H1 = e1−e2, ..., Hl−1 =el−1−el, Hl =el.
λi = ω1+ω2+· · ·+ωi với i= 1, 2, ..., l.
δ =l.ω1+ (l−1).ω2+..+ωl.
ϕ1 = sp(l,C) = Λ1 trên C2l. Với các ϕi khác: Cơ sở 2-dạng Ω của C2l ánh xạ Vi
C2l vào Vi−2
C2l (“tích trong" hoặc phép co là đối ngẫu với ánh xạ Vi−2
(C2l)> vào Vi
(C2l)> bởi tích ngoài với Ω). Vì Ω là bất biến dưới sp(l,C)
nên ánh xạ trên là đẳng biến và hạt nhân của nó là một không gian con bất biến. Hạn chế Λi của Vi
ϕ1 tới hạt nhân này là ϕi, với i = 2, ..., l. (Với tọa độ: Biểu diễn Ω bởi ma trận lệch [aij], một tensor lệch tu1u2...um biến thành
arstu1u2...um−2rs).
T : H với tất cả các tọa độ ai nguyên.
Z : H với các tọa độ ai nửa nguyên ( tức là ai ≡ 12 mod 1). Z/T =Z/2. Id : các dạng λ =Pl 1fiωi với f1 ≥ f2 ≥ ... ≥fl ≥0. 3.4.4 Dl = o(2l,C). H1 = e1−e2, ..., Hl−1 =el−1−el, Hl =el−1+el. λi = ω1+ω2+· · ·+ωivớii= 1, 2, ..., l−2,λl−1 = 12 (ω1+ω2+· · ·+ωl−1−ωl). δ = (l−1).ω1+ (l−2).ω2+· · ·+ωl−1. ϕ1 = o(2l,C) = Λ1, ϕ2 = V2ϕ1 = Λ2, ..., ϕl−2 = V2ϕ1 = Λl−2. Thêm nữa có hai biểu diễn bất khả quy không hiển nhiên ϕl−1 = ∆−l , ϕl = ∆+l gọi là các biểu diễn nửa spin âm và dương, cả hai đều có số chiều là 2l−1.
T : H với các tọa độ ai nguyên và thậm chí P
ai cũng nguyên.
Z : H với tất cả các tọa độ ai nguyên hoặc tất cả các ai đều nửa nguyên. Z/T =Z/4 với l lẻ. Z/T =Z/2⊗Z/2 với l chẵn.
Điểm P = (12, 12, ..., 12) là một đại diện cho phần tử sinh với l lẻ.
P và Q = (12, 21, ..., 12, −12) là các đại diện cho các phần tử sinh của hai Z/2Z với l chẵn.
Id : các dạng λ = Pl
1fiωi với f1 ≥ f2 ≥ ... ≥ fl ≥ 0, ∀fi nguyên hoặc tất cả các fi đều nửa nguyên và f1 ≥f2 ≥ ...≥ fl−1 ≥ |fl|.
3.4.5 G2.
H1 = (1,−1,0), H2 = (−1,2,−1).
λ1 =ω1−ω3, λ2 = ω1+ω2. (Chú ý rằng ω1+ω2 +ω3 = 0.)
δ = 3ω1+ 2ω2.
ϕ1 có số chiều 14. Nó là một biểu diễn liên hợp. ϕ2 có số chiều 7. Nó đồng nhất G2 với một đại số Lie của các phép lấy đạo hàm của (đại số 8-chiều) các số Cayley hay đúng hơn với sự phức hóa của nó.
T : H = (a1, a2, a3) với tất cả các ai nguyên và a1+a2+a3 = 0. Z = T
Z/T = 0.
Id : các dạng λ = Pl
1fiωi với sự khác biệt giữa các fi nguyên sao cho
f1 ≥ f2, 2f2 ≥fl+f3. 3.4.6 F4.
H1 = e1−e2 −e3−e4, H2 = 2e4, H3 =e3−e4, H4 =e2−e3.
λ1 =ω1, λ2 = 12 3(ω1+ω2+ω3+ω4), λ3 = 2ω1+ω2+ω3 λ4 =ω1+ω2.
δ = 12 (11ω1+ 5ω2+ 3ω3+ω4) .
Dàn trung tâm Z: Các H với các tọa độ ai nguyên và thậm chí P
ai cũng nguyên.
T = Z.
