Đa thức có trọng và lý thuyết đa thế vị có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ BÍCH NGỌC ĐA THỨC CĨ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ CĨ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ BÍCH NGỌC ĐA THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ CĨ TRỌNG Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS,TSKH NGUYỄN VĂN KHUÊ Thái Nguyên - Năm 2012 2S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 HÀM CỰC TRỊ TRONG CN 1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm nửa liên tục 1.1.2 Hàm điều hòa 1.1.3 Hàm đa điều hòa 1.2 Một vài họ hàm đa điều hòa CN 1.3 Hàm L-cực trị 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 1.4 Tập L-cực 1.5 Độ đo Monge-Ampère ĐA CÓ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ TRỌNG Kiến thức chuẩn bị bổ sung Sự liên hệ độ đo cân có trọng khơng trọng Bất đẳng thức Bernstein-Markov L2 lý thuyết đa thức có trọng Tập hợp tròn tổng quát 3 8 13 18 VỊ 20 20 23 28 32 34 Kết luận 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 3S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn Luận văn Lý thuyết đa vị (không trọng), đặc biệt hàm cực trị đa phức nghiên cứu từ cuối năm 70 Các kết ứng dụng lý thuyết tìm hai cơng trình Siciak Bloom sách chun khảo Klimek Đặc biệt cơng trình Siciak, Siciak người đưa nghiên cứu sơ hàm cực trị có trọng Gần Bloom Levenberg giải số toán mở quan trọng lý thuyết đa vị nghiên cứu lý thuyết trường hợp có trọng Đó lý tơi chọn "Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng" làm đề tài nghiên cứu Luận văn Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích Luận văn Mục đích Luận văn trình bày cơng trình gần Thomas Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày phần cơng trình Siciak cực trị hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt kết ban đầu hàm cực trị Chương Trình bày cơng trình Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Các kết đáng ý ba Định lý 2.2.10, 2.3.4, 2.4.1 4S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K18B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập q trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Lê Bích Ngọc 5S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương HÀM CỰC TRỊ TRONG CN Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan tới việc chứng minh kết chương như: Hàm đa điều hòa dưới, hàm L-cực trị, tập L-cực 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa Hàm nửa liên tục Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian mêtric a) Hàm u : X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục tập hợp {x ∈ X : u(x) < α} mở với α ∈ R b) Hàm u : X → (−∞; +∞] gọi nửa liên tục tập hợp {x ∈ X : u(x) > α} mở với α ∈ R Nhận xét Từ định nghĩa ta có a) Hiển nhiên u nửa liên tục −u nửa liên tục b) Hàm u : X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục lim sup u(x) = u(a), x→a 6S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xảy với a ∈ X , lim sup u(x) = inf (sup{u(y) : y ∈ B(a, ε)}) x→a ε>0 Thật vậy, giả sử u nửa liên tục trên X Ta cần chứng minh lim sup u(x) = u(a) xảy với a ∈ X x→a Cho a ∈ X , coi u(a) = −∞ Do u nửa liên tục nên u nửa liên tục a Suy với ε > 0, tồn lân cận Ua ⊂ X a cho với x ∈ Ua ta có u(x) < u(a) + ε nên sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) + ε Từ đó, inf sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) + ε Vì ε nhỏ tùy ý nên Ua suy lim sup u(x) = inf sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) x→a Ua Mặt khác hiển nhiên ta có: u(a) ≤ lim sup u(x), x→a với a ∈ X Vậy xảy với a ∈ X lim sup u(x) = u(a), x→a 1.1.2 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi hàm điều hòa Ω thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) u hàm nửa liên tục trên Ω (ii) Với w ∈ Ω, tồn ρ > cho B(w, ρ) ⊂ Ω, ta có: u(w) ≤ 2π 2π u(w + reiθ )dθ, ≤ r < ρ Ta biết (ii) tương đương với (ii)’: Với ω ∈ Ω ρ > cho B(ω, ρ) ⊂ Ω, ta có 2π u(ω) ≤ 2π u(ω + reiθ )dθ Tập tất hàm điều hòa Ω ký hiệu SH(Ω) 7S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.3 Giả sử u, v hai hàm điều hòa Ω ∈ C Khi đó: (i) h(z) = max(u(z), v(z)) hàm điều hòa Ω (ii) Với số thực α, β > 0, ta có: h(z) = αu(z) + βv(z), hàm điều hòa Ω Chứng minh Hiển nhiên h(z) = max{u(z), v(z)} nửa liên tục trên Ω Mặt khác, lấy z0 ∈ Ω, tồn B(z0 , ρ) ⊂ Ω cho u(z0 ) ≤ 2π v(z0 ) ≤ 2π Do 2π u(z0 + re )dθ ≤ 2π 2π iθ 2π v(z0 + re )dθ ≤ 2π h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ, 2π iθ h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ 2π h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ h(z) ≤ 2π Vậy h(z) hàm diều hòa Ω (ii) Chứng minh tương tự (i) 1.1.3 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở CN u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω với a ∈ Ω b ∈ CN hàm λ → u(a + λb) hàm điều hòa đồng −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Tập tất hàm đa điều hòa Ω ký hiệu P SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục không đồng −∞ thành phần liên thông Ω ⊂ CN Khi u ∈ P SH(Ω) với a ∈ Ω b ∈ CN cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, ta có: u(a) ≤ 2π 2π u(a + eiθ b)dθ Hơn nữa, tính đa điều hịa có tính địa phương 8S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Điều kiện cần Giả sử u ∈ P SH(Ω) cần chứng minh với a ∈ Ω, b ∈ CN cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, ta có: 2π u(a) ≤ 2π u(a + eiθ b)dθ Thật vậy, u ∈ P SH(Ω) nên: u:D⊂C → R λ → u(a + λb) hàm điều hòa D = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω, b ∈ CN } Do {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, nên B(0, 1) ⊂ D Khi theo định nghĩa hàm điều hịa dưới, ta có: v(0) ≤ 2π 2π v(0 + 1e )dθ = 2π 2π iθ u(a + eiθ b)dθ với v(λ) = u(a + λb) Vậy u(a) ≤ 2π 2π u(a + eiθ b)dθ 2π iθ Điều kiện đủ Hiển nhiên u(a) ≤ 2π u(a + e b)dθ với a ∈ Ω, b ∈ CN mà {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω u ∈ P SH(Ω) Định lý chứng minh 1.2 Một vài họ hàm đa điều hòa CN Cho tập mở G CN , ta ký hiệu P SH(G) tập tất hàm đa điều hòa G Chúng ta ý đặc biệt đến họ hàm đa điều hòa CN sau đây: L = {u ∈ P SH(CN ) : u(x) ≤ β + log(1 + |x|) CN }, L+ = {u ∈ P SH(CN ) : α+log(1+|x|) ≤ u(x) ≤ β+log(1+|x|) CN }, 9S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α β số thực phụ thuộc vào u, |x| = max |xj | 1≤j≤N N với x = (x1 , , xN ) ∈ C Tập L gọi lớp Lelong CN Hiển nhiên L+ ⊂ L hai họ tập lồi P SH(CN ) Các phần tử L gọi hàm đa điều hòa với cấp tăng cực tiểu loại Đế ý f đa thức khác N biến phức với bậc ≤ n, ( n ) log |f | ∈ L Thật vậy, đặt M = sup{|f (x)| : |x| ≤ 1}; theo bất đẳng thức Cauchy: |f (x)| ≤ M (1 + |x| + + |x|n ) ≤ M1 (1 + |x|n ), M1 = const > 0, kéo theo kết Đặt ω(x) = CN exp(− 1−|x| ) với |x| ≤ ω(x) = với |x| ≥ với số dương CN chọn cho ω(x)dx = 1, phép lấy tích phân lấy với độ đo Lebesgue 2N −chiều CN Cho λ > bất kỳ, đặt ωλ (x) = λ−2N ω(λ−1 x) Từ ωλ (x)dx = ωλ (x) = với |x| ≥ λ Mệnh đề 1.2.1 Nếu u ∈ L ( u ∈ L+ ), uλ = u ∗ ωλ cho bởi: (u ∗ ωλ )(x) = x ∈ CN , u(x + y)ωλ (y)dy, C ∞ -hàm CN thuộc L (L+ ) Hơn nữa, uλ ↓ u λ ↓ Chứng minh Ta biết uλ C ∞ -hàm, uλ ∈ P SH(CN ) uλ ↓ u λ ↓ CN Từ định nghĩa uλ ta suy uλ ∈ L (tương ứng uλ ∈ L+ ) Mệnh đề 1.2.2 Cho hàm u ∈ L+ , đặt δ = e−u δλ (x) = infN [δ(y) + ( )|y − x|], x ∈ CN , λ > λ y∈C Khi (i) |δλ (x) − δλ (y)| ≤ ( λ1 )|x − y|, x, y ∈ CN ; (ii) uλ = − log δλ ∈ L+ < λ < eβ ; (iii) uλ ↓ u CN λ ↓ 10S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Mệnh đề đầu có từ Mệnh đề 5.6 [Si1], mệnh đề có từ tính (Bổ đề 5.1 [BLM]) Mệnh đề 2.2.3 dµeq (Z) có giá compact CN +1 − {t = 0} Chứng minh Do HZ∗ ∈ H HZ∗ (0) = −∞ suy HZ∗ < lân cận gốc ˆ Nhưng dµ (Z) khơng có khối Như vậy, gốc điểm Z eq ˆ nên ta có mệnh đề lượng thuộc phần Z Xét ánh xạ L : CN +1 − {t = 0} → CN cho bởi: z L(t, z) = = λ ∈ CN t Nếu ta xét PN (không gian xa ảnh N −chiều) không gian đường thẳng phức qua gốc CN +1 , L cho đồ PN Chú ý L(Cλ ) = λ Ta nhắc lại " H -nguyên lý" Siciak Tồn tương ứng - H(CN +1 ) L(CN ) sau: Mỗi u˜(t, z) ∈ H(C × CN ) kết hợp với u(z) = u˜(1, z) (2.3) Khi u ∈ L(CN ) Ngược lại, cho u ∈ L(CN ) ta đặt: z u˜(t, z) = u( ) + log |t| = L∗ u(λ) + log |t| với t = t (2.4) u˜(0, z) = lim u(sz) − log(s) = ρu (z) |s|→+∞ s∈C Khi u ˜ ∈ H(C × CN ) Hơn nữa, giả sử Pd (t, z) đa thức bậc d C × CN Khi d1 log |Pd (t, z)| ∈ H(C × CN ) phần tử kết hợp L(CN ) (2.3) là: d1 log |Pd (1, z)| Pd (1, z) đa thức z bậc ≤ d Ngược lại, cho đa thức Gd (z) z có bậc ≤ d, d1 log |Gd (z)| ∈ L(CN ) Hàm kết hợp với H(C × CN ) d1 log |td Gd ( zt )| Chú ý td Gd ( zt ) đa thức CN +1 có bậc d (t, z) Ta sử dụng ký hiệu: z Pd (t, z) = td