Chỉ số thu gọn của iđêan tham số trong vành địa phương

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các khái niệm tính chất 1.1 Hệ tham số, số bội, đối đồng điều địa phương 1.2 Môđun Cohen Macaulay mở rộng 1.3 Chỉ số thu gọn 10 Chỉ số thu gọn iđêan tham số 14 2.1 Môđun tựa Buchsbaum 14 2.2 Đẳng thức I = QI vành tựa Buchsbaum 22 2.3 Đẳng thức I = QI vành Gorenstein 26 Chỉ số đối thu gọn môđun Artin 3.1 Chỉ số đối thu gọn 3.2 Phủ xạ ảnh 3.3 Phân tích thứ cấp môđun nội xạ 31 31 34 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI NÓI ĐẦU Cho (A, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại m trường thặng dư k = A/m; M A-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d, q iđêan tham số M sinh hệ tham số (x1 , , xd ) Năm 1921, E Noether chứng minh iđêan vành Noether biểu diễn giao số hữu hạn iđêan bất khả quy Noether chứng minh biểu diễn thu gọn tức bỏ thành phần bất khả quy biểu diễn, số iđêan bất khả quy xuất giao phụ thuộc vào iđêan không phụ thuộc vào biểu diễn cụ thể Kết sau mở rộng tới môđun Noether Với môđun N M , ta gọi số môđun bất khả quy xuất phân tích thu gọn N giao môđun bất khả quy số thu gọn N Với iđêan tham số q M , ta định nghĩa số thu gọn q M số thu gọn môđun qM ; ký hiệu NA (q; M ) Từ q iđêan tham số M , ta có M/qM có độ dài hữu hạn Khi số thu gọn iđêan tham số q M chiều đế M/qM xét không gian véctơ trường k; tức NA (q; M ) = dimk HomA (k, M/qM ), đế M tổng tất môđun đơn M, ký hiệu Soc(M ) Năm 1956, D G Northcott chứng minh số thu gọn iđêan tham số vành Cohen Macaulay địa phương phụ thuộc vào vành mà không phụ thuộc vào iđêan tham số ([N], Theorem 3) Kết mở rộng tới môđun số thu gọn iđêan tham số môđun Cohen Macaulay gọi kiểu môđun Mặc dù Northcott D G Rees chứng minh vào năm 1956 iđêan tham số vành Noether địa phương A bất khả quy A vành Cohen Macaulay, tính bất biến số thu gọn iđêan tham số không đặc trưng cho vành Cohen Macaulay địa phương Năm 1964, S Endo M Narita đưa ví dụ vành Noether địa phương không Cohen Macaulay có số thu gọn iđêan tham số số [EN] Năm 1984, S Goto N Suzuki tiếp tục nghiên cứu số thu gọn iđêan tham số tổng quát ví dụ Endo-Narita, từ chặn số thu gọn iđêan tham số Năm 2003, Goto H Sakurai chứng minh M môđun Buchsbaum, tồn luỹ thừa bậc l m cho iđêan tham số M nằm ml có số thu gọn M ([GSa], Corollary 3.13) Tiếp theo kết này, năm 2004, Jung Chen Liu M W Roger chứng minh M môđun Cohen Macaulay suy rộng (một lớp môđun mở rộng môđun Buchsbaum) thỏa mãn tính chất hầu hết môđun đối đồng điều địa phương Him (M ) M trừ giá trị i ∈ {0, r, d} với r d, tồn số nguyên l cho số thu gọn iđêan tham số M nằm ml số Kết đòi hỏi hầu hết môđun đối đồng điều địa phương M triệt tiêu Có câu hỏi đặt có nhiều môđun đối đồng điều địa phương khác không M có tính chất hay không? Từ đặt vấn đề luận văn nghiên cứu số thu gọn lớp môđun rộng