Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số ứng dơng LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số øng dơng Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Hệ ghi số 1.1 Khái niệm hệ ghi c¬ sè 1.2 Các phép toán vấn đề ®ỉi c¬ sè Mét sè ứng dụng hệ ghi số 16 2.1 Định lý Legendre Định lý Kummer 16 2.2 Xây dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố 21 2.3 Mét sè øng dụng hệ ghi số toán sơ cấp 28 KÕt luËn 39 Tµi liƯu tham kh¶o 40 Lêi cảm ơn Trớc hết, xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Mặc dù bận rộn công việc nhng Cô dành thời gian tâm huyết việc hớng dẫn Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình Cô Tôi xin cảm ơn chân thành tới Trờng Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi nhận đợc học vấn sau đại học xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trờng, Khoa Toán - Tin Phòng Đào tạo trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, ngời không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tèt nhÊt cho t«i suèt thêi gian häc tËp thực luận văn Luận văn đợc thực hoàn thành Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Lời nói đầu Do nhu cÇu thùc tiƠn cđa cc sèng, cã thĨ nói hệ ghi số lí thuyết toán học xuất hiện, đợc hình thành phát triển song hành với phát triển văn minh nhân loại Hệ ghi số néi dung quan träng sè häc vµ cã nhiỊu ứng dụng khác khoa học thực tiễn Lí thuyết hệ ghi số liên quan đến nhiều lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc nh− LÝ thut sè; Toán rời rạc; Phơng trình nghiệm nguyên phơng trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các toán trò chơi v.v Một số hệ ghi số quan trọng hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi số đợc sử dụng phổ biến hệ thập phân, xuất ấn độ vào Thế kỷ sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber hệ Abacci L Fibonacci (một nhà toán học thơng gia ngời Y), ghi thập phân đợc truyền bá vào châu Âu Hệ nhị phân đợc sử dụng ngời Babylon (khoảng Thế kỉ đến Thế kỉ rớc Công Nguyên), ngày hệ nhị phân, hệ bát phân hệ thập lục phân đợc sử dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học máy tính bảo mật thông tin Nhiều hệ ghi số khác nh số 12, số 7, số 3, v.v đến đợc quan tâm sử dụng Luận văn quan tâm đến vấn đề biểu diễn hệ ghi số số ứng dụng toán sơ cấp Luận văn gồm chơng Trong Chơng 1, trình bày khái niệm hệ ghi số, số tính chất sở, phép toán toán đổi số Chơng trình bày sè øng dơng cđa hƯ ghi c¬ sè Tr−íc hÕt, th«ng qua mét biĨu diƠn cđa sè n hƯ ghi số p với p số nguyên tố, tính đợc số tự nhiên t lớn cho pt ớc n! (Định lÝ cđa Legendre) Còng th«ng qua biĨu diƠn cđa hai số tự nhiên a b hệ ghi số p với p nguyên tố, a tính đợc số t lớn cho pt ớc Ca+b , a Ca+b số tổ hợp chập a a + b phần tử (Định lí Kummer) Hai định lí đợc trình bày Tiết 2.1 luận văn Trong Tiết 2.2, trình bày ứng dụng hệ ghi số vấn đề xây dựng đa thức (với hệ số nguyên) bất khả quy Q Khi p số nguyên tố b > số tự nhiên, p = (an a1a0 )b lµ biĨu diƠn cđa p hệ ghi số b đa