TÌM HIỂU VỀ PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ LIE ĐƠN

TÌM HIỂU VỀ PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ LIE ĐƠNMục đích của luận văn là tìm hiểu một số kiến thức cơ bản của đại số Lie nửađơn trên một trường đóng có đặc số 0. Để làm việc này, tôi chủ yếu sử dụng tàiliệu James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory,Springer Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980. Ngoàira, tôi cũng tham khảo một số tài liệu trên mạng, chẳng hạn như tài liệu 2 củaAndreas Cap.

Bộ giáo dục và đào tạo Viện khoa học và công nghệ việt nam viện toán học Họ và tên tác giả luận văn tên đề tài luận văn Luận văn thạc sĩ toán học Hà Nội - Năm Bộ giáo dục và đào tạo Viện HN LM KHOA HC V CễNG NGH VN viện toán học H v tờn tỏc gi lun vn: Phm Vit Dng TấN TI LUN VN: TèM HIU V PHN LOI I S LIE N Luận văn thạc sĩ toán học H Ni - Nm 2014 Bộ giáo dục và đào tạo Viện HN LM KHOA HC V CễNG NGH VN viện toán học H v tờn tỏc gi lun vn: Phm Vit Dng TấN TI LUN VN: TèM HIU V PHN LOI I S LIE N Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mã số : 60 46 01 04 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: GS. TSKH PHNG H HI H Ni Nm 2014 1 Mục lục Lời mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở 4 1.1. Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ideal và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Đại số Lie lũy linh và định lý Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Đại số Lie giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Định lý Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Đại số Lie nửa đơn 18 2.1. Phân tích Jordan- Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Tiêu chuẩn Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. Biểu diễn của sl(2, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6. Hợp thành các không gian nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. Hệ nghiệm 36 3.1. Hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Nghiệm đơn và nhóm Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Hệ nghiệm bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4. Phân loại hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5. Xây dựng các hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo 57 Lời mở đầu Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số kiến thức cơ bản của đại số Lie nửa đơn trên một trườ ng đóng có đặc số 0. Để làm việc này, tôi chủ yếu sử dụng tài liệu "James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980". Ngoài ra, tôi cũng tham khảo một số tài liệu trên mạng, chẳng hạn như tài liệu [2] của Andreas Cap. Trong luận văn này, tôi đã trình bày lại và làm rõ một số kết quả về đại số Lie, đại số Lie đơn, đại số Lie nửa đơn, phân loại hệ nghiệm của các đại số Lie đơn và thực hiện một số tính toán cơ bản. Bên cạnh đó, tôi cũng trình bày thêm một số ví dụ: ví dụ 1.2.6, ví dụ 2.6.6, Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie, các ideal và đồng cấu, đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đinh lý Engel, định lý Lie. Trong đó, hai định lý quan trọng là định lý Engel (định lý 1.3.7) và định lý Lie (hệ quả 1.5.2). Trong ví dụ 1.2.6, tôi đã đưa ra một chứng minh sl(n, F) là một đại số L ie đơn. Chương 2 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie nửa đơn, phân tích Jordan- Chevalley, tiêu chuẩn Cartan, dạng