môđun Buchsbaum lớp môđun tựa Buchsbaum; xây dựng khái niệm đối ngẫu khái niệm số đối thu gọn trình bày số tính chất ban đầu số đối thu gọn Với mục đích trên, luận văn chia làm chương Chương Các khái niệm tính chất Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày chi tiết chứng minh kết cổ điển số thu gọn môđun con, công thức tính trường hợp môđun thương ứng với môđun có độ dài hữu hạn Chương Chỉ số thu gọn iđêan tham số Ở đây, trình bày số kết tính bất biến số thu gọn iđêan tham số lớp môđun Cohen Macaulay suy rộng sở kết M W Roger ([R2]), từ chứng minh tính chất cho trường hợp lớp môđun môđun tựa Buchsbaum Tiếp theo, trình bày số kết Shiro Goto đồng chứng minh số đẳng thức cụ thể liên quan đến việc nghiên cứu tính Cohen Macaulay, tính Buchsbaum đại số Rees, vành phân bậc liên kết mà có sử dụng tính chất số thu gọn Chương Chỉ số đối thu gọn môđun Artin Trọng tâm chương định nghĩa khái niệm số đối thu gọn, chứng minh tính chất đối ngẫu với tính chất số thu gọn trường hợp môđun xét môđun Artin Từ tìm công thức tính số đối thu gọn mối quan hệ số đối thu gọn với tính chất phủ xạ ảnh phân tích bất khả tổng bao nội xạ môđun hữu hạn sinh Trong suốt luận văn, ta giả thiết A vành giao hoán có đơn vị, Noether, địa phương với iđêan tối đại m, trường thặng dư k = A/m, M A-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull d Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Tự Cường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tác giả vô biết ơn Thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng, Thầy quan tâm nhắc nhở tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có nhiều thời gian học tập, thực hành nghiên cứu khoa học Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo khoa tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình công tác học tập trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn Sêminar "Lý thuyết vành môđun", anh chị bạn học viên Cao học 13 Đại số - Lý thuyết số tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2007 CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Trong toàn luận văn ta giả thiết A vành giao hoán, có đơn vị, Noether, địa phương, với iđêan tối đại m, trường thặng dư k = A/m chương này, trình bày khái niệm, tính chất Đại số giao hoán dùng cho nội dung chương sau 1.1 Hệ tham số, số bội, đối đồng điều địa phương a) Hệ tham số, số bội Cho M môđun hữu hạn sinh với dim M = d vành giao hoán, địa phương, Noether (A, m) Một hệ phần tử x = (x1 , , xd ) A cho A (M/(x1 , , xd )M ) < +∞ gọi hệ tham số M Iđêan q = (x1 , , xd )A gọi iđêan tham số M Chú ý q + AnnA M iđêan định nghĩa M Ta có số tính chất sau hệ tham số (i) dim(M/(x1 , , xi )M = d − i với i = 1, , d (ii) xi+1 ∈ / p với p ∈ AssA (M/(x1 , , xi )M ) thỏa mãn dim A/p = d − i, i = 1, , d − Một hệ phần tử x = (x1 , , xn ) A cho A (M/(x1 , , xn )M ) < +∞ gọi hệ bội M , với n = ta hiểu điều kiện có nghĩa A (M ) < +∞ Khi số bội e(x; M ) M hệ bội x định nghĩa quy nạp theo n sau: Giả sử n = 0, ta đặt e(∅; M ) = A (M ) Với n > 0, A (M/(x1 , , xn )M ) < +∞ A ((0 :M x1 )/(x2 , , xn )(0 :M x1 )) < +∞, tức (x2 , , xn ) hệ bội (0 :M x1 ) Theo giả thiết quy nạp e(x2 , , xn ; M/x1 M ) e(x2 , , xn ; :M x1 ) xác định Từ ta định nghĩa e(x; M ) = e(x2 , , xn ; M/x1 M ) − e(x2 , , xn ; :M x1 ) Ta có số tính chất sau số bội e(x; M ): (i) e(x; M ) A (M/(x1 , , xn )M ) Nếu có giá trị i cho xni M = 0, với n số tự nhiên đó, e(x; M ) = (ii)(Định lý cộng tính số bội) Giả sử −→ Mn −→ −→ M1 −→ M0 −→ dãy khớp A-môđun Noether x hệ bội Mi , ∀i = 0, n Khi n (−1)n e(x; Mi ) = i=0 (iii) Cho x = (x1 , , xn ) hệ bội M Khi e(x; M ) = n > dim M (iv) Cho t1 , , tn số nguyên dương Ta có e(xt11 , xtnn ; M ) = t1 tn e(x; M ) b) Đối đồng điều địa phương Cho M A-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull d, a ⊆ A iđêan A Khi hàm tử a-xoắn Γa (−) từ phạm trù A-môđun vào phạm trù ∞ A-môđun xác định Γa (M ) = (0 :M an ) hàm tử cộng tính, n=1 khớp trái, hiệp biến phạm trù A-môđun với hàm tử dẫn xuất phải thứ i Ri Γa (−) (i = 1, 2, ) Môđun đối đồng điều thứ i M , ký hiệu Hia (M ), định nghĩa Hia (M ) = Ri Γa (M ) Ta có số tính chất sau đối đồng điều địa phương (i) Nếu an M = với số tự nhiên n H0a (M ) = M Hia (M ) = (i > 0) (ii) Cho r số tự nhiên Khi Hia (M ) môđun hữu hạn sinh với i < r tồn số tự nhiên n cho an Hia (M ) = với i < r (iii) Khi a = m iđêan cực đại A Him (M ) A-môđun Artin, Him (M ) = 0, ∀i > d Đặc biệt Hdm (M ) hữu hạn sinh d = 1.2 Môđun Cohen Macaulay mở rộng Với iđêan tham số q M , q = xA (x hệ tham số M ), ta có e(q; M ), e(q; M ) := e(x; M ) Ký hiệu A (M/q) I(q; M ) = A (M/qM ) − e(q; M ) Khi I(q; M ) với iđêan tham số q Năm 1965, D A Buchsbaum đặt giả thuyết: "I(q; M ) số với iđêan tham số q M " Tuy nhiên, năm 1973, W Vogel J St¨ uckard đưa số ví dụ chứng tỏ giả thuyết D A Buchsbaum sai Nghĩa I(q; M ) số với iđêan tham số q Đặt I(M ) = supq I(q; M ), với sup lấy tập tất iđêan tham số M Khi I(M ) hữu hạn vô hạn Từ đó, ba lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán định nghĩa sau: Định nghĩa (i) Môđun M gọi môđun Cohen Macaulay I(q; M ) = với iđêan tham số q M (ii) Môđun M gọi môđun Buchsbaum I(q; M ) số với iđêan tham số q M (iii) M gọi môđun Cohen Macaulay suy rộng I(M ) < ∞ Theo [Tr], số I(M ) xác định công thức d−1 I(M ) = d−1 i (Him (M )), i=0 Him (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá m Với q iđêan tham số M , q = (x)A, với hàm I(q; M ), hàm J(q; M ) xác định bởi: J(q; M ) = e(q; M ) − (M/QM (q)), QM (q) := t>0 t+1 M :M xt1 xtd , có nhiều tính chất xt+1 , , xd tương tự hàm I(q; M ) như: (i) Nếu M môđun Cohen Macaulay J(q; M ) = với iđêan tham số q M (ii) Nếu M môđun Buchsbaum J(q; M ) số với iđêan tham số