Tập đại số và iđêan định nghĩa

Trờng đại học vinh Khoa toán nguyễn thị giang tập đại số và iđêan định nghĩa khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Cán bộ hớng dẫn khóa luận TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Giang Lớp 44B Toán Vinh - 2007 1 Lời nói đầu Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học. Để làm đợc điều này ngời ta dùng đồ thị của các phơng trình để mô tả các hình hình học. Có thể coi các hình hình học trong một không gian n-chiều là các tập nghiệm của các hệ phơng trình n ẩn số. Quan niệm này (tuy không chính xác) có một thuận lợi lớn là việc xét mối quan hệ giữa các hình hình học có thể quy về việc xét tập nghiệm của các hệ phơng trình mới. Lúc đó ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học: Cho K là một trờng tuỳ ý có vô hạn phần tử. Ngời ta gọi không gian Đêcac K n là không gian afine n-chiều trên K ký hiệu là A n K . Tập nghiệm của một hệ phơng trình n ẩn số với các hệ số trong K đợc gọi là một tập đại số trong A n K . Cho V là một tập đại số trong A n K , kí hiệu I V là tập tất cả các đa thức trong vành đa thức n biến K [ ] n xx , ., 1 triệt tiêu trên V. Khi đó I V là một iđêan của K [ ] n xx , ., 1 và đợc gọi là iđêan định nghĩa của tập đại số V. Luận văn tìm hiểu về hai vấn đề này. Nội dung của luận văn đợc chia làm hai chơng. Chơng 1 trình bày về tập đại số. Trong chơng này chúng tôi trình bày khái niệm tập đại số, chứng minh các tính chất cơ bản của tập đại số, tập đại số bất khả quy, không gian tôpô Noether. Trong Chơng 2 chúng tôi trình bày về iđêan định nghĩa. Đặc biệt là mối quan hệ giữa iđêan định nghĩa và tập đại số tơng ứng. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình tận tâm của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên cùng khoá đã động viên em hoàn thành bản luận văn này. 2 Chơng I. Tập đại số Đ 1.Tập đại số Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học. Để làm đợc điều này ngời ta dùng đồ thị của các phơng trình để mô tả các hình hình học. Để tìm hiểu về định nghĩa của tập đại số trớc tiên ta xét một số ví sau. 1.1. Một số ví dụ Ví dụ 1. 1) Trong mặt phẳng thì các hình hình học cơ bản là các đờng cong, thờng đợc xác định bởi đồ thị của một phơng trình hai ẩn số f ( ) yx, = 0, hàm f ( ) yx, thờng là một đa thức hai biến. Ví dụ nh phơng trình tổng quát của một đ- ờng thẳng có dạng ax + by + c = 0, trong đó các hệ số a,b không đồng thời bằng không. Còn phơng trình tổng quát của một đờng cong bậc hai có dạng ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, trong đó a, b, c không đồng thời bằng không. 2) Trong không gian, các mặt cong thờng đợc xác định bởi đồ thị của một ph- ơng trình ba ẩn số f ( ) zyx ,, = 0. Ví dụ nh một mặt phẳng trong không gian đợc xác định bởi đồ thị của một ph- ơng trình tuyến tính ax + by + cz + d = 0, trong đó a, b, c không đồng thời bằng không.Tuy nhiên không phải hình hình học nào trong không gian cũng có thể mô tả bởi duy nhất một phơng trình. Khác với đờng thẳng trong mặt phẳng, một đờng thẳng trong không gian đợc xác định bởi một hệ 2 phơng trình tuyến tính : 3 =+++ =+++ .0 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa Điều này ứng với việc đờng thẳng này là giao của 2 mặt phẳng của 2 phơng trình tuyến tính trên. Có thể coi các hình hình học trong một không gian n-chiều là các tập nghiệm của các hệ phơng trình n ẩn số. Quan niệm này (tuy