Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về định lý Helly và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HÂN

VỀ ĐỊNH LÝ HELLY

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Tập compact trong Rn 4

1.1.1 Tập compact 4

1.1.2 Dãy Cauchy 11

1.2 Tập hợp lồi 13

1.2.1 Khái niệm và ví dụ 13

1.2.2 Tính chất của tập lồi 14

Chương 2 Về định lý Helly và một số ứng dụng 20 2.1 Định lý Helly 20

2.1.1 Tính chất giao hữu hạn 20

2.1.2 Định lý Helly 23

2.2 Một số ứng dụng của Định lý Helly 28

2.2.1 Định lý Thư viện Nghệ thuật 28

2.2.2 Bài toán của Vincensini 36

2.3 Một số bài toán áp dụng 44

Lời cảm ơn

Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới PGS.TS Nguyễn ThịThu Thủy - người cô đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ

em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, các giáo sư của Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội; của Viện Toán học –Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuậnlợi giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại họcKhoa học

Em xin chân thành cảm ơn các anh chị và bạn bè đồng nghiệp tronglớp Cao học Toán K9B2 đã luôn giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hân

họ các hình lồi sẽ có giao khác rỗng Nó được phát hiện bởi E Helly năm

1913, nhưng chỉ được xuất bản vào năm 1923, khi các chứng minh kháccủa Radon (1921) và K¨onig (1922) đã được đăng

Định lý Helly được phát biểu như sau: Giả sử F := {F1, F2, , Fk} là

họ gồm k tập hợp lồi F1, F2, , Fk trong Rn, trong đó k > n Nếu giaocủa mọi bộ n + 1 tập của họ F là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợptrong họ F là khác rỗng, nghĩa là Tk

j=1Fj 6= ∅ Để áp dụng cho một số vôhạn các tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα, α ∈ I}

là một họ các tập hợp lồi compact trong Rn và giao của mọi bộ không quá

n + 1 tập của họ F là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp trong họ

đó là khác rỗng

Mục đích của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày các chứng minhcủa định lý Helly, trình bày một số ứng dụng của định lý Helly như định

lý Thư Viện Nghệ Thuật, bài toán của Vincensini, đồng thời tìm hiểu một

số đề thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế áp dụng định lý Helly đểgiải

Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương Chương

1 giới thiệu một số khái niệm và tính chất của tập compact, tập hợp lồi

3trong không gian Rn Chương 2 trình bày chứng minh định lý Helly, một

số ứng dụng của định lý Helly và một số bài toán áp dụng định lý Helly

để giải

(i) Mỗi tập hợp con vô hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;

(ii) Điểm tụ p phải thuộc K

Định lý 1.1.3 (xem [6]) Tập hợp con K của Rn là compact nếu và chỉnếu

(i) Mỗi tập hợp con vô hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;

(ii) Tất cả các điểm tụ của K đều thuộc K

5Định lý 1.1.4 (xem [6]) Tập tập hợp con K compact của Rn là tập đóng

và bị chặn

Cho

I = {(x1, x2, , xn)} ∈ Rn; ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, n

với a = (a1, a2, , an) và b = (b1, b2, , bn) và ta đặt l (I) là cạnh lớnnhất của I, nghĩa là

Tiếp tục theo cách này, ta nhận được dãy {Ik}k≥1 các hình đóng lồngnhau khác rỗng, mỗi một hình trong đó chứa vô hạn điểm của A

Chú ý rằng cạnh dài nhất của hình thứ k thỏa mãn

0 < l (Ik) = l (I1)

2k−1

và dãy các số thực {l(Ik)}k≥1 hội tụ đến 0 Như vậy, với mỗi i thỏa mãn

1 ≤ i ≤ n, các khoảng đóng [ak,i, bk,i] của Ik tạo thành một dãy các tậpcon lồng nhau khác rỗng compact của R Do đó, tồn tại một điểm pi ∈ Rthỏa mãn:

pi ∈

∞

\k=1[ak,i, bk,i]

Nếu ta đặt p = (p1, p2, , pn) ∈ Rn thì suy ra mỗi hình cầu B (p, ε) chứađiểm của A khác p, ở đây ε là số dương bé tùy ý Vì vậy, p là điểm tụ của

6Định lý 1.1.6 (Heine–Borel) (xem [6]) Mỗi tập hợp con của Rn là tậpcompact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn.

Hệ quả 1.1.7 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp bị chặn là tậpcompact

Hệ quả 1.1.8 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp compact là tậpcompact

Hệ quả 1.1.9 (xem [6]) Nếu K là tập compact và S là tập đóng, thì K ∩ Scũng là tập compact

Định lý 1.1.10 (Định lý các tập hợp lồng nhau) (xem [6]) Nếu K1, K2, K3,

là một họ các tập con khác rỗng compact của Rn thỏa mãn

Chứng minh Từ những kết quả trên, ta chỉ cần chứng minh K đóng và

bị chặn (và do đó compact) nếu và chỉ nếu mỗi phủ mở của K đều có phủcon hữu hạn

Giả sử mỗi phủ mở của K đều có phủ con hữu hạn Đặt U là họ cáchình cầu mở dạng B (k, 1) tâm k bán kính 1, trong đó k ∈ K Hình cầu

B (k, 1) này là một phủ mở của tập compact K và do đó có phủ con hữuhạn Nếu {k1, k2, , km} là tâm của các phủ con này, thì

K ⊂

m[i=1

B (ki, 1)

và tập K bị chặn

Bây giờ, giả sử mọi phủ mở của K đều có một một phủ con hữu hạn.Gọi U = Rn\K là phần bù của K Vì tập K bị chặn nên U 6= ∅ Ta sẽ

7chỉ ra rằng không có điểm q ∈ U nào là điểm tụ của K Thật vậy, giả sử

q ∈ U là một điểm tùy ý, và với mỗi p ∈ K ta xét hình cầu mở

B (p, δ (p)) = {x ∈ Rn : kx − pk < δ (p)} ,

ở đây δ (p) = 12 kp − qk > 0 nếu p 6= q Họ U = {B (p, δ (p)) : p ∈ K} làmột phủ mở của K, và do đó có phủ con hữu hạn Vì vậy ta có các điểm{p1, p2, , pm} của K thỏa mãn

K ⊂

m[i=1

B (pi, δ (pi))

#

=

m[i=1

B (q, r)∩B (pi, δ (pi)) = ∅

Vì vậy B (p, r) ⊂ Rn\K và do đó Rn\K là tập mở nên K là tập đóng.Ngược lại, giả sử tập K là tập đóng và bị chặn của Rn và

U = {Uα : α ∈ I}

là một họ các tập mở của Rn sao cho K ⊂ ∪ {Uα : α ∈ I} Giả sử K khôngchứa trong hợp của bất kỳ họ hữu hạn các tập mở của U

Vì tập K là bị chặn nên có một số M > 0 sao cho K ⊆ I1 trong đó I1

là hình đóng trong Rn được cho bởi

I1 = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : |xk| ≤ M, k = 1, , n}

Bằng cách cắt ngang mỗi cạnh của I1, ta nhận được 2n khoảng đóng trong

I1 chứa các điểm của K nhưng không được chứa trong hợp của bất kỳ số

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full