Bước đầu tìm hiểu tập đại số và tôpô zariski

LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hoàn thành đề tài, chúng em nhận hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn khoa học Thạc sĩ Nguyễn Đình Yên, giảng viên khoa Toán - Lý -Tin, trường Đại học Tây Bắc, thầy cô giáo giảng dạy môn Toán Chúng em xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Ngoài ra, trình thực đề tài chúng em nhận giúp đỡ nhiệt tình của: Phòng quản lý Khoa học Quan hệ Quốc tế trường Đại học Tây Bắc, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý -Tin, cán Trung tâm thư viện trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ chúng em hoàn thành đề tài Đây đề tài đầu tay lần chúng em làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Chúng em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Cuối chúng em xin kính chúc thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc bạn sinh viên mạnh khỏe thành công học tập Sơn La, tháng 05 năm 2015 Nhóm sinh viên thực Nguyễn Lệ Quyên Đinh Thị Yêu Nguyễn Thị Quýt Lê Thị Thúy Hồng Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc đề tài NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Nhóm, Vành, Trường 1.1 Nhóm 1.2 Vành 1.3 Trường Iđêan, Vành thương 10 2.1 Iđêan 10 2.2 Iđêan sinh tập 10 2.3 Các phép toán iđêan 12 2.4 Vành Thương 13 2.5 Iđêan nguyên tố Iđêan tối đại 14 Các vành đặc biệt 17 3.1 Vành 17 3.2 Vành Noetherian 18 3.3 Vành đa thức 19 Tôpô 22 Một số định lý liên quan 27 Chương 2.TẬP ĐẠI SỐ VÀ TÔPÔ ZARISKI 31 Không gian afine 31 Tập đại số Iđêan 35 Iđêan Nullstellensatz 49 KẾT LUẬN CHUNG 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta sống kỉ XXI, kỉ khoa học công nghệ hội nhập Vì vậy, việc trang bị kiến thức toán học vô quan trọng phát triển xã hội Hình học đại số phát triển mạnh năm gần Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Nó có vị trí trung tâm toán học đại liên quan tới môn học khác như: Giải tích phức, Tôpô Lý thuyết số Tập đại số Tôpô Zariski kiến thức sở tảng đại số Hơn nữa, chương trình học phần kiến thức không giới thiệu giảng dạy Là sinh viên ngành Toán với mong muốn tìm hiểu, nâng cao kiến thức để mở rộng thêm vốn hiểu biết đại số đại giải tích Chúng em hi vọng với cố gắng mình, đề tài tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên yêu thích Toán Xuất phát từ lý chúng em chọn đề tài nghiên cứu là: "Bước đầu tìm hiểu tập đại số Tôpô Zariski " Mục đích nghiên cứu - Trình bày chi tiết kiến thức sở để hiểu khái niệm, tính chất Tập đại số Tôpô Zariski - Hệ thống hóa, trình bày chi tiết khái niệm, tính chất Tập đại số, Tôpô Zariski nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu kiến thức mà trình học tập chưa có điều kiện nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề tập đại số tôpô Zariski - Làm rõ định nghĩa, tính chất, mệnh đề ví dụ liên quan đến tập đại số tôpô Zariski Đối tượng nghiên cứu - Tập đại số, Tôpô Zariski Phạm