Killing, module trên một đại số Lie, biểu diễn của sl(2, F) và hợp thành các không gian nghiệm của một đại số Lie nửa đơn. Trong chương này, ở ví dụ 2.6.6, tôi đã xác định hệ nghiệm của sl(3, F) với cơ sở chuẩn tắc, và qua đó viết được phân tích Cartan của sl(3, F). Chương 3 trình bày về hệ nghiệm của một không gian Euclide và các nhóm Weyl tương ứng. Kết quả quan trọng trong phần này là định lý phân loại hệ nghiệm 3.4.9 dựa vào sơ đồ Dynkin liên thông của một hệ nghiệm bất khả quy. Từ kết quả này và định lý 3.3.7, ta có thể phân loại được các hệ nghiệm của một đại số Lie đơn. Sau đó, định lý 3.5.1 chỉ ra sự tồn tại một không gian Euclide có hệ nghiệm tương ứng với các dạng đã phân loại trong định lý 3.4.9. Trong ví dụ 3.4.4, tôi đã tìm lại hệ nghiệm Φ từ ma trận Cartan tương ứng. Với phương pháp tươ ng tự, ta có thể tìm được hệ nghiệm nếu biết ma trậ n Cartan ứng với một cơ sở của nó. Như là phần tiếp theo của luận văn, định lý trong phần 18.4 trang 101 trong tài liệu [1] chỉ r a rằng với mỗi hệ nghiệm Φ cho trước, tồn tại duy nhất (sai khác 2 3 một đẳng cấu) một đại số Lie nửa đơn có hệ nghiệm chính là Φ. Vì các kiến thức sử dụng để chứng minh định lý này vượt quá khuôn khổ của luận vă n nên tôi không đưa vào luận văn này. Luận văn này được hoàn t hành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Phùng Hồ Hải, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện cho tôi bước đầu làm quen với một số kiến thức cơ bản của đại số Lie. Nhân dịp này, tôi xin bày t ỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo cùng toàn thể cán bộ của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 30 tháng 3 năm 2014 Tác giả luận văn Phạm Việt Dũng Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Đại số Lie Cố định một trường F. Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vector L trên trường F cùng với một ánh xạ: L × L −→ L, ký hiệu (x, y) −→ [x, y](gọi là tích Lie hoặc giao hoán tử của x và y), được gọi là một đại số Lie trên F nếu các tiên đề sau được thỏa mãn: (1) Ánh xạ [x, y] là song tuyến tính. (2) [x, x] = 0, ∀x ∈ L (phản giao hoán) (3) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀x, y, z ∈ L (đồng nhất thức Jacobi). Nhận xét: Từ điều kiện (L2) ta suy ra điều kiện (L2’): [x, y] = −[y, x]. Và khi charF = 2 thì (L2) và (L2’) tương đương. Với K là không gian vector con của L. Khi đó, K được gọi là đại số Lie con của L nếu K đóng với tích Lie, tức là: ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K. Với mọi phần tử x ∈ L, x = 0, ta luôn có K = Fx là đại số Lie con một chiều của L với tích Lie tầm thường: [y, y ′ ] = 0 , ∀y, y ′ ∈ K. Từ đây về sau, nếu ta nói K là một đại số con của đại số Lie L thì hiểu K là một đại số Lie con của đại số Lie L. Ví dụ 1.1.2. Với (A, ·) là một đại số kết hợp trên F, ta định nghĩa một phép toán mới [−, −] : A × A −→ A, (x, y) −→ [x, y] = x · y − y · x. Khi đó (A, [−, −]) là một đại số Lie trên F. Đặc biệt, khi A = End(V ), với V là một không gian vector hữu hạn chiều trên F, và phép nhân "·" là phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V , thì ta có (End(V ), [−, −]) là một đại số Lie. Ta viết gl(V ) thay cho End(V ) khi hiểu A là một đại số Lie. Nếu ta cố định một cơ sở của V , khi đó ta có thể đồng nhất gl(V ) 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 5 với đại số các ma trận n × n trên F, ký