q M (iii) Nếu M môđun Cohen Macaulay suy rộng cận hàm J(q; M ) với q chạy khắp tập iđêan tham số M J(M ) = supq J(q; M ) số Khi đó, theo [CL], d−1 J(M ) = d−1 i−1 (Him (M )) i=1 Sau đặc trưng môđun Cohen Macaulay môđun Cohen Macaulay suy rộng thông qua đối đồng điều địa phương (i) M môđun Cohen Macaulay Him (M ) = với i = 0, , d − (ii) M môđun Cohen Macaulay suy rộng A (Him (M )) < ∞ với i = 0, , d − Môđun Buchsbaum đặc trưng tốt thông qua đối đồng điều địa phương Tuy nhiên M môđun Buchsbaum m Him (M ) = với i = 0, , d − Trong trường hợp M môđun thoả mãn m Him (M ) = với i = 0, , d − M gọi môđun tựa Buchsbaum Rõ ràng môđun Cohen Macaulay môđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum môđun tựa Buchsbaum, môđun tựa Buchsbaum môđun Cohen Macaulay suy rộng Nhằm nghiên cứu cấu trúc lớp môđun Cohen Macaulay mở rộng, nhiều khái niệm dãy hệ tham số nhà toán học xây dựng trở thành công cụ nghiên cứu hữu hiệu Sau số khái niệm hệ tham số dãy liên quan đến nội dung luận văn Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc Ngô Việt Trung [Tr] đưa sau: Một hệ tham số x = (x1 , , xd ) gọi hệ tham số chuẩn tắc M thoả mãn hai điều kiện tương đương: (i) A (M/xM ) − e(x; M ) = A (M/(x21 , , x2d )M ) − e((x21 , , x2d ); M ); (ii) A (M/xM ) − e(x; M ) = A (M/(xn1 , , xnd d )M ) − e((xn1 , , xnd d ); M ) với n1 , , nd Iđêan a vành A gọi iđêan chuẩn tắc môđun M hệ tham số (x1 , , xd ) M chứa a hệ tham số chuẩn tắc Khi đó, với r d, ta có ((x1 , , xr−1 ) M :M xr ) = ((x1 , , xr−1 ) M :M a) Một số tính chất sau hệ tham số chuẩn tắc dùng luận văn (i) x = (x1 , , xd ) hệ tham số chuẩn tắc M x hệ tham số chuẩn tắc M/ H0m (M ) xM ∩ H0m (M ) = (ii) M môđun Cohen Macaulay suy rộng M có hệ tham số chuẩn tắc Hơn ta có I(M ) = A (M/xM ) − e(x; M ) x hệ tham số chuẩn tắc (iii) x = (x1 , , xd ) hệ tham số chuẩn tắc M q Him (M/qj ) = với i, j ≥ 0, i + j < d, qj = (x1 , , xj )A q = (x1 , , xd )A (iv) M môđun Buchsbaum hệ tham số M hệ tham số chuẩn tắc (v) Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số chuẩn tắc M , ta có I(x; M ) = I(M ); J(x; M ) = J(M ) Một phần tử a ∈ A gọi M -chính quy ax = với x ∈ M , x = Dãy phần tử x1 , , xn A gọi M -dãy quy thỏa mãn điều kiện: (i) M/(x1 , , xn )M = 0; (ii) xi M/(x1 , , xi−1 )M -chính quy với i = 1, , n Cho I iđêan A Số phần tử lớn có M -dãy quy nằm I gọi I − depth M ký hiệu depthI (M ) Nếu I = m, ta ký hiệu depthm (M ) đơn giản depth(M ) Một hệ phần tử x1 , , xr m gọi M -dãy yếu với i = 1, , r, ta có (x1 , , xi−1 )M :M xi = (x1 , , xi−1 )M :M m Rõ ràng M -dãy M -dãy yếu Một hệ phần tử x1 , , xr m gọi d-dãy M (x1 , , xi−1 )M :M xi = (x1 , , xi−1 )M :M xi xj , với ≤ i ≤ j ≤ r Giả sử x1 , , xr d-dãy M Khi đó, theo [GSa] ta có (i) (x1 , , xi−1 )M :M x2i = (x1 , , xi−1 )M :M xi = (x1 , , xi−1 )M :M (x1 , , xr ), với ≤ i ≤ r (ii) ((x1 , , xi−1 )M :M