không chính xác) có một thuận lợi lớn là việc xét các mối quan hệ giữa các hình hình học có thể quy về việc xét tập nghiệm của một hệ phơng trình. Lúc đó ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học. Ví dụ 2. Ta hãy xét mệnh đề hình học nói rằng một đờng thẳng cắt một đờng cong bậc hai ở nhiều nhất là hai điểm. Tập các giao điểm của đờng thẳng và đ- ờng cong bậc hai cho trớc chính là tập nghiệm của một hệ hai phơng trình có dạng =+++++ =++ .0 0 22 ihygxfyexydx cbyax Giả sử a 0 (a, b không đồng thời bằng không). Từ phơng trình thứ nhất ta có x = a 1 (by + c). Dùng biểu thức này để thế x vào phơng trình thứ hai ta sẽ nhận đợc một phơng trình bậc hai của y. Phơng trình này có nhiều nhất hai nghiệm. ứng với mỗi nghiệm này ta có duy nhất một nghiệm x. Do đó hệ phơng trình ban đầu có nhiều nhất hai nghiệm. Thông thờng ngời ta chỉ xét các đa thức có hệ số là hữu tỷ, số thực hay là số phức. Tổng quát hơn ngời ta có thể xét các hệ phơng trình đa thức với hệ số nằm trong một trờng nào đó với các nghiệm số cũng nằm trong trờng đó. 4 1.2. Định nghĩa tập đại số. 1.2.1. Định nghĩa. Cho K là một trờng có vô hạn phần tử. Ngời ta gọi không gian Đêcac K n là không gian afine n-chiều trên K ký hiệu là A n K . Tập nghiệm của một hệ phơng trình đa thức n ẩn số với các hệ số trong K đợc gọi là một tập đại số trong A n K . 1.2.2. Một số ví dụ về tập đại số. Ví dụ 1. Không gian A n K là một tập đại số trong A n K vì nó là tập nghiệm của phơng trình 0 = 0. Ví dụ 2. Tập hợp chỉ gồm một điểm = ( ) n aa , ., 1 A n K là một tập đại số trong A n K vì nó là tập nghiệm của hệ phơng trình = = .0 . 0 11 nn ax ax Ví dụ 3. Tập rỗng cũng là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của phơng trình 1 = 0. Chú ý. Trong không gian afine 1-chiều A 1 K các tập đại số chỉ có thể là A 1 K , các tập con hữu hạn của A 1 K hoặc là tập rỗng. Điều này có thể dễ dàng suy ra từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là A 1 K (nếu f là đa thức không), một tập hữu hạn trong A 1 K (nếu f có bậc dơng) hoặc là tập rỗng (nếu f là một số khác không trong A 1 K ). Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu K là một trờng và K [ ] x là vành đa thức n biến K [ ] n xx , ., 1 trên trờng K. 1.2.3. Định nghĩa. Cho S là một tập hợp các đa thức trong K [ ] x . Ta gọi hệ ph- ơng trình { } Sfxf = |0)( là hệ phơng trình của S. Tập V ( ) S = { } Sff n K = ,0)(| A 5 đợc gọi là tập nghiệm của S trong A n K hay là tập đại số đợc xác định bởi S. Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì dùng ký hiệu V ( ) f và V ( ) f đợc gọi là một siêu mặt. 1.2.4. Ví dụ. Ví dụ 1. V ( ) 0 = A n K . Ví dụ 2. Nếu f = a 0 + a 1 x 1 + +a n x n thì V ( ) f là một siêu phẳng trong A n K vì sau một phép biến đổi toạ độ ta có thể giả sử f = x n . Khi đó V(f) = ( ){ n aa , ., 1 A n K } 0| = n a có thể đồng nhất với không gian A 1 n K . Ví dụ 3. Nếu S = { } nn axax , ., 11 thì V ( ) f chỉ gồm một điểm = ( ) n aa , ., 1 . Ví dụ 4. V [ ] ( ) xK = vì không có điểm A n K nào là nghiệm của hệ phơng trình 1 = 0. Ví dụ 5. Nếu f ( ) yx, = x 2 y K [ ] yx, thì V ( ) f = ( ){ } K |, 2 Ví dụ 6. Nếu f ( ) yx, = x 3 y 2 K [ ] yx, thì V ( ) f = ( ){ } K |, 32 1.3. Các tính chất cơ bản của tập đại số. 1.3.1. Bổ đề. Cho 1 S và 2 S là hai tập hợp tuỳ ý trong A n K . Nếu 21 SS thì V ( ) 1 S V ( ) 2 S Chứng minh. Do 21 SS nên mọi nghiệm của 1 S cũng là nghiệm của 2 S . Điều này có nghĩa là V ( ) 1 S V ( ) 2 S . 