Gd ( ) t 27S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Cho đa thức có trọng wd Gd (λ) E , ta thấy mối quan hệ chuẩn E với chuẩn đa thức kết hợp Pd (t, z) Z (hoặc tương đương, Z ) Cụ thể là, ta có: Bổ đề 2.2.4 wd Gd E = Pd (t, z) Z Chứng minh Lấy (t, z) ∈ Z ∩ Cλ λ ∈ E , đó: z Pd (t, z) = td Pd (1, ) = td Gd (λ) t vậy: z |Pd (t, z)| = |t|d |Pd (1, )| = w(λ)d |Gd (λ)| t Từ ta có kết Định lý 2.2.5 cho ta mối quan hệ hàm Green đa phức E hàm Green đa phức Z Định lý 2.2.5 HZ (t, z) = L∗ (VE,Q ) + log |t| với t = Chứng minh Lấy u ˜(t, z) ∈ H(C × CN ) giả sử u˜ ≤ Z Do u˜(t, λ1 t, , λN t) = u˜(1, λ) + log |t| với λ ∈ E , ta có, log |t| + u˜(1, λ) ≤ Cλ ∩ Z Vì vậy, u(λ) ≤ − log |t| = Q(λ) Cλ ∩ Z Do u ≤ VE,Q từ (2.4) ta có: u˜(t, z) ≤ L∗ (VE,Q ) + log |t| với t = Lấy sup theo điểm (t, z) u ˜ ta có: HZ ≤ L∗ (VE,Q ) + log |t| với t = (2.5) Phần lại chứng minh bất đẳng thức ngược Cho u ∈ L(CN ) với u ≤ Q E Khi với (t, z) ∈ Cλ ∩ Z , sử dụng (2.4), ta có u˜(t, z) = log |t| + u(λ) ≤ log |t| − log w(λ) ≤ Do u˜(t, z) ≤ Z u ˜(t, z) ≤ HZ C × CN Ta có: L∗ (u) + log |t| ≤ HZ với t = Lấy sup theo điểm u từ (2.5) cho ta bất đẳng thức ngược 28S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 ∗ (t, z) Hệ 2.2.6 HZ∗ (t, z) = VE,Q Chứng minh Xét điểm (t0 , z0 ) với t0 = Đặt λ0 = Khi theo Định lý 2.2.5, có z0 t0 HZ (t, z) = lim VE,Q (λ) + log |λ0 | lim λ→λ0 (t,z)→(t0 ,z0 ) ∗ (t , z ) (2.4)Chứng minh kết có t = vế phải VE,Q 0 hai vế (trong phát biểu Hệ 2.2.6) hàm đa điều hòa CN +1 với t = nên chúng phải CN +1 Các Hệ 2.2.7, 2.2.8 2.2.8 nói hội tụ dãy hàm Green đa phức dãy hội tụ trọng Hệ 2.2.7 Giả sử E ⊂ CN compact {wj }j=1,2, dãy trọng lượng chấp nhận E w trọng lượng chấp nhận E Giả sử wj ↓ w Khi đó: ∗ ∗ lim VE,Q = VE,Q j j Chứng minh Xét tập tròn CN +1 sau: Zj = Zj (E, wj ) Z = Z(E, w) Với {(t, z)| |t| ≤ wj } ↓ {(t, z)| |t| ≤ w} Nên Zˆ¯j ↓ Zˆ¯ kết suy từ Định lý 2.2.5 và( [8], Hệ 5.1.2) Hệ 2.2.8 Cho E , {wj }, w Hệ 2.2.7, trừ wj ↓ w quasi-khắp nơi Khi đó: ∗ ∗ lim VE,Q = VE,Q j j {(t, z)| |t| ≤ wj } {(t, z)| |t| ≤ w} khác biệt Chứng minh Rõ ràng j tập đa cực, hệ suy từ ([8], Hệ 5.2.5) Hệ 2.2.9 Cho E , {wj }, w Hệ 2.2.7 trừ wj ↑ w quasi-khắp nơi Khi đó: ∗ ∗ lim VE,Q = VE,Q j j Chứng minh Với tập đa cực F ta có Zj ∪ F ↓ Z ∪ F Từ (Hệ [K], 5.2.5 5.2.6) ta có: ∗ VZ∗j = VZ∗j ∪F ↓ VZ∪F = VZ∗ 29S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Từ sử dụng tính nhất, HZ∗ ↓ HZ từ Hệ 2.2.6, ∗ VE,Q ↓ VE,Q j Từ Mệnh đề 2.2.3, ta xét L∗ (dµeq (Z)) ảnh độ đo dµeq (Z) qua ánh xạ L Từ supp(dµeq (Z)) ⊂ Z ⊂ Cλ ta có supp(L∗ (dµeq (Z))) ⊂ E Ta λ∈E nghiên cứu thêm mối quan hệ Giả thiết Z quy Độ đo cân Z độ đo cân có trọng E liên hệ định lý sau: Định lý 2.2.10 L∗ 2π dµeq (Z) = dµeq (E, w) Chứng minh HZ liên tục Mệnh đề 2.2.2 vậy, hệ Định lý 2.2.5 VE,Q liên tục Khi đó: ddc HZ = ddc L∗ (VE,Q ) = L∗ (ddc VE,Q ) với t = vậy: (ddc HZ )N = L∗ (ddc VE,Q )N = L∗ (dµeq (E, w)) với t = Giả sử φ hàm có giá compact trơn CN +1 − {t = 0} Khi đó: φ(ddc VZ )N +1 = φdµeq (Z) = CN +1 CN +1 Bây giờ, (2.6) CN +1 ↓ 0, Max(HZ , ) − ↑ VZ C N Vì vậy: VZ ddc φ∧(ddc VZ )N = lim →0 CN +1 CN +1 VZ ddc φ ∧ (ddc VZ )N (Max(HZ , )− )ddc φ∧(ddc VZ )N (2.7) Chú ý {z ∈ CN +1 | Max(HZ , ) = } lân cận Z CN +1 Max(HZ (z), ) > VZ = HZ Vì vậy, vế phải biểu thức (2.7) ta thay VZ HZ để được: VZ ddc φ ∧ L∗ (ddc VE,Q )N VZ ddc φ ∧ (ddc HZ )N = CN +1 (2.8) CN +1 30S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Tất hàm lấy tích phân (2.6), (2.7) (2.8) có giá compact CN +1 − {t = 0} Do vậy, vế phải (2.8) bằng: VZ ddc φ dµeq (E, w) = CN Cλ φddc VZ dµeq (E, w) CN (2.9) Cλ Với λ ∈ E , ta đặt dmλ độ đo Lebesgue đường tròn |t| = w(λ) Cλ chuẩn hóa Khi 2π ddc V Z = dmλ Vì vậy, vế phải (2.9) Cλ bằng: 2π φdmλ dµeq (E, w) CN Cλ Định lý 2.2.10 chứng minh Hệ giả thiết Z quy bỏ từ giả thiết Định lý 2.2.10 Hệ 2.2.11 L∗ 2π dµeq (Z) = dµeq (E, w) Chứng minh Ta cần dãy tập compact quy địa phương Ej , với trọng chấp nhận liên tục wj Ej cho Ej ↓ E wj ↓ w E Khi Z(Ej , wj ) ↓ Z(E, w) Áp dụng Định lý 2.2.10 cho Z(Ej , wj ) Ej lấy giới hạn ta Hệ 2.2.11 Sự xây dựng dãy {Ej } {wj } xem [3], mục 7) 2.3 Bất đẳng thức Bernstein-Markov Cho tập compact E ⊂ CN độ đo Borel hữu hạn dương µ E , ta nói (E, µ) thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov (B-M) với > 0, tồn số C = C( ) > cho với đa thức chỉnh hình p ta có: p E ≤ C(1 + )deg(p) p L2 (µ) (2.10) Bất đẳng thức dùng liên quan tới tính chất L2 đa thức với lý thuyết vị bất biến E Trong mục giới thiệu dạng "có trọng" bất đẳng thức B-M 31S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Cho tập compact E ⊂ CN , trọng lượng chấp nhận w E độ đo Borel hữu hạn dương µ E , ta nói (E, w, µ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M với trọng w với > 0, tồn số C = C( ) > cho, với đa thức có trọng wd p ta có: wdp E ≤ C(1 + )d wd p L2 (µ) (2.11) Tất nhiên, với w ≡ 1, (2.11) rút gọn thành (2.10) Ta tìm mối liên hệ bất đẳng thức B-M có trọng với (E, w, µ) bất đẳng thức B-M Z độ đo ν ν định nghĩa sau: dν = dmλ ⊗ dµ với λ ∈ E Cλ , với φ liên tục có giá compact CN +1 − Hiển nhiên supp(ν) ⊂ λ∈E {t = 0}, ta có: φdν = φdmλ dµ(λ) E CN +1 Cλ Định lý 2.3.1 (E, w, µ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng (Z, ν) thỏa mãn bất đẳng thức B-M Chứng minh Trước hết sử dụng Bổ đề 2.2.4 ta chứng minh Bổ đề 2.3.2 Pd L2 (ν) = wd Gd L2 (µ) Chứng minh Pd đa thức có bậc d CN +1 Ta có: |Pd (t, z)|2 dν = |Pd (t, z)|2 dmλ dµ(λ) E CN +1 Cλ |wd Gd |2 dµ(λ), sử dụng (2.5) = E = wd Gd L2 (µ) Bây giờ, giả sử (Z, ν) thỏa mãn bất đẳng thức B-M Áp dụng bất đẳng thức với đa thức nhất, sử dụng Bổ đề 2.2.4 2.3.2 ta thu bất đẳng thức B-M có trọng cho (E, w, µ) 32S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Chiều