hiệu gl(n, F) hay đơn giản là gl(n), với dim gl(V ) = dim gl(n, F) = n 2 . Phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V là phép nhân hai ma trậ n tương ứng. Ta xác định tích Lie trên gl(n, F): Xét cơ sở {e ij } của gl(n, F), với {e ij } là ma trận như sau: phần tử ở vị trí (i,j) bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Phép nhân hai ma trận được xác định trên cơ sở: e ij .e kl = δ jk .e il , ở đây, δ jk là ký hiệu Kronecker, bằng 0 nếu j = k và bằng 1 trong các trường hợp khác. Do tính song tuyến tính của tích Lie nên để xác định tích Lie, ta chỉ cần xác định trên cơ sở {e ij } như sau: [e ij , e kl ] = e ij .e kl − e kl .e ij = δ jk .e il − δ li .e kj đây là một ma trận có các thành phần là 0,1,-1. Ví dụ 1.1.3. Xét sl(n) = sl(n, F) = {x ∈ gl( n, F)|T r(x) = 0}, ở đó T r(x) là vết của x. Khi đó, sl(n) là không gian vector con của gl(n) vì: T r(ax + by) = aT r(x) + bT r(y) = 0 , ∀a, b ∈ F; x, y ∈ sl(n). Hơn nữa, sl(n) là đại số con của gl(n) vì: T r([x, y]) = T r(xy) − T r(yx) = 0, ∀x, y ∈ sl(n). sl(n) được gọi là đại số tuyến tính đặc biệt. Nhận xét: dim sl(n) = n 2 − 1. Một cơ sở của sl(n) là {e ij } i=j ∪ {h i } n−1 i=1 với h i = e ii − e i+1,i+1 . Với n = 2, ta có sl(2) = {  a b c −a  |a, b, c ∈ F} có cơ sở là: x =  0 1 0 0  , y =  0 0 1 0  , h =  1 0 0 −1  . Với các tích Lie: [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h. Ví dụ 1.1.4. Đại số đối xứng: sp(2l) = sp(2l, F) = {x ∈ gl(2l, F)|sx = −x t s} = {x =  m n p q  |m, n, p, q ∈ gl(l, F) thỏa mãn: n t = n, p t = t, m t = −q} Ở đó x t là chuyển vị của x, s =  0 I l −I l 0  , I l là đơn vị của gl(l). Ta có: sp(2l) là đại số Lie con của gl(2l)( vì đóng với tích Lie). Hơn nữa, sp( 2l) là đại số Lie con của sl(2l), dim sp(2l) = 2l 2 + l, với cơ sở: e ii − e i+1,i+1 , 1 ≤ i ≤ l e ij − e l+j,l+i , 1 ≤ i = j ≤ l e i,l+i , 1 ≤ i ≤ l e i,l+j + e j,l+i , 1 ≤ i < j ≤ l e l+i,i , 1 ≤ i ≤ l e l+i,j + e l+j,i , 1 ≤ i < j ≤ l CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 6 Ví dụ 1.1.5. Đại số Lie của các vi phân: Cho A là một F-đại số và d ∈ End F (A). Khi đó một ánh xạ tuyến tính d : A −→ A được gọi là một vi phân nếu nó thỏa mãn công thức Leibniz: d(a.b) = d(a).b + a.d(b). Tậ p các vi phân của A được ký hiệu là Der(A). Với d, d ′ ∈ Der(A), ta có: [d, d ′ ](a.b) = (dd ′ − d ′ d)(a.b) = d(d ′ (a).b − a.d ′ (b)) − d ′ (d(a).b − a.d(b)) = (dd ′ − d ′ d)(a).b + a.(dd ′ − d ′ d)(b) = [d, d ′ ](a).b − a.[d, d ′ ](b). Do đó [d, d ′ ] ∈ Der(A). Vậy Der(A) là đại số Lie con của gl(A). Ví dụ 1.1.6. Với L = R, dim L = 1. Từ tính tuyến tính và phản đối xứng ta có: [a, b] = [a.1, b.1] = ab[1, 1] = 0, ∀a, b ∈ L. Một đại số Lie với tích Lie bằng 0 được gọi là đại số Lie giao hoán hay đơn giản là abel. Cố định trường F, vớ i charF = 2. Xét L = span{e 1 , e 2 , , e n } là không gian vector n chiều trên trường F. Để xác định một tích Lie trên L, ta chỉ cần xác định trên các cơ sở e i : [e i , e j ] =  n k=1 c k ij e k . Các hệ số c k ij được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie L.Các hằng số này thỏa mãn tính chất sau: c k ii = 0 = c k ij + c k ji ,  k (c k ij c m kl + c k jl c m ki + c k li c m kj ) = 0. Ví dụ 1.1.7. Với dim L = 2, giả sử L = span{e 1 , e 2 }, ta xác định tích Lie không tầm thường trên L. Từ tính phản giao hoán của tích Lie, ta có: [e 1 , e 1 ] = [e 2 , e 2 ] = 0, [e 1 , e 2 ] = −[e 2 , e 