Biểu diễn bất khả quy của các đại số LIE

Biểu diễn bất khả quy của các đại số LIE, luận văn thạc sỹ toán học ,dành cho các bạn nghiên cứu, học tập, cũng như tham khảo trong quá trình học, làm tiểu luận, luận văn, và tìm hiểu trong quá trình làm luận văn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ NGỌC DƯ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC QUY NHƠN - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ NGỌC DƯ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN AN KHƯƠNG QUY NHƠN - 2011 i MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 kiến thức cơ sở 3 1.1 Định nghĩa và ví dụ về đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Iđêan và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Tính giải được và tính lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Định lý Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Định lý Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Tiêu chuẩn Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Biểu diễn của sl 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 lý thuyết cấu trúc 20 2.1 Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Dạng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Các tính chất của hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Dạng chuẩn Weyl-Chavalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Các tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3 lý thuyết biểu diễn 40 3.1 Biểu đồ Cartan-Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Trọng và vectơ trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Sự hoàn toàn khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Phân loại các đại số Lie đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.1 A l = sl(l + 1, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 B l = o(2l + 1, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.3 C l = sp(l, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.4 D l = o(2l, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.5 G 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ii 3.4.6 F 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.7 E 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.8 E 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.9 E 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Biểu diễn trực giao và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 4 biểu diễn bất khả quy của các đại số lie nửa đơn có chiều thấp 62 4.1 Biểu diễn bất khả quy của sl 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Bảng các biểu diễn bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1 LỜI MỞ ĐẦU Đại số Lie và lý thuyết biểu diễn của các đại số Lie là một trong những lĩnh vực quan trọng nhất của toán học vì tính đẹp đẽ của nó cũng như sự ứng dụng rộng rãi của nó trong toán học và các khoa học khác. Hiện đã có rất nhiều chuyên khảo kinh điển và công cụ tính toán mạnh mẽ hỗ trợ cho lý thuyết này. Trong một bài báo gần đây ([6]), do nhu cầu biểu diễn nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất thông qua nghiệm của các phương trình bậc thấp hơn, thông qua lý thuyết Galois vi phân, hai tác giả Nguyễn An Khương và Marius van der Put đã dùng phần mềm trực tuyến LiE ([7]) để tính toán và thiết lập các biểu diễn bất khả quy có chiều nhỏ hơn 11 cho các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp. Bảng kết quả này càng lớn thì ta càng có thể mở rộng được lớp các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm có thể biểu diễn được thông qua nghiệm của các phương trình có bậc thấp hơn. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ thống, chứng minh chi tiết các kết quả về biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn, dùng phần mềm trực tuyến LiE để tính lại bảng kết quả nói trên cho các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp trong [7, Mục 1.2]. Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia làm bốn chương. Chương 1 dành để trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về các đại số Lie sẽ dùng trong các chương sau. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lý thuyết cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn. Chương 3 dành để mô tả biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn. Cuối cùng, trong Chương 4, chúng tôi sử dụng phần mềm trực tuyến LiE để tính lại các biểu diễn bất khả quy có chiều không quá 11 của các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp trong [6]. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn An Khương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với thầy. Thầy không chỉ cung cấp những tài liệu quý giá, hướng dẫn, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà còn thông cảm, khuyến khích, động viên tác giả vượt qua những khó khăn trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu đề tài. 2 Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cô đã tận tình tham gia giảng dạy Lớp Cao học Toán khóa XI, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai, Phòng Giáo dục Trung học nơi tác giả đang công tác; Trường THPT Chu Văn An - Gia Lai nơi tác giả đã từng công tác. Quý thầy, cô đã hết sức quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạch học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các anh chị trong lớp Cao học Toán khóa X, khóa XI của Trường Đại học Quy Nhơn cùng những người thân trong gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều nhưng kết quả đạt được trong luận văn vẫn còn khiêm tốn và khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và độc giả để luận văn hoàn thiện hơn. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm, các kết quả (hầu như không chứng minh) sẽ được dùng trong các chương sau. 1.1 Định nghĩa và ví dụ về đại số Lie Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một trường, charK = 2, 3. Một đại số Lie g là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K được trang bị một ánh xạ song tuyến tính (được gọi là ngoặc Lie) [, ] : g × g −→ g cùng với hai tính chất sau đây (i) [X, Y ] = −[Y, X] (tính đối xứng lệch), và (ii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (hệ thức Jacobi), với mọi phần tử X, Y, Z ∈ g. Ví dụ 1.1.2. Các không gian vectơ dưới đây đều là các đại số Lie với ngoặc Lie xác định bởi [A, B] = AB − BA, với A, B là các ma trận vuông cấp n. (1) Đại số Lie tuyến tính tổng quát gl n = {A ∈ Mat n }. (2) Đại số Lie tuyến tính đặc biệt sl n = {A ∈ Mat n |tr(A) = 0}. (3) Đại số Lie trực giao o n =  A ∈ Mat n |A + A T = 0  . (4) Đại số Lie unitary u n = {A ∈ Mat n |A + A ∗ = 0}, (5) Đại số Lie unitary đặc biệt su n = {A ∈ u n |tr(A) = 0}. (6) Đại số Lie đối ngẫu (symplectic) sp n =  A ∈ Mat 2n |A T J + JA = 0  , trong đó J = diag(J 1 , J 1 , , J 1 ) với J 1 =  0 1 −1 0  . Định nghĩa 1.1.3. Cho g là một đại số Lie và {X 1 , X 2 , , X n } là một cơ sở của (không gian vectơ) g. Ánh xạ song tuyến tính [, ] hoàn toàn xác định khi 4 các giá trị [X i , X j ] đã biết. Các hệ số c k ij trong quan hệ [X i , X j ] = c k ij X k được gọi là các hằng số cấu trúc của g. 1.2 Iđêan và đồng cấu Định nghĩa 1.2.1. Một đại số Lie con của g là một không gian con p của g đóng kín với phép toán ngoặc Lie, tức là [p, p] ⊂ p. Nói cách khác, p là một đại số Lie với phép toán tuyến tính và phép toán ngoặc Lie cảm sinh từ g. Định nghĩa 1.2.2. Một đại số Lie con p là một iđêan của g nếu [g, p] ⊂ p, tức là nếu X ∈ g và Y ∈ p thì [X, Y ] ∈ p. Nếu p là một iđêan của g thì không gian vectơ thương g/p = {X + p|X ∈ g} cùng với phép toán ngoặc [, ] cảm sinh trên g/p xác định một đại số Lie được gọi là đại số Lie thương của g bởi p. Định nghĩa 1.2.3. Cho g, g 1 là các đại số Lie. Một ánh xạ tuyến tính ϕ : g → g 1 bảo toàn phép toán ngoặc Lie, nghĩa là ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )] được gọi là một đồng cấu giữa hai đại số Lie g, g 1 . Nếu g 1 = g thì ϕ gọi là một tự đồng cấu. Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu là song ánh. Một đẳng cấu của một đại số Lie vào chính nó gọi là tự đẳng cấu. Hạt nhân của một đồng cấu ϕ : g → g 1 là tập hợp {X ∈ g|ϕ(X) = 0}, kí hiệu là ker ϕ. Mệnh đề 1.2.4. Cho g, g 1 là các đại số Lie và một đồng cấu ϕ : g → g 1 . Khi đó, (i) Nếu q là một đại số Lie con của g 1 thì ϕ −1 (q) là một đại số Lie con của g; (ii) Nếu q là một iđêan của g 1 thì ϕ −1 (q) là một iđêan của g; (iii) Im ϕ là một đại số Lie con của g 1 . 1.3 Biểu diễn của đại số Lie Định nghĩa 1.3.1. Một biểu diễn của một đại số Lie g trên một không gian vectơ V là một đồng cấu của đại số Lie ϕ : g −→ gl(V ). Ta nói rằng g tác động 5 trên V hoặc V là một g-không gian hoặc V là một g-môđun. Định nghĩa 1.3.2. Một biểu diễn ϕ gọi là biểu diễn trung thành nếu ker ϕ = 0, nghĩa là ϕ(X) = 0 ⇔ X = 0. Đặc biệt, nếu ker ϕ = q thì nó cảm sinh nên một biểu diễn trung thành của g/q một cách tự nhiên. Một biểu diễn tầm thường của một đại số Lie g là biểu diễn của g trên không gian 1 chiều với tất cả các phần tử trong g thành toán tử 0. Định nghĩa 1.3.3. Cho ϕ 1 , ϕ 2 là hai biểu diễn của g trên các không gian vectơ tương ứng V 1 , V 2 . Một ánh xạ tuyến tính T : V 1 → V 2 được gọi là đẳng biến đối với ϕ 1 , ϕ 2 nếu nó thỏa mãn quan hệ T ◦ ϕ 1 (X) = ϕ 2 (X) ◦ T, ∀X ∈ g. Nếu đẳng biến T là một đẳng cấu thì ta nói ϕ 1 và ϕ 2 là tương đương. Khi đó, ϕ 2 (X) = T ◦ ϕ 1 (X) ◦ T −1 , ∀X ∈ g. Thông thường ta chỉ cần quan tâm đến một lớp tương đương của các biểu diễn. Định nghĩa 1.3.4. Cho g tác động trên V qua ϕ. Một không gian con ổn định (hay không gian con bất biến) W của biểu diễn ϕ là một không gian con của V sao cho ϕ(X)(W ) ⊆ W, ∀X ∈ g. Khi đó, có một biểu diễn cảm sinh tự nhiên của g trên không gian thương V/W , và phép chiếu chính tắc V → V/W là đẳng biến. Định nghĩa 1.3.5. Biểu diễn ϕ của g trên V được gọi là biểu diễn bất khả quy (hay còn gọi là biểu diễn đơn) nếu nó không có không gian con bất biến không tầm thường (nghĩa là khác 0 và V ). Biểu diễn ϕ của g trên V được gọi là biểu diễn hoàn toàn khả quy (hay còn gọi là biểu diễn nửa đơn) nếu mọi không gian con bất biến của V đều có một không gian con bù bất biến trong V . Hay nói một cách tương đương, biểu diễn ϕ của g trên V được gọi là hoàn toàn khả quy nếu nó được phân tích thành tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy theo nghĩa dưới đây. 6 Định nghĩa 1.3.6. Cho ϕ 1 , ϕ 2 là hai biểu diễn của g trên các không gian tương ứng V 1 , V 2 . Khi đó, tổng trực tiếp ϕ 1 ⊕ ϕ 2 : g −→ gl(V 1 ⊕ V 2 ) của hai biểu diễn ϕ 1 , ϕ 2 là biểu diễn trên V 1 ⊕ V 2 và tích tensor ϕ 1 ⊗ ϕ 2 : g −→ gl(V 1 ⊗ V 2 ) của hai biểu diễn ϕ 1 , ϕ 2 là biểu diễn trên V 1 ⊗ V 2 được xác định như sau: ϕ 1 ⊕ ϕ 2 (X)(v 1 , v 2 ) = (ϕ 1 (X)(v 1 ), ϕ 2 (X)(v 2 )), ϕ 1 ⊗ ϕ 2 (X)(v 1 , v 2 ) = ϕ 1 (X)(v 1 ) ⊗ v 2 + v 1 ⊗ ϕ 2 (X)(v 2 )). Định nghĩa 1.3.7. Cho g là một đại số Lie. Ánh xạ đạo hàm D : g → g trên g là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ]. Định nghĩa 1.3.8. Với mỗi X ∈ g, ta định nghĩa ánh xạ ad(X) : g −→ g Y −→ [X, Y]. Định nghĩa 1.3.9. Cho g là một đại số Lie. Tâm của g là iđêan {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g} = ker(ad: g →Endg). Kí hiệu là C(g). Định nghĩa 1.3.10. Cho g là một đại số Lie. Một dạng song tuyến tính đối xứng ., . : g × g → K được gọi là bất biến nếu [X, Y ], Z = X, [Y, Z]. Định nghĩa 1.3.11. Cho g là một đại số Lie. Một dạng song tuyến tính đối xứng trên g xác định bởi k(X, Y ) = tr(ad X ◦ ad Y ) được gọi là dạng Killing trên g. Ta thường viết X, Y  = tr(ad X ◦ ad Y ). 1.4 Tính giải được và tính lũy linh Định nghĩa 1.4.1. Cho g là một đại số Lie. Đại số dẫn xuất của g là đại số Lie con g (1) = [g, g] = [X, Y ] : X, Y ∈ g. [...]