CHỈ SỐ ĐỐI THU GỌN CỦA MÔĐUN ARTIN
3.3 Phân tích thứ cấp của môđun nội xạ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sự phân tích thứ cấp của môđun nội xạ trên vành Noether theo các kết quả của R. Sharp và D. G. Macdonal. Vành A ở đây luôn được giả thiết là vành Noether, giao hoán, M là A-môđun. 3.3.1 Định nghĩa. A-môđun S được gọi là môđun thứ cấp nếu S 6= 0 và với mọi r ∈ A, hoặc rS = S hoặc tồn tại số nguyên n sao cho rn.S = 0.
Ta có một số tính chất sau của môđun thứ cấp
3.3.2 Mệnh đề. (xem [M2]) Cho S là A-môđun thứ cấp. Khi đó
(i) P = p(0 :A S) là iđêan nguyên tố. Ta gọi S là môđun P− thứ cấp. (ii) Mọi ảnh toàn cấu của A-môđun P-thứ cấp S là môđun P-thứ cấp. (iii) Nếu S1, . . . , Sn là các môđun P-thứ cấp thì
n
P
i=1
Si là môđun P-thứ cấp. 3.3.3 Định nghĩa. Cho M là A-môđun. M được gọi là có biểu diễn thứ cấp nếu tồn tại các môđun con Si tương ứng là Pi-thứ cấp với mọi 1 ≤i ≤n thỏa mãn
M = S1 +S2 +. . .+Sn.
Một biểu diễn thứ cấp của M được gọi là biểu diễn thứ cấp thu gọn nếu không thể bỏ được bất cứ thành phần Si nào. Tức là P1, . . . , Pn là n iđêan nguyên tố khác nhau của A và với mọi j = 1, . . . , n, Sj * P
i6=j
Si.
3.3.4 Định lý. (Định lý phân tích duy nhất thứ I) Cho M là môđun thứ cấp. M = S1+. . .+Sn và M = S10 +. . .+Sn00 là hai biểu diễn thứ cấp thu gọn của M, ở đây Si là Pi-thứ cấp và Si0 là Pi0-thứ cấp, i = 1, . . . , n. Khiđó n = n0 và
{P1, . . . , Pn}= {P10, . . . , Pn0}.
3.3.5 Định lý. (Định lý phân tích duy nhất thứ II) Cho M là môđun thứ cấp. M = S1 +. . .+Sn là hai một phân tích thứ cấp thu gọn của M, ở đây Si là Pi-thứ cấp, i = 1, . . . , n. Nếu Pj là phần tử tối tiểu của tập {P1, . . . , Pn} thì Sj xác định duy nhất không phụ thuộc vào một phân tích thứ cấp cụ thể nào và khi đó
Sj = \
r∈A\Pj
3.3.6 Bổ đề. Cho E là môđun nội xạ, Q là môđun có môđun con 0 là P- nguyên sơ. Khi đó nếu HomA(Q;E) 6= 0 thì nó là môđun P-thứ cấp.
Chứng minh. Do Q có môđun con 0 là P-nguyên sơ nên với r ∈ A, nếu rx = 0 với x ∈ Q nào đó thì tồn tại số nguyên n sao cho rnQ = 0. Do đó rnHomA(Q;E) = 0. Ngược lại, nếu rx 6= 0, ∀x ∈ Q, x 6= 0, ta có với mọi f ∈ HomA(Q;E), từ sơ đồ
0 //Q .r // f Q g E ,
suy ra tồn tại g ∈ HomA(Q;E) sao cho f = rg hay rHomA(Q;E) = HomA(Q;E). Từ đó HomA(Q;E) là môđun P-thứ cấp.
3.3.7 Bổ đề. Cho M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó HomA(M;E) là môđun có biểu diễn thứ cấp.
Chứng minh. Do M là môđun hữu hạn sinh nên môđun con 0 của nó có phân tích nguyên sơ dạng
0 = Q1 ∩ Q2 ∩. . .∩Qk, trong đó Qi là môđun Pi nguyên sơ.
Từ sơ đồ
0 −→ M −→ M/Q1 ⊕M/Q2 ⊕. . .⊕M/Qk
và tính khớp phải của hàm tử HomA(−;E) ta có sơ đồ
HomA(M/Q1 ⊕M/Q2 ⊕. . .⊕M/Qk;E) −→HomA(M;E) −→ 0. Theo Bổ đề 3.3.6, với i = 1, . . . , k, môđun HomA(M/Qi;E) là môđun Pi-thứ cấp. Suy ra
N = HomA(M/Q1 ⊕M/Q2 ⊕. . .⊕M/Qk;E)
∼
= HomA(M/Q1;E)⊕HomA(M/Q2;E)⊕. . .⊕HomA(M/Qk;E) là môđun có biểu diễn thứ cấp. Do M là ảnh toàn cấu của N nên M có biểu diễn thứ cấp.
3.3.8 Định lý. Cho E là A-môđun nội xạ. Khi đó E là môđun có biểu diễn thứ cấp.
