Định nghĩa 2.3.1. Cho g là một đại số Lie và h là một CSA. Với mỗi hàm tuyến tính λ : h →C, kí hiệu gλ = T
H∈h
{Y ∈ g|(ad H −λ(H))(Y) = 0}.
Các λ 6= 0sao cho gλ 6= 0 được gọi là cácnghiệm của gđối với h. Ta thường kí hiệu các nghiệm là α, β, γ, .... Khi đó, tập hợp ∆ ={α, β, γ, ...} ⊂ h> là tập các nghiệm.
Mỗi α∈ ∆ tồn tại một không gian congα củag bất biến dưới adh được gọi là không gian nghiệm đối với α.
Chú ý 2.3.2. (i). g =h⊕ P
α∈∆ gα.
(ii). Với mỗi α ∈∆ và H ∈ h, toán tử ad H chỉ có một giá trị riêng trên gα, kí hiệu là α(H).
(iii). [gλ,gµ] = 0 nếu λ+µ /∈ ∆0 = ∆∪0 và
[gλ,gµ] ⊂gλ+µ, ∀λ, µ ∈ h>. (2.4) Mệnh đề 2.3.3. Với mỗi α ∈ ∆ không gian con [gα,g−α] của h có số chiều bằng 1 và hạn chế của α trên [gα,g−α] là không đồng nhất bằng 0.
Chứng minh. Xem [8, 2.4, tr. 37].
Định nghĩa 2.3.4. Cho V là không gian vectơ trên R với một tích trong xác định dươngh., .i. Mộthệ nghiệm R trongV là một tập hợp con của V hữu hạn khác rỗng thỏa mãn:
(i) 0∈/ R, RR= V;
(ii) Với α, β ∈ R, ta có aβα = 2hhα,αβ,αii ∈ Z;
(iii) Với α, β ∈R, vectơ β −aβα.α∈ R;
(iv) Nếu α, rα ∈ R thì r =±1. Chú ý 2.3.5. Từ Định nghĩa 2.3.4 ta có aαα = 2. Với bất kì µ∈ V, µ6= 0 ta định nghĩa ánh xạ Sµ :V →V xác định bởi Sµ(λ) = λ− 2hλ, µi hµ, µi .µ, ∀λ ∈ V. Khi đó,
(iii) được phát biểu lại (iii)0: Với α, β ∈ R, ta cóSα(β)∈ R, tức là vớiα ∈ R, ta có Sα(R)⊆ R hay tập R bất biến dưới mọi Sα.
Định nghĩa 2.3.6. Với α ∈ R, các Sα sinh ra một nhóm các tự đẳng cấu của
V được gọi là nhóm Weyl W của R. Các Sα gọi là các phép phản xạ Weyl. Mệnh đề 2.3.7. Nếu R là hệ nghiệm thì R0 = α0|α0 = 2 hα, αi.α, α ∈ R cũng là hệ nghiệm. Chứng minh. Vì α0 = 2 hα, αi.α nên |α0| = 2.|α|−1. Ta có hα0, α0i= 4 hα, αi và aβ0α0 = 2hβ0, α0i hα0, α0i = 2h 2 hβ, βi.β, 2 hα, αi.αi 4 hα, αi = 2hβ, αi hβ, βi =aαβ.
Do đó, điều kiện (ii) đúng. Điều kiện (iii), theo dạng (iii)0 từ tính bất biến của Rdưới Sα rõ ràng R0 cũng bất biến dưới Sα0. Ta chú ýSα = Sα0. Điều kiện
(iv) là hiển nhiên. Do đó, R0 là một hệ nghiệm. Từ đây ta có R00 =R.
Trong không gian vectơ thực V, ta chọn một cơ sở tốt cho V. Trên V ta giới thiệu một thứ tự yếu ≥ bằng cách chọn f0 : V → R tuyến tính sao cho
f0(α) 6= 0, ∀α ∈ R và với bất kì hai vectơ λ, µ định nghĩa λ > µ (tương ứng
λ ≥ µ) có nghĩa là f0(λ) > f0(µ) (tương ứng f0(λ) ≥ f0(µ)). Khi đó, tập hợp
R được chia thành hai tập hợp con R+ và R−.
Định nghĩa 2.3.8. Một nghiệmα∈ Rđược gọi lànghiệm dương nếuf0(α)>0.