ngược lại, giả sử (E, w, µ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng Đầu tiên ta ý hai đơn thức khác bậc, chúng trực giao L2 (ν) hạn chế chúng Cλ trực giao L2 (dmλ ) Do đó, với đa thức p CN +1 , viết dạng tổng đa thức d p= pi i=0 thì: d p L2 (ν) = pi L2 (ν) (2.12) i=0 Do đó, với > có C > cho: d p Z ≤ pi Z ≤ C(1+ )d pi L2 (ν) ≤ C(d+1)(1+ )d p L2 (ν) (2.13) i=0 bất đẳng thức thứ hai có từ Bổ đề 2.2.4, 2.3.2 bất đẳng thức B-M có trọng cho (E, w, µ) Bất đẳng thức thứ ba (2.13) có từ (2.12) Bất đẳng thức B-M có từ (2.13) Hệ 2.3.3 Giả sử Z quy Khi (E, w, dµeq (E, w)) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng Chứng minh Đó kết Nguyen-Zeriahi [9] kết hợp với ([8], Hệ 5.6.7) cho ta (Z, dµeq (Z)) thỏa mãn bất đẳng thức B-M Tuy nhiên, dµeq (Z) = dmλ ⊗ dµeq (E, w) từ Định lý 2.2.10 ta có: 2π Ta đưa tình khác mà bất đẳng thức B-M có trọng thỏa mãn Định lý 2.3.4 Cho E tập compact, quy địa phương ⊂ RN w liên tục E với inf w(z) > Giả sử σ độ đo Borel hữu hạn z∈E dương E (E, σ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M Khi (E, w, σ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng Chứng minh log w liên tục E theo Định lý Weierstrass, xấp xỉ đa thức Đó là, cho > tồn g = g (x1 , , xn ) 33S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 đa thức thực cho e− log w − g E ≤ Mũ hóa, ta có: w ≤e với z ∈ E ≤ exp(g ) Ta xét g đa thức chỉnh hình g = g (z1 , , zN ) Lấy đủ nhiều số hạng chuỗi lũy thừa exp(g ) ta đa thức chỉnh hình H thỏa mãn, với đủ nhỏ: w 1−2 ≤ ≤1+2 với z ∈ E H Bây giờ, xét đa thức có trọng wd G đặt J = GH d Khi đó: wd |G| = |J| w |H| d Vì vậy: |J|(1 − )d ≤ wd |G| ≤ |J|(1 + )d với z ∈ E Từ bất đẳng thức B-M cho (E, σ) ta có, với cho: J E ≤ C1 (1 + )(h+1)d J (2.14) > tồn C1 > L2 (σ) (2.15) h = deg H Do đó: wdG E ≤ J E (1 + )d từ vế phải bất đẳng thức (2.14) ≤ C1 (1 + )(h+1)d (1 + )d J L2 (σ) (2.15) d (h+1)d (1 + ) ≤ C1 (1 + ) wd G L2 (σ) vế trái (2.14) d (1 − ) Với > chọn h cố định, ta chọn ta thu được: d w G Nhưng mãn E cho (1 + )(h+1) ≤ + (1 + )d (1 + )d d ≤ C1 w G (1 − )d L2 (σ) > tùy ý nên bất đẳng thức B-M có trọng thỏa 34S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Ví dụ 2.3.5 Cho BR = {x ∈ RN | |x| ≤ R} hình cầu bán kính R (tâm gốc) Khi (BR , dx) thỏa mãn bất đẳng thức B-M với dx biểu thị độ đo Lebesgue Lấy w(x) hàm liên tục dương BR Khi từ Định lý 2.3.4 (BR , w, dx) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng 2.4 L2 lý thuyết đa thức có trọng Cho E tập compact không đa cực CN , w trọng chấp nhận E µ đọ đo Borel hữu hạn dương với supp(µ) = E Với d số nguyên dương, tập đơn thức độc lập tuyến tính L2 (w2d µ) ([BL1]) Bằng việc thứ tự số mũ chúng áp dụng phương pháp Gram-Schmidt ta thu đa thức trực chuẩn {pdα (z, µ)}α∈Nn : pdα (z, µ)pdβ (z, µ)w2d dµ = δαβ CN với đa số α, β Ta viết: pdα (z, µ) = adα z α + (các