Z/T là tầm thường. Id : các dạng λ = Pl
1fiωi với fi tất cả đều nguyên hoặc tất cả các fi nửa nguyên và với f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ 0 và f1 ≥ f2+f3+f4. 3.4.7 E6. H1 = e1−e2, ..., H5 =e5−e6, H6 = 13 (−e1−e2−e3+ 2e4+ 2e5+ 2e6). λ1 = 13 (4ω1+ω2+· · ·+ω6), λ2 = 13 (5ω1 + 5ω2+ 2ω3+· · ·+ 2ω6), λ3 = 2(ω1+ω2+ω3) +ω4+ω5+ω6, λ4 = 43 (ω1+· · ·+ω4)+ 13 (ω5+ω6), λ5 = 2 3 (ω1+· · ·+ω5)− 1 3 ω6, λ6 = ω1+· · ·+ω6. δ = 8ω1+ 7ω2+ 6ω3+ 5ω4+ 4ω5+ 3ω6.
ai ≡ 1
3 mod 1 hoặc tất cả ai ≡ 2
3 mod 1.
Đối dàn T : Dàn con của Z với 4a1+a2+· · ·+a6 ≡0 mod 3. Z/T =Z/3. Một biểu diễn đối với phần tử sinh là e1.
Id : các dạng λ = P61fiωi với 3fi tất cả đều nguyên, tất cả fi−fj nguyên,
f1+f2+f3−2(f4+f5+f6)nguyên và chia hết cho 3,f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ f5 ≥ f6 và f1+f2+f3 ≤2(f4+f5+f6). 3.4.8 E7. H1 = e1−e2, ..., H6 =e6−e7, H7 = 13 (−e1−e2−e3−e4+ 2e5+ 2e6+ 2e7). λ1 = 12 (3ω1+ω2+· · ·+ω7), λ2 = 2(ω1+ω2) +ω3+· · ·+ω7, λ3 = 5 2 (ω1+ω2+ω3)+3 2 (ω4+· · ·+ω7),λ4 = 3(ω1+· · ·+ω4)+2(ω5+· · ·+ω7), λ5 = 2(ω1+· · ·+ω5) +ω6+ω7, λ6 =ω1+· · ·+ω6, λ7 = 23 (ω1+· · ·+ω7). δ = 12 (27ω1+ 25ω2+ 23ω3+ 21ω4+ 19ω5+ 17ω6+ 15ω7).
Dàn trung tâm Z: CácH với ai tất cả đều nguyên hoặc tất cảai ≡ 13 mod1 hoặc tất cả ai ≡ 2
3 mod 1 .
Đối dàn T : Dàn con của Z với 3a1+a2+...+a7 ≡ 0 mod 2. Z/T =Z/2. Một biểu diễn đối với phần tử sinh là e1.
Id : các dạng λ = P71fiωi với fi tất cả đều nguyên hoặc tất cả đều là nửa nguyên, P71fi nguyên và chia hết cho 3, f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ f5 ≥ f6 ≥ f7 và
f1+f2+f3+f4 ≤ 2(f4+f5+f6). 3.4.9 E8. H1 = e1−e2, ..., H7 =e7−e8, H8 = 13 (−e1− · · · −e5+ 2e6+ 2e7+ 2e8−e9). λi = ω1+· · ·+ωi−iω9 với 1≤ i≤5, λ6 = 2 3(ω1+· · ·+ω6)− 1 3(ω7+ω8)− 10 3 ω9, λ7 = 13 (ω1+· · ·+ω7)−23 ω8− 53ω9, λ8 = 13(ω1+· · ·+ω8)−83ω9. δ = 13(19ω1+ 16ω2+ 13ω3+ 10ω4+ 7ω5+ 4ω6+ω7−2ω8−68ω9).
Dàn trung tâm Z: CácH với ai tất cả đều nguyên hoặc tất cả ai ≡ 1
3 mod1 hoặc tất cả ai ≡ 2
3 mod 1 . Đối dàn T = Z. Z/T là tầm thường.
Id : các dạng P91fiωi với fi tất cả đều nguyên hoặc tất cả fi ≡ 1
3 mod 1
hoặc tất cả fi ≡ 23 mod 1, P
fi = 0, f1 ≥ f2 ≥ · · · ≥f8 và f6+f7+f8 ≥ 0. 3.5 Biểu diễn trực giao và đối ngẫu
Mục đích của phần này là để xác định các biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn.