1 ]. Đặt [e 1 , e 2 ] = y = αe 1 + βe 2 = 0. Khi đó ta có: [e 1 , y] = [e 1 , αe 1 + βe 2 ] = α[e 1 , e 1 ] + β[e 1 , e 2 ] = βy, tương tự: [e 2 , y] = −αy. Do đó, nếu chọn x sao cho L = span{x, y} ta luôn có [x, y] = λy, λ = 0 do tích Lie không tầm thường. Thay x bởi x/λ ta được: L = span{x, y}, [x, y] = y. Như vậy chỉ có hai đại số Lie 2 chiều( sai khác một đẳng cấu) là đại số Lie giao hoán và đại số Lie xác định như ở t rên. Ví dụ 1.1.8. Không gian R 3 với tích có hướng a × b xác định như sau: (a 1 , a 2 , a 3 ) × (b 1 , b 2 , b 3 ) = det    i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3    là một đại số Lie, với tích Lie: e 1 × e 2 = e 3 , e 2 × e 3 = e 1 , e 3 × e 1 = e 2 . CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 7 1.2 Ideal và đồng cấu Định nghĩa 1.2.1. Không gian vector con I của đại số Lie L được gọi là một ideal của L nếu [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I. Ví dụ 1.2.2. Hai ideal tầm thường của L là: 0 và L. Ví dụ 1.2.3. Tâm của L: Z( L) = {z ∈ L|[x, z] = 0, ∀x ∈ L} là một ideal của L.Ta có: L giao hoán khi và chỉ khi Z(L) = L. Ví dụ 1.2.4. Với I, J là hai ideal của đại số Lie L, thì I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J} và [I, J] = {  x i y j |x i ∈ I, y j ∈ J} cũng là các ideal của L. [L, L] được gọi là đại số dẫn xuất của L. Ta có: L là gia o hoá n khi và chỉ khi [L, L] = 0. Đại số Lie L được gọi là đơn nếu [L, L] = 0 và L không còn ideal nào khác ngoài 2 ideal tầm thường là 0 và L. Rõ ràng, nếu L là đơn thì: Z( L) = 0, [L, L] = L. Ví dụ 1.2.5. L = sl(2, F), charF = 2 , là đại số Lie đơn. Thật vậy, xét cơ sở chuẩn tắc của L là {x, y, z} được xác định trong ví dụ 1.1.3. Ta có: [x, y] = h, [h, x] = 2x, [h, y] = 2y. Với I = 0 là một ideal của L. Xét phần tử khác không của I có dạng: ax + by + ch. Ta có: [x, ax + by + ch] = a[x, x] + b[x, y] + c[x, h] = bh − 2cx ∈ I ⇒ [x, bh − 2cx] = −2bx ∈ I Tương tự: −2ay ∈ I. Do a, b, c không đồng thời bằng 0 nên một trong ba phần tử x, y, h thuộc I, suy ra I = L. Vậy L là đơn. Ví dụ 1.2.6. Chứng minh L = sl(n, F) là đại số Lie đơn. Gọi {e ij } i,j= 1,n là cơ sở chuẩn tắc của gl(n, F). Khi đó, theo ví dụ 1.1.2, {e ij } i=j ∪ {e ii − e jj } i=j là một hệ sinh của sl(n, F) ( nếu thay {e ii − e jj } i=j bởi {e ii − e i+1,i+1 } ta được một cơ sở của sl(n, F)). Ta có các tích Lie trên cơ sở chuẩn tắc của gl(n, F) được xác định bởi đẳng thức:[e ij , e kl ] = δ jk e il −δ li e kj . Với i = j ta có: [e ij , e ji ] = e ii −e jj và [e ii −e jj , e ij ] = 2e ij nên [L, L] = L. Để chứng minh L là đại số Lie đơn, ta sẽ chứng minh L không có ideal nào khác ngoài 0 và L. Giả sử I là một ideal khác không của L. Khi đó với mọi x = (x kl ) ∈ L ta có: x =  kl x kl e kl nên: [e ij , x] =  kl x kl [e ij , e kl ] =  kl x kl (δ jk e il − δ li e kj ) =  kl δ jk x kl e il −  kl δ li x kl e kj =  l x jl e il −  k x ki e kj CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 8 Kết quả ở đây là một ma trận có được bằng cách lấy một ma trận có dòng thứ j là dòng thứ j của x còn các dòng khác bằng 0, rồi trừ đi một ma trận có cột thứ i là cột thứ i của x, còn các cột khác bằng 0. Nếu I chỉ chứa các ma trận đường chéo thì với x = (x kl ) ∈ I tồn tại i = j sao cho x ii − x jj = 0 vì nếu không x ii = 0, ∀i do T r(x) = 0. Nhưng khi đó, theo tính toán ở trên thì [e ij , x] =  l x jl e il −  k x ki e kj ∈ I là