Một số tính chất về tập bất khả quy trong không gian kn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒNG THỊ PHƢƠNG LAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TẬP BẤT KHẢ QUY TRONG KHÔNG GIAN Kn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ PHƢƠNG LAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TẬP BẤT KHẢ QUY TRONG KHƠNG GIAN Kn Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN – 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU n CHƢƠNG I TẬP ĐẠI SỐ TRONG KHÔNG GIAN K I Iđêan nguyên tố iđêan II Vành Noether 10 III Tập đại số không gian K n 12 n CHƢƠNG II TẬP BẤT KHẢ QUY TRONG KHÔNG GIAN K 21 I Tô pô Zariski không gian K n 21 II Tập đại số bất khả quy không gian K n 25 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ 19 hình học đại số phát triển mạnh Italia với tên tuổi nhƣ Castelnuovo Severi Nhƣng thiếu tảng đại số vững chắc, nhà tốn học Italia cịn dùng nhiều cơng cụ giải tích đơi mắc phải ngộ nhận hình học dẫn đến chứng minh không đầy đủ Phải đến Zariski Weil, đại số giao hoán trở thành cơng cụ hình học đại số Vào năm thập kỷ 20, Grothendieck sử dụng lý thuyết phạm trù vào hình học đại số cách có hệ thống Trong năm gần đây, mơn Hình Học Đại Số đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên năm cuối chƣơng trình cao học tốn Đây mơn tốn học dùng cơng cụ đại số để nghiên cứu hình học Nó đóng vai trị quan trọng hình học cao cấp Đối tƣợng nghiên cứu mơn hình học đại số tập nghiệm họ đa thức biến hay đa thức nhiều biến trƣờng K– tập đại số Để mô tả chúng ngƣời ta thƣờng dùng phƣơng trình quy việc nghiên cứu hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phƣơng trình Chẳng hạn chúng đƣợc trình bày giáo trình “Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số” Ngô Việt Trung số giáo trình khác Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tính chất tập đại số tập bất khả quy không gian K n Vì luận văn đƣợc mang tên: “Một số tính chất tập bất khả quy không gian K n ” Nội dung luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày số tính chất vành, iđêan tập đại số Chƣơng đƣợc xem nhƣ sở cho việc trình bày nội dung chƣơng sau Chƣơng bao gồm mục: I Iđêan nguyên tố iđêan II Vành Noether III Tập đại số không gian K n Chƣơng 2: Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày tô pô Zariski, chứng minh chi tiết số tính chất tập đại số bất khả quy không gian K n Chƣơng gồm mục: I Tô pô Zariski không gian K n II Tập đại số bất khả quy không gian K n Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ngƣời thầy, ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo chun ngành Hình học Tơ pơ, Khoa Tốn Phịng đào tạo Sau Đại học trƣờng Đại Học Vinh tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu tập thể giáo viên Trƣờng THPT Đô Lƣơng I, gia đình bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Vinh, tháng năm 2012 Tác giả CHƢƠNG I TẬP ĐẠI SỐ TRONG KHÔNG GIAN K n I Iđêan nguyên tố iđêan Nhƣ ta biết (xem [4]), tập hợp K đƣợc gọi vành có hai phép tốn hai mà ta ký hiệu "+" (phép cộng) "." (phép nhân) thỏa mãn điều kiện sau: 1) K với phép cộng nhóm aben 2) K với phép nhân nửa