vi nghiên cứu - Khái niệm, tính chất Tập đại số, Tôpô Zariski Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thảo luận nhóm - Trao đổi với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài - Tìm hiểu thêm tôpô Zariski, mối lên hệ đại số giải tích thông qua tập đại số tôpô Zariski - Là tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên Toán yêu thích môn Toán Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm chương sau: Chương 1: Một số kiến thức sở Nhóm, Vành, Trường 1.1 Nhóm 1.2 Vành 1.3 Trường Iđêan, Vành thương 2.1 Iđêan 2.2 Iđêan sinh tập hợp 2.3 Các phép toán iđêan 2.4 Vành thương 2.5 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại 2.6 Vành đa thức Tôpô Một số định lý liên quan Chương 2: Tập đại số Tôpô Zariski 2.1 Không gian afin 2.2 Tập đại số iđêan 2.3 Iđêan Nullstellensatz Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Nhóm, Vành, Trường 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp Mỗi ánh xạ: X × X −→ X (x; y) −→ x.y gọi luật hợp thành (hay phép toán hai ngôi) X; x.y tích hợp thành x y Một nhóm cặp (X, ·) tập hợp X = ∅ "·" luật hợp thành X thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) Phép toán có tính chất kết hợp, tức là: ∀x; y; z ∈ X, (ii) ∃e ∈ X, (iii) ∀x ∈ X, (x · y) · z = x · (y · z) ∀x ∈ X: x · e = e · x = x ∃x ∈ X: x · x = x · x = e Trong đó: e gọi phần tử đơn vị (X, ·); x gọi phần tử nghịch đảo x (X, ·) kí hiệu x−1 Luật hợp thành nhóm thường kí hiệu dấu "·", "+" • Khi sử dụng ký hiệu "+" ta nói nhóm viết theo lối cộng Khi đó: +) Kết phép cộng a với b gọi tổng a với b kí hiệu a + b ; +) Phần tử đơn vị gọi phần tử không ký hiệu 0; +) Phần tử đối a kí hiệu −a; +) Tổng n phần tử a (n ∈ N) gọi bội n a kí hiệu n · a Đặc biệt: · a = a · = 0; · a = a · = a • Khi sử dụng ký hiệu " · " ta nói nhóm viết theo lối nhân Khi đó: +) Kết phép nhân a với b gọi tích a với b kí hiệu a · b +) Phần tử trung hòa gọi phần tử đơn vị kí hiệu e 1; +) Phần tử nghịch đảo a kí hiệu a−1 ; +) Tích n phần tử a (n ∈ N) kí hiệu an Đặc biệt: a0 = 1, a1 = a Nhóm (X, ·) gọi nhóm giao hoán (hay nhóm abel) x · y = y · x ∀x; y ∈ X Chú ý 1.1 Luật hợp thành nhóm tùy ý thường kí hiệu theo lối nhân Luật hợp thành nhóm abel thường kí hiệu theo lối cộng Nếu luật hợp thành "·" rõ không sợ nhầm lẫn người ta nói X nhóm Nếu tập X có vô hạn phần tử, ta nói X nhóm vô hạn Nếu tập X có hữu hạn phần tử, ta nói X nhóm hữu hạn Ví dụ 1.1 a) Nhóm cộng số nguyên Z, nhóm cộng số hữu tỉ Q, nhóm cộng số thực R b) Nhóm nhân số hữu tỷ khác không Q∗ , nhóm nhân số thực khác không R∗ Mệnh đề 1.1 Giả sử (X, ·) nhóm Khi đó: (i) Phần tử đơn vị X (ii) Phần tử nghịch đảo X Hệ 1.1 (Luật giản ước) Giả sử X nhóm, đó: (i) ∀a; x; y ∈ X, ax = ay suy x = y xa = ya suy x = y Ta nói nhóm X luật giản ước bên trái bên phải thực (ii) Các phương trình: ax = b ya = b có nghiệm Định lý 1.1 Giả sử X = ∅ trang bị phép nhân có tính chất kết hợp, X nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) ∃e ∈ X cho ea = a, ∀a ∈ X (e gọi đơn vị trái X) (ii) ∀x ∈ X, ∃x ∈ X cho xx = e (x gọi nghịch đảo trái X) Hệ 1.2 Giả sử X = ∅ trang bị phép nhân có tính chất kết hợp, X nhóm ∀a; b ∈ X phương trình ax = b ya = b có nghiệm X Định nghĩa 1.2 ( Nhóm chuẩn tắc) Nhóm A nhóm X gọi nhóm chuẩn tắc xA = Ax, ∀x ∈ X kí hiệu A X 1.2 Vành Định nghĩa 1.3 Một vành tập hợp X = ∅ với hai phép toán hai ngôi, gồm "+" : X × X −→ X, (x, y) −→ x + y, "·" : X × X −→ X, (x, y) −→ x · y, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) (X, +) nhóm abel; (ii) (X, ·) có tính chất kết hợp; ∀x, y, z ∈ X (xy)z = x(yz), (iii) Phép nhân phân phối hai phía phép cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz; (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ X Vành X gọi giao hoán phép nhân X có tính chất giao hoán: ∀x, y ∈ X xy = yx, Vành X gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ X cho: 1x = x1 = x, ∀x ∈ X Ví dụ 1.2 a) Z, Q, R, C vành với "+" "·" thông thường b) Vành Zm lớp thặng dư theo môđun m vành giao hoán √ √ c) Q( 2) = a + b 2; a, b ∈ Z vành giao hoán có đơn vị Tính chất 1.1 1) Trong vành, phần tử không phần tử đối phần tử 2) Trong vành X phần tử đơn vị có 3) ∀x, y, z ∈ X : x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx 4) Giả sử X vành, ∀x ∈ X, ta có: x·0=0·x=0 5) Tập hợp gồm phần tử không với phép cộng phép nhân cho bởi: 0·0=0 + = 0; Chú ý 2.4 Khi k Q, R C, tôpô Zariski yếu tôpô mêtric.Thông thường, hàm đa thức liên tục nên tập không đóng Tuy nhiên, trường hợp tôpô Zariski yếu thực tôpô mêtric Chẳng hạn, Z đóng tôpô thông thường Q, R, C không tập đại số không đóng tôpô Zariski Ví dụ 2.2 Tập mở khác rỗng tôpô Zariski đường afin A1 phần bù tập hữu hạn điểm Tuy nhiên, không An k vô hạn n > Chẳng hạn: V (x2 + y − 1) đường tròn đơn vị An , đóng không hữu hạn Hơn nữa, ý tôpô Zariski An Hausdorff k hữu hạn,trong trường hợp gọi tôpô rời rạc Ta kết hợp tập đại số An với iđêan k [x1 , x2 , , xn ] cách lấy tập nghiệm chung chúng Bây ta làm ngược lại, kết hợp iđêan k [x1 , x2 , , xn ] với tập An Định nghĩa 2.3 Cho tập X ⊆ An , ta định nghĩa I(X) iđêan X, đó: I(X) = {f ∈ k [x1 , , xn ] |f (p) = 0; ∀p ∈ X} Hay I(X) = {f ∈ k [x1 , , xn ] |X ⊆ V (f )} Ví dụ 2.3 a Cho iđêan k [x] tương ứng với tập đại số A1 : I(∅) = , I({a1 , , an }) = (x − a1 ), , (x − an ) ,   0 k vô hạn I A =   xpn − x k có pn phần tử 43 (2.1) Chú ý rằng, X ⊆ A1 vô hạn k vô hạn I(X) = Thật vậy: Xét A1 ; k [x] +) I(∅) = {f ∈ k [x] |∅ ⊆ V (f )} = k [x] = +) I({a1 , , an }) = (x − a1 ) (x − an ) Hiển nhiên +) I(A1 ) : • k vô hạn I(A1 ) = f ∈ k [x] |A1 ⊆ V (f ) = {0} • k có pn phần tử (p nguyên tố) n ⇒ phần tử k nghiệm đa thức xp − x Thật vậy: Giả sử k∗ = k\ {0} nhóm với phép nhân có pn − phần tử Khi đó, ∀a ∈ k : n Nếu a = a nghiệm đa thức xp − x Nếu a = theo định lý Lagrange có deg a ước pn − (cấp nhóm (k∗ , ·)) ⇒ a(p n −1) n n = ⇒ ap = a ⇒ ap − a = n ⇒ a