Dạng compact

Định nghĩa 2.2.1. Một đại số Lie thực được gọi là dạng compact nếu dạng Killing của nó xác định âm.

Một đại số Lie thực g0 được gọi là một dạng thực của một đại số Lie phức g nếu g là đẳng cấu với sự phức hóa của g0.

Ví dụ 2.2.3. Các đại số Lie thực trực giao o(n) = o(n,R) là compact. Rõ ràng ad X là đối xứng lệch trên o(n) đối với tích trong trMTN thông thường trên không gian các ma trận. Nó là một dạng thực của các đại số Lie trực giao o(n,C). Vì mỗi ma trận phức M với MT +M = 0 (tức là M ∈ son) đều có dạng duy nhất A+iB với A, B ∈o(n) và ngược lại.

Định lý 2.2.4. Mỗi đại số Lie phức nửa đơn đều có một dạng thực compact.

Chứng minh. Gọi u là một không gian con thực của g mở rộng bởi ih0 và các phần tử

Uα = i

2(Xα−X−α), Vα = 1

2(Xα+X−α)

với α chạy trên tập các nghiệm dương (theo thứ tự đã chọn >). Ta thấy ngay rằng dimRu ≤dimCg và u mở rộng g trên C (ta thu được mọi h =h0+ih0 và ta có thể giải thích đối với Xα, X−α). Điều này chứng tỏ rằng tại bất kì u là một dạng thực của g được xem như không gian vectơ.

Dễ dàng kiểm tra được u là một đại số Lie con. Do đó, một dạng thực của g là một đại số Lie. Cụ thể [iH, Uα] = α(H)Vα và [iH, Vα] = −α(H)Uα. Với

[Uα, Vβ] ta phải sử dụng Nαβ = −N−α,−β. Đặc biệt, [Uα, Vα] = i 2Hα. Cuối cùng, dạng Killing: hXα, X−αi= 2 hα, αi và [Xα, X−α] =Hα và hXα, Xβi= 0 ⇔β = −α. Khi đó, với X = iH+XrαUα+XsαVα, H ∈h0, và rα, sα là số thực, ta có hX, Xi =−X ∆ α(H)2−X ∆+ rα2 +s2α hα, αi .

(Trong vế phải của đẳng thức trên, tổng thứ nhất trên tất cả các nghiệm, tổng thứ hai trên các nghiệm dương.)

Định lý tiếp theo cho thấy làm thế nào để xây dựng tất cả các dạng thực của g từ sự kiện về dạng compact thực. Các thành phần chính là các tự đẳng cấu đối hợp của u.

Định lý 2.2.5. Cho u là một dạng compact của g.

(i) Với một phép tự đẳng cấu đối hợp A của u. Gọi l và p là +1 và -1-không gian riêng của A. Khi đó, không gian con thực l+ip của g là một dạng thực của g.

(ii) Mỗi dạng thực của g thu được theo cách này quyết định một tự đẳng cấu của g (cái mà có thể được cho có dạng exp(adX0) với X0 ∈g).

Chứng minh. Gọi A là một đối hợp của u. Vì các giá trị riêng của A là +1

và −1 và u là tổng trực tiếp của các không gian riêng tương ứng l và p nên

A2 = id. Từ A[X, Y] = [AX, AY] ta có được các quan hệ

[l,l]⊂ l, [l,p] ⊂ p, [p,p] ⊂l. (2.1) Đặc biệt, l là đại số Lie con.

Vì l+ipmở rộng g trên C tối đa bằng u vàR-chiều của nó tương đương với kích thước của u nên l+ip là một dạng thực của g như là không gian vectơ. Rõ ràng u∩iu = 0. Từ (2.1) ta kết luận rằngl+ip là một đại số con thực. Bên cạnh [l,l] ⊂ l ta có [l, ip] = i[l,p] ⊂ ip và [ip, ip] = −[p,p] ⊂ l. Điều này chứng tỏ rằng [, ] là C-tuyến tính. Điều này thiết lập phần (i) của định lý.

Ta chú ý rằng bước từ phép đối hợp A đến sự phân tích tổng trực tiếp u = l+p với quan hệ (2.1) vẫn đúng cho sự đảo ngược: Nếu có một sự phân tích u thì ta xác định A bởi A|l = id và A|p = −id. Rõ ràng, A là một ánh xạ tuyến tính đối hợp. Bởi (2.1) suy ra rằng A bảo toàn dấu ngoặc. Khi đó, A

bảo toàn dạng Killing. Điều này suy ra rằng l và p đều trực giao với nhau bởi hX, Yi= hAX, AYi= hX,−Yi =−hX, Yi,

với X ∈ l và Y ∈p.