thức f (x) = an xn + + a1 x + a0 bất khả quy Q (Định lí Murty) Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng hệ ghi số để giải số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt toán thi học sinh giỏi bậc phổ thông trung học Ngoài số thông tin hệ ghi số đợc tham khảo trang Wikipedia, luận văn đợc viết dựa tài liệu sau Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại häc), NXB §HQGHN, 2015 David Anthony Santos, Number Theory for Mathematical Contests, GNU Free Documentation License, October 31, 2007 J Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003 M Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math Monthly, 109 (2002), 452-458 Ch−¬ng HƯ ghi số độ vào Thế kỷ (sau Công Hệ thập phân xuất Ân Nguyên) Đến năm 1202, nhờ tác phẩm Liber Abacci L Fibonacci hệ thập phân (một nhà toán học đồng thời thơng gia ngời Y) đợc truyền bá vào Châu Âu Với phát minh nghề in vào Thế kỉ 15 10 chữ số có hình dạng cố định nh Ngời ta cố lý giải hệ ghi thập phân lại đợc đa số nớc giới sử dơng ®Õn nh− vËy Cã nhiỊu lÝ cho r»ng hai bµn tay cã 10 ngãn vµ dƠ dµng đếm 10 ngón tay Ngoài hệ ghi thập phân có hệ ghi số khác mà nớc, dân tộc giới sử dụng Hệ ghi số 60 ngời Babilon (khoảng ThÕ kØ thø ®Õn ThÕ kØ thø tr−íc Công Nguyên), hệ ghi số 60 ngày đợc dùng để đo góc thời gian Có giả thuyết cho 60 có nhiều ớc sè (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) nên thực phép chia thu đợc nhiều số chẵn (tức số nguyên) Còn sè 10 chØ cã −íc lµ vµ nên thực phép chia thu đợc nhiều số lẻ (phân số) Thời cổ đại, tộc nguyên thủy thờng dùng hệ ghi số 5, tơng ứng với việc đếm năm ngón tay Hiện ngời Trung Quốc ngời Nhật Bản dùng bàn tính gẩy dựa hệ ghi số Với hệ ghi số 20, có dân tộc dùng 10 ngón chân 10 ngón tay để đếm Hệ ghi đợc ngời Maya cổ sử dụng Cho đến ngày Đan Mạch Pháp ngời ta sử dụng hệ ghi số 20 Trong đo lờng ngời ta sử dụng nhiều hệ ghi khác Hệ ghi số 12 đợc sử dụng nhiều nớc giới ngày đợc sử dụng nhiều Anh (một thớc Anh 10 tÊc Anh, mµ b»ng 12 tÊc Anh) Chóng ta vÉn hay dùng đơn vị inch, 18 inch mét th−íc vµ tÊc mµ lµ mét th−íc Anh tấc Anh Ngời ta dùng đơn vị “t¸”, mét t¸ b»ng 12 chiÕc Cã lÏ ng−êi Trung Quốc sử dụng hệ ghi số 12 (chu kì 12 giáp) Tùy theo yêu cầu thực tế mà ngời ta lại dùng hệ ghi víi c¬ sè míi HƯ ghi c¬ sè hay hệ ghi nhị phân đợc cài máy tính Phép đếm nhị phân với phép toán logic sở hoạt động máy tính Do có hai ký tù nªn viƯc biĨu diƠn cđa mét sè hệ ghi số dài, máy tính sử dụng hệ ghi số hệ ghi số 16, thuận tiện biểu diễn số, ớc 16 Thực hệ ghi số 16 có Trung Quốc từ xa, thêi tr−íc c©n cđa Trung Qc cã tíi 16 lạng Hệ ghi số 24 dùng đếm số ngày Hệ ghi số 30 đếm số ngày tháng Hệ ghi số dùng để đếm số tháng quí Hệ ghi số đếm số ngày tuần, v.v Mục đích chơng trình bày khái niệm hệ ghi số, tính chất, phép toán vấn đề đổi số 1.1 Khái niệm hệ ghi số Tiết trình bày số khái niệm tính chất sở hệ ghi số Luận văn quan tâm đến hệ ghi số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân 1.1.1 Định nghĩa Cho a > số hữu tỷ, b > số tự nhiên Giả sử a = an bn + an−1 bn−1 + + a1 b + a0 b0 + a−1 b−1 + a−2 b−2 + + a−mb−m , ®ã n, m ∈ N, an , , a0 , a−1 , , a−m ∈ {0, 1, , b − 1} an = Khi ta nói a = (an a0, a−1 a−m )b lµ biĨu diƠn cđa a hƯ ghi c¬ sè b 1.1.2 VÝ dơ Mét sè hƯ ghi số thờng gặp nh Hệ thập phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , để biểu diễn số hệ thập phân Chẳng hạn (12568, 36)10 = 1.104 + 2.