Cho V là một không gian vectơ trên trường Fcó số chiều hữu hạn, g là một đại số Lie, ϕ là một biểu diễn của g trên V. Đặt B(V) không gian vectơ các hàm song tuyến tính b: V ×V →F, gọi L∗(V) là không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính b0 : V →V>. Liên kết với ϕlà các biểu diễn trên V>, trên B(V)và trên L∗(V). Biểu diễn trên V> là đối ngẫu với ϕ, kí hiệu bởi ϕ∆.
Ta sẽ quan tâm đặc biệt đến các dạng song tuyến tính ϕ-bất biến, nghĩa là các phần tử b ∈B(V) thỏa mãn
b(ϕ(X)v, w) +b(v, ϕ(X)w) = 0, ∀v, w ∈ V, X ∈g.
Dưới đẳng cấu giữa B(V)và L∗(V)chúng tương ứng với các ánh xạ ϕ-đẳng biến từ V → V>, nghĩa là các ánh xạ tuyến tính f : V →V> thỏa mãn
f ◦ϕ(X) = ϕ(X)∆◦f, ∀X ∈g.
Định nghĩa 3.5.1. Biểu diễn ϕ của một đại số Lie g trên không gian V được gọi là tự đối ngẫu nếu nó tương đương với chính đối ngẫu ϕ∆.
Biểu diễn ϕ của một đại số Lie g trên không gian V được gọi là trực giao nếu tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên V bất biến dưới mọi ϕ(X).
Biểu diễn ϕ của một đại số Lie g trên không gian V được gọi là đối ngẫu nếu tồn tại một dạng song tuyến tính không đối xứng không suy biến trên V
bất biến dưới mọi ϕ(X).
Mệnh đề 3.5.2. Cho V là một không gian vectơ trên trường C có số chiều hữu hạn. Gọi ϕ là biểu diễn của g trên V và bất khả quy. Khi đó,
(i). nếu ϕ là dạng song tuyến tính bất biến thì hoặc ϕ là không suy biến hoặc là bằng 0;
(ii). có nhiều nhất một dạng song tuyến tính bất biến khác 0;
(iii). nếu ϕlà dạng song tuyến tính bất biến thì hoặc ϕ đối xứng hoặc phản đối xứng.
Chú ý 3.5.3. B(V)≈V>⊗V> với ∀(v, w)∈V ×V ta có
λ⊗µ(v, w) = λ(v).µ(w).
Mệnh đề 3.5.4. Cho V là một không gian vectơ trên trường C có số chiều hữu hạn. Gọi ϕ là biểu diễn của g trên V và bất khả quy. Khi đó,
(i, ii). không gian các bất biến của ϕ∆⊗ϕ∆ trong V>⊗V> có số chiều bằng 0
hoặc bằng 1, bằng 1 nếu ϕ là tự đối ngẫu;
(iii). một tự đối ngẫu ϕ khác 0 hoặc là trực giao hoặc đối ngẫu. ϕ trực giao nếu lũy thừa bậc hai đối xứng S2ϕ có một bất biến (tức là chứa một biểu diễn tầm thường) và ϕ là đối ngẫu nếu V2ϕ có một bất biến.
Chứng minh. Ta xét một dạng song tuyến tính bất biến như là một ánh xạ đẳng biến từ V vào V>. Vì ϕ∆ là bất khả quy trên V> nên theo Bổ đề Schur ta có khẳng định (i).
Nếu b1 vàb2 là hai dạng song tuyến tính bất biến thì với một sốk thích hợp dạng b1 −kb2 là suy biến và vẫn còn bất biến. Áp dụng (i) ta được khẳng định (ii).
Một dạng song tuyến tính b là tổng duy nhất của một dạng đối xứng và một dạng phản đối xứng bởi vì
b(v, w) = 1
2(b(v, w) +b(w, v)) + 1
2(b(v, w)−b(w, v)).
Nói cách khác, ta có sự phân tích bất biến V>⊗V> = S2V>+V2V>. Nếu
b là bất biến thì các dạng đối xứng và phản đối xứng của nó cũng bất biến. Áp dụng (ii) ta có khẳng định (iii).