Chứng minh. Ta có E ∼= Hom
A(A;E). Theo Bổ đề 3.3.7, HomA(A;E) là môđun có biểu diễn thứ cấp suy ra E là môđun có biểu diễn thứ cấp.
3.3.9 Hệ quả. Cho A là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m, M là A-môđun hữu hạn sinh, m-nguyên sơ. Khi đó bao nội xạ E(M) là môđun có phân tích bất khả tổng.
Chứng minh. Theo D. W. Sharphe và P. Vamos (Theorem 4.7), E(M) phân tích được thành tổng các môđun nội xạ không phân tích được dạng
E(M) = E1 ⊕E2 ⊕. . .⊕Ek,
trong đó Ei, i = 1, . . . , k là các môđun nội xạ không phân tích được. Mặt khác, theo D. W. Sharphe và P. Vamos (Theorem 2.32), tồn tại các iđêan nguyên tố Pi ∈ Ass(M) sao cho Ei ∼= E(A/P
i) và Pi ∈ Ass(M). Do M là môđun m-nguyên sơ nên Pi = m, i = 1, . . . , k. Suy ra E(A/Pi) = E(A/m) là môđun Artin. Sử dụng Bổ đề 3.1.2, Ei có phân tích bất khả tổng. Suy ra E(M) phân tích được thành tổng các môđun bất khả tổng.
3.3.10 Hệ quả. Cho M là Z-môđun hữu hạn sinh. Khi đó bao nội xạ E(M) có phân tích bất khả tổng.
Chứng minh. Theo D. W. Sharphe và P. Vamos (Theorem 4.7), ta có E(M) có sự biểu diễn
E(M) = E1 ⊕E2 ⊕. . .⊕Ek,
trong đó Ei, i = 1, . . . , k là các môđun nội xạ không phân tích được. Mặt khác, theo D. W. Sharphe và P. Vamos (Theorem 2.32), tồn tại các iđêan nguyên tố Pi ∈ Ass(M) sao cho Ei ∼= E(A/P
i). Do trong vành số nguyên Z, mọi iđêan nguyên tố là iđêan cực đại nênPi là iđêan cực đại và do đó E(A/Pi) là môđun Artin. Sử dụng Bổ đề 3.1.2, Ei có phân tích bất khả tổng. Suy ra E(M) phân tích được thành tổng các môđun bất khả tổng.
3.3.11 Mệnh đề. Cho M là môđun có đế Soc(M) hữu hạn sinh cốt yếu trong bao nội xạ E(M) của M. Khi đó E(M) có phân tích bất khả tổng.
Chứng minh. Theo D. W. Sharpe và P. Vamos, ta có E(M) có thể phân tích được thành tổng trực tiếp các môđun nội xạ không phân tích được theo dạng
E(M) =E1 ⊕E2 ⊕. . .⊕En,
trong đó Ei là bao nội xạ của các môđun đơn. Khi đó Ei ∼= E(A/m
i), với mi
là iđêan tối đại nào đó của A. Suy ra Ei là môđun Artin. Từ Bổ đề 3.1.2, Ei có phân tích bất khả tổng với i = 1,2, . . . , n. Vậy E(M) có thể phân tích được thành tổng của các môđun bất khả tổng.
3.3.12 Định lý. Cho A là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m. M là A-môđun Artin. Khi đó chỉ số đối thu gọn của M được cho bởi công thức
cN(M) = dim
b
Am(M;E(k)),
trong đó Abm là vành đầy đủ hoá của vành địa phương Am, k = Abm/m.b
Chứng minh. Theo Định lý 3.2.4, cN(M) = µ(P(M)), ở đây P(M) là bao xạ ảnh bé nhất củaM. Mặt khác, theo I. G. Macdonal [M2], qua đối ngẫu Matlis, mỗi môđun xạ ảnh không phân tích được P có thể xem là một Abm-môđun compact tuyến tính có đối ngẫu P∗ = Hom
b
Am(P;E(A/m)) là môđun nội xạ không phân tích được trong phạm trù các Abm-môđun compact tuyến tính rời rạc.
Giả sử P(M) = P1⊕P2⊕. . .⊕Pk, trong đó Pi là các môđun xạ ảnh không phân tích được. Khi đó xét trong phạm trù các Abm-môđun compact tuyến tính, Pi∗ = Hom
b
Am(Pi;E(A/m)) là môđun nội xạ không phân tích được nên Pi∗ ∼= E(Ab
m/bp), ở đây bp là iđêan nguyên tố trong vành Abm. Suy ra µ(P(M)) bằng số thành phần trong phân tích thành tổng trực tiếp các môđun nội xạ không phân tích được của bao nội xạ của môđun M trên vành Abm. Vậy theo Định lý 1.3.9 và I. G. Macdonal [M2] ta có cN(M) = N b Am(M;E(Abm/m)) = dim Homb b Am(M;E(k)).
KẾT LUẬN
Một số kết quả đạt được của luận văn
1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về các lớp môđun quan trọng và các khái niệm về dãy trong Đại số giao hoán.