nhóm 3) Phép nhân phân phối với phép cộng: với phần tử tuỳ ý x, y, z  K ta có : x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Chú ý  Nếu phép nhân giao hốn ta gọi vành K vành giao hốn  Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị K thƣờng kí hiệu Ví dụ 1) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông thƣờng vành giao hốn có đơn vị gọi vành số nguyên 2) Tập đa thức n biến với hệ số trƣờng số thực vành đƣợc kí hiệu : K[ X ]  K[ x , x , , xn ] 1.1 Định nghĩa vành Giả sử K vành, A phận K ổn định với hai phép toán K, nghĩa x + y  A, xy  A với x, y  A A vành vành K A với hai phép toán cảm sinh A vành 1.2 Định lý tiêu chuẩn vành (Xem [4]) Giả sử A phận khác rỗng vành K Các điều kiện sau tƣơng đƣơng: a) A vành vành K b) Với x, yA : x + y  A, xy  A, -x  A c) Với x, yA, x-yA, xyA Chứng minh a) kéo theo b) Vì A vành nên ta có x+y xy thuộc A với x, y  A Mặt khác A vành nên nhóm phép cộng, ta suy  x  A, x  A b) kéo theo c) hiển nhiên c) kéo theo a) Trƣớc hết ta ý phép toán cảm sinh A có tính chất kết hợp phân phối Do kết hợp với tiêu chuẩn nhóm ta có A vành K Chú ý: Giao họ vành K vành K Từ trở ta ln giả thiết K vành giao hốn có đơn vị 1.3 Định nghĩa iđêan Tập I tập K I ≠  đƣợc gọi iđêan K thỏa mãn điều kiện sau:  Nếu a, b  I a + b  I;  Nếu a  I với x  K ax  I + Một iđêan X≠K gọi iđêan cực đại iđêan K chứa X X K + Cho S  K Kí hiệu: S  {a f  a f   an f n |  K , fi  S , i  1,2, , n} 11 2 Lúc S iđêan iđêan nhỏ chứa S, ngƣời ta gọi iđêan sinh S Đặc biệt S có hữu hạn phần tử ta viết S  f , f , , f n , S có phần tử S  f  {fh | h V } S đƣợc gọi iđêan 1.4 Mệnh đề (xem [3]) Giả sử I1, I iđêan vành K Khi đó: a) I1  I iđêan K b) I1  I  {a1  a2 | a1  I1, a2  I 2} iđêan K c) I1I gồm tất tổng hữu hạn tích dạng a j , đó,  I1, a j  I iđêan K d) I1I  I 2I1  I1  I Chứng minh a) Với a, b  I1  I có a, b  I1, I Do I1 I iđêan K, nên a  b  I1, I  I1, I với r  K Do đó: a  b  I1  I  I1  I b) Với x, y  I1  I , có x  a1  b1, y  a2  b2 , a1, a2  I1 , b1, b2  I Do đó, ta có : x  y  (a1  b1)  (a2  b2 )  I1  I ; r  K , có rx  ra1  rb1  I1  I c) Theo định nghĩa tích iđêan, ta suy I1I khép kín với phép cộng phép nhân: x, y  I1I , x  y  I1I ; x  I1I r  K , rx  I1I d) Từ K vành giao hoán ta có I1I  I I1 Hơn I1, I iđêan I1I  I I I1  I1 , đó: I1I  I I1  I1  I Chú ý: Nói chung I1I  I1  I Chẳng hạn: Xét K vành số nguyên Z Ta chọn I1  I  10 , đó: I1  I   10  10 ; I1I  10  50 1.5 Định nghĩa +) Cho I iđêan tùy ý vành K Khi ta gọi tập tất phần tử f thuộc K thỏa mãn fm  I với m số nguyên dƣơng iđêan đƣợc ký hiệu I Nhƣ vậy: I = {f  K | fm  I, m  Z * } +) Nếu I  I , I đƣợc gọi iđêan 1.6 Mệnh đề (Xem [2]) Giả sử I , J iđêan K Ta có: a) b) IJ  I  J  I  J I  I Chứng minh a) Vì IJ  I  J IJ  I  J Ngƣợc lại, với phần tử x  I  J , tồn số nguyên dƣơng m cho xm  I  J Do đó, tồn số nguyên dƣơng m cho x m  I x m  J Từ đó, x2m  xm.xm  IJ , hay IJ  I  J x  IJ Nhƣ vậy, I  J  IJ , Bây ta chứng minh I  J  I , J hay I  J  I  J Ta có I  J  I , J , I  J  I  J Ngƣợc lại, với x  I  J , suy x  I x  J Do đó, tồn số nguyên dƣơng m, n cho x m  I x n  J Vì xm n  xm.xn  I , J hay xm n  I  J x  I  J , tức I  J  I