Bây giờ ta tìm hiểu các biểu diễn của các đại số Lie. Cho ϕ : g →gl(V) là biểu diễn của g trên không gian vectơ phứcV. Ta thường viết Xv hoặc X.v để chỉ ϕ(X)(v).
Định nghĩa 3.2.1. Một vectơ riêng liên kết với tất cả các toán tửϕ(H), H ∈ h được gọi là một vectơ trọng.
Chú ý 3.2.2. (i). Từ định nghĩa suy ra vectơ trọng khác 0.
(ii). Nếu v là một vectơ trọng thì giá trị riêng tương ứng đối với ϕ(H) là một hàm tuyến tính trên h tại H.
Định nghĩa 3.2.3. Với λ∈ h> cho trước. Không gian trọng Vλ là không gian con của V gồm 0 và tất cả các vectơ trọng với trọng λ. Nếu Vλ 6= 0 thì λ gọi là trọng của ϕ.
Số chiều mλ của Vλ được gọi làsố bội của λ (như là trọng của biểu diễnϕ). Mệnh đề 3.2.4. Cho v là một vectơ trọng của ϕ với trọng λ, gọi α là một nghiệm tùy ý và Xα là phần tử nghiệm tương ứng. Khi đó, nếu Xαv 6= 0 thì
Xαv là một vectơ trọng của ϕ với trọng λ+α. Nói cách khác, Xα ánh xạ Vλ
vào trong Vλ+α.
Chứng minh. Vì ϕ bảo toàn ngoặc và Xα là phần tử nghiệm đối với α nên từ
ϕ([H, Xα]) = ϕ(H)ϕ(Xα)−ϕ(Xα)ϕ(H) và [H, Xα] =α(H)Xα,
ta được
HXαv =XαHv+ [H, Xα]v = Xαλ(H)v +α(H)Xαv = (λ(H) +α(H))Xαv.
Vì vậy, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.2.5. (i). V được sinh bởi các vectơ trọng, tồn tại chỉ một số hữu hạn các trọng;
(ii). các trọng đều là các dạng nguyên (chúng thuộc vào dàn I trong h>0);
(iii). tập hợp các trọng của ϕ là bất biến dưới nhóm Weyl: Nếu λ là một trọng thì với bất kì α ∈ ∆ ta có Sαλ = λ− λ(Hα)α cũng là một trọng. Trong thực tế, với = sign(λ(Hα)) mọi phần tử λ, λ−α, λ−2α, ..., λ−λ(Hα)α
(iv). các số bội là bất biến dưới nhóm Weyl mλ = mSλ với S ∈W. Chứng minh. Xem [8, 3.2, tr. 95].
Định nghĩa 3.2.6. Một trọng λ của ϕ được gọi là cực hạn (hoặc cao nhất) nếu λ+α không là trọng của ϕ với mọi α ∈∆+.
Một vectơ trọng v của ϕ được gọi là cực hạn nếu Xαv = 0, ∀α ∈∆+. Ý tưởng chính cho việc xây dựng các biểu diễn cho các đại số Lie tổng quát là sự tổng quát hóa trực tiếp việc xây dựng các biểu diễn đối với đại số Lie A1 (tức là sl2) như trong 1.8. Ta làm như sau: Gọi v là một vectơ trọng cực hạn của ϕvới trọng λ giống như vectơ v0 đối với lý thuyết biểu diễn củaA1 là một vectơ riêng củaH và biến thành 0 bởi X+. Ta kết hợp với v không gian con Vv
của V được xác định như là không gian con nhỏ nhất chứa v và bất biến dưới
mọi phần tử nghiệm X−i tương ứng với các phần tử đối của các nghiệm cơ bảnαi. Rõ ràng, Vv sinh bởi tất cả các vectơ có dạngX−i1X−i2...X−ikv với k= 0, 1, 2, ...
và 1≤ij ≤l.
Mệnh đề 3.2.7. Vv là một g-không gian con bất biến của V.
Chứng minh. Ta chú ýg sinh bởi các phần tử nghiệm cơ bản Xi và X−i. Tính bất biến dưới X−i là một phần của định nghĩa của Vv. Tính bất biến dưới Xi
ta chứng minh bằng quy nạp. Ta viết I = {i1, i2, ..., ik} như trên, ta viết gọn
X−i1X−i2...X−ikv thành XIv (vì X{i}v =X−iv), gọi k là chiều dài của I. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất kì t được cho tại hầu hết trên chiều dài I tất cả
XIv biến vào trong Vv bởi Xi.
Với t = 0, điều này là rõ ràng (vì v là một vectơ trọng cực hạn nên mọi
Xiv = 0). Lấy k ≤ t+ 1, đặt I0 ={i2, ..., ik}. Khi đó, từ quan hệ
[Xi, X−j] = XiX−j−X−jXi,
ta được
XiXIv = XiX−i1XI0v =X−i1XiXI0v + [Xi, X−i1]XI0v.
Theo giả thiết quy nạp XiXI0v ∈ Vv. Vì vậy, X−i1XiXI0v ∈ Vv. Số hạng thứ hai [Xi, X−i1] = 0 nếu −i1 6= i (vì αi − αi1 không là một nghiệm) và
Hệ quả 3.2.8. Nếu biểu diễn ϕ là bất khả quy thì tồn tại chính xác một trọng cực hạn λ. Nó là trội (thuộc vào nửa nhóm Id), lớn nhất theo thứ tự đã cho, có chuẩn cực đại, có số bội là 1. Tất cả các trọng khác đều có dạng λ−P
niαi
với ni là các số nguyên không âm.