nghiệm đa thức xp − x n Vậy I(A1 ) = {f ∈ k [x] |k ⊆ V (f )} = xp − x b Trong A2 , I({(a, b)}) = x − a, y − b Rõ ràng: x − a, x − b ⊆ I({(a, b)}), Vì vậy, ta cần chứng minh điều ngược lại bao hàm thức Giả sử f ∈ I({(a, b)}) Dựa vào thuật toán Ơclit, ta có: g(x, y) ∈ k [x, y] r(y) ∈ k [y],thỏa mãn: f (x, y) = (x − a)g(x, y) + r(y) Nhưng = f (a, b) = r(b), nên y − b chia hết cho r(y) ta 44 viết r(y) = (y − b)h(y) Do đó, f = (x − a)g + (y − b)h ∈ x − a, x − b Mệnh đề 2.4 (i) Nếu X ⊆ Y ⊆ An I(Y ) ⊆ I(X) (ii) I(∅) = k [x1 , x2 , , xn ], I({(a1 , , an )}) = x1 − a1 , , xn − an , ∀(a1 , , an ) ∈ An I(An ) = k vô hạn (iii) S ⊆ I(V (S)), ∀S ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] X ⊆ V (I(X)), ∀X ⊆ An (iv) V (I(V (S))) = V (S), ∀S ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] I(V (I(X))) = I(X), ∀X ⊆ An Chứng minh (i) Giả sử f ∈ I(Y ) f (p) = 0, ∀p ∈ Y Vì X ⊆ Y nên f (p) = 0, ∀p ∈ X ⇒ f ∈ I(X) Vậy I(Y ) ⊆ I(X) (ii) Xem ví dụ 2.3 (iii) +) S ⊆ I(V (S)), ∀S ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] Ta có: V (S) = {p ∈ An |f (p) = 0, ∀f ∈ S} I(V (S)) = {f ∈ k [x1 , x2 , , xn ] |f (p) = 0, ∀p ∈ V (S)} Lấy f ∈ S ⇒ ∀p ∈ V (S) ta có: f (p) = ⇒ f ∈ I(V (S)) +) X ⊆ V (I(X)), ∀X ⊆ An Ta có: I(X) = {f ∈ k [x1 , x2 , , xn ] |f (p) = 0, ∀p ∈ X} V (I(X)) = {p ∈ An |f (p) = 0, ∀f ∈ I(X)} Lấy p ∈ X ⇒ ∀f ∈ I(X), ta có: f (p) = ⇒ p ∈ V (I(X)) 45 +) V (I(V (S))) = V (S), ∀S ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] (iv) (⇒) V (I(V (S))) ⊆ V (S) Theo iii) mệnh đề 2.4 ta có: S ⊆ I(V (S)) Khi theo i) mệnh đề 2.2 thì: V (I(V (S))) ⊆ V (S) (⇐) V (S) ⊆ V (I(V (S))) Lấy p ∈ V (S) f (p) = 0, ∀f ∈ I(V (S)) ⇒ p ∈ V (I(V (S))) ⇒ V (S) ⊆ V (I(V (S))) +) I(V (I(X))) = I(X), ∀X ⊆ An (⇒) I(V (I(X))) ⊆ I(X) Theo iii) mệnh đề 2.4 ta có: X ⊆ V (I(X)) Khi theo i) mệnh đề 2.4 thì: I(V (I(X))) ⊆ I(X) (⇐) I(X) ⊆ I(V (I(X))) Lấy f ∈ I(X) f (p) = 0, ∀p ∈ V (I(X)) ⇒ f ∈ I(V (I(X))) ⇒ I(X) ⊆ I(V (I(X))) Chú ý 2.5 Trong phần chứng minh ii) mệnh đề 2.4 ta thấy: iđêan x1 − a1 , , xn − an điểm (a1 , , an ) ∈ An tối đại Bao hàm thức iii) mệnh đề 2.4, trường hợp tổng quát không xảy đẳng thức Chẳng hạn: a Xét I = x2 + ⊆ R [x] ∈ / I nên I = R [x] V (I) = ∅ nên I(V (I)) = R [x] I b Xét X = [0; 1] ⊆ R I(X) = V (I(X)) = R X Các ví dụ cho thấy rằng, tất iđêan k [x1 , x2 , , xn ] iđêan tập hợp điểm tất tập An tập đại số Chúng ta có tương ứng tập An iđêan 46 k [x1 , x2 , , xn ] là: X −→ I(X) I −→ V (I) Từ iv) mệnh đề 2.4 tương ứng − Khi tập hợp điểm giới hạn tập đại số iđêan tập điểm Ta thấy, tất tập An tập đại số tất iđêan k [x1 , x2 , , xn ] iđêan tập hợp điểm Chúng ta kiểm tra tập đại số nhỏ có chứa tập tùy ý An iđêan nhỏ tập hợp điểm có chứa iđêan tùy ý k [x1 , x2 , , xn ] Định nghĩa 2.4 Cho X ⊆ An I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] iđêan +) Bao đóng X (trong tôpô Zariski), tập đại số nhỏ chứa X (tức tập đóng nhỏ chứa X) kí hiệu X +) Bao đóng I