Chứng minh phần (ii) là phức tạp hơn. Đầu tiên, ta giới thiệu về khái niệm liên hợp phức.

Cho V0 là một dạng thực của không gian vectơ phức V sao cho mỗi vectơ X của V đều phân tích duy nhất dưới dạng X0+iX00 với X0, X00 ∈V0. Khi đó,

liên hợp của V đối với V0 là ánh xạ tuyến tính liên hợp σ : V −→ V xác định bởi σ(X0+iX00) = X0−iX00. Tuyến tính liên hợp có nghĩa là σ(a.v) = ¯a.v với

a∈ C, v ∈V. Chú ý rằng σ có cấp 2, có nghĩa là σ2 =id hay σ =σ−1.

Bây giờ, gọi g0 là một dạng thực của đại số Lie g. Gọi σ, τ là liên hợp của không gian vectơ g đối với dạng thực g0 của nó và u tương ứng. Cả σ, τ đều là R−tự đẳng cấu của g (chúng đều là R−tuyến tính và bảo toàn dấu ngoặc vì ngay lập tức thử lại bằng cách sử dụng X = X0+iX00). Hai hợp thành σ ◦τ

và τ ◦σ đều trở thành C−tự đẳng cấu.

Ta có các nhận xét quan trọng sau đây. Nếu σ và τ là giao hoán thì u là σ

bất biến và ngược lại. Thật vậy, nếu σ ◦τ = τ ◦σ thì σ bảo toàn +1-không gian riêng của τ là u. Ngược lại, nếuσ(u) =u thì σ(iu) =iu vì σ là tuyến tính liên hợp. Bây giờ, τ|u = id và τ|iu =−id. Do đó, σ và τ là giao hoán trên u và trên iu. Vì vậy, σ và τ là giao hoán trên g.

Bây giờ, ta thay thế g0 cùng với tự đẳng cấu của g bởi dạng thực g1 sai khác một đẳng cấu cùng với liên hợp σ1 giao hoán với τ. Khi đó, hợp thành

σ1◦τ sẽ là hàm đối hợp A của định lý.

Định nghĩa của dạng thực suy ra rằng dạng Killing k của g đơn giản là sự mở rộng hệ số phức của dạng Killing của một trong hai g0 và u.

Đặc biệt, k là thực trên g0 và trên u. Ta kết luận rằng

k(σX, σY) = k(τ X, τ Y) =k(X, Y)−,∀X, Y ∈g, (2.2) bằng cách viết X =X0+iX00, Y = Y0+iY00 và khai triển.

Ta giới thiệu dạng nửa song tuyến tính trên g là π(X, Y) = k(τ X, Y) (nó là tuyến tính theo Y và liên hợp tuyến tính theo X) và chứng minh rằng nó là dạng Hermite xác định âm.

Theo (2.2) ta có

π(Y, X) = k(τ Y, X) =k(X, τ Y) =k(X, τ2Y)− = k(τ X, Y)− =π(X, Y)−.

Ta viết X = X0+iX00 với X0, X00 ∈u. Khi đó,

π(X, X) =K(X0−iX00, X0+iX00) = k(X0, X0) +K(X00, X00).

Bởi π(P X, Y) =k(τ στ X, Y) =k(στ X, Y)− = k(τ X, στ Y) = π(X, P Y) và bằng cách sử dụng (2.2) hai lần ta có tự đẳng cấu P = σ◦τ của g là tự liên

hợp đối với π. Do đó, các giá trị riêng λi của P đều thực khác 0 và g là tổng trực tiếp của các không gian riêng tương ứng Vλi. Từ P[X, Y] = [P X, P Y] ta kết luận

[Vλi, Vλj]⊂ Vλi.λj (2.3) hoặc [Vλi, Vλj] = 0 nếu λi.λj không là giá trị riêng của P.

Ta giới thiệu toán tử Q = |P|−12. Khi đó, Q là toán tử nhân bởi |λ−

1 2 i | trên

Vλi. Tất nhiên P và Q là giao hoán. Từ (2.3) suy ra rằng Q là C−tự đẳng cấu của g. Vì |λ

λ| = |λλ| với λ thực khác 0 nên P.Q2 =P−1.Q−2.

Bây giờ, ta xây dựng dạng thực g1 của g là R−đẳng cấu và liên hợp với g0 (có nghĩa là g là ảnh dưới một tự đẳng cấu của g). Đặt g1 = Q(g0). Liên hợp

σ1 của g đối với g1 rõ ràng là QσQ−1. Ta chứng tỏ rằng σ1 và τ là giao hoán. Ta có σ.P.σ−1 =σ.σ.τ.σ−1 =τ.σ = P−1 sao choσ ánh xạ Vλi vào V1

λi. Điều này suy ra σ.Q−1.σ−1 = Q.

