈ R thỏa mãn: ∞ pi ∈ [ak,i , bk,i ] k=1 Nếu ta đặt p = (p1 , p2 , , pn ) ∈ Rn suy hình cầu B (p, ε) chứa điểm A khác p, ε số dương bé tùy ý Vì vậy, p điểm tụ A Định lý 1.1.6 (Heine–Borel) (xem [6]) Mỗi tập hợp Rn tập compact đóng bị chặn Hệ 1.1.7 (xem [6]) Tập hợp đóng tập hợp bị chặn tập compact Hệ 1.1.8 (xem [6]) Tập hợp đóng tập hợp compact tập compact Hệ 1.1.9 (xem [6]) Nếu K tập compact S tập đóng, K ∩S tập compact Định lý 1.1.10 (Định lý tập hợp lồng nhau) (xem [6]) Nếu K1 , K2 , K3 , họ tập khác rỗng compact Rn thỏa mãn K1 ⊇ K2 ⊇ K3 ⊇ ∞ Ki = ∅ i=1 Sau tương đương định nghĩa tập compact Rn với định nghĩa theo quan điểm phủ tập hợp mở Định lý 1.1.11 (xem [6]) Tập K không gian Rn tập compact phủ mở K có phủ hữu hạn Chứng minh Từ kết trên, ta cần chứng minh K đóng bị chặn (và compact) phủ mở K có phủ hữu hạn Giả sử phủ mở K có phủ hữu hạn Đặt U họ hình cầu mở dạng B (k, 1) tâm k bán kính 1, k ∈ K Hình cầu B (k, 1) phủ mở tập compact K có phủ hữu hạn Nếu {k1 , k2 , , km } tâm phủ này, m K⊂ B (ki , 1) i=1 tập K bị chặn Bây giờ, giả sử phủ mở K có một phủ hữu hạn Gọi U = Rn \K phần bù K Vì tập K bị chặn nên U = ∅ Ta khơng có điểm q ∈ U điểm tụ K Thật vậy, giả sử q ∈ U điểm tùy ý, với p ∈ K ta xét hình cầu mở B (p, δ (p)) = {x ∈ Rn : x − p < δ (p)} , δ (p) = p − q > p = q Họ U = {B (p, δ (p)) : p ∈ K} phủ mở K, có phủ hữu hạn Vì ta có điểm {p1 , p2 , , pm } K thỏa mãn m K⊂ B (pi , δ (pi )) i=1 Đặt r = {δ (pi ) : i = 1, 2, } xét lân cận B (p, r) q Nếu ≤ i ≤ m s ∈ B (q, r) 2δ (pi ) = q − pi ≤ q−s < r + s − pi + s − pi ≤ δ (pi ) + s − pi , s − pi > δ (pi ) với i = 1, , m s ∈ / B (pi , δ (pi )) với i = 1, , m Suy m B (q, r)∩K ⊂ B (q, r)∩ m B (pi , δ (pi )) = i=1 B (q, r)∩B (pi , δ (pi )) = ∅ i=1 Vì B (p, r) ⊂ Rn \K Rn \K tập mở nên K tập đóng Ngược lại, giả sử tập K tập đóng bị chặn Rn U = {Uα : α ∈ I} họ tập mở Rn cho K ⊂ ∪ {Uα : α ∈ I} Giả sử K không chứa hợp họ hữu hạn tập mở U Vì tập K bị chặn nên có số M > cho K ⊆ I1 I1 hình đóng Rn cho I1 = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : |xk | ≤ M, k = 1, , n} Bằng cách cắt ngang cạnh I1 , ta nhận 2n khoảng đóng I1 chứa điểm K không chứa hợp số ... tập lồi 14 Chương Về định lý Helly số ứng dụng 20 2.1 Định lý Helly 20 2.1.1 2.1.2 2.2 Một số ứng dụng Định lý Helly 28 2.2.1 2.2.2 2.3... Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh định lý Helly, trình bày số ứng dụng định lý Helly định lý Thư Viện Nghệ Thuật, tốn Vincensini, đồng thời tìm hiểu số đề thi học sinh giỏi... Chương trình bày chứng minh định lý Helly, số ứng dụng định lý Helly số toán áp dụng định lý Helly để giải 4 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tập hợp compact tập hợp