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 3.10−1 + 6.10−2 HÖ nhị phân: Chúng ta dùng chữ số để biểu diễn số hệ nhị phân Chẳng hạn (111010, 01)2 = 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 Hệ bát phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , ®Ĩ biĨu diƠn số hệ bát phân Chẳng hạn (20365, 68)8 = 2.84 + 0.83 + 3.82 + 6.81 + 5.80 + 6.8−1 + 8.8−2 HƯ thËp lơc ph©n: Chóng ta dïng c¸c sè 0, 1, , chữ A, B, C, D, E, F để biểu diễn số hệ ghi số thập lục phân, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 Chẳng hạn 3.165 + A.164 + 0.163 + B.162 + 1.161 + F.160 + 3.16−1 + A.16−2 có biểu diễn hệ thập lục phân (3A0B1F, 3A)16 Nh− vËy dï ë hƯ ghi c¬ sè b bao gồm hai phần: phần nguyên phần b-phân (hay gọi phần lẻ), hai phần đợc ngăn cách với dấu phẩy Phần đứng bên trái dấu phẩy đợc gọi phần nguyên, phần đứng bên phải dấu phẩy đợc gọi phần b-phân hay phần lẻ Nếu số có phần lẻ không cần dùng dấu phẩy, số gọi số nguyên Nếu số viết hệ b = 10 bắt buộc ta phải biết số b kèm theo, viết hệ thập phân, tức b = 10, ta không cần viết số kèm theo 1.1.3 Định lý Cho số tự nhiên b > Khi số tự nhiên a > ®Ịu cã nhÊt mét biĨu diƠn hƯ ghi số b, tức tồn mét biĨu diƠn a = anbn + + a1 b + a0 , víi n lµ sè tù nhiªn, a0, a1 , , an ∈ {0, 1, , b − 1} vµ an = Chøng minh Ta chøng minh sù tån t¹i biĨu diƠn b»ng quy n¹p theo a NÕu a < b a = a biểu diễn cần tìm Cho a b giả thiết số tự nhiên nhỏ a có biểu diễn nh định lý Chia a cho b ta ®−ỵc a = cb + r víi c, r ∈ N r < b Do b > nên c < a Do theo giả thiết quy nạp ta cã biĨu diƠn c = ck bk + + c1 b + c0 , víi k số tự nhiên, c0 , c1 , , ck ∈ {0, 1, , b − 1} vµ ck = Suy a = ck bk+1 + + c1 b2 + c0 b + r Chän n = k + 1, ai+1 = ci víi i = 0, 1, , k vµ a0 = r ta cã kÕt qu¶ TiÕp theo, ta chøng minh tÝnh nhÊt biểu diễn quy nạp theo a Giả sử a = an bn + + a1b + a0 = a′mbm + + a′1 b + a′0 víi n ≥ m lµ hai biĨu diƠn cđa a hƯ ghi c¬ sè b NÕu a < b m = n = a = a0 = a0, biểu diễn Cho a b giả thiết kết cho số tự nhiên nhỏ a Vì a0, a0 {0, 1, , b 1} nên a0 a0 lµ d− cđa phÐp chia a cho b Do ... ghi số quan trọng hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi số đợc sư dơng phỉ biÕn nhÊt hiƯn lµ hƯ thËp phân, xuất ấn độ vào Thế... đếm số ngày Hệ ghi số 30 đếm số ngày tháng Hệ ghi số dùng để đếm số tháng quí Hệ ghi số đếm số ngày tuần, v.v Mục đích chơng trình bày khái niệm hệ ghi số, tính chất, phép toán vấn đề đổi số 1.1... niệm hệ ghi số Tiết trình bày số khái niệm tính chất sở hệ ghi số Luận văn quan tâm đến hệ ghi số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân 1.1.1 Định nghĩa Cho a > số