Mệnh đề 3.5.5. (i). Nếu ϕ là trực giao (tương ứng đối ngẫu) thì đối ngẫu
ϕ∆ cũng là trực giao (tương ứng đối ngẫu), tích ngoài Vr
ϕ thứ r là trực giao (tương ứng đối ngẫu) với r lẻ và trực giao với r chẵn;
(ii). tổng trực tiếp của hai biểu diễn trực giao (tương ứng đối ngẫu) là biểu diễn trực giao (tương ứng đối ngẫu);
biểu diễn trực giao;
(iv). tích tensor của một biểu diễn trực giao và một biểu diễn đối ngẫu là biểu diễn đối ngẫu.
Bổ đề 3.5.6. Giả sử biểu diễn ϕ của g trên V là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy trên các không gian con Vi và ϕ1 trên V1 không là đối ngẫu của bất kì biểu diễn ϕi, i > 1 nào. Khi đó, nếu ϕ là trực giao (tương ứng đối ngẫu) thì ϕ1 cũng vậy.
Chứng minh. Trước tiên, ϕ∆ trên V> là tổng trực tiếp của các ϕ∆i trên mỗi
Vi>. Khi đó, một đẳng cấu đẳng biến b0 : V → V> sinh ra một ánh xạ tương tự b01 : V1 → V1> bởi giả thuyết ϕ1 làm cho ϕ1-tự đối ngẫu. Nếu đối ngẫu của
b0 là ±b0 thì đối ngẫu của b01 là ±b01. Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.5.7. Với λ là trọng trội cho trước. Biểu diễn bất khả quy ϕλ liên kết với λ là tự đối ngẫu nếu và chỉ nếu trọng nhỏ nhất của nó là −λ. Nói cách khác, biểu diễn bất khả quy ϕλ là tự đối ngẫu nếu và chỉ nếu sự đối lập biến λ
thành −λ.
Chứng minh. Từ định nghĩa của đối ngẫu ϕ∆(X) = −ϕ(X)> chứng tỏ rằng các trọng của ϕ∆ đều là phủ định các trọng của ϕλ. Do đó, λ∆ là trọng cực hạn và cực đại của ϕ∆
λ là phủ định các trọng cực tiểu của ϕλ. Ta viết λ= P
fiωi. Định lý sau đây mô tả các kết quả của sự nghiên cứu. Định lý 3.5.8. (a). Al: ϕλ là tự đối ngẫu nếu và chỉ nếu
f1 =f2+fl =f3+fl−1 =...
(một cách tương đương n1 =nl, n2 = nl−1, ...).
Nó là đối ngẫu nếu l ≡ 1 mod 4 và f1 lẻ, trực giao trong các trường hợp còn lại;
(b). Bl: ϕλ luôn tự đối ngẫu. Nó là đối ngẫu nếu l≡ 1mod 4 hoặc l ≡2 mod4
và các fi đều là nửa nguyên (với nl là lẻ) và trực giao trong các trường hợp còn lại;
(c). Cl: ϕλ luôn tự đối ngẫu. Nó là đối ngẫu nếu P
n5+· · · là lẻ) và trực giao trong các trường hợp còn lại;
(d). Dl: ϕλ là tự đối ngẫu nếu và chỉ nếu hoặc l lẻ hoặc l chẵn và fl = 0 (nếu
nl−1 = nl). Nó là đối ngẫu nếu l ≡ 2 mod 4 và các fi đều là nửa nguyên (nếu
nl−1+nl lẻ) và trực giao trong các trường hợp còn lại;
(e). G2: ϕλ là tự đối ngẫu và trực giao với mọi λ;
(f). F4: ϕλ là tự đối ngẫu và trực giao với mọi λ;
(g). E6: ϕλ là tự đối ngẫu nếu và chỉ nếu Pfi
3= f1+f6 = f2+f4 = f3 +f4
(nếu n1 = n5 và n2 = n4). Nó là trực giao (nếu các fi đều nguyên);
(h). E7:ϕλ luôn tự đối ngẫu. Nó là trực giao nếufi đều nguyên (nếun1+n3+n7 chẵn), và đối ngẫu trong các trường hợp còn lại;
(i). E8: ϕλ luôn tự đối ngẫu và trực giao.