... n ≥ 0 tồn tại duy nhất một biểu diễn bất khả quy của g = sl2 có số chiều bằng n + 1 (ii) Mọi biểu diễn hữu hạn chiều của sl2 là một tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy Chứng minh Xem [8, 1.11, 1.12, tr 27-30] Định lý 1.8.5 (Tính hoàn toàn khả quy của A1 ) Mọi biểu diễn của A1 đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy Chứng minh Trước tiên, ta xét biểu diễn trên một không gian vectơ... (Định lý Lie) Cho V là không gian vectơ trên trường số phức C Gọi g là một đại số Lie giải được tác động trên V bởi một biểu diễn ϕ Khi đó, tồn tại một vectơ liên kết v0 ∈ V, v0 = 0 thỏa mãn Xv0 = λ(X)v0 , ∀X ∈ g trong đó λ : g → C Một cách tương đương, một biểu diễn bất khả quy phức của một đại số Lie phức giải được có số chiều ≤ 1 Nói cách khác, bất kì một biểu diễn phức của một đại số Lie phức giải... λ = r Các vectơ v0 , v1 , , vr là các vectơ riêng của H với các giá trị riêng phân biệt Vì vậy, nó độc lập tuyến tính Các công thức tác động của X+ và X− chứng tỏ không gian W = v0 , v1 , , vr là bất biến dưới tác động của A1 Đặc 16 biệt, nếu V bất khả quy thì W = V Do đó, các biểu diễn bất khả quy phải giống như trên Rõ ràng một biểu diễn bất khả quy loại này là tồn tại Lấy một số tự nhiên bất kì... thành tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy được gọi là số bội ns của Ds trong ϕ Ta thường viết ϕ = ns Ds 20 Chương 2 LÝ THUYẾT CẤU TRÚC Chương này ta phát triển lý thuyết cấu trúc của đại số Lie nửa đơn tổng quát trên trường C (dạng chuẩn Weyl-Chevalley) và đi đến phân loại các đại số Lie nửa đơn Xuyên suốt chương ta luôn giả thiết g là đại số Lie phức có số chiều n 2.1 Đại số con Cartan Định... hợp đặc biệt chỉ có các biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của g là biểu diễn con 1 chiều Chứng minh Xem [8, 1.8, tr 22] Hệ quả 1.6.3 Trong trường có đặc số 0, nếu g là đại số Lie giải được hữu hạn chiều thì [g, g] là lũy linh 1.7 Tiêu chuẩn Cartan Mệnh đề 1.7.1 Cho g là đại số Lie con của gl(V ) đối với không gian vectơ V cùng với tính chất tr(XY ) = 0, ∀X, Y ∈ g Khi đó, đại số Lie dẫn xuất g(1) là... là một đại số Lie con của đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(V ) gồm các toán tử lũy linh Khi đó, g là một đại số Lie lũy linh Một cách tương đương, nếu g là một đại số Lie thỏa mãn mọi toán tử ad X, X ∈ g là lũy linh thì g là lũy linh 9 Chứng minh Xem [8, 1.7, tr 19-20] 1.6 Định lý Lie Mệnh đề 1.6.1 (Bổ đề Dynkin) Cho g là một đại số Lie tác động trên không gian vectơ V , gọi a là một iđêan của g... tổng trực tiếp của các không gian con bất biến bất khả quy Wi với i = 2, , k Đặt Wi = π(Wi ) Ta có các dãy khớp ngắn 0 → V1 → Wi → Wi → 0 Như đã chứng minh ở trên tồn tại phần bù bất biến bất khả quy Vi của V1 trong Wi Bây giờ dễ dàng thấy rằng V là tổng trực tiếp của các Vi với i = 1, , k Tính hoàn toàn khả quy đã được thiết lập Chú ý 1.8.6 Số lần xuất hiện Ds trong sự phân tích biểu diễn ϕ thành tổng... Bởi định nghĩa của E ta có tr(E.ad a) = tr(D.ad a) − Y, a = 0 13 Định nghĩa 1.7.6 Cho g là một đại số Lie Radical của g là iđêan cực đại giải được của g Kí hiệu là R(g) Định nghĩa 1.7.7 Một đại số Lie g được gọi là đại số Lie đơn nếu g chỉ có duy nhất các iđean là 0 và g (có nghĩa là g không giao hoán) Nói cách khác, g không có các iđêan không tầm thường khác 0 và g và dim g > 1 Đại số Lie g được gọi... phía Nếu X k = 0 thì (ad X)2k = 0 Gọi m là đại số Lie con cực đại của g, m khác g Khi đó, m tác dụng trên g bởi hạn chế của ad Vì m là đại số Lie con nên toán tử này để lại m bất biến Vì vậy, tồn tại biểu diễn cảm sinh trên g/m biểu diễn này vẫn còn các toán tử lũy linh Do đó, hạt nhân bằng 0 bởi giả thiết quy nạp Một phần tử khác 0 thuộc không gian này được biểu diễn bởi một phần tử X0 ∈ m Thực tế X0... nghĩa 2.1.1 Cho g là một đại số Lie và a là một đại số con của g Cái chuẩn tắc hóa của a trong g là n(a) = {X ∈ g|ad X(a) ⊆ a} là đại số con lớn nhất của g chứa a như một iđêan Một đại số con h của g được gọi là một đại số con Cartan của g (viết tắt CSA h) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây (i) h là lũy linh; (ii) h chính là cái chuẩn tắc hóa của nó, nghĩa là h = n(h) Ta xây dựng các tính chất quan trọng