xi )∩(x1 , , xr )n M = (x1 , , xi−1 )(x1 , , xr )n−1 M , với số nguyên ≤ i ≤ r ≤ n ∈ Z 1.3 Chỉ số thu gọn Cho M A-môđun hữu hạn sinh Môđun N M gọi môđun bất khả quy không tồn môđun A, B M chứa thực N thoả mãn A ∩ B = N Theo [M1] ta có tính chất sau: 1.3.1 Mệnh đề Cho M A-môđun hữu hạn sinh Môđun bất khả quy M môđun nguyên sơ môđun nguyên sơ phân tích thành giao môđun bất khả quy Cho N môđun M Nếu N biểu diễn giao hữu hạn môđun nguyên sơ ta nói N có phân tích nguyên sơ Một phân tích nguyên sơ có thành phần khác đôi thành phần nguyên sơ bỏ gọi phân tích nguyên sơ thu gọn 1.3.2 Định lý (Định lý phân tích nguyên sơ) Cho M A-môđun Noether Khi ta có (i) Mọi môđun N M biểu diễn giao môđun nguyên sơ (N có phân tích nguyên sơ) (ii) Giả sử N = Q1 ∩ ∩ Qn phân tích nguyên sơ thu gọn N với Qi Pi -nguyên sơ Khi tập {P1 , , Pn } xác định N (iii) Giả sử N = Q1 ∩ ∩ Qn phân tích nguyên sơ thu gọn N với Qi Pi -nguyên sơ Khi Pj phần tử tối tiểu tập {P1 , , Pn } Qj xác định N Thành phần Qj tương ứng với phần tử tối tiểu Pj tập {P1 , , Pn } gọi thành phần cô lập N Các thành phần lại phân tích 10 Suy αfi1 id ∈ Q (do a1 , , ad dãy quy) Từ fi1 id ∈ I, suy f ∈ Qi I Hay Qi ∩ I i+1 = Qi I Nếu I ⊆ m2 , ta có I ⊆ m2 I ⊆ Q ⊆ Q ∩ I = QI (ii) Lấy f ∈ (a1 ) ∩ I viết f = a1 g, g ∈ A Với α ∈ m2 , ta có αf = a1 (αg) ∈ m2 I ⊆ Q2 Suy αg ∈ Q (do a1 A-dãy) Do g ∈ I Suy f ∈ a1 I, hay (a1 ) ∩ I = a1 I (iii) Chứng minh quy nạp theo d Giả sử d = , b ∈ m2 phần tử không ước không A Khi dựa vào đẳng cấu A-môđun, [(b) : m2 ]/(b) ∼ = HomA (A/m2 ; A/(b)) ∼ = Ext1A (A/m2 ; A) Suy A ([(b) : m2 ]/(b)) = A (Ext1A (A/m2 ; A)) không phụ thuộc vào cách chọn b ∈ m2 Đặt a = a1 , Q = (a2 ) I = Q : m2 Khi ta có đồng cấu ϕ : A/(a) −→ A/(a2 ) xác định ϕ(x) = ax đơn cấu ϕ(x) = ax = hay ax ∈ (a2 ), x = ax (x ∈ (a)) nên x = Khi ϕ(I/(a)) = I /(a2 ) Suy I = aI + (a2 ) = aI (do a ∈ Q ⊆ I) Theo Mệnh đề 2.3.2, µA (I ) = µA (I) = n + Từ I phụ thuộc nguyên Q Do v(A/Q ) = v(A) = v(A/Q) = n > I ⊆ m2 nên theo (i), (I )2 = a2 I Và a2 I = (I )2 = a2 I = a3 I hay I = aI (do a không ước A) Giả sử d ≥ khẳng định đến d − Đặt A = A/(a1 ); m = m/(a1 ); Q = Q/(a1 ) I = I/(a1 ) Khi Q : m2 = I; v(A/Q) = v(A/Q) = n > I phụ thuộc nguyên Q Từ Q ⊆ m2 suy Q ⊆ m2 Bởi giả thiết quy nạp, ta có I = QI Từ đó, (ii) ta có I ⊆ QI + (a1 ) = [QI + (a1 )] ∩ I = QI + ((a1 ) ∩ I ) = QI + a1 I = QI 2.3.4 Hệ Giả sử v(A/Q) > I phụ thuộc nguyên Q Khi I ⊆ m2 Q ⊆ m2 Chứng minh Giả sử Q ⊆ m2 Khi đó, Hệ 2.3.3 (3), I = QI Suy I ⊆ Q Mặt khác, Q iđêan tham số vành Gorenstein, ta có Q : (Q : m2 ) = m2 Suy I ⊆ Q : I = Q : (Q : m2 ) = m2 29 2.3.5 Định lý Giả sử n = v(A/Q) > I phụ thuộc nguyên Q Khi I = QI Chứng minh Do Hệ 2.3.3, I ⊆ Q suy I = I ∩ Q = QI Ta giả sử I Q Chọn phần tử z ∈ mI cho z ∈ I Do Q : m = Q + I = Q + (z) nên I = QI + (z) Q ∩ I = QI (Hệ 2.3.3 (1)) Từ I = QI + zI Mặt khác (Q2 + zQ) ∩ I = (Q2 ∩ I ) + zQ = Q2 I + zQ ⊆ QI Ta cần chứng minh zI ⊆ Q2 + zQ Từ I = Q + (y1 , , yn ), ta cần chứng minh zyl ∈ Q2 + zQ, ∀1 ≤ l ≤ n Lấy ≤ i ≤ n số nguyên cho i = l Ta có z = xi yi + qi ; qi ∈ mQ Khi zyl = (xi yl )yi + yl qi ∈ (mI)Q Từ mI ⊆ Q : m = Q + (z), ta có zyl ∈ [Q + (z)]Q = Q2 + zQ Do zI ⊆ Q2 + zQ 30 CHƯƠNG CHỈ SỐ ĐỐI THU GỌN CỦA MÔĐUN ARTIN 3.1 Chỉ số đối thu gọn Theo đối ngẫu Matlis hai phạm trù môđun Neother môđun Artin, vành đầy đủ tính chất cho môđun Noether, thông qua đối ngẫu cho môđun Artin Tuy nhiên, vành sở không vành đầy đủ tính chất có môđun Artin không với môđun Noether Từ đó, xét vành sở vành giao hoán, địa phương, định nghĩa khái niệm số đối thu gọn cách đỗi với khái niệm số thu gọn bước đầu tìm hiểu tồn khái niệm, tính chất liên quan số đối thu gọn số thành phần phân tích thành tổng trực tiếp môđun không phân tích phủ xạ ảnh môđun Artin 3.1.1 Định nghĩa Cho M A-môđun M gọi môđun bất khả tổng M phân tích thành tổng hai môđun thực 3.1.2 Bổ đề Cho M A-môđun Artin Khi môđun M phân tích thành tổng hữu hạn môđun bất khả tổng Chứng minh Giả sử họ tất môđun M mà không phân tích thành tổng môđun bất khả tổng Ta chứng minh = ∅ Thật vậy, giả sử = ∅ Khi M môđun Artin nên có phần tử tối tiểu N Do N ∈ nên N không môđun bất khả tổng, suy tồn hai môđun thực N1 , N2 cho N = N1 + N2 Vì N tối tiểu nên N1 , N2 ∈ / , N1 , N2 phân tích thành tổng môđun bất khả tổng Suy N = N1 + N2 phân tích thành tổng môđun bất khả tổng (Mâu thuẫn N ∈ ) Vậy 31 môđun môđun Artin M phân tích thành tổng môđun bất khả tổng 3.1.3 Định nghĩa Nếu môđun N phân tích thành tổng môđun bất khả tổng ta nói N có phân tích bất khả tổng Một phân tích bất khả tổng N gọi thu gọn bỏ thành phần phân tích 3.1.4 Mệnh đề Số thành phần bất khả tổng phân tích bất khả tổng thu gọn môđun N M phụ thuộc vào N , số phân tích bất khả tổng N Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp N = M Thật vậy, giả sử M = Q1 + Q2 + + Qm = L1 + L2 + + Ls hai phân tích bất khả tổng thu gọn M Với (i = 1, m, j = 1, s), đặt Qi = Q1 + + Qi−1 + Qi+1 + + Qm , Lj = L1 + + Lj−1 + Lj+1 + + Ls Ta chứng minh với i = 1, m, tồn j ∈ {1, , s} cho Qi + Lj = M Thật vậy, Qi + L1 = M khẳng định Ngược lại, giả sử Qi + L1 M Đặt T1 = Qi + L1 , T2 = Qi + L1 , Q = Qi ∩ Qi Ta có T1 + T2 = Qi + L1 + L1 = M Qi ⊇ (T1 ∩ Qi ) + (T2 ∩ Qi ) Suy (T1 ∩ Qi )/Q + (T2 ∩ Qi )/Q ⊆ Qi /Q Mặt khác, với q ∈ Qi , q = t1 + t2 , t1 ∈ T1 , t2 ∈ T2 Vì Qi + Qi = M nên ta có biểu diễn t1 = q1 + q1 , t2 = q2 + q2 ; q1 , q2 ∈ Qi , q1 , q2 ∈ Qi Khi q = q1 + q1 + q2 + q2 Suy q − (q1 + q2 ) = q1 + q2 ∈ Qi ∩ Qi = Q Hay (q + Q) = (q1 + Q) + (q2 + Q), q1 ∈ T1 ∩ Qi , q2 ∈ T2 ∩ Qi Do (T1 ∩ Qi )/Q + (T2 ∩ Qi )/Q = Qi /Q Vì (T1 ∩ Qi ) + (T2 ∩ Qi ) = Qi Ta có Qi môđun bất khả tổng nên T1 ∩ Qi = Qi (không xảy T1 M ) T2 ∩ Qi = Qi Suy T2 ⊇ Qi + Qi = M hay Qi + L1 = M 32 Đặt L12 j = Lj+1 + .