Mệnh đề 3.3.1 (Bổ đề Schur). Giả sử ϕ: g−→ gl(V) và ψ : g−→ gl(W) là các biểu diễn bất khả quy của g. Giả sử f : V −→W là một ánh xạ tuyến tính sao cho ψXf =f ϕX, ∀X ∈g. Khi đó,
(i). Nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau thì f = 0.
(ii). Nếu V = W và ϕ = ψ thì f là một phép vị tự, tức là f = λ.idV với hằng số phức λ nào đó.
Hệ quả 3.3.2. Giả sử ϕ :g −→gl(V) và ψ : g−→gl(W) là các biểu diễn bất khả quy của g. Giả sử h : V −→W là một ánh xạ tuyến tính. Đặt
h0 = 1 |g| X X∈g (ψX)−1hϕX. Khi đó,
(i). Nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau thì h0 = 0.
(ii). Nếu V =W và ϕ=ψ thì h0 là một phép vị tự với hệ số tr(h) dim V . Chứng minh. Ta có ψXh0 =h0ϕX, ∀X ∈ g. Thật vậy, ψY−1h0ϕY = 1 |g| X X∈g ψ−Y1ψX−1hϕXϕY = 1 |g| X X∈g ψ−XY1 hϕXY = 1 |g| X Z∈g ψZ−1hϕZ =h0.
(i). Áp dụng Mệnh đề 3.3.1 (Bổ đề Schur ) vớif = h0, ta nhận đượch0 = 0.
(ii). Cũng theo Mệnh đề 3.3.1 (Bổ đề Schur), h0 =λidV, trong đó λ là một số phức nào đó. Nhận xét rằng tr(h0) = 1 |g| X X∈g tr(ϕ−X1hϕX) = 1 |g| X X∈g tr(h).
Mặt khác, tr(h0) =tr(λidV) =nλ . Do đó, λ = n1 .tr(h).
Bổ đề 3.3.3. Gọiϕ là một biểu diễn của g trên V (bất khả quy hoặc không bất khả quy), dạng vết tϕ(X, Y) =tr(ϕ(X).ϕ(Y)). Nếu ϕ là biểu diễn trung thành thì dạng vết là không suy biến.
Chứng minh. Xét tập j = {X ∈g :tϕ(X, Y) = 0,∀Y ∈ g}. Bởi tính bất biến vô cùng bé của tϕ nên jlà một iđêan của g. Bởi giả thuyết, ta có thể xét g như một đại số Lie con của gl(V). Bởi Định lý 1.7.3 nên j là giải được và bởi tính nửa đơn của g nên j= 0. Do đó, dạng vết tϕ là không suy biến.
Định nghĩa 3.3.4 (Toán tử Casimir). Cho a là một iđêan duy nhất của g bù với kerϕ và sự hạn chế ϕ xác định một biểu diễn trung thành của a. Gọi
X1, ..., Xn là một cơ sở tùy ý cho a và Y1, ..., Yn là cơ sở đối ngẫu đối với dạng vết trên a sao cho tϕ(Xi, Yj) = δij. Đặt Γϕ = P
ϕ(Xi)◦ϕ(Yi). Khi đó ta gọi
Γϕ là toán tử Casimir của ϕ.
Mệnh đề 3.3.5. (i). Toán tử Casimir Γϕ giao hoán với mọi toán tử ϕ(X).
(ii). tr(Γϕ) = dima= dimg−dim kerϕ. Chứng minh. Lấy bất kì X ∈g. Ta khai triển
[X, Xi] =XxijXj, [X, Yi] =XyijYj.
Ta có xij = tr[X, Xi]Yj và −trXi[X, Yj] = −yji, bởi tính bất biến của tϕ. Khi đó,
[X,Γϕ] =X[X, Xi]Yi+XXi[X, Yi] =XxijXjYi+XyijXiYj = 0.
Điều này chứng minh khẳng định (i). Khẳng định (ii) có ngay từ sự kiện
trXiYi = 1.
Hệ quả 3.3.6. Nếu ϕ là bất khả quy (và V 6= 0) thì Γϕ là toán tử vô hướng
dimg−dim kerϕ dim V .id.
Mệnh đề 3.3.7. Cho g tác động trên V (như ở trên). Gọi f : g −→V là một hàm tuyến tính thỏa mãn quan hệ f([X, Y]) = Xf(X)−Y f(X), ∀X, Y ∈ g. Khi đó, tồn tại một vectơ v ∈ g với f(X) =Xv, ∀X ∈ g.
