Cho R là một hệ nghiệm trong một không gian vectơ phức V. Kí hiệu h là đối ngẫu của V sao cho V = h∗. Gọi S = {α1, ..., αl} là một cơ sở đối với R, gọi H1, ..., Hl ∈ h là các nghiệm nghịch đảo của α1, ..., αl và aij = hαj, Hii là các số nguyên Cartan.
Gọi g là một đại số Lie xác định bởi 3l phần tử sinh ei, fi, hi với 1≤ i≤ l
(tương ứng với các phần tử Xi, X−i, Hi ) và các quan hệ
(1) [hi, hj] = 0 ,
(2) [hi, ej] =ajiej và [hi, fj] =−ajifj,
(3) [ei, fj] = 0,
(4) [ei[ei[...[ei, ej]...]]] = 0 với −aji+ 1 nhân tử ei, (5) [fi[fi[...[fi, fj]...]]] = 0 với −aji+ 1 nhân tử fi.
Ta có thể chứng minh được rằng g là một đại số Lie nửa đơn (hữu hạn chiều) với hệ nghiệm của nó là R, các hi hình thành một đại số Lie con Cartan h. Ta phát biểu kết quả chính sau.
Định lý 3.4.1 ([8, Therem A, tr. 69]). Có đúng (chính xác đến một lớp tương đương) 9 hệ cơ bản đơn được mô tả bởi biểu đồ Dynkin như sau.
Kí hiệu Biểu đồ Dynkin Hạng Al e e e e e e l = 1, 2, ... Bl e e e e e i e l = 2, 3, ... Cl e e e e e h e l = 3, 4, ... Dl e e e e e e e Q QQ l = 4, 5, ... G2 e i e l = 2 F4 e e h e e l= 4 E6 e e e e e e l= 6 E7 e e e e e e e l= 7 E8 e e e e e e e e l= 8
Bảng 3.1: Biểu đồ Dynkin của các đại số Lie nửa đơn
Định lý 3.4.2 ([8, Theorem A, tr. 74]). Phép tương ứng mỗi đại số Lie nửa đơn phức với một biểu đồ Dynkin của hệ nghiệm của một đại số Lie con Cartan xác định một song ánh giữa tập (các lớp đẳng cấu) của các đại số Lie nửa đơn phức và tập (các lớp tương đương) của các hệ cơ bản trừu tượng. Đặc biệt các đại số Lie đơn tương ứng với các biểu đồ Dynkin đơn như đã liệt kê trong Định lý 3.4.1 và được cho bởi bảng sau.
Kí hiệu Mô tả Hạng Số chiều Al sl(l+ 1,C) l = 1, 2, ... l(l+ 2) Bl o(2l+ 1,C) l = 2, 3, ... l(2l+ 1) Cl sp(l,C) l = 3, 4, ... l(2l+ 1) Dl o(2l,C) l = 4, 5, ... l(2l−1) G2 − 2 14 F4 − 4 52 E6 − 6 78 E7 − 7 133 E8 − 8 248
Bảng 3.2: Hạng và chiều của các đại số Lie nửa đơn
hiệu. Al, Bl, Cl, Dl là các đại số Lie cổ điển và G2, F4, E6, E7, E8 là năm đại số Lie ngoại lệ (giống như trong các biểu đồ). Tất cả những đại số Lie này đều là đại số Lie con của gl(n,C) với n thích hợp, có nghĩa là những phần tử này là các ma trận có kích thước phù hợp. Ta viết Eij để chỉ ma trận đơn vị với 1 ở vị trí ij còn 0 ở các vị trí khác. Ta sử dụng các vectơ cơ sở chuẩn của R, C và các hàm tuyến tính chuẩn ωi. Trong mỗi trường hợp ta sẽ hiển thị một đại số Lie con giao hoán h mà thực tế nó là một CSA và các nghiệm tương ứng, hệ cơ bản và (đối với trường hợp cổ điển) các phần tử nghiệm, và cũng là các đối nghiệm cơ bản và ma trận Cartan.
Đối với các kích thước trong bảng trên: Một điều rõ ràng là từ cấu trúc tổng quát, cái mà số chiều của một đại số Lie nửa đơn bằng với tổng của hạng và số các nghiệm.
Nếuϕ là một biểu diễn củag trên không gian vectơV thì ta viết ϕ∧ϕhoặc V2
ϕ để chỉ biểu diễn cảm sinh trên tích ngoàiV2V và một cách tổng quát hơn
Vr
ϕđể chỉ biểu diễn cảm sinh trên lũy thừa thứ r tích ngoài Vr
V =V ∧V ∧...∧V.
(Chi tiết hơn: ϕ∧ϕ(X)(v ∧w) =Xv∧w+v∧Xw).
Nếu ρ1, ρ2, ...là các trọng của ϕvới các vectơ trọngv1, v2, ...thì các ρi+ρj
quát hơn, các trọng trênVr
V là các tổngρi1+ρi2+· · ·+ρir vớii1 < i2 < · · ·< ir
và với các tích tương ứng vi1∧vi2∧...∧vir là các vectơ trọng. Như thường lệ ta viếteiđể chỉ vectơ tọa độ thứitrongRn hoặcCn (chẳng hạne1 = (1, 0, ..., 0)) và ωi để chỉ hàm tọa độ thứ i.