một ma trận có phần tử ở cột thứ i dòng thứ j là x jj − x ii = 0. Vậy I có chứa phần tử không có dạng đường chéo x = (x ij ) với x ji=0 , ở đây i = j. Theo tính toán ở trên, ta có: [e ij , [e ij , x]] = [e ij ,  l x jl e il −  k x k,i e k,j ] =  l x jl [e ij , e il ] −  k x ki [e ij , e kj ] =  l x jl (δ ji e il − δ li e ij ) −  k x k,i (δ jk e ij − δ ji e kl ) = −2x ji e ij Vì [e ij , [e ij , x]] ∈ I và do a ji = 0 nên e ij ∈ I. Vậy [e ij , e ji ] = e ii − e jj ∈ I và [e ij , e ji ] = e i i − e j j ∈ I. Trong trường hợp n = 2 ta có điều phải chứng minh, còn trong trường hợp n > 2 với k = i, j ta có [e ij , e jk ] = e ik ∈ I và với l = i, k thì e lk = [e li , e ik ] ∈ I. Chứng minh tương tự thì các ma trận đương chéo của L cũng nằm trong I và do đó I = L. Với I là một ideal thực sự khác 0 của L, không gian vector thương L/I là một đại số Lie, gọi là đại số Lie thương, với tích Lie được xác định: [x + I, y + I] = [x, y] + I. Tích này được định nghĩa tốt vì với x − x ′ = u ∈ I, y − y ′ = v ∈ I ta có: [x, y] − [x ′ , y ′ ] = [u, y ′ ] + [x ′ , v] + [u, v] ∈ I. Với K là một đại số con của đại số Lie L, chuẩn tắc hóa của K, ký hiệu N L (K), được xác định như sau: N L (K) = {x ∈ L|[x, K] ⊂ K}. Khi đó, N L (K) là một đại số con của L và hơn nữa, nó là đại số con lớn nhất của L mà chứa K như một ideal. Thật vậy, N L (K) là một đại số con của L vì với x, y ∈ N L (K), tức là ∀k ∈ K : [x, k], [y, k] ∈ K, ta có theo đồng nhất thức Jacobi ∀k ∈ K : [[x, y], k] = [x, [y, k]] + [[x, k], y] ∈ K. Ngoài ra, theo định nghĩa thì K là một ideal của N L (K), và cũng theo định nghĩa của N L (K) là đại số con lớn nhất của L mà chứa K như một ideal. Khi K = N L (K), ta gọi K là t ự chuẩn tắc. Tâm của một tập hợp con X ⊂ L, ký hiệu C L (X), được xác định như sau: C L (X) = {x ∈ L|[x, X] = 0}. Theo đồng nhất thức Jacobi, tương tự trên, ta có C L (X) là một đại số con của L. K hi X = L, C L (L) = Z(L). [...]... gọi L là đại số Lie nửa đơn Ví dụ 1.4.6 Đại số Lie đơn là nửa đơn vì đại số Lie đơn có đúng hai ideal là 0 và chính nó, hơn nữa đại số Lie đơn là không giải được Với đại số Lie L bất kỳ thì L/Rad(L) là nửa đơn Một đại số Lie nửa đơn có tâm tầm thường, nên biểu diễn phụ hợp của đại số Lie nửa đơn là trung thành 1.5 Định lý Lie Xét F là trường đóng đại số có đặc số 0 Định lý 1.5.1 Xét L là đại số con giải... L nên Ker ad = Z(L) Khi L là đại số Lie đơn thì Z(L) = 0 nên ad : L −→ gl(L) là một đơn cấu Có nghĩa là mọi đại số Lie đơn đều đẳng cấu với một đại số Lie tuyến tính Ví dụ 1.2.15 Đại số dẫn suất của L là [L, L] = span{[x, y]|x, y ∈ L} Đây là một ideal của L vì [ αx,y [x, y], z] = αx,y [[x, y], z] = αxy ([x, [y, z]] + [[x, z], y]) ∈ [L, L] Thương L/[L, L] là một đại số Lie giao hoán vì [x+[L, L], y+[L,... gl(n) thì [L, L] = sl(n) Nên nếu K là đại số con của gl(n) thì [K, K] là đại số con của sl(n) 1.3 Đại số Lie lũy linh và định lý Engel Xét dãy các ideal của đại số Lie L (chuỗi giảm các ideal): L0 = L, L1 = [L, L], , Li = [L, Li−1 ], Định nghĩa 1.3.1 L được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho: Ln = 0 Rõ ràng các đại số giao hoán là lũy linh Ví dụ 1.3.2 Đại số Lie πn , bao gồm các ma trận tam giác... x] = 0 hay x ∈ K ∩ Z(L) 1.4 Đại số Lie giải được Ta xét dãy các ideal của L như sau: L(0) = L, L(1) = [L, L], L(2) = [L(1) , L(1) ], , L(i) = [L(i−1) , L(i−1) ], CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 