+Ls Tương tự chứng minh trên, Qi +L2 = M khẳng định Ngược lại Qi + L12 = M Tiếp tục ta có trình dừng Ls = L12 s Vậy tồn j cho Qi + Lj = Sử dụng phép thay Qi Lj phân tích bất khả tổng M ta có tồn i1 , i2 , , im ∈ {1, , s} cho M = Q1 + Q2 + + Qm = Li1 + Q2 + + Qm = Li1 + Li2 + Q3 + + Qm = = Li1 + Li2 + + Lim Do L1 + L2 + + Ls phân tích bất khả tổng thu gọn nên L1 , , Ls ∈ {Li1 , , Lim } Suy m s Đổi vai trò m s ta có s m Suy m = s 3.1.5 Định nghĩa Số môđun bất khả tổng xuất phân tích bấ khả tổng thu gọn môđun N gọi số đối thu gọn môđun N Ký hiệu cNA (N ; M ) Nếu N = M , ta ký hiệu cN(M ) 33 3.2 Phủ xạ ảnh Trong phần này, ta tìm hiểu mối liên hệ tính bất biến số đối thu gọn số thành phần phân tích thành tổng môđun không phân tích phủ xạ ảnh Môđun M xét môđun có phủ xạ ảnh 3.2.1 Định nghĩa Môđun xạ ảnh P với toàn cấu ϕ : P −→ M gọi phủ xạ ảnh M , ký hiệu P (M ), Ker ϕ môđun bé P (ký hiệu Ker ϕ [...]... khả quy thu gọn của 0M Vậy N(0M ; M ) = n = dimk Soc(M ) 13 CHƯƠNG 2 CHỈ SỐ THU GỌN CỦA IĐÊAN THAM SỐ Nội dung chính của chương là tìm hiểu tính bất biến của chỉ số thu gọn của iđêan tham số đối với lớp môđun tựa Buchsbaum Từ đó chứng minh một điều kiện để vành tựa Buchsbaum là vành Gorenstein 2.1 Môđun tựa Buchsbaum Trong phần này chúng tôi chứng minh chỉ số thu gọn của mọi iđêan tham số nằm trong. .. Cho A là vành tựa Buchsbaum Khi đó A là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu mọi lũy thừa của m có chứa một iđêan tham số bất khả quy Chứng minh Rõ ràng nếu A là Gorenstein vành thì A là vành tựa Buchsbaum và mọi iđêan tham số của A là bất khả quy Ngược lại, giả sử mọi lũy thừa của m có chứa một iđêan bất khả quy Theo Định lý 2.1.8, mỗi iđêan tham số chứa trong một lũy thừa đủ lớn của m có chỉ số thu gọn là... là vành tựa Buchsbaum địa phương với d = dim A ≥ 2 hoặc dim A = 1 và e(A) > 1 Khi đó tồn tại số nguyên >> 0 sao cho I 2 = QI với mọi iđêan tham số Q của A nằm trong m và I = Q : m Chứng minh Theo Định lý 2.1.8, tồn tại số nguyên >> 0 sao cho chỉ số thu gọn của các iđêan tham số Q ⊆ m là hằng số Do đó bởi Định lý 2.2.5 ta có điều phải chứng minh 25 2.3 Đẳng thức I 3 = QI 2 trong vành Gorenstein Trong. .. môđun con N được gọi là chỉ số thu gọn của môđun con N Ký hiệu là NA (N ; M ) Môđun con N của A-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđun con đối hữu hạn nếu A (M/N ) < ∞ Tổng của tất cả các môđun con đơn của M được gọi là đế của M Ký hiệu là Soc(M ) Khi A là vành giao hoán địa phương thì Soc(M ) = (0 :M m) ∼ = HomA (k; M ) Tiếp theo ta sẽ tìm công thức tính của chỉ số thu gọn của môđun con đối hữu hạn... J(q; M ) là hằng số với mọi iđêan tham số q của M Khi đó tồn tại một số nguyên l sao cho chỉ số thu gọn của mọi iđêan tham số q được chứa trong ml là hằng số Chứng minh Theo ([CL], Lemma 4.3) ta có M = M H0 (M ) là môđun Buchsm baum