Khi đó,

σ1.τ =Q.σ.Q−1.τ =Q2.σ.τ =Q2.P = P−1.Q−2

= τ.σ.Q−2 =τ.Q.σ.Q−1 =τ.σ1,

có nghĩa là σ1 và τ giao hoán.

Từ định lý trên, ta có một hệ quả quan trọng sau.

Hệ quả 2.2.6. Hai dạng compact bất kì của g là R−đẳng cấu và liên hợp trong g.

Chứng minh. Ta chú ý rằng dạng Killing k là xác định dương trên ip (vì nó xác định âm trên p). Do đó, g0 và g1 là compact nếu và chỉ nếu p = 0 khi và chỉ khig1 =u vàu =Q(g0). Vì vậy, g0 vàg1làR-đẳng cấu và liên hợp trongg.

Đối với một dạng thực g0 của g, sự phân tích g0 = l+ p thỏa mãn (2.1) cùng với dạng Killing xác định âm trên l và xác định dương trên p được gọi là sự phân tích Cartan của g0. Định lý 2.2.5 có thể được phát biểu lại như sau Định lý 2.2.7. Mỗi dạng thực của g có một sự phân tích Cartan.

Mệnh đề sau đây nói lên tính duy nhất của phân tích Cartan. Giả sử l1+p1 và l2 +p2 là hai phân tích Cartan của dạng thực g0 tương ứng với hai dạng compact u1 = l1+ip1 và u2 =l2+ip2.

Mệnh đề 2.2.8. Tồn tại một tự đẳng cấu R của g có dạng exp(ad X0) với

X0 ∈ g0 biến l1 thành l2 và p1 thành p2.

Chứng minh. Gọiσ, τ1, τ2 là các liên hợp kết hợp. Như chú ý trong chứng minh của Hệ quả 2.2.6 tự đẳng cấu R = |τ1.τ2|−12 biến u2 thành u1. Bây giờ, σ giao hoán với τ1 và τ2. Vì vậy, σ giao hoán với R. Do đó, R cũng ánh xạ g0 vào chính nó. Ta có

R(l2) =R(g0∩u2) = R(g0)∩R(u2) = g0∩u1 =l1

và tương tự R(p2) =p1. Phát biểu về dạng của R kéo theo tương tự với phát biểu tương ứng trong Định lý 2.2.5 (ii), bằng cách xét lũy thừa |τ1.τ2|t

Rõ ràng hai đối hợp củauđều liên hợp trong nhóm các tự đẳng cấu củaulàm phát sinh hai R-đẳng cấu dạng thực của g. Ngược lại, sự thật về tính duy nhất cũng đúng. GọiA1, A2 là hai đối hợp củauvới sự phân tích u =l1+p1 =l2+p2 và giả sử các dạng thực g1 = l1+ip1 và g2 =l2+ip2 đều là R−đẳng cấu. Mệnh đề 2.2.9. Tồn tại một tự đẳng cấu B của g biến l1 thành l2 và p1 thành p2 và BA1B−1 = A2.

Chứng minh. Gọi E là một đẳng cấu của g1 với g2. Khi đó E(l1) +iE(p1) là sự phân tích Cartan của g2 liên kết với dạng compact E(l1) +E(p1). Bởi Hệ quả 2.2.6 tồn tại một tự đẳng cấu Q của g biến E(l1)thành l2 và E(p1) thành p2. Bây giờ, ta có thể lấy Q.E = B với E là tự đẳng cấu của g bởi sự phức hóa.

Nhận xét 2.2.10. Tồn tại một song ánh giữa các đối hợp của u và các dạng thực của g.

Ta hãy xét một ví dụ đơn giản sau. Cho đại số Lie các ma trận unita đặc biệt sun ={M ∈ M atn|M∗+M = 0, tr(M) = 0} với M∗ là ma trận chuyển vị liên hợp.

Bằng việc tính toán cụ thể, ta thấy rằng dạng Killing là xác định âm. Vì vậy, ta có một đại số Lie compact nửa đơn. Gọi σ là tự đẳng cấu liên hợp phức. Khi đó, σ là đối hợp. +1-không gian riêng gồm các ma trận đối xứng

lệch. Đây là đại số Lie trực giao thực o(n). Tạm thời kí hiệu không gian các ma trận đối xứng có vết bằng 0 là s(n). Khi đó, −1-không gian riêng của σ là

is(n). Ta có sự phân tích sun = o(n) +is(n). Ta cũng có sự phân tích đối với sl(n,R) =o(n) +s(n).