Định nghĩa 1.4.1 Đại số Lie L được gọi là giải được nếu tồn tại n sao cho: L(n) = 0 Ví dụ 1.4.2 Đại số Lie lũy linh (và do đó, đại số Lie giao hoán) là giải được Ví dụ 1.4.3 Đại số Lie τ (n, F) của các ma trận... ∩J, vậy ta được (I +J)/J ∼ I/(I ∩J) = Ví dụ 1.2.9 Ảnh đồng cấu của một đại số Lie đơn cũng là đơn Thật vậy: xét đồng cấu đại số Lie φ : L −→ Im φ Gọi I là một ideal của Im φ, ta có phép chiếu chính tắc π : Im φ −→ Im φ/I Khi đó ta có đồng cấu đại số Lie θ = π ◦ φ : L −→ Im φ/I, x −→ φ(x) + I Do Ker θ là một ideal của đại số Lie đơn L nên hoặc Ker θ = 0 hoặc Ker θ = L Mà L/Ker θ ∼ Im φ/I nên hoặc Im... nửa đơn thì L = [L, L] và mọi ideal và ảnh đồng cấu của L cũng là nửa đơn Hơn nữa mỗi ideal là tổng các ideal đơn của L Chứng minh Với L là nửa đơn, từ bổ đề 2.3.6 ta có L = [L, L] Với J là một ideal của L thì theo chứng minh bổ đề 2.3.6 thì J là tổng của các ideal đơn nên cũng theo 2.3.6 thì J là nửa đơn Theo ví dụ 1.2.8 thì ảnh đồng cấu của một đại số Lie đơn là một đại số Lie đơn Nên nếu L là nửa đơn. .. 2.6.1 Một đại số con khác không của L chỉ bao gồm các phần tử nửa đơn được gọi là đại số con xuyến Nhận xét: Nếu L không có phần tử nửa đơn nào, có nghĩa là L chỉ bao gồm các phần tử lũy linh, khi đó theo định lý Engel, L là lũy linh Trong trường hợp ngược lại, luôn tồn tại phần tử x có phần nửa đơn trong phân tích Jordan khác không Khi đó luôn tồn tại đại số con xuyến Bổ đề 2.6.2 Một đại số con xuyến... 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 31 vế trái −ay là một vector riêng ứng với trị riêng khác 0, còn vế phải là tổ hợp tuyến tính của các vector riêng ứng với trị riêng khác 0, và do đó −ay = 0 Định nghĩa 2.6.3 Một đại số con xuyến được gọi là cực đại nếu nó không nằm thực sự trong một đại số con xuyến khác Ví dụ 2.6.4 Với L = sl(n, F) thì đại số con H của L bao gồm tất các các ma trận có dạng đường chéo là một đại. .. của C nằm trong H Giả sử x ∈ C là phần tử nửa đơn và [x, H] = 0 thì H + Fx cũng là đại số con giao hoán của L, hơn nữa tổng của các phần tử nửa đơn giao hoán cũng là một phân tử nửa đơn, theo mệnh đề 2.1.2, nên H + Fx cũng là một đại số con xuyến Theo tính cực đại của H thì H + Fx = H, hay x ∈ H CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 33 (3) Hạn chế của κ trên H là không suy biến Giả sử κ(h, H) = 0 với h ∈ H Với... nhất trọng cực đại λ (λ = dim V − 1) nên vector cực đại của V là duy nhất, sai khác một vô hướng CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 30 Hệ quả 2.5.6 Cho V là một L-module hữu hạn chiều, với L = sl(2, F) Khi đó các trị riêng của h trên V là các số nguyên và mỗi trị riêng xuất hiện cùng số đối của nó với cùng số lần Hơn nữa, mọi phân tích của V thành tổng trực tiếp các module con bất khả quy, số các hạng tử . F. Nếu L bao gồm các tự đồng cấu lũy linh thì tồn tại vec tor khác không v ∈ V thỏa mãn: Lv = 0, ở đây Lv = {xv|x ∈ L}. Chứng minh . Ta chứng minh quy nạp theo chiều của L. Với dim L = 1 , L =. x i (v) ∈ L, i = 1, n. Tồn tại i nhỏ nhất sao cho v i = 0, v i+1 = 0. Đặt v = v i = 0, ta được Lv = 0. Trong trường hợp tổng quát: gọi K là một đại số con thực sự của L. Khi đó, K tác động lên. các tự đồng cấu lũy linh. Theo định lý trên, tồn tại v 1 ∈ V là một vector khác không thỏa mãn: Lv 1 = 0. Xét V 1 = Fv 1 và W = V/V 1 . Với x ∈ L ⊂ gl(V ). Do V 1 ⊂ Ker x nên ta có ánh xạ x :