J b) Theo định nghĩa iđêan, ta có I  I , với x  I I Ngƣợc lại, I , tồn số nguyên dƣơng m cho x m  I Từ ta suy tồn n , cho ( xm )n  xmn  I Nhƣ x  I tức I  I 1.7 Định nghĩa Iđêan nguyên tố Giả sử I iđêan thực vành K Ta gọi I iđêan nguyên tố từ điều kiện fg  I ta suy đƣợc f  I gI Ví dụ Iđêan {0} K[X] iđêan nguyên tố với hai đa thức f, g ≠ f g  1.8.Nhận xét 1) Iđêan nguyên tố định nghĩa điều kiện: Nếu J1, J2 hai iđêan thoả mãn điều kiện J1J2  I ta suy đƣợc J1  I J2  I Thật vậy: Giả thiết I iđêan nguyên tố J J hai iđêan mà J J  I 1, 2 Ta chứng minh J1  I J2  I Giả sử J , J  I Khi f  J , f  I g  J , g  I Do I iđêan nguyên tố nên từ f g  I , ta suy f  I (hoặc g  I ) Điều mâu thuẫn 21 CHƢƠNG II TẬP BẤT KHẢ QUY TRONG KHÔNG GIAN K n Chƣơng nội dung luận văn Chúng tơi trình bày tơ pơ Zairiski số tính chất tập bất khả quy không gian K n Trong chƣơng ta giả thiết K trƣờng đóng đại số K có vơ hạn phần tử I Tô pô Zariski không gian Kn Giả sử  z họ tất tập phần bù tập đại số K n :  z  U U  K n \ M  ; M tập đại số K n 2.1 Mệnh đề  z tô pô Chứng minh a) Ta kiểm tra ba tiên đề tô pô  z : +)   K n \ K n , K n tập đại số nên  z ; K n  K n \  ,  tập đại số nên K n  z M i tập +) Giả sử Ui  z , i  I (I tập số), Ui  K n \ M i ; đại số K n Ta có: iI Ui  K n \ Mi   iI  Kn \ iI Mi   K n \ Z    ; M i  Z Si ; i  I  Si   Ui  z iI  iI      U  K n \ M ; M  Z S ; S  K  X     1 1 +) Giả sử U ,U  z ta suy ra:  U  K n \ M ; M  Z S ; S  K  X  2 2  22    Khi : U U  K n \ M  K n \ M 2          Kn \ M M  Kn \ Z S Z S 2  K n \ Z  S  ; S  f g f  S , g  S    U U  z 2.2.Định nghĩa Tô pô  z đƣợc gọi tô pô Zariski không gian K n Nhƣ vậy, tập đóng theo tơ pơ Zariski tập đại số K n Không gian K n với tô pô Zariski đƣợc gọi không gian afin n chiều Ví dụ +) Trong K = 0xy , đó, đƣờng thẳng a K tập đóng theo tơ pơ Zariski +) Trong K3 = 0xyz , mặt phẳng P tập đóng K3 theo tôpô Zariski 2.3 Nhận xét i) Ta kí hiệu D  f   K n \ Z  f  ; f  K  X  Khi  D  f  f K  X  sở      Z Thật : Giả sử U  z , U  K n \ M (M  Z  S  , S  K  X )   Kn \  f S   Z  f     f S  K n \ Z  f   f S D f  ii) Tô pô Zariski K n tô pô Hausdoff Thật vậy, theo mệnh đề hai tập mở khơng rỗng ln giao Do với hai điểm    lân cận U có U VB   A A A lân cận V B B 23 iii) Ta xét khơng gian Afin 1-chiều K1 Khi đó, tập mở K1 theo tô pô Zariski tập rỗng, phần bù tập hữu hạn điểm, K1 iv)  K n , z  T -không gian Thật vậy, giả sử A B hai điểm phân biệt K n Khi lân cận U  K n \ B A không chứa B lân cận V  K n \ A B không chứa B A A 2.4 Mệnh đề Trong không gian K n , hai tập mở U ,V   có giao khác rỗng Chứng minh +) Giả sử f , g   Z  f   Z  g   Z  f g   K n +) Ta có D  f   D  g    K n \ Z  f     K n \ Z  g    K n \  Z  f   Z  g    +) Do  D  f  sở  z nên U V   Giả sử V  K n Ta ký hiệu: V  { V j | V j tập đại số chứa V} jJ 2.5 Nhận xét V tập đóng nhỏ chứa V Thật vậy: Nhƣ ta biết giao tập đại số tập đại số, nên V tập đại số,do V tập đóng Hiển nhiên V chứa V Bây ta chứng minh V tập nhỏ chứa V Thật vậy: Giả sử V tập đóng chứa V Khi đó, tồn j cho V  V j Suy ra: V  V Vậy V tập đóng nhỏ chứa V 24 Ta dùng iđêan I để xác định bao đóng V V 2.6 Mệnh đề (Xem [5]) Giả sử V tập