Ta viết α ∈ R+. Một nghiệm α ∈ R được gọi là nghiệm âm nếu f0(α)<0. Ta viết α ∈ R−, hay α ∈ R− ⇔ −α ∈ R+. Một nghiệm α ∈ R+ được gọi là đơn giản (hay cơ bản) nếu α không bằng tổng của hai nghiệm dương nào đó. Ta viết α ∈F.
Định nghĩa 2.3.9. Một hệ cơ bản (trừu tượng) là một tập con khác rỗng
F = {α1, α2, ..., αl} hữu hạn, độc lập tuyến tính của một không gian vectơ Euclid sao cho bất kì αi, αj ∈ F, giá trị 2hhαi,αji
αj,αji = aij là một số nguyên không dương.
Các aij được gọi là các số nguyên Cartan của F và chúng tạo thành một ma trận Cartan A = [aij]
Mệnh đề 2.3.10 ([8, Proposition B]). Cho α, β ∈ R (với β 6= 1.α) và đặt
ε= sign aβα. Khi đó các phần tử β, β−εα, β−2εα, ..., β−aβαα đều thuộc R. Đặc biệt, nếu hα, βi> 0 thì β −α ∈ R.
Mệnh đề 2.3.11. (i). α, β ∈F ⇒α−β /∈ R;
(ii). α, β ∈ F, α6= β ⇒ hα, βi ≤ 0;
(iii). F là một tập hợp độc lập tuyến tính;
(iv). Mọi α ∈ R+ đều có thể được viết dưới dạng α = P
kiαi với αi ∈ F,
ki ∈Z;
(v). α∈ R+, α /∈ F ⇒ ∃αi ∈F sao cho α−αi ∈ R+.
Chứng minh. (i). Vớiα, β ∈ F. Giả sử α−β ∈R. Khi đó α−β = γ ⇒γ ∈ R. Nếu γ ∈ R+ thì α = γ −β. Nếu γ ∈ R− thì −γ ∈ R+. Ta có β = α+ (−γ). Điều này mâu thuẫn.
(ii). Nếu hα, βi > 0 thì β − α, α − β ∈ R. Giả sử α − β ∈ R+ ta có
α =β + (α−β). Điều này mâu thuẫn với tính đơn giản của α.
(iii). Quan hệ P
xiαi = 0 được tách thành P
yiαi = P
zjαj với các hệ số không âm. Gọi λ = P
yiαi, µ= P
zjαj ta được 0≤ hλ, λi= hλ, µi ≤ 0. Do đó, λ =µ= 0 mà f(λ) = f(µ) = 0 suy ra yi = zi = 0.
(iv). Nếu α ∈ R+ là không đơn giản thì α là tổng của hai vectơ trong R+. Nếu một trong hai vectơ này là không đơn giản thì nó lần lượt chia tách thành hai vectơ dương. Điều này có thể được lặp lại. Vì f0-giá trị rõ ràng là giảm xuống mỗi lần. Cuối cùng tất cả các số hạng phải là đơn giản.
(v). Do (iv), tồn tại một phương trình α = P
niαi với các hệ số nguyên không âm. Từ 0< hα, αi= P
nihα, αii suy ra rằng một vài hα, αii phải là số dương. Bởi Mệnh đề 2.3.10 ta có α−αi ∈ R. Vì vậy, hoặc α−αi ∈ R+ hoặc
αi −α ∈ R+. Vì αi = α + (αi− α) mâu thuẫn với tính đơn giản của αi nên
αi−α /∈R+.
Ta kí hiệu Hi để chỉ các đối nghiệm cơ sở Hαi và Xi, X−i để chỉ các phần tử nghiệm Xαi, X−αi kết hợp các phần tử củaΨ. Bởi Mệnh đề 2.3.11 (iv), tính không triệt tiêu của Nαβ nếu α+β ∈ ∆ và[Xi, X−i] =Hi suy ra mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.12. Các phần tử Xi và X−i sinh ra đại số Lie g.
Mệnh đề 2.3.13. Xét α ∈R+ và αi ∈ F với α 6=αi. Khi đó Si(α)∈ R+. Chứng minh. Do Mệnh đề 2.3.11 (iv) phần tử α = P
njαj với mọi nj ≥ 0 và một vài nk 6= 0 với k 6= i. Công thức Si(α) = α−aααiαi chứng tỏ rằng hệ số
αk của Si(α) vẫn còn nk. Do đó αk vẫn còn dương. Suy ra từ Mệnh đề 2.3.11 (iv) rằng Si(α)∈ R+.
Chú ý 2.3.14. Hạng của hệ nghiệm R là số chiều của không gian vectơ con của V mở rộng bởi R.