Do đó NA (q; M ) = const Sử dụng Mệnh đề 2.1.1, ta có điều phải chứng minh 2.1.10 Mệnh đề Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng sao cho có một hệ tham số (x1 , , xd... Buchsbaum Trong mục này, ta luôn giả thiết (A, m) là vành tựa Buchsbaum địa phương với d = dim A, Q là iđêan tham số của A, I := Q : m Đặt r(A) = sup A ((Q : m)/A) = sup NA (Q; A), Q Q ở đây Q chạy khắp tập các iđêan tham số của A Theo [GSu], ta có d−1 r(A) = d i (Him (A)) + µA (KA ), i=0 trong đó KA là môđun chính tắc của A và µR (N ) ký hiệu là số phần tử sinh tối tiểu của môđun N trên vành R 2.2.1... đó tồn tại số nguyên l để với mọi iđêan tham số q ⊆ ml , chỉ số thu gọn của q là hằng số và được cho bởi công thức d NA (q; M ) = d i i Soc dim(Hm (M )) i=0 20 Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.8 và ([SV], Proposition 2.1) Một vành Cohen Macaulay có tính chất mọi iđêan tham số đều bất khả quy được gọi là vành Gorenstein Hệ quả sau cho ta một điều kiện để vành tựa Buchsbaum là vành Gorenstein... tổng xuất hiện trong một phân tích bấ khả tổng thu gọn của môđun con N được gọi là chỉ số đối thu gọn của môđun con N Ký hiệu là cNA (N ; M ) Nếu N = M , ta ký hiệu là cN(M ) 33 3.2 Phủ xạ ảnh Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ giữa tính bất biến của chỉ số đối thu gọn và số thành phần trong phân tích thành tổng các môđun con không phân tích được của phủ xạ ảnh Môđun M được xét ở đây là môđun... Artin, trên một vành đầy đủ thì một tính chất nào đó đã đúng cho môđun Noether, thông qua đối ngẫu này cũng đúng cho môđun Artin Tuy nhiên, nếu vành cơ sở không là vành đầy đủ thì các tính chất nếu có của môđun Artin có thể không đúng với môđun Noether Từ đó, xét vành cơ sở là vành giao hoán, địa phương, chúng tôi định nghĩa khái niệm chỉ số đối thu gọn một cách đỗi với khái niệm chỉ số thu gọn và bước... phần của hệ tham số nào đó của M Nếu (x1 , , xr )A ⊆ a, khi đó với mọi số nguyên n1 , n2 , , nr 1, ta có r ((x1n1 +1 , , xnr r +1 )M :M xn1 1 xnr r ) = (x1 , , xr )M + Ui , i=1 trong đó Ui = U((x1 , , xi , , xd )M ) 2.1.7 Mệnh đề Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng với chiều Krull d > 0 Khi đó tồn tại một số nguyên l sao cho với mọi iđêan tham số q ⊆ ml , chỉ số thu gọn của ... chứng minh số thu gọn iđêan tham số vành Cohen Macaulay địa phương phụ thu c vào vành mà không phụ thu c vào iđêan tham số ([N], Theorem 3) Kết mở rộng tới môđun số thu gọn iđêan tham số môđun... dụ vành Noether địa phương không Cohen Macaulay có số thu gọn iđêan tham số số [EN] Năm 1984, S Goto N Suzuki tiếp tục nghiên cứu số thu gọn iđêan tham số tổng quát ví dụ Endo-Narita, từ chặn số. .. điển số thu gọn môđun con, công thức tính trường hợp môđun thương ứng với môđun có độ dài hữu hạn Chương Chỉ số thu gọn iđêan tham số Ở đây, trình bày số kết tính bất biến số thu gọn iđêan tham số