tùy ý Kn Khi đó: i) V  Z ( I ) V ii) I  I V V Chứng minh i) Để chứng minh V  Z ( I ) ta chứng minh V  Z ( I ) V  Z ( I ) : V V V +) Chứng minh V  Z ( I ) : Ta có V  Z ( I )  V  Z (I )  Z (I ) V V V V +) Chứng minh V  Z ( I ) : V Đặt V  Z (S ) Khi đa thức S triệt tiêu V nên S  IV , suy Z(S)  Z(IV) Vậy V  Z ( I ) V Kết luận: V  Z ( I ) V ii) Chứng minh: I V I V Do V  V nên I  I Vì để chứng minh I  I ta cần chứng minh V V V V I  I Thật vậy: Lấy phần tử f  IV Khi f(a) = với a  V V V V  Z ( I ) nên f(a) = với a  V Suy f  I tức I  I V V V V Kết luận: I  I V V 2.7 Hệ Nếu V tập đóng V = Z(IV) 25 Chứng minh Do V tập đóng nên V  V Theo mệnh đề 2.6 V  Z ( I ) V Từ suy V = Z(IV) 2.8 Mệnh đề Cho V W hai tập điểm tùy ý Kn Khi V  W V  W Chứng minh Ta có: V  Z ( IV ), W  Z ( I W ) nên V , W tập đại số Vì V  W tập đại số, suy V  W  Z ( IV W ) Tƣơng tự ta có: V  W  Z ( IV W ) Bây ta chứng minh: Z ( IV W )  Z ( IV W ) hay IV W  IV W Do V  W  V  W nên IV W  IV W Ta cần chứng minh IV W  IV W Thật vậy: Lấy phần tử f  IV W f(a, b) = với a  V, b  W  f(a, Y) = W  f(a, Y)  IW  f(a, b’) với b’ Z ( I W )  W Tƣơng tự ta đƣợc f(X, b’)  IV  f(a’, b’) = với a’ Z ( IV )  V Vậy f(a’, b’) = với a’ V , b’ W suy f  IV W , tức IV W  IV W Kết luận: V  W  V  W Sau ta thấy việc nghiên cứu tập đại số quy việc nghiên cứu số hữu hạn tập bất khả quy II Tập đại số bất khả quy không gian Kn Khi xét tập nghiệm hệ phƣơng trình đa thức ngƣời ta thƣờng tìm cách quy việc xét hệ phƣơng trình đa thức đơn giản Về mặt hình học, điều có nghĩa ta phân tích tập đại số thành tập đại số nhỏ 26 Nếu tập đại số khơng thể phân tích thành hợp hai tập đại số nhỏ ta gọi tập đại số tập bất khả quy 2.9 Định nghĩa Một tập Y   không gian tôpô X bất khả quy Y biểu diễn đƣợc thành hợp hai tập thực sự, đóng Y (nghĩa là: Y  Y  Y ; Y ,Y đóng Y) 2 Ví dụ K với tơpơ Zariski tập bất khả quy Thật vậy: Các tập thực sự, đóng K tập hữu hạn điểm K Do K tập vô hạn phần tử nên K hợp hai tập hữu hạn Bây ta xét quan hệ tính trù mật tập mở với tính bất khả quy không gian tôpô X Nhƣ ta biết, A đƣợc gọi trù mật không gian tôpô X a  X , lân cận U a a có giao với A (nghĩa là: Ua  A   ) 2.10 Mệnh đề Giả sử X không gian bất khả quy U tập thực sự, mở khác rỗng X Khi đó: a) U tập bất khả quy X b) U tập trù mật X Chứng minh a) Ta chứng minh phản chứng Giả sử U tập không bất khả quy X Nhƣ U  U U với U1 ,U 2 đóng U Khi có hai tập đóng Y , Y X, cho: U  Y U 2 U  Y U 1 27 U1 Y1 U2 U mở X Y2 Mặt khác U mở nên X\U đóng X Ta đặt Y  Y  ( X \ U ) Y tập đóng X (vì hợp hai tập đóng tập đóng) Ta có: X  Y  Y với Y Y hai tập đóng X Tứ ta suy X 2 không bất khả quy Điều mâu thuẫn với giả thiết X bất khả quy Vậy U tập bất khả quy X b) Để xét tính trù mật U X, ta xét điểm a X lân cận mở U a a, ta cần chứng minh : Ua U   U a X Ua Thật : Ta giả sử ngƣợc lại Ua U   Ta đặt : Y  X \ U , Y  X \ U a Vì U U a mở nên Y , Y đóng 28 U X a U1 Khi : Y Y  ( X \ U )  ( X \ U a )  X \ (U U a )  X \   X Từ ta có : X khơng bất khả quy, điều mâu thuẫn giả thiết Vậy : Ua U  , a  X Do U trù mật X Chúng ta xét tính bất khả quy bao đóng tập Ta đóng tập tập đóng bé chứa tập 2.11 Mệnh đề Giả sử Y