2. Chứng minh tính bất biến của chỉ số thu gọn của iđêan tham số nằm trong lũy thừa đủ lớn của iđêan tối đại đối với môđun tựa Buchsbaum (Định lý 2.1.8), và đưa ra một số mệnh đề (2.1.10) và hệ quả (2.1.9, 2.1.11).
3. Trình bày chứng minh đẳng thức I2 = QI được đưa ra trong các kết quả của S. Goto và H. Sakurai ([GSa]) nhằm chứng minh tính Buchsbaum của Đại số Rees, vành phân bậc liên kết của I, trong đó Q là iđêan tham số của vành Buchsbaum địa phương (A,m), I = Q : m.
4. Trình bày chứng minh đẳng thức I3 = QI2 được đưa ra trong các kết quả của [GMT] nhằm chứng minh tính Cohen Macaulay của Đại số Rees, vành phân bậc liên kết đối với iđêan I, trong đó Q là iđêan tham số của vành Gorenstein A, I = Q : m2.
5. Đối ngẫu khái niệm chỉ số thu gọn của môđun hữu hạn sinh, chúng tôi xây dựng khái niệm chỉ số đối thu gọn của môđun Artin, từ đó chứng minh được sự tồn tại của khái niệm đối ngẫu này và trình bày mối quan hệ giữa chỉ số đối thu gọn và số thành phần không phân tích được trong phân tích của phủ xạ ảnh của môđun Artin.
Một số hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn
1. Tìm hiểu số chặn dưới tối ưu cho các số nđủ lớn thoả mãn chỉ số thu gọn của các iđêan tham số của môđun tựa Buchsbaum, môđun Cohen Macaulay suy rộng nằm trong lũy thừa mn là hằng số.
2. Nghiên cứu tính bất biến và ứng dụng của chỉ số đối thu gọn của các lớp môđun đối Cohen Macaulay, đối Buchsbaum, đối Cohen Macaulay suy rộng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[AB] M. Auslander and D.A. Buchsbaum,Codimension and multiplicity, Ann. Math. 68 (1958).
[BH] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993.
[CHL] N. T. Cuong, N. T. Hoa and N. T. H. Loan,On certain length functions associated to a system of parameters in local rings, Vietnam. Journal of Mathematics 27(3) (1999), 259-272.
[CL] N. T. Cuong and N. T. H. Loan, A characterization for pseudo Buchs- baum modules, Japan. J. Math Vol. 30 (2004), 165-181.
[CPT] N. T. Cuong, P. Schenzel, N. V. Trung, Verallgemeinerte Cohen- Macaulay-Moduln, Math. Nachr., 85 (1978), 57-73.
[C] N. T. Cuong, On the length of the powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math. J. 120 (1990) 77-88.
[CC] N. T. Cuong and D. T. Cuong,Sequentially generalized Cohen-Macaulay modules, J. Alg. 317(2007),714-742.
[CN] N. T. Cuong and L. T. Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo gen- eralized Cohen-Macaulay modules, J. Algebra 267 (2003), 156-177. [EN] S. Endo and M. Narita, The Number of Irreducible Components of an
Ideal and the Semi-Regularity of a Local Ring, Proc. Japan Acad., 40 (1964), 627-630.
[Fh] M. Fiorentini and L. T. Hoa, Some remarks on generalized Cohen- Macaulay rings, Bull. Belg. Math. Soc. 1 (1994),507-519.
[GMT] S. Goto, N. Matsuoka and R. Takahashi, Quasi-socle Iideals in a Gorenstein local ring, preprint. Available at http://www.arXiv: math.AC /0612333v1 13 Dec 2006
[GSa] S. Goto and H. Sakurai, The equality I2 = QI in Buchsbaum rings, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 110 (2003), 25-56.
[GSu] S. Goto and N. Suzuki, Index of reducibility of parameter ideal in a local ring, J. Alg. 87 (1984), 53-88.
[M1] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986.
[M2] MacDonal, I. G, Secondary representation of modules over a commuta- tive ring, Sympos. Math. 11(1973), 23-43.
[N] D. G. Northcott, On Irreducible Ideals in Local Rings, J. London Math. Soc., 32 (1957), 82-88.
[P] Thiều Đình Phong, Chỉ số thu gọn của iđêan tham số của môđun tựa Buchsbaum, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, Tập XXXVI, Số 3A (2007), 42-46.
[R1] M. W. Rogers, The index of reducibility for parameter ideals in low dimension, Journal of Algebra, 278/2 (2004), 571-584.
[R2] Jung-Chen Liu and M. W. Rogers, The index reducibility of parameter ideal and motsly zero finite local cohomologies, Comm. Alg., to appear. [Tr] Ngo Viet Trung, Toward a thoery of Generalized Cohen-Macaulay Mod-
ules, Nagoya Math. J. Vol. 102 (1986), 1- 49.
[SV] J. St¨uckrad and W. Vogel, Buchsbaum rings and applications,Spingger- Veriag, Berlin-Heidelberg-New york, 1986.