iđêan nhỏ tập điểm chứa I kí hiệu là: I +) Nếu I = I ta nói I đóng Chú ý 2.6 I iđêan tập hợp điểm I = I Mệnh đề 2.5 (i) Nếu X ⊆ An X = V (I(X)) (ii) Nếu I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] iđêan, I = I(V (I)) Chứng minh (i) X ⊆ An X = V (I(X)) (⇒) X ⊆ V (I(X)) Theo (iii) mệnh đề 2.4 ta có: X ⊆ V (I(X)) Từ V (I(X)) tập đại số nên ta có: X ⊆ V (I(X)) (⇐) V (I(X)) ⊆ X Từ X ⊆ X ta có: I(X) ⊆ I(X) (Theo (i) mệnh đề 2.4) ⇒ V (I(X)) ⊆ V (I(X)) (Theo (i) mệnh đề 2.2) 47 Ta có: V (I(X)) = X X tập đại số (Theo (iv) mệnh đề 2.4) (ii) I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] I = I(V (I)) (⇒) I ⊆ (V (I)) Theo (iii) mệnh đề 2.4 ta có: I ⊆ (V (I)) Từ I(V (I)) iđêan nên ta có: I ⊆ (V (I)) (⇐) (V (I)) ⊆ I Từ I ⊆ I ta có: V (I ⊆ V (I)) (Theo (i) mệnh đề 2.2) ⇒ I(V (I)) ⊆ I(V (I)) ( Theo (i) mệnh đề 2.4) Ta có: I(V (I)) = I I iđêan (Theo (iv) mệnh đề 2.4) Ví dụ 2.4 a Nếu X = (0, 1) ⊆ R bao đóng X tôpô mêtric [0; 1] Khi bao đóng X tôpô Zariski R b Nếu k vô hạn X ⊆ A1 tập hợp điểm X = A1 Trong trường hợp đặc biệt bao đóng Zariski tập mở khác rỗng toàn đường thẳng với tập mở khác rỗng Zariski trù mật đường thẳng afin c Cho I = x2 I = I(V (I)) = x , nên I = I I không iđêan tập hợp điểm 48 Iđêan Nullstellensatz Trong phần trước, ta xét tập đại số iđêan tập hợp điểm.Ta thấy rằng: tập đại số không tập tập hữu hạn đa thức Trong phần này, ta tìm hiểu chất iđêan tập điểm Ta thấy rằng, iđêan iđêan tập điểm Nhưng số trường hợp iđêan I k [x1 , x2 , , xn ] iđêan tập điểm, chúng phần tử giao với số bội tương giao nhỏ Tuy nhiên, từ số bội giao không tồn ta lấy không tập iđêan, giống tập quy luật tuân theo dấu hiệu số bội, ta không nên thử lại ta lấy iđêan không tập Ví dụ 3.1 a Cho I = x2 + y − 1, x ⊆ k [x, y] Tập V (x2 + y − 1) đường tròn đơn vị V (x) đường thẳng qua gốc tọa độ Đường thẳng giao với đường tròn điểm, lần giao với "bội một" Do đó, ta nghĩ I iđêan đóng Điều khi: I = I(V (I)) = I({(0, −1), (0, 1)}) = x, y − = I Thật vậy, Giả sử f1 : x2 + y − = ⇒ y = − x2 ⇒ V (f1 ) = {(a; − a)|a ∈ R} f2 : x = ⇒ V (f2 ) = (0; b2 )|b ∈ R Khi đó: V (x2 + y − 1, x) = V (f1 ) ∩ V (f2 ) 49 ⇒   a =  1 − a = b2    a =    b =  ⇔   a =   b = −1 ⇒ V (I) = V (f1 ) ∩ V (f2 ) = {(0, 1), (0, −1)} b Cho I = x2 + y − 1, x − ⊆ k [x, y] Tập V (x2 + y − 1) đường tròn đơn vị V (x − 1) chùm đường thẳng chùm tiếp tuyến đường tròn (1; 0) Vì giao với đường tròn điểm nên số tương giao với "Bội hai" Do đó, ta nghĩ I không iđêan đóng Đây trường hợp: I = I(V (I)) = I {(1; 0)} = x − 1, y = I Thật vậy: Giả sử f1 = x2 + y − ⇒ y = − x2 ⇒ V (f1 ) = {(a, − a)|a ∈ R} f2 = x − ⇒ x = ⇒ V (f2 ) = (1, b2 )|b ∈ R ⇒ V (x2 + y − 1, x − 1)  = V (f1 ) ∩ V (f2 )   a = a = ⇒ ⇔    − a2 = b b = ⇒ V (I) = V (f1 ) ∩ V (f2 ) = {(1, 0)} Tập nghiệm phần tử I đường thẳng qua (1; 0) đường nằm ngang qua gốc tọa độ, tương giao điểm(1; 0) với "Bội ", nhắc lại giao chúng Định nghĩa 3.1 Cho X vành I iđêan X Khi đó, 50 I