tập bất khả quy X Khi Y tập bất khả quy X Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Y A1 X Y Y A2 Y 29 Giả sử Y khơng bất khả qui X Khi Y  Y  Y ; với Y , Y đóng 2 Y Từ có hai tập đóng X A , A cho Y  A  Y 1 Y  A Y 2 Điều chứng tỏ Y , Y đóng X Mặt khác Y  Y nên: Y  (Y Y )  (Y Y ) , mà Y  Y Y  Y đóng Y Do đó, ta có Y 2 khơng bất khả quy Điều mâu thuẫn giả thiết Vậy Y tập bất khả quy X Chú ý tới tập đại số K n với tôpô Zarisky với iđêan ngun tố, ta có định lí sau: 2.12 Định lý Một tập đại số V K n bất khả quy Iv iđêan nguyên tố K[X]=K[ x , , xn ] Chứng minh Điều kiện cần: Giả thiết V tập bất khả quy K n Ta cần chứng minh Iv iđêan nguyên tố Thật vậy: Giả sử Iv khơng iđêan ngun tố Khi Iv  I  I ; I , I 2 iđêan K[X] thực lớn Iv (*) Rõ ràng đó: V  Z ( Iv )  Z ( I  I )  Z ( I )  Z ( I ) 2 Do V tập bất khả quy nên ta suy Z ( I )  V Z ( I2)V Từ suy I  Iv I  Iv , mâu thuẫn (*) Vậy Iv iđêan nguyên tố 30 Điều kiện đủ: Giả sử Iv iđêan nguyên tố, ta chứng minh vành V bất khả quy Giả sử vành V không bất khả quy K n Khi V  V V , V1 ,V2 tập đại số thực đóng V Ta có: Iv  I (V V )  I I V V Mặt khác: I I  I I I  I nên I I  I V V V V V V V V V 1 2 Do I v iđêan nguyên tố, suy I  I I  I V V V V Điều chứng tỏ V  V V  V (mâu thuẫn) Vậy V tập bất khả quy Từ định lý ta rút hệ sau: 2.13 Hệ a) K n tập bất khả quy Thật : I n  mà {0} iđêan nguyên tố K[X] K Theo định lý 2.12 ta suy K n tập bất khả quy b) Giả sử f đa thức bất khả quy K[X] I Z( f )  f Z(f) tập bất khả quy K n Thật : Do f đa thức bất khả quy K[X] nên f iđêan nguyên tố Theo định lý 2.12 ta suy Z(f) tập bất khả quy K n 31 Ví dụ Ta xét đa thức f  x2  y , rõ ràng f bất khả quy R[x,y] I Z( f )  f   Nhƣ V  Z ( f )  ( x, x2 ) | x  R tập bất khả quy R Chú ý Điều kiện I Z( f )  f lúc xảy với đa thức bất khả quy f Chẳng hạn f  x2  đa thức bất khả quy R[x] nhƣng I Z( f )  I  R[x]  f  Nhƣ ta biết ( xem [5]) : Nếu K vành Noether, iđêan I  K phân tích đƣợc thành giao số hữu hạn iđêan nguyên tố không bao hàm Các iđêan đƣợc xác định cách chúng iđêan nguyên tố cực tiểu I Sử dụng tính chất này, ta chứng minh đƣợc định lý sau : Cho V tập đại số Một tập bất khả quy W  V đƣợc gọi cực đại V W không nằm tập bất khả quy khác V 2.14 Định lý.(Xem [5]) Mọi tập đại số V phân tích thành hợp số hữu hạn tập bất khả quy không bao hàm Các tập bất khả quy phân tích nhƣ đƣợc xác định cách chúng tập bất khả quy cực đại V Chứng minh Theo tính chất nêu ta có: I  I   I r I , , I r iđêan V 1 nguyên tố cực tiểu I Ta đặt: V j  Z ( I j ) Theo mối liên hệ iđêan V 32 tập đại số thì: V  V  Vr I  I   I Do V V Vr 1 I I  I nên tồn iđêan I  I Khi I j  I Từ tính cực tiểu Vj V Vr 1 1 I suy j  I  I Tƣơng tự, ta có I  I j j  2, , r Vj V 1 Vì vậy, V , ,Vr tập bất khả quy Do iđêan I , , I r không bao hàm 1 iđêan nguyên tố cực tiểu I nên tập V , ,Vr không V bao hàm tập bất khả quy cực đại V Bây ta phải chứng minh phân tích V đƣợc xác định cách Nếu ta có phân tích khác V thành hợp tập bất khả quy không bao hàm V  W   Ws phân tích I thành giao iđêan nguyên tố I  I   I V V W Ws khơng bao hàm Theo tính chất nêu iđêan nguyên tố phải I , , I r tập bất khả quy W , , Ws phải V , ,Vr 1 Chú ý Định lý mở rộng định lý đa thức phân tích đƣợc thành tích đa thức bất khả quy Các tập bất khả quy xuất phân tích tập đại số V thành hợp tập bất khả quy không bao hàm đƣợc gọi thành phần bất khả quy V Chú ý Các thành phần bất khả quy thành phần liên thông tập đại số Để thấy điều ta cần tập bất khả quy khơng liên thơng Ví dụ Gọi V đƣờng hyperbol xy – = R Đây tập đại số có hai thành phần liên thơng Do V khơng hợp hai đƣờng thẳng nên 33 xy – khơng thể phân tích đƣợc thành tích hai đa thức bậc Điều có nghĩa xy – đa thức bất khả quy Nhƣ ta biết: Một không gian tôpô X đƣợc gọi Noether thoả mãn với chuỗi tập đóng giảm dần Y  Y  Y ln có số dƣơng r cho: Yr  Y  r 1 Ví dụ: K n không gian tôpô Noether Thật vậy: Nếu Y  Y  Y chuỗi giảm tập đóng I (Y )  I (Y )  I (Y )  chuỗi iđêan tăng A  K[x , , xn ] Từ K vành Noether nên chuỗi iđêan dừng Mà với i, Yi  Z ( I (Yi )) Do chuỗi Yi dừng Xét khơng gian tơpơ Noether, ta có kết tƣơng tự định lý 2.14 nhƣ sau (xem [7]): 2.15 Nhận xét Trong không gian tôpô Noether X, tập đóng khác rỗng Y phân tích thành hợp hữu hạn tập đóng bất khả quy: Y =Y1   Yr Các tập đóng Yi phân tích nhƣ đƣợc xác định cách 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày đƣợc vấn đề sau: Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất tập đại số không gian K n (Mệnh đề 1.20, Mệnh đề 1.27, Mệnh đề 1.28) Chứng minh chi tiết mệnh đề 2.10 tính trù mật tập bất khả quy Chứng minh chi tiết mệnh đề 2.11 tính chất bao đóng tập bất khả quy Chứng minh chi tiết định lý (Định lý 2.12, Hệ 2.13, Định lý 2.14) Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu thêm số tính chất tập bất khả quy không gian xạ ảnh 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Ngơ Bảo Châu (8/2003), Bài giảng hình học đại số, Viện toán học Việt Nam [2] Nguyễn Việt Hải (2007), Đại số giao hoán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Lang Serge (1975), Đại số-phần 1( Bản dịch tiếng Việt), NXB đại học trung học chun nghiệp [4] Hồng Xn Sính (1999), Đại số đại cương, NXB giáo dục [5] Ngô Việt Trung (2008), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số (Bản thảo lần 5) ,Viện toán học Việt Nam Tiếng Anh: [6] Atiyah, M.F and Macdonal, I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison_Wesley, Reading, Mass [7] Hartshorne Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer_Verlag, New York Inc [8] Matsumura, H (1970), Commutative Algebra, W A Benjamin Co, New York [9] Sharp, R Y (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press ... giáo trình khác Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tính chất tập đại số tập bất khả quy không gian K n Vì luận văn đƣợc mang tên: ? ?Một số tính chất tập bất khả quy không gian K n ” Nội dung... quy Các tập bất khả quy xuất phân tích tập đại số V thành hợp tập bất khả quy không bao hàm đƣợc gọi thành phần bất khả quy V Chú ý Các thành phần bất khả quy thành phần liên thông tập đại số Để... bất khả quy W  V đƣợc gọi cực đại V W không nằm tập bất khả quy khác V 2.14 Định lý.(Xem [5]) Mọi tập đại số V phân tích thành hợp số hữu hạn tập bất khả quy không bao hàm Các tập bất khả quy phân