Chứng minh. Giả sử rằngV có một không gian con bất biến U với không gian thươngW =V /U và ánh xạ thươngπ : V → W. Ta chứng tỏ nếu Mệnh đề 3.3.7 đúng với U vàW thì nó cũng đúng với V. Gọi ω ∈ W thỏa mãnπ.f(X) = Xω
vàω0 là một đại diện cho ω trong V. Định nghĩa hàmf0 bởi X 7→f(X)−Xω0. Ta có π.f0(X) = 0, ∀X ∈ g, tức là f0: g →U. f0 cũng có tính chất như Mệnh đề 3.3.7. Do đó, tồn tại một u∈ U với f0(X) = Xu, ∀X ∈g. Nhưng điều này có nghĩa là f(X) = X(ω0+u), ∀X ∈ g. Do đó, Mệnh đề 3.3.7 đúng đối với V. Vì vậy, ta phải chứng minh Mệnh đề 3.3.7 chỉ đối với V bất khả quy. Điều này là tầm thường cho biểu diễn tầm thường dim V = 1,∀X = 0. Khi đó, giả sử ϕ là bất khả quy, bởi Hệ quả 3.3.6 toán tử Casimir Γϕ là khả nghịch. Giống như trong trường hợp của Mệnh đề 3.3.5, gọi{Xi}và{Yi}là các cơ sở đối ngẫu của a đối với tϕ. Ta xác định v ∈ V bởi phương trình Γϕ(v) =P
Xif(Yi). Khi đó, ta có Γϕ(Xv−f(X)) =P XXif(Yi)−P XiYif(X) = P [X, Xi]f(Yi) +P Xi(Xf(Yi)−Yif(X)) = P [X, Xi]f(Yi) +P Xif([X, Yi]) = P xijXjf(Yi) +P yijXif(Yj) = 0, ∀X ∈g. Vì vậy f(X) =Xv, ∀X ∈ g.
Định lý 3.3.8. Mọi biểu diễn của g đều hoàn toàn khả quy.
Chứng minh. Gọi ϕ là một biểu diễn của g trên V, U là một không gian con bất biến và W là không gian thương cùng với ánh xạ thương π : V → W. Ta phải tìm một không gian con bù bất biến. Nói cách khác là tìm một ánh xạ g-đẳng biến của W vào trong V, tức là sự phân tích với π bằng idW.
Ta viết L và M để chỉ các không gian vectơ gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính của W vào trong U và V. (Có thể coi L là một không gian con của M). Tồn tại một tác động của gtrên các không gian này xác định đối vớiX ∈g bởi
giữa hai g-không gian). Các ánh xạ đẳng biến này là bất biến của các tác động này, tức là những ánh xạ này thỏa mãn [X, p] = 0, ∀X ∈ g. Gọi h là phần tử bất kì của M sao choπ.h = idW (điều này tồn tại vì π là toàn ánh). Mục đích của ta là làm choh đẳng biến bằng cách trừ ra một số phần tử phù hợp của L. Xét ánh xạ X 7→[X, h] là một ánh xạ f của g vào trong M thỏa mãn quan hệ của Mệnh đề 3.3.7. Phân tích π.[X, h] = π.X.h−π.h.X = 0 bởi π.X =X.π
và π.h = idW với bất kì X. Điều này có nghĩa là [X, h] thực sự nằm trong L. Vì vậy f có thể được xem như là ánh xạ từ g vào trong L. Áp dụng Mệnh đề 3.3.7 tồn tại một k ∈ L với f(X) = [X, k]. Do đó, [X,(h−k)] = 0, ∀X ∈g, có nghĩa là h−k là một ánh xạ đẳng biến của W vào trong V. Vì π(U) = 0 nên
π.k = 0. Điều này chứng tỏ π.(h−k) =π.h =idW. Vì vậy, h−k là cái ta cần làm.
Định lý 3.3.9. Cho g là tổng trực tiếp của hai đại số Lie nửa đơn g1 và g2. Khi đó, bất kì biểu diễn bất khả quy ϕ của g đều bằng tích tensor của hai biểu diễn bất khả quy ϕ1 và ϕ2 của g1 và g2.
Chứng minh. Gọi ϕ0 là một sự hạn chế của ϕ tới số hạngϕ1. Bởi tính khả quy hoàn toànV tách thành tổng trực tiếp của cácϕ0-không gian con bất biến, bất khả quy V1, V2, .... Tất cả các Vi đều đẳng cấu như g1-không gian. Vì g1 và g2 giao hoán nên ánh xạ V1 →Vi thu được bởi toán tử với Y ∈ g2 tùy ý và chiếu vào Vi là g1-đẳng biến. Bởi Mệnh đề 3.3.1 (Bổ đề Schur ) ánh xạ này hoặc là một đẳng cấu hoặc là0. Do đó, các Vi là g1-đẳng cấu với V1. Tổng của các Vi là g-bất biến. Vì vậy, tổng của cácVi bằng với V. Do đóV = V1⊕V1⊕+· · ·+V1
là g1-không gian hoặc là V1⊗W trong đó W là một không gian thích hợp. Với
X ∈ g1, tác động trên V1⊗W là ϕ(X)⊗id.
Lấy bất kì Y ∈ g2. Như trên, ánh xạ của số hạng V1 ở vị trí thứ i trong tổng thu được bởi toán tử đầu tiên với ϕ(Y) và phép chiếu tới số hạng thứ
j trong tổng là g1-đẳng biến. Do đó, nó là vô hướng. Thể hiện trong dạng
V1 ⊗ W của V điều này có nghĩa là tồn tại một biểu diễn ϕ2 của g2 tác động trên W với ϕ(Y) = id ⊗ ϕ2(Y). Rõ ràng ϕ2 phải là bất khả quy và
ϕ(X, Y) =ϕ1(X)⊗id+id⊗ϕ2(Y).
ϕ1, ϕ2 là các biểu diễn bất khả quy của g1, g2 thì ϕ1⊗ ϕ2 là một biểu diễn của g1⊗g2.