iđêan √ Nếu I = √ I = {a ∈ X|an ∈ I, ∀n > 0} I I gọi iđêan Ví dụ 3.2 a Nếu I(X) ⊆ An I(X) iđêan Thật vậy, ta cần chứng minh I(X) = Rõ ràng: I(X) ⊆ I(X) I(X) (1) Ngược lại, Giả sử f (x) ∈ I(X) Khi đó: ∃n ∈ N : f n (x) ∈ I(X) Do đó, f n (x) = ∀x ∈ X ⇒ f (x) = ∈ I(X) ⇒ I(X) ⊆ I(X) (2) Từ (1) (2), ta suy ra: I(X) = I(X) Vậy I(X) iđêan b Cho I = x2 + y − 1, x − ⊆ R [x, y] y ∈ I (vì y = (x2 + y − 1) − (x + 1)(x − 1)) Nhưng y ∈ / I, đơn giản điều kiện bậc y phần tử Do đó, I iđêan c Cho I = y − x2 , y − x3 Nếu u = x(x−1) u2 = (y − x2 ) − (y − x3 ) (x−1) ∈ I u∈ / I điều kiện bậc x phần tử Do đó, I iđêan Về mặt hình học, V (y − x2 ) parabol hướng lên trên, qua gốc tọa độ V (y − x3 ) giao với hai điểm gốc tọa độ điểm (1; 1) Ở có hai giao điểm giao nhau, bậc đa thức có liên quan cần có bao gồm số bội Vì vậy, điểm giao có "Bội hai" 51 Mệnh đề 3.1 Cho X vành I iđêan X √ I iđêan X √ I, bn ∈ I, ∀n > √ Suy (ab)n = an bn ∈ I ab ∈ I √ Nếu a, b ∈ I, am ∈ I bn ∈ I, ∀m, n > Chứng minh Nếu a ∈ X b ∈ Khi đó, ta có m+n+1 (a + b)m+n+1 =  m+n+1  k=0 k   ak bm+n−1−k Với k ∈ N k ≥ m, m − ≥ k m + n − − k ≥ n Điều có nghĩa với k ∈ N ak ∈ I bm+n−1−k ∈ I Do đó, mở rộng chuỗi (a + b)m+n+1 thuộc I, √ nghĩa (a + b)m+n+1 ∈ I a + b ∈ I √ ⇒ I iđêan Mệnh đề 3.2 Cho X vành I iđêan X I an ∈ I nghĩa a ∈ I với ∀a ∈ X n > Chứng minh Giả sử I an ∈ I a ∈ √ I=I Ngược lại, giả sử an ∈ I, tức a ∈ I với ∀a ∈ X n > √ √ Rõ ràng, I ⊆ I , cần I ⊆ I √ Nếu a ∈ I an ∈ I với ∀n > √ Suy ra, a ∈ I, nghĩa I ⊆ I I Mệnh đề 3.3 Cho X vành I iđêan nguyên tố X I iđêan Thật vậy, Giả sử Cho a ∈ X n > 0, an ∈ I, ta a ∈ I 52 Bằng phương pháp chứng minh quy nạp theo n Như vậy, an ∈ I n = an ∈ I rõ ràng a ∈ I Giả sử bn ∈ I nghĩa b ∈ I an+1 ∈ I Từ I nguyên tố, a ∈ I an ∈ I trường hợp ta có a ∈ I cách kiểm định giả thiết quy nạp Vì vậy, theo mệnh đề 3.2 suy I iđêan Tuy nhiên, tất iđêan nguyên tố x(x−1) = I({0; 1}) k [x] iđêan căn, không nguyên tố Mệnh đề 3.4 Nếu I iđêan k [x1 , , xn ] I ⊆ √ I ⊆ I Trong trường hợp đặc biệt, iđêan đóng √ Chứng minh Rõ ràng I ⊆ I √ √ Ta chứng minh I ⊆ I Giả sử f ∈ I f n ∈ I với n 1, từ f n (x) = ⇔ f (x) = Ta có f ∈ I(V (I)) Theo ii) mệnh đề 2.5: I = I(V (I)), ⇒ f ∈ I √ Vì vậy, I ⊆ I √ √ Theo mệnh đề 3.1, I = I I = I ⇒ I = I(V (I)) √ Tuy nhiên, k không trường đóng đại số I = I(V (I)) Ví dụ 3.3 Đa thức x2 + ∈ R [x] bất khả quy Vì vậy, iđêan x2 + đạt cực đại Do đó, iđêan Tuy nhiên, I(V (x2 + 1)) = I(∅) = R [x] Vì vậy, x2 + không iđêan tập điểm Rõ ràng, x2 + thay đa thức bất khả quy có bậc hai trường đóng đại số 53 Nếu trường sở tập đóng đại số I = √ I Đó kết Hilbert phát gọi Nullstellensatz, phát biểu sau: Định lý 3.1 (Nullstellensatz) Giả sử k tập đóng đại số cho I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] iđêan √ √ I(V (I)) = I nên I = I Ilà iđêan tập điểm √ I = I Một câu hỏi liên quan đến đặc tính iđêan cực đại k [x1 , x2 , , xn ] Ta thấy rằng, iđêan điểm (a1 , a2 , , an ) ∈ An iđêan