1.3.2. Định lý. Cho S K [ ] x . Gọi I = ( ) S là iđêan sinh bởi S. Khi đó V ( ) I = V ( ) S . Chứng minh. Do I S nên V ( ) I V ( ) S . Đảo lại, nếu V ( ) S và f = h 1 f 1 + + h r f r là một tổ hợp tuyến tính của các đa thức f 1 ,,f r S thì f ( ) = h ( ) 1 f ( ) 1 + + h ( ) r f ( ) r = 0 do f ( ) 1 = = f ( ) r = 0. Từ đây ta suy ra V ( ) I .Do đó V ( ) S V ( ) I . Suy ra điều phải chứng minh. 6 1.3.3. Bổ đề. Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh hợp của hai tập đại số là một tập đại số. Cho S 1 và S 2 là hai tập hợp tuỳ ý trong K [ ] x . Gọi T là tập các đa thức có dạng fg, với f S 1 và g S 2 . Ta sẽ chứng minh rằng V ( ) 1 S V ( ) 2 S = V ( ) T . Do mọi nghiệm của S 1 hoặc S 2 cũng là nghiệm của T nên V ( ) 1 S V ( ) 2 S V ( ) T . Đảo lại, giả sử là nghiệm của T. Nếu không là nghiệm của S 1 thì ta có một đa thức f S 1 sao cho f ( ) 0. Do f ( ) g ( ) = fg ( ) = 0 với mọi g S 2 nên g ( ) = 0. Vì vậy, V ( ) 1 S V ( ) 2 S V ( ) T . Vậy V ( ) 1 S V ( ) 2 S = V ( ) T . Chú ý. Hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết là một tập đại số. Chẳng hạn, mỗi phần tử a K là một tập đại số, nhng mọi tập con thực sự của K có vô hạn phần tử không thể là một tập đại số. 1.3.4. Bổ đề. Giao của một hệ tuỳ ý các tập đại số là một tập đại số. Chứng minh. Cho { } Ii i S là một hệ các tập đa thức trong K [ ] x . Đặt S = Ii i S . Ta sẽ chứng minh rằng ( ) Ii i SV = V ( ) S . Thật vậy, do S i S, i I nên theo Bổ đề 1.3.1 ta có V ( ) i S V ( ) S Ii . Suy ra ( ) Ii i SV V ( ) S . Đảo lại, nếu là một nghiệm của S i với mọi i I thì cũng là nghiệm của S. Do đó ( ) Ii i SV V ( ) S . Suy ra điều phải chứng minh. 1.3.5. Hệ quả. Cho V A n K và W A m K là những tập đại số tuỳ ý. Tích Đêcác V ì W A nm K + cũng là một tập đại số. Chứng minh. Trớc tiên ta thấy rằng 7 V ì W = (V ì A m K ) (A n K ì W). Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra rằng V ì A m K và A n K ì W là những tập đại số trong A nm K + Giả sử V = V ( ) S với S là một tập các đa thức trong vành đa thức n biến K [ ] x . Nếu ta coi S là một tập đa thức trong một vành đa thức m+n biến K [ ] yx, thì ta có thể xét tập nghiệm của S trong A nm K + . Gọi tập nghiệm này là U. Ta thấy ngay là V ì A m K = U. Nh vậy V ì A m K là một tập đại số trong A nm K + . Tơng tự ta cũng chứng minh đợc A n K ì W cũng là một tập đại số trong A nm K + . Suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Tôpô Zariski. Bổ đề 1.3.3, Bổ đề 1.3.4, Ví dụ 1 và Ví dụ 3 trong Mục 1.2.2 cho thấy ta có thể trang bị một cấu trúc tôpô cho không gian afine A n K với các tập đóng là các tập đại số trong A n K . 1.4.1 Định nghĩa. Trên A n K tôpô đợc xác định bởi các tập đóng là các tập đại số (tập mở của A n K là phần bù của một tập đại số) đợc gọi là tôpô Zariski. 1.4.2. Ví dụ. Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afine 1 chiều A 1 K , với K là trờng đóng đại số nh sau: Tập Z là đóng trong A 1 K khi và chỉ khi Z gồm hữu hạn điểm, hoặc Z= A 1 K hoặc Z = . Thật vậy, vì Z là tập đại số suy ra tồn tại iđêan I trong K [ ] x để Z = V ( ) I . Do K [ ] x là vành chính suy ra tồn tại f K [ ] x , I = ( ) f . Suy ra Z = V ( ) f , giả sử degf = r , ta có phân tích f ( ) x = ( )( ) ( ) r axaxax . 