đơn thức có bậc thấp hơn) với adα > Ta xét đa thức mà |α| = d Trong trường hợp (E, w, µ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng ta số mũ cao {adα } có tiệm cận giới hạn theo phương Trước hết ta đặt: n N Σ0 := {θ ∈ R | θ = (θ1 , , θN ), θj = 1, θj > 0} j=1 Ta xét dãy đa số {α(j)} với θ ∈ Σ0 cho: lim |α(j)| = +∞ lim j j α(j) = θ |α(j)| (2.16) Định lý 2.4.1 Giả sử (E, w, µ) thỏa mãn bất đẳng thức B-M có trọng {α(j)} dãy đa số thỏa mãn (2.16) Khi đó: lim j adα(j) 35S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên d = τ w (E, θ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 với τ w (E, θ) số Tchebyshev theo phương có trọng E theo hướng θ Chứng minh Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa số Tchebyshev theo phương có trọng Cho đa số α, ta đặt P (α) = {q| q = z α + cβ z β }, β 0, có C > cho: ≤ C(1 + )d wd qαd L2 (µ) ≤ C(1 + )d wd tdα L2 (µ) ≤ C1 (1 + )d wd tdα E Do đó, với bất đẳng thức B-M có trọng (2.19) > có số C1 > cho: wd tdα E ≤ wd qαd E ≤ C1 (1 + )d wd tdα E (2.20) Chọn dãy đa số {α(j)} thỏa mãn (2.16), lấy lũy thừa 1/d biểu thức (2.20), cho j → ∞, sử dụng (2.17), (2.18) > tùy ý, ta kết cần tìm 36S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.5 Tập hợp tròn tổng quát ˆ¯ Các tập hợp tròn có dạng Z(E, w) có tính chất sau: i) Lồi đa thức, ii) trịn, iii) compact, iv) khơng đa cực ˆ¯ Tuy nhiên, tập có dạng Z(E, w) Ta ra, nhiên hầu hết tập với tính chất giới hạn ˆ¯ tập dạng Z(E, w) N +1 Cho Z ⊂ C tập với tính chất i), ii), iii), iv) Khi điểm gốc điểm Z Ta liên kết Z với hàm CN định nghĩa bởi: w(λ) := sup{|t| | (t, z) ∈ Z ∩ Cλ } Khi w(λ) > với λ w bị chặn Ta đặt Q(λ) := − log w(λ) Mệnh đề 2.5.1 w nửa liên tục trên CN Chứng minh Cố định λ0 ∈ CN Gọi {λs }s=1,2, dãy CN hội tụ λ0 Ta cách xác định dãy con, giả sử lim(λs ) := w0 tồn Các điểm (w(λs ), λs1 w(λs ), , λsN w(λs )) ∈ Z ∩ Cλs , s Z compact, điểm (w0 , λ01 w0 , , λ0N w0 ) ∈ Z ∩ Cλ0 Vì vậy, theo định nghĩa w, w(λ0 ) ≥ w0 = lim w(λs ) s Mệnh đề 2.5.2 Q∗ hàm đa điều hòa CN Chứng minh Z = {(t, z) ∈ CN +1 | HZ (t, z) ≤ 0} Ta có: HZ (t, z) = log |t| + HZ (1, λ) vậy: log w(λ) = −HZ (1, λ) Q(λ) = HZ (1, λ) 37S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Nhưng HZ = HZ∗ bên ngồi tập trịn đa cực CN +1 từ [BL2, Bổ đề 6.1] HZ (1, λ) = HZ∗ (1, λ) quasi-khắp nơi CN Vì Q∗ = HZ∗ (1, λ) Ví dụ 2.5.3 Z = {|t|2 + |z1 |2 + + |zN |2 ≤ 1} ⊂ CN +1 Khi w(λ) = (1 + |λ1 |2 + + |λN |2 )− Q(λ) = 12 log(1 + |λ1 |2 + + |λN |2 ) Đặt ZR := {(t, z) ∈ Z | |z| |t| ≤ R} Mệnh đề 2.5.4 lim dµeq (ZR ) = dµeq (Z) * yếu R→∞ Tức là: lim R→∞ ϕdµeq (ZR ) = ϕdµeq (Z) với ϕ liên tục giá compact CN Chứng minh ZR ∪T ↑ Z ∪T với T tập hợp đa cực {(t, z) ∈ CN +1 | t = 0} Từ VZ∗R ↓ VZ∗ R → ∞ Kết có từ ([8], Hệ 5.2.5 5.2.6) tính liên tục tốn tử Monge-Ampère giới hạn giảm [8] dµeq (ZR )) = (ddc Q∗ )N Mệnh đề 2.5.5 lim L∗ ( 2π R→∞ Chứng minh Đặt wR = w/B(0, R), QR = − log wR Khi họ hàm ∗ điều hòa VB(0,R),Q giảm R → ∞ Từ Q∗ đa điều hòa dưới, R ∗ ∗ VB(0,R),Q = Q∗ B(0, R) VB(0,R),Q ↓ Q∗ Kết có từ R R việc áp dụng Định lý 2.2.10 38S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Hàm L−cực trị Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Kết luận văn ba định lý sau: (i) Định lý 2.2.10 đẳng thức L∗ ( 2π dµeq (Z)) = dµeq (E, w) (ii) Định lý 2.3.4 bất đẳng thức Bernstein-Markov có trọng (iii) Định lý 2.4.1 số Tchebyshev có trọng Vấn đề tiếp tục nghiên cứu áp dụng kết có trọng vào số vấn đề mở lý thuyết đa vị không trọng làm Bloom Levenberg 39S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Diệu - Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết đa vị, Nhà xuất Đại học sư phạm,2009 [2] Thomas Bloom, Weighted polynomials and weighted pluripotential theory, Department of Mathematics University of Toronto, 2006, Canada [3] T Bloom - N Levenberg, Weighted pluripotential theory on CN , Am J of Math 125 (2003),57-103 [4] T Bloom - N Levenberg - S Ma’u, Robin functions and extremal functions, Ann Pol Math 80 (2003), 55 - 84 [5] J-P Ferrier, Spectral theory and complex analysis, North Holland, 1973 [6] B Josefson, On the equivalence between locally polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on CN , Arkiv for Mat 16 (1) (1978), p 109 - 115 [7] M.Klimek, Pluripotential theory, The Clarendon Press Oxford University Press, NewYork, 1991, Oxford Science Publications [8] M Klimek, Pluripotential Theory, London Mathematical Society Monggraphs, New Series, Oxford University Press, 1991 [9] T.V Nguyen - A Zeriahi, Familles de polynômes presques partout bornées, Bull Soc Math Fr 107 (1983), 81-91 [10] Jozef Siciak, Extremal plurisubharmonic functions in Cn , Jagellonian University, Institute of Mathematics, Krakow, Poland, 1981 40S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 [11] J Siciak, Extremal plurisubharmonic functions in CN , Ann Pol Math 39 (1981) 175-211 [12] E.B Saff - V.Totik, Logarithmic Potentials with Extremal Fields, Grundlehren Math Wiss [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 316 (1997), Springer-Verlag, Berlin 41S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... sơ hàm cực trị có trọng Gần Bloom Levenberg giải số toán mở quan trọng lý thuyết đa vị nghiên cứu lý thuyết trường hợp có trọng Đó lý tơi chọn "Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng" làm đề... đến đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích Luận văn Mục đích Luận văn trình bày cơng trình gần Thomas Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng. .. trị Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Kết luận văn ba định lý sau: (i) Định lý 2.2.10 đẳng thức L∗ ( 2π dµeq (Z)) = dµeq (E, w) (ii) Định lý 2.3.4 bất đẳng thức Bernstein-Markov có trọng