Luận văn: Giả khoảng cách tương đối Kobayashi

[...]... khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi 2.2.1 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi dX,Y l m rởng cừa giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX theo nghắa dX = dX,X 2.2.2 Vẳ Hol(D, X) FX,Y Hol(D, Y ), ta cõ dY dX,Y dX 2.2.3 dD ,D = dD Thêt vêy, bĐt ng thực dD ,D dD l trữớng hủp c biằt cừa 2.2.2 Dũng Ănh xÔ ỗng nhĐt IdD FD ,D nhữ l dƠy chuyãn chnh hẳnh nối 23 Chữỡng 2 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi hai im... , , xn ), (y1 , , yn ) = max dD (xi , yi ) i 1.4.2.4 nh lỵ GiÊ sỷ l khổng gian phực Khi õ, giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX : X ì X R l hm liản tửc X 1.5 Khổng gian phực hyperbolic 1.5.1 nh nghắa Khổng gian phực X ữủc gồi l khổng gian hyperbolic (theo nghắa Kobayashi) náu giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX l khoÊng cĂch trản X , tực l dX (p, q) = 0 p = q, p, q X Nhên xt Tứ nh nghắa v tẵnh chĐt giÊm... GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi Têp hủp = p0, , pk , a1, , ak , f1, , fk thọa mÂn cĂc iãu kiằn trản ữủc gồi l mởt dƠy chuyãn chnh hẳnh nối p v q trong X Ta nh nghắa k D (0, ai ), p,q , dX,Y (p, q) = inf i=1 trong õ p,q l têp hủp tĐt cÊ cĂc dƠy chuyãn chnh hẳnh nối p v q trong X Khi õ dX,Y : X ì X R l mởt giÊ khoÊng cĂch trản X v gồi l giÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi Náu p hoc q nơm... miãn b chn trong Cn khổng l miãn taut ỗng thới, Rossay [Ro] Â xƠy dỹng mởt miãn trong C3 l taut m khổng hyperbolic Ưy 21 Chữỡng 2 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa giÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi cũng mởt số ựng dửng cừa nõ trong viằc nghiản cựu tẵnh nhúng hyperbolic cừa cĂc khổng gian phực Sau Ơy ta luổn giÊ thiát X l khổng gian con phực... X (p, q) dX,Y (p, q) vợi p, q X Chựng minh Tẵnh giÊm khoÊng cĂch cừa giÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi l hin nhiản, vẳ náu l dƠy chuyãn chnh hẳnh nối hai im p v q trong X thẳ f cụng l dƠy chuyãn chnh hẳnh nối f (p), f (q) trong X BƠy giớ ta chựng minh tẵnh lợn nhĐt cừa giÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi LĐy hai im p, q tũy ỵ trong X Gồi = fi FX,Y , ai D, i = 1, , k l dƠy chuyãn chnh hẳnh... xÔ chnh hẳnh tứ D tợi X Ta chựng minh dX,Y X Gồi pi X, i = 0, , k l cĂc im 24 Chữỡng 2 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi thọa mÂn fi (0) = pi1 , fi (ai ) = pi Khi õ ta cõ k k X (p, q) X (fi (0), fi (ai )) X (pi1 , pi ) = i=1 k i=1 (0, ai ) i=1 Theo nh nghắa giÊ khoÊng cĂch Kobayashi ta cõ X (p, q) dX,Y (p, q) Vêy nh lỵ ữủc chựng minh 2.2.5 nh lỵ GiÊ sỷ X Y v X Y Khi õ vợi p, q X v... chnh hẳnh nản l giÊm khoÊng cĂch ối vợi cĂc giÊ khoÊng cĂch Kobayashi trản X ì X v trản X Tực l ta cõ dXìX ,Y ìY (p, q), (p , q ) dX,Y (p, q) Lỵ luên tữỡng tỹ vợi php chiáu :X ìX X ta cõ dXìX ,Y ìY (p, q), (p , q ) dX ,Y (p , q ) Vẳ vêy dXìX ,Y ìY (p, q), (p , q ) max dX,Y (p, q), dX ,Y (p , q ) 25 Chữỡng 2 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi Ngữủc lÔi, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ th giÊ sỷ... iãu phÊi chựng minh Chú ỵ Vẳ dX,Y (p, q) cõ th bơng khi p X , nản dX,Y cõ th khổng liản tửc trản X ì X Mằnh ã sau l tữỡng tỹ nh lỵ Barth ối vợi giÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi 28 Chữỡng 2 GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối Kobayashi 2.2.8 Mằnh ã 1 GiÊ sỷ dX,Y (p, q) > 0 vợi mồi p, q X , p = q Khi õ dX,Y l khoÊng cĂch trản X v nõ xĂc nh tổpổ cừa X 2 GiÊ sỷ dX,Y (p, q) > 0 vợi mồi p, q X , p =... Vợi x, y X , náu x = y thẳ theo HI1 ta suy ra mƠu thuăn vợi giÊ thiát dX (xn, yn) 0, n Vêy HI2 ữủc chựng minh HI2 HI3 GiÊ sỷ HI2 ữủc thọa mÂn Náu x, y X , do tẵnh liản tửc cừa giÊ khoÊng cĂch Kobayashi dX ta cõ dX (x, y) = 0 M X l hyperbolic nản suy ra x = y Náu x X , y X Vẳ y X nản tỗn tÔi dX - cƯu B(x, s) m y B(x, s) Do yn y nản yn B(x, s) vợi n ừ lợn Mt khĂc, dX (xn, x) 0 suy ra... 2s) BH (y, 2s) = LĐy x U X v y V Y ta cõ dX (x , y ) dH (x , y ) s > 0 Thêt vêy, tứ HI5 suy ra dH cõ tẵnh chĐt giÊm khoÊng cĂch vợi mồi f Hol(D, X), theo tẵnh chĐt lợn nhĐt cừa giÊ khoÊng cĂch Kobayashi ta cõ dX dH Tứ õ suy ra X l nhúng hyperbolic trong Y Vêy nh lỵ ữủc chựng minh hon ton 1.7.5 Nhên xt Náu cõ hm khoÊng cĂch trản X thọa mÂn dX (p, q) (p, q), p, q X thẳ X l nhúng hyperbolic