Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về tổng Gauss và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ GIANG VỀ TỔNG GAUSS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ GIANG VỀ TỔNG GAUSS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Duy Tân THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ký hiệu Legendre 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị khác Chương Tổng Gauss bậc hai 10 2.1 Giá trị tuyệt đối tổng Gauss bậc hai 10 2.2 Dấu tổng Gauss bậc hai 13 2.3 Mở rộng lên modulo hợp số lẻ 21 Chương Một vài ứng dụng tổng Gauss 26 3.1 Luật thuận nghịch bậc hai 26 3.2 Một số toán lượng giác liên quan 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Tổng Gauss loại tổng gồm hữu hạn đơn vị Gauss nghiên cứu tổng Gauss bậc hai, ứng dụng chúng nghiên cứu luật thuận nghịch bậc hai Mục tiêu luận văn tìm hiểu tổng Gauss bậc hai số ứng dụng liên quan Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Tổng Gauss bậc hai Chương Một vài ứng dụng tổng Gauss Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Thị Giang Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết trình xây dựng định nghĩa tổng Gauss khái niệm ký hiệu Legendre, định lý Euler, định lý Fermat, nguyên thủy, thặng dư bậc hai, Các kiến thức phần tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3] 1.1 Ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Nếu a, b, m ∈ Z m = 0, ta nói a đồng dư với b modulo m m ước b − a Mối quan hệ ký hiệu a ≡ b (mod m) Kí hiệu a ≡ b (mod m) có nghĩa a khơng đồng dư với b modulo m Ví dụ, | 25 − 1, ta có 25 ≡ (mod 4) Vì | − 10, ta có ≡ 10 (mod 6) Vì | 10 − (−4), ta có 10 ≡ −4 (mod 7) Vì −7 − 2, ta có −7 ≡ (mod 5) Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Ta nói hai số nguyên a b nguyên tố ước chung chúng ±1 Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Cho n ∈ Z+ , hàm φ Euler định nghĩa φ(n) số số nguyên dương nhỏ n mà nguyên tố với n, tức φ(n) = |{x ∈ Z : ≤ x ≤ n, (x, n) = 1}| Ví dụ, φ(1) = 1, φ(5) = |{1, 2, 3, 4}| = 4, φ(6) = |{1, 5}| = 2, φ(9) = |{1, 2, 4, 5, 7, 8}| = Nếu p số nguyên tố rõ ràng tất số 1, 2, , p−1 nguyên tố với p nên φ(p) = p − Định lý 1.1.4 (Định lý Euler, [3]) Cho a, m ∈ Z với m > Nếu (a, m) = aφ(m) ≡ (mod m) Chứng minh Gọi r1 , r2 , , rφ(m) φ(m) số nguyên dương khác không lớn m cho (ri , m) = 1, i = 1, 2, , φ(m) Xét φ(m) số nguyên r1 a, r2 a, , rφ(m) a Chú ý (ri a, m) = 1, i = 1, 2, , φ(m) (Nếu (ri a, m) > với i tồn ước nguyên tố p (ri a, m) p | ri a p | m Bây p | ri a kéo theo p | ri p | a nên ta có p | ri p | m ta có p | a p | m, điều khơng thể (ri , m) = (a, m) = 1.) Ngồi ra, ý khơng có hai số dãy số r1 a, r2 a, , rφ(m) a đồng dư với (Vì (a, m) = 1, tồn nghịch đảo a modulo m, ký hiệu a Do đó, ri a ≡ rj a (mod m) với i = j ri aa ≡ rj aa (mod m), điều không thể) Nên thặng dư không âm nhỏ modulo m số nguyên r1 a, r2 a, , rφ(m)a theo thứ tự tăng dần r1 , r2 , , φ(m) Khi đó, ta có (r1 a)(r2 a) · · · (rφ(m) a) ≡ r1 r2 · · · rφ(m) (mod m) Hay m | (aφ(m) r1 r2 · · · rφ(m) ) − r1 r2 · · · rφ(m) Kéo theo m | r1 r2 · · · rφ(m) × (aφ(m) − 1) Vì (r1 r2 · · · rφ(m) , m) = 1, ta có m | (aφ(m) − 1) aφ(m) ≡ (mod m), điều phải chứng minh Định lý 1.1.5 (Định lý Fermat nhỏ, [3]) Cho p số nguyên tố cho a ∈ Z Nếu p a ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh Xét p − số nguyên xác định a, 2a, 3a, , (p − 1)a Ta có p ia, i = 1, 2, , p − Chú ý khơng có số p − số nguyên bên đồng dư modulo p (Vì p a, tồn nghịch đảo a modulo p, ký hiệu a Nếu ia ≡ ja (mod p) với i = j iaa = jaa (mod p), từ i ≡ j (mod p), vơ lý) Nên thặng dư không âm bé modulo p số nguyên a, 2a, 3a, , (p − 1)a theo tứ tự tăng dần 