Ta tiếp tục với một đại số Lie nửa đơn g với CSAh, hệ nghiệm R như đã mô tả trong phần trước. Mục đích của chúng ta là chứng tỏ rằng R xác định g. Nói đại khái thực chất điều này để chứng tỏ sự tồn tại một cơ sở đối với g sao cho các hằng số cấu trúc tương ứng có thể được biểu thị từ R. Đây là dạng chuẩn Weyl-Chavalley.
Với mỗi nghiệm α chọn một phần tử nghiệm Xα ∈ gα. Với giả thiết
[Xα, X−α] = Hα,
sự chuẩn hóa thích hợp các vectơ này sẽ là thành phần của cơ sở Weyl-Chavalley. Với bất kì hai α, β ∈ ∆ sao cho β 6= ±α ta có [Xα, Xβ] = NαβXα+β, với hệ số
Nαβ ∈ C, bởi gα = ((Xα)). Ta cũng đặt Xλ = 0 nếu λ ∈ h|\R, Nλµ = 0 với
λ, µ ∈ h| và ít nhất một trong số λ, µ, λ +µ không phải là nghiệm. Mục đích của chúng ta là để có được giá trị tương đối rõ ràng cho Nαβ bởi sự lựa chọn phù hợp của Xα. Ta có được sự tự do để thay đổi mỗi Xα bởi một nhân tử cα
(miễn là ta có c−α = c1
Chú ý 2.4.1. Gọi α, β, γ ∈R. Khi đó ta có
(i). Nαβ = −Nβα. Điều này có được từ tính đối xứng lệch của phép toán[ ].
(ii). hNγ,γαβi = hNα,αβγi = hNβ,βγαi với α+β+γ = 0. Thật vậy, chú ý [Xβ, Xγ] = NβγX−α và [Xα, X−α] = Hα. Từ đồng nhất Jacobi [Xα[Xβ, Xγ]] + [Xβ[Xγ, Xα]] + [Xγ[Xα, Xβ]] = 0 ta được NβγHα+NγαHβ+NαβHγ = 0.
Mặt khác, quan hệ α+β+γ = 0 suy ra quan hệ hα+hβ +hγ = 0. Điều này dẫn đến
hα, αiHα+hβ, βiHβ +hγ, γiHγ = 0.
Các hệ số của hai quan hệ giữa các H phải được tỉ lệ bởi vì tính độc lập của các H.
Mệnh đề 2.4.2. Với α, β ∈R và β 6= ±α. Nếu α+β ∈ R thì
Nαβ.N−α,−β =−(q+ 1)2.
Chứng minh. Xem [8, 2.8, tr. 47].
Hệ quả 2.4.3. Nếu α+β ∈ R thì Nαβ 6= 0.
Định lý 2.4.4 (Dạng chuẩn Weyl-Chavalley). Cho g là một đại số Lie nửa đơn phức với CSA h, hệ nghiệm ∆ trong h>0. Khi đó
(i). Tồn tại các phần tử nghiệm Xα (các phần tử sinh của gα) với mọi
α ∈ ∆ thỏa mãn [Xα, X−α] = Hα sao cho [Xα, Xβ] = ±(q+ 1)Xα+β, tức là
Nαβ =±(q+ 1) với hai nghiệm tùy ý α, β và α+β cũng là một nghiệm, với q
số nguyên t lớn nhất sao cho β−tα là một nghiệm.
(ii). Dấu ± trong (i) cũng được xác định đến phép nhân bởi các nhân tử
uαuβuα+β, trong đó uα = ±1 ngoại trừ trường hợp u−α = uα.
(iii). Các Xα được xác định lên các nhân tử cα ngoại trừ các điều kiện
Hệ quả 2.4.5. Tồn tại một cơ sở đối với g sao cho tất cả các hằng số cấu trúc đều là các số nguyên (g có một Z-dạng).
Hệ quả 2.4.6 (Định lý đẳng cấu cơ sở). Chog1 và g2 là hai đại số Lie nửa đơn trên C, với các hệ nghiệm ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 và ∆2 là tương đương yếu theo nghĩa là tồn tại một song ánh ϕ: ∆1 →∆2 bảo toàn quan hệ ϕ(−α) =−ϕ(α)
và ∀α, β ∈ ∆ và α+β ∈ ∆ ta có ϕ(α+β) =ϕ(α) +ϕ(β). Tương tự đối với
ϕ−1 thì g1 và g2 là đẳng cấu.
Chứng minh. Xem [8, 2.9, tr. 48-51].
Ví dụ 2.4.7. Xét trường hợp g1 = g2 =g. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(i). Ánh xạ α 7→ −α rõ ràng là một tương đương yếu của ∆ với chính nó. Tự đẳng cấu tương ứng củag là −idtrên h và biến Xα thành −X−α. Ta có thể làm điều này từ lý thuyết tổng quát hoặc đơn giản hơn là chứng minh trực tiếp ánh xạ này là một tự đẳng cấu. Chú ý rằng ánh xạ này là một phép đối hợp, có nghĩa là bình phương của nó là ánh xạ đồng nhất. Ta gọi nó là đối ngẫu, kí hiệu bởi C∨. Nó được gọi là phép đối hợp Chavalley.
(ii). Lấy β ∈ ∆ và gọi Sβ là phép phản xạ tương ứng trong W. Vì Sβ là tuyến tính nên Sβ xác định một tương đương yếu của ∆với chính nó. Tự đẳng cấu tương ứng Aβ sẽ biến Xα thành ±Xα0 với α0 = Sβ(α). Có khả năng là một số dấu (−) phải bỏ vì Sβ sẽ không bảo toàn thứ tự yếu.