cực đại x1 − a1 , , xn − an Tất iđêan cực đại k [x1 , x2 , , xn ] có hình thành không? Tiếp nữa, ví dụ x2 + R [x] cho thấy điều sai trường hợp nói chung Tuy nhiên, lại k tập đóng đại số Thực tế, I iđêan cực đại k [x1 , x2 , , xn ] I căn, theo Nullstellensatz I iđêan tập điểm Từ I iđêan cực đại tập nghiệm đảo, V (I) tập đại số nhỏ khác rỗng, phải bao gồm điểm (a1 , , an ) ∈ An 54 KẾT LUẬN CHUNG Trong khả điều kiện cho phép, đề tài bước đầu giải vấn đề đặt ra, trình bày cách hệ thống kiến thức sở bao gồm định nghĩa, tính chất nhóm, vành, trường, iđêan, vành thương, vành đa thức, tôpô, số định lý liên quan khái niệm, tính chất tập đại số, tôpô Zariski Đồng thời, chứng minh cách ngắn gọn cụ thể tính chất, định lý số ví dụ minh họa tập đại số, tôpô Zariski Tuy nhiên đề tài dừng lại bước đầu nghiên cứu tập đại số, tôpô Zariski, chưa có điều kiện nghiên cứu sâu vấn đề Hi vọng vấn đề trình bày đề tài vấn đề đặt nhận quan tâm từ phía thầy cô bạn sinh viên Cuối cùng, thời gian nghiên cứu có hạn có cố gắng trình thực đề tài gặp hạn chế, khó khăn nên đề tài không tránh khỏi sai xót nội dung hình thức Em mong nhận góp ý, chỉnh sửa thầy cô bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ (2008), Cơ sở lý thuyết số vành đa thức, NXB ĐHSP [2] Đậu Thế Cấp(2009),Cấu trúc đại số, NXB GD [3] Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung (2003), Đại số đại cương, NXB ĐHSP [4] John Clark, Christian Lomp (2006), Lifting Modules, Beclin [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG HN [6] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD [7] Nguyễn Tiến Quang, Bùi Huy Hiển (2014), Đại số đại cương, NXB ĐHSP [8] Trần Trọng Huệ (2001), Đại số đại cương, NXB ĐHQG HN 57 [...]... W và W ∈ νy với mọi y ∈ W Định nghĩa 4.3 (Tập mở, tập đóng của một tập hợp) Cho (X, τ ) là một không gian tôpô Khi đó tập G ⊂ X được gọi là tập mở nếu G ∈ τ ; Tập A ⊂ X là tập đóng nếu và chỉ nếu X\A là tập mở Định lý 4.1 Trong không gian tôpô (X, τ ) ta có: 1) Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở 2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập. .. 1.2 Mọi trường đóng đại số có vô hạn phần tử Chứng minh Giả sử X là trường hữu hạn, X = a1 , a2 , , an Khi đó, đa thức (x − a1 ) (x − an ) + 1 ∈ X [x] có bậc ≥ 2 và không có nghiệm trong X Do đó, X không là đóng đại số Vậy trường đóng đại số có vô hạn phần tử Định lý 1.2 Trường số phức C là trường đóng đại số Định lý 1.3 Mỗi trường X đều tồn tại mở rộng đóng đại số 9 2 2.1 Iđêan, Vành thương Iđêan Định... ·) là một vành Vành này được gọi là vành thương của X theo iđêan I Hai phép toán trong vành thương X/I thường được kí hiệu bởi x+y =x+y x · y = xy Nhận xét 2.1 Nếu X là vành giao hoán thì vành thương X/I cũng là vành giao hoán Nếu vành X có đơn vị e thì X/I là vành có đơn vị e = e + I Ví dụ 2.2 Đối với iđêan mZ của vành số nguyên Z ta có Zm = Z/mZ = {a = a + mZ : a ∈ Z} là vành thương của vành Z theo... αn ) Trường đóng đại số còn được gọi là đầy đủ đại số Nhận xét 1.1 Dễ dàng thấy rằng định nghĩa trên tương đương với một trong các điều khẳng định sau đây: a) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi các đa thức bậc nhất là tất cả các đa thức bất khả quy trong X [x] b) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x) ∈ X [x] , degf (x) = n ≥ 1, có đủ n nghiệm trong X c) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x)... = X và nếu tích ab ∈ K thì a ∈ K hoặc b ∈ K Ví dụ 2.3 a) 0 là iđêan nguyên tố của vành số nguyên Z nhưng không là iđêan tối đại của Z b) Nếu X là một trường thì 0 vừa là iđêan nguyên tố, vừa là iđêan tối đại của X Định lý 2.5 Cho vành giao hoán có đơn vị X và I là một iđêan của nó Khi đó: a) I là iđêan tối đại trong vành X khi và chỉ khi vành thương X/I là trường b) K là iđêan nguyên tố trong vành... (F ) = f −1 (Y \F ) nên nếu F là tập đóng trong Y thì Y \F là tập mở và theo giả thiết f −1 (Y \F ) là tập mở trong X, do đó X\f −1 là tập mở nên f −1 (F ) là tập đóng Ngược lại, nếu F là tập mở trong Y thì Y \F là tập đóng và theo giả thiết f −1 (Y \F ) = X\f −1 là tập đóng, do đó f −1 (F ) là tập mở trong X Định nghĩa 4.6 (Không gian Hausdorff) Cho X là không gian tôpô Khi đó, X được gọi là không... các tập con của X là một tôpô trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau: ∅ ∈ τ, X ∈ τ Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ Nếu {Gi }i∈I ⊂ τ thì Gi ∈ τ i∈I Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô Ví dụ 4.1 a) Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = {∅; X} là một tôpô trên X Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô b) Cho X là tập tùy ý khác rỗng Gọi τ là tập tất cả các tập. .. không gjan tôpô X đến không gian tôpô Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 1) f liên tục trên X; 2) Nghịch ảnh qua f của mọi tập mở trong Y là tập mở trong X; 3) Nghịch ảnh qua f của mọi tập đóng trong Y là tập đóng trong X Chứng minh (1) ⇒ (2): Cho D là tập mở tùy ý trong Y , ta chứng minh rằng f −1 (D) là tập mở trong X Thật vậy, giả sử x ∈ f −1 (D) là điểm tùy ý Do D là tập mở và f (x) ∈... 0) và b = (0, 1) là khác không, nhưng tích a.b = (0, 0) Định nghĩa 1.5 ( Miền nguyên) Miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị, không có ước của không Ví dụ 1.4 Vành số nguyên Z, vành hữu tỷ Q đều là những miền nguyên 1.3 Trường Định nghĩa 1.6 Một trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch Ví dụ 1.5 Tập các số hữu tỷ Q, tập các số thực R, tập. .. một song ánh từ X lên xA nên mọi lớp ghép trái đều có số phần tử bằng cấp của X Gọi x1 X, x2 X, , xk A là các lớp ghép trái khác nhau của G k Khi đó G = , xi A ∩ xj A = ∅ với mọi i = j i=1 Từ đó, cấp của nhóm G bằng k lần cấp của nhóm con X 30 Chương 2 TẬP ĐẠI SỐ VÀ TÔPÔ ZARISKI 1 Không gian afine Trong hình học sơ cấp, xuất phát từ bộ số thuộc tập số thực coi là có tọa độ trong lũy thừa Đề-các Bây giờ