1, 2, 3, , p − Khi đó, (a)(2a)(3a) · · · ((p − 1)a) ≡ (1)(2)(3) · · · (p − 1) (mod p), hay tương đương ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)! (mod p) Theo định lý Wilson, ta có (p − 1)! ≡ −1 (mod p) nên đồng dư thức bên trở thành −ap−1 ≡ −1 (mod p), hay tương đương với ap−1 ≡ (mod p), điều phải chứng minh Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Cho a, n ∈ Z Số a gọi nguyên thủy modulo n a n nguyên tố φ(n) số nguyên dương bé cho aφ(n) ≡ (mod n) Ví dụ, nguyên thủy modulo φ(7) = số nguyên dương x bé để 3x ≡ (mod 7) Thật vậy, 31 ≡ (mod 7), 32 ≡ (mod 7), 33 ≡ (mod 7), 34 ≡ (mod 7), 35 ≡ (mod 7), 36 ≡ (mod 7) Tương tự, ta có nguyên thủy modulo 13 không nguyên thủy modulo 23 ≡ (mod 7) φ(7) = > Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Nếu m ∈ Z+ có nguyên thủy (a, m) = a thặng dư lũy thừa n modulo m aφ(m)/d ≡ (mod m), d = (n, φ(m)) Chứng minh Gọi g nguyên thủy modulo m a = g b , x = g y Khi phương trình đồng dư xn ≡ a (mod m) tương đương với g nb ≡ g b (mod m), nên tương đương với ny ≡ b (mod φ(m)) Phương trình có nghiệm d | b Ngồi ra, ý phương trình đồng dư có nghiệm có d nghiệm Nếu d | b aφ(m)/d ≡ g bφ(m)/d ≡ (mod m) Ngược lại, aφ(m)/d ≡ (mod m) g bφ(m)/d ≡ (mod m), điều kéo theo φ(m) ước bφ(m)/d hay d | b Điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.8 Chứng minh mệnh đề kéo theo thơng tin bổ sung Nếu xn ≡ a (mod m) có nghiệm có (n, φ(m)) nghiệm Mệnh đề 1.1.9 ([3]) Nếu p số nguyên tố lẻ, p a p n, phương trình xn ≡ a (mod p) có nghiệm phương trình xn ≡ a (mod pe ) có nghiệm với e ≥ Tất phương trình đồng dư có số nghiệm Chứng(1 + x − x3 + x6 − x9 ) = −x − x3 + x3 + x4 + x5 − x6 − x7 − x8 + x9 + x10 Do đó, i tan 3π 2π + 4i sin = x + x3 + x4 + x5 + x9 − (x2 + x6 + x7 + x8 + x10 ) 11 11 √ = i 11 30 Do tan 2π √ 3π + sin = 11 11 11 Ví dụ 3.2.2 Chứng minh √ 4π 8π 2π + sin + sin = sin 7 Giải Đặt ε = e2πi/7 , ε7 = 2π 2π 2π 2π + i sin , ε6 = ε−1 = cos − i sin 7 7 4π 4π 4π 4π ε2 = cos + i sin , ε5 = ε−2 = cos − i sin 7 7 8π 8π 8π 8π ε4 = cos + i sin , ε3 = ε−4 = cos − i sin 7 7 ε = cos Từ (3.1) ta có sin 2π ε − ε−1 = 2i sin ε2 − ε−2 4π = 2i sin 8π ε4 − ε−4 = 2i Từ (3.2) ta có Từ (3.3) ta có Do 2π 4π 8π (ε + ε2 + ε4 ) − (ε−1 + ε−2 + ε−4 ) + sin + sin = 7 2i 2π 4π 8π ⇔ 2i sin + sin + sin = (ε + ε2 + ε4 ) − (ε6 + ε5 + ε3 ) 7 sin Đặt α = ε + ε2 + ε4 , β = ε6 + ε5 + ε3 Khi đó, ta có α + β = ε + ε2 + ε4 + ε6 + ε5 + ε3 = −1 α · β = (ε + ε2 + ε4 )(ε6 + ε5 + ε3 ) = + ε6 + ε4 + ε + ε5 + ε3 + ε2 (do ε7 = 1) = + (−1) = Ta có (α − β)2 = (α + β)2 − 4αβ = − = −7 (3.1) (3.2) (3.3) 31 Suy √ √ α − β = ± −7 = ± 7i Vậy √ 2π 4π 8π S = sin + sin + sin =± 7 Nhận thấy S > nên √ √ 2π 4π 8π S= ⇒ sin + sin + sin = 7 Ví dụ 3.2.3 Chứng minh √ π 2π 3π sin · sin · sin = 7 Giải Ta có √ 2π 4π 6π · sin · sin = (3.4) ⇔ sin 7 Đặt ε = cos 2π 2π + i sin 7 Khi đó, ta có  2π ε − ε−1   sin =   2i −2  ε −ε 4π =  2i  − ε−3   6π ε sin = 2i sin Vậy vế trái (3.4) (ε − ε−1 )(ε2 − ε−2 )(ε3 − ε−3 ) 8i3 (ε3 − ε−1 − ε + ε−3 )(ε3 − ε−3 ) = −8i (ε + ε + ε ) − (ε4 + ε2 + ε) = −8i VT = Đặt α = ε6 + ε3 + ε5 , β = ε4 + ε2 + ε Khi đó, α + β = −1 α · β = (ε6 + ε3 + ε5 )(ε4 + ε2 + ε) = ε3 + ε + + + ε5 + ε4 + ε2 + + ε6 (3.4) ... HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ GIANG VỀ TỔNG GAUSS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn... luận văn tìm hiểu tổng Gauss bậc hai số ứng dụng liên quan Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Tổng Gauss. .. Trong luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau: Trình bày tổng Gauss bậc hai, số chứng minh giá trị Trình bày ứng dụng tổng Gauss bậc hai chứng minh luật thuận nghịch bậc hai Trình bày số tập lượng