Định nghĩa 3.5.9. (Đại số Lie con chính 3-chiều.) Cho g là một đại số Lie như đã đề cập ở đầu chương. Vì các nghiệm cơ bản α1, ...., αl là một cơ sở của h>0 tồn tại một phần tử Hp ∈ h0 sao cho αi(Hp) = 2, 1 ≤ i ≤ l. Ta viết
Hp = P piHi, chọn các hằng số ci, c−i sao cho ci.c−i = pi và Xp = P ciHi, X−p =P c−iHi. Sử dụng các quan hệ [H, Xi] = αi(H)X−i,[Xi, X−i] =Hi,[Xi, X−j] = 0
vớii6= j ta thử lại[Hp, Xp] = 2Xp,[Hp, X−p] = −2X−p,[Xp, X−p] =Hp. Đại số Lie con của g là gp sinh bởi Hp, Xp, X−p hiển nhiên cùng loại A1. gp được gọi là đại số Lie con chính 3-chiều, viết tắt là P T D.
P T D có đại số con Cartan là CHp.
Hệ nghiệm bao gồm các ±αp xác định bởi αp(Hp) = 2.
Một biểu diễn ϕ∼ của gp là hạn chế của biểu diễn ϕ của g. Vì Hp ∈ h nên một trọng ρ∼ của ϕ∼ là hạn chế của trọng ρ củaϕ và tất cả các trọng ϕ∼ xuất hiện theo cách này.
Nói chung, ϕ∼ sẽ không bất khả quy và ta sẽ tách thành một tổng của các biểu diễn bất khả quy của gp tức là tách thành các Ds.
Bổ đề 3.5.10. Cho ϕ = ϕλ là biểu diễn bất khả quy của g với trọng cực hạn
λ. Khi đó,
(i). λ∼ là trọng cực đại của ϕ∼ và có bội là 1;
Chứng minh. (i). Các trọng củaϕkhác với chínhλ đều có dạngρ =λ−P
kiαi
với các số nguyên không âm ki và P
ki > 0. Do đó, từ αp(Hp) = 2 ta có
ρ(Hp) =λ(Hp)−2P
ki < λ(Hp). Vì λ có bội là 1 trong ϕ nên suy ra (i).
(ii). Kết quả (ii)là một hệ quả của (i)vì trong bất kì Ds giá trị riêng lớn nhất của H chính xác là 2s.
Mệnh đề 3.5.11. Giả sử ϕλ là tự đối ngẫu. Khi đó,
(i). ϕλ là trực giao nếu λ(Hp) lẻ;
(ii). ϕλ là đối ngẫu nếu λ(Hp) chẵn.
Chứng minh. Rõ ràng ϕ∼λ là trực giao nếu ϕλ là trực giao và ϕ∼λ là đối ngẫu nếu ϕλ là đối ngẫu. Ta áp dụng Bổ đề 3.5.6 đối với ϕ∼λ và sự tách của nó trong các Ds. Vì thành phần đầu xảy ra chỉ một lần bởi Bổ đề 3.5.10 nên suy ra từ Bổ đề 3.5.6 rằng thành phần đầu này là trực giao nếu ϕ∼λ cũng trực giao và đối ngẫu nếu ϕ∼λ cũng đối ngẫu. Mặt khác ϕ∼λ nếu λ(Hp) chẵn và đối ngẫu nếu
λ(Hp) lẻ.
Định lý 3.5.12. Một nhóm con compact G của GL(n,C) là liên hợp trong
GL(n,C) với một nhóm con của nhóm trực giao thực O(n)) [nhóm đối ngẫu unita Sp(n2)với n chẵn] nếu và chỉ nếu nó để lại bất biến một dạng song tuyến tính đối xứng [đối xứng lệch] không suy biến trên Cn.
Chứng minh. Ta bắt đầu bởi việc tìm một dạng Hermite xác định dương h., .i trên Cn là bất biến dưới G. Sự tồn tại của điều này là một tiêu chuẩn thực tế. Một chứng minh vắn tắt của L. Auerbach như sau:
Cho G tác động trên không gian vectơ gồm tất cả các dạng Hermite (theo công thức thông thường g.h(v, w) = h(g−1.v, g−1.w)). Gọi C thay cho bao lồi của tập các G-biến đổi của một số dạng xác định dương đã chọn, C là một tập compact bao gồm toàn bộ các dạng xác định dương và bất biến dưới G.
Bây giờ, gọi b là dạng đối xứng [tương ứng lệch] như trong định lý. Phương trình b(v, w) = hAv, wi xác định tự đẳng cấu liên hợp tuyến tính A của Cn.
A là tự liên hợp [tương ứng liên hợp không đối xứng] đối với dạng xác định dương Reh., .i trên Cn