21 Ta sẽ chỉ ra Z = V ( ) f = {a 1 , .,a r } suy ra Z = r. Nếu f là một đa thức hằng thì Z = V ( ) f = , còn nếu f = 0 thì Z = V ( ) f = A 1 K . Nh vậy, mỗi tập đại số trong A n K đều đợc xác định bởi một iđêan trong K [ ] x . Ta sẽ thấy các mối quan hệ cơ bản giữa các tập đại số phản ánh các phép toán với các iđêan xác định chúng. 8 1.4.3. Bổ đề. Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K [ ] x . Ta có: (i) V ( ) I V ( ) J = V ( ) JI = V ( ) IJ . (ii) V ( ) I V ( ) J = V ( ) JI + . Chứng minh. (i) Gọi T là tập các đa thức fg với f I, g J. Do I, J I J IJ T, nên V ( ) I V ( ) J V ( ) JI ) V ( ) IJ V ( ) T . Theo chứng minh của Bổ đề 1.3.3 thì V ( ) I V ( ) J = V ( ) T nên V ( ) I V ( ) J = V ( ) JI = V ( ) IJ = V ( ) T . (ii) Theo chứng minh của Bổ đề 1.3.4 thì V ( ) I V ( ) J = V ( ) JI . Do đó iđêan I + J đợc sinh ra bởi I J nên V ( ) JI = V ( ) JI + . 1.4.4. Nhận xét. Tơng ứng I V ( ) I giữa các iđêan và tập nghiệm của chúng không phải là tơng ứng 1-1 vì hai iđêan khác nhau có thể xác định cùng một tập đại số. Ví dụ. Cho f là một đa thức có bậc dơng trong K [ ] x . Ta xét các iđêan ( ) f và ( ) 2 f . Nếu f f 2 thì f = hf 2 với một đa thức h nào đó của K [ ] x . Giản ớc f ta nhận đợc 1 = hf. Điều này vô lý vì bậc của đa thức hf lớn hơn không là bậc của 1. Vậy f ( ) 2 f và do đó ( ) f ( ) 2 f . Nhng V ( ) f = V ( ) 2 f do mọi nghiệm của f 2 cũng là nghiệm của f và ngợc lại. Trong mục này chúng ta thấy đợc phần nào mối liên quan giữa iđêan và tập nghiệm của iđêan, để thấy rõ hơn về điều đó chúng ta xét ví dụ sau. 1.4.5. Ví dụ. Giả sử V = V ( ) I với I là một iđêan trong vành đa thức n biến K [ ] x và W = V ( ) J với J là một iđêan trong vành đa thức m biến K [ ] y . Gọi ( ) I và ( ) J là các iđêan đợc sinh ra lần lợt bởi các đa thức của I và J trong vành đa thức m+n bién K [ ] yx, . Theo chứng minh của Hệ quả 1.3.4 ta có V ì K m = V ( ) I = V ( )( ) I , K n ì W = V ( ) J = V ( )( ) J . áp dụng Bổ đề 1.4.3 (ii) ta nhận đợc V ì W = ( ) m KV ì ( ) WK n ì = V ( )( ) I V ( )( ) J = V ( ) ( )( ) JI + . Vì vậy V ì W là tập nghiệm của iđêan ( ) I + ( ) J trong vành đa thức K [ ] yx, . 9 Đ 2. Tập đại số bất khả quy Khi xét tập nghiệm của một hệ phơng trình đa thức ngời ta thờng tìm cách quy về việc xét các hệ phơng trình đa thức đơn giản hơn. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là ta phân tích một tập đại số thành các tập đại số nhỏ hơn. Nếu một tập đại số không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì ta gọi tập đại số đó là một tập bất khả quy. 2.1. Định nghĩa. Cho V là tập đại số trong A n K , V đợc gọi là bất khả quy nếu V không phân tích đợc thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn, nghĩa là nếu V = V 1 V 2 với V 1 , V 2 là những tập đại số thì suy ra V 1 = V hoặc V 2 = V. Một tập đại số bất khả quy còn đợc gọi là một đa tạp afine. 2.2. Ví dụ. a) Các tập đại số sau là các tập bất khả quy: 1) Tập rỗng . 2) Các tập chỉ gồm một điểm A n K . b)Tập A 1 k là bất khả quy. Vì nếu A 1 K = V 1 V 2 với V 1 A 1 K và V 2 A 1 K suy ra V 1 < , V 2 < . Vô lý vì A 1 K = . Vậy A 1 K là bất khả quy. Chú ý. phần bù của một tập đại số nhỏ hơn trong một tập đại số là một tập mở không rỗng (theo tôpô Zariski). Vì vậy tính bất khả quy của một tập đại số còn có thể đặc trng bởi tính chất giao của hữu hạn các tập mở không rỗng là một tập mở không rỗng. Cho R là một vành giao hoán và P là một iđêan của R. P đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R và a,b R mà ab P thì a P hoặc b P. 10