Mặt khác, bất kì ma trận phức đều được phân tích duy nhất dưới dạng

A + iB với A và B là Hermite. Do đó, ta có sự phân tích tổng trực tiếp sl(n,C) =su(n) +isu(n). Cuối cùng, ta có thể nói rằng su(n)là dạng compact thực của sl(n,C) và sl(n,R) là một dạng thực (vẫn còn các dạng thực khác). Định nghĩa 2.2.11. Một đại số Lie thực cùng với một tự đẳng cấu đối hợp (tức là tự đẳng cấu có nghịch đảo bằng chính nó) được gọi là đại số Lie đối xứng. Một đại số Lie được gọi là đại số Lie đối xứng trực giao nếu nó là một đại số Lie đối xứng và có một dạng toàn phương xác định trên nó, bất biến qua ad X và qua phép đối hợp.

Bây giờ, ta đến một ứng dụng của sự tồn tại và duy nhất của dạng thực compact

Định lý 2.2.12. Hai đại số con Cartan của một đại số Lie phức nửa đơn g đều liên hợp trong g dưới một tự đẳng cấu trong nào đó của g.

Chứng minh. Gọih1vàh2 là hai CSA củag. Mỗihi xác định một dạng compact ui của g như trong Định lý 2.2.4.

Từ Hệ quả 2.2.6 ta có thể giả sử u1 = u2 = u bằng cách thay thế h2 bởi một CSA liên hợp.

Ta kiểm tra từ công thức sau Định lý 2.2.4 rằng ih1,0 và ih2,0 là các đại số Lie con giao hoán cực đại của u.

Trên thực tế, cho H là một phần tử của h1,0 sao cho không có nghiệm đối với h1 triệt tiêu trên H (ta gọi phần tử như thế là chính quy hoặc tổng quát). Khi đó, tâm của iH trong u là ih1,0.

Dạng Killing k của g xác định âm trên u. Do đó, nhóm con đóng G của

GL(u) gồm tất cả các toán tử trên không gian vectơ u sao cho k bất biến một nhóm con đóng củaGL(u) là compact và là nhóm trực giao O(u, k). Với X ∈ u bởi bất biến vô cùng nhỏ của k nên các toán tử exp(t.adX) đều thuộc G.

Gọi G1 là nhóm con đóng nhỏ nhất của G chứa tất cả các exp(ad X). Khi đó, G1 là compact và tất cả các phần tử của G1 đều là các tự đẳng cấu của u. Bây giờ, lấy các phần tử tổng quát H1 ∈ h1,0 và H2 ∈ h2,0. Do tính compact, trên quỹ đạo của iH1 dưới G1 (có nghĩa là trên tập {g(iH1) : g ∈G1} ) tồn tại một điểm với khoảng cách cực tiểu (theo nghĩa của k) từ iH2.

Vì tất cả các g ∈G1 đều là tự đẳng cấu của u nên ta có thể giả sử rằng iH1

chính là điểm đó. Với bất kì X ∈u đường cong t →exp(t.adX)(iH1) = Yt. Do đó, nó gần iH2 nhất với t = 0.

Từ

|Yt−iH2|2 =|Yt|2−2hYt, iH2i+|iH2|2

và|Yt| =|iH1|, ta thấy rằng đạo hàm của hexp(t.adX(iH1)), iH2i triệt tiêu với

t= 0.

Do đó, h[X, H1], H2i= 0, ∀X ∈ u (thậm chí X ∈ g). Từ

h[X, H1], H2i=hX,[H1, H2]i

và tính không suy biến của h., .i, ta được [H1, H2] = 0. Điều này suy ra bởi tính chất trung tâm ở trên rằng iH2 được chứa trong ih1,0.

Tương tự iH1 được chứa trong ih2,0. Khi đó, ih1,0 =ih2,0. Do vậy h1 =h2. Ta vẫn phải chứng tỏ rằng phần tử g được sử dụng ở trên là một tự đẳng cấu trong, có nghĩa rằngg là tích hữu hạn của cácexp(ad X). Ta công nhận sự kiện sau đây về các nhóm Lie:Cho A ⊂ O(u, k) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của u và gọi A0 là id−nhân tố (hợp phần) của A. Tất nhiên A là một nhóm con đóng. Khi đó, A0 là một nhóm Lie và đại số Lie của A0 (=không gian tiếp tuyến tại id) bao gồm các đạo hàm của u. Bởi Mệnh đề 1.7.5 chúng đều là tích trong. Từ sự kiện này, ta suy ra rằngA0 được tạo bởi các exp(adX)với X ∈u,

có nghĩa là tập hữu hạn các tích không chỉ trù mật trong A0 mà còn bằng với

A0. Do đó, nhóm G1 được sử dụng ở trên là đồng nhất với A0 và phần tử g là một tự đẳng cấu trong.