Tìm hiểu về phân loại đại số lie đơn

Bộ giáo dục đào Bộ giáo dục vàtạo đào tạo Việnkhoa HN LM Viện học KHOA HC V CễNG NGH VN công nghệ việt nam viện toán học viện toán học tác vn: giả luận vănVit Dng H v tờnHọ tỏcvà gitên lun Phm tên đề tài luận văn TấN TI LUN VN: TèM HIU V PHN LOI I S LIE N Luận văn thạc sĩ toán học Luận văn thạc sĩ toán học H Ni - Nm 2014 Hà Nội - Năm Bộ giáo dục đào tạo Viện HN LM KHOA HC V CễNG NGH VN viện toán học H v tờn tỏc gi lun vn: Phm Vit Dng TấN TI LUN VN: TèM HIU V PHN LOI I S LIE N Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mã số : 60 46 01 04 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: GS TSKH PHNG H HI H Ni Nm 2014 Mc lc Li m u Chng Kin thc c s 1.1 i s Lie 1.2 Ideal v ng cu 1.3 i s Lie ly linh v nh lý Engel 11 1.4 i s Lie gii c 14 1.5 nh lý Lie 16 Chng i s Lie na n 18 2.1 Phõn tớch Jordan- Chevalley 18 2.2 Tiờu chun Cartan 20 2.3 Killing form 21 2.4 Module 23 2.5 Biu din ca sl(2, F) 28 2.6 Hp thnh cỏc khụng gian nghim 30 Chng H nghim 36 3.1 H nghim 36 3.2 Nghim n v nhúm Weyl 39 3.3 H nghim bt kh quy 42 3.4 Phõn loi h nghim 45 3.5 Xõy dng cỏc h nghim 54 Ti liu tham kho 57 Li m u Mc ớch ca lun l tỡm hiu mt s kin thc c bn ca i s Lie na n trờn mt trng úng cú c s lm vic ny, tụi ch yu s dng ti liu "James E Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980" Ngoi ra, tụi cng tham kho mt s ti liu trờn mng, chng hn nh ti liu [2] ca Andreas Cap Trong lun ny, tụi ó trỡnh by li v lm rừ mt s kt qu v i s Lie, i s Lie n, i s Lie na n, phõn loi h nghim ca cỏc i s Lie n v thc hin mt s tớnh toỏn c bn Bờn cnh ú, tụi cng trỡnh by thờm mt s vớ d: vớ d 1.2.6, vớ d 2.6.6, Lun gm chng: Chng trỡnh by cỏc kin thc c s v i s Lie, cỏc ideal v ng cu, i s Lie ly linh, i s Lie gii c, inh lý Engel, nh lý Lie Trong ú, hai nh lý quan trng l nh lý Engel (nh lý 1.3.7) v nh lý Lie (h qu 1.5.2) Trong vớ d 1.2.6, tụi ó a mt chng minh sl(n, F) l mt i s Lie n Chng trỡnh by cỏc kin thc c s v i s Lie na n, phõn tớch JordanChevalley, tiờu chun Cartan, dng Killing, module trờn mt i s Lie, biu din ca sl(2, F) v hp thnh cỏc khụng gian nghim ca mt i s Lie na n Trong chng ny, vớ d 2.6.6, tụi ó xỏc nh h nghim ca sl(3, F) vi c s chun tc, v qua ú vit c phõn tớch Cartan ca sl(3, F) Chng trỡnh by v h nghim ca mt khụng gian Euclide v cỏc nhúm Weyl tng ng Kt qu quan trng phn ny l nh lý phõn loi h nghim 3.4.9 da vo s Dynkin liờn thụng ca mt h nghim bt kh quy T kt qu ny v nh lý 3.3.7, ta cú th phõn loi c cỏc h nghim ca mt i s Lie n Sau ú, nh lý 3.5.1 ch s tn ti mt khụng gian Euclide cú h nghim tng ng vi cỏc dng ó phõn loi nh lý 3.4.9 Trong vớ d 3.4.4, tụi ó tỡm li h nghim t ma trn Cartan tng ng Vi phng phỏp tng t, ta cú th tỡm c h nghim nu bit ma trn Cartan ng vi mt c s ca nú Nh l phn tip theo ca lun vn, nh lý phn 18.4 trang 101 ti liu [1] ch rng vi mi h nghim cho trc, tn ti nht (sai khỏc mt ng cu) mt i s Lie na n cú h nghim chớnh l Vỡ cỏc kin thc s dng chng minh nh lý ny vt quỏ khuụn kh ca lun nờn tụi khụng a vo lun ny Lun ny c hon thnh di s hng dn ca GS TSKH Phựng H Hi, ngi ó trc tip hng dn, ch bo, to iu kin cho tụi bc u lm quen vi mt s kin thc c bn ca i s Lie Nhõn dp ny, tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc n Thy Tụi chõn thnh cm n cỏc thy giỏo, cụ giỏo cựng ton th cỏn b ca Vin Toỏn hc ó to iu kin thun li tụi hon thnh lun ny Tụi cng chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố ó ng viờn, giỳp tụi thi gian hon thnh lun H Ni, ngy 30 thỏng nm 2014 Tỏc gi lun Phm Vit Dng Chng Kin thc c s 1.1 i s Lie C nh mt trng F nh ngha 1.1.1 Mt khụng gian vector L trờn trng F cựng vi mt ỏnh x: L ì L L, ký hiu (x, y) [x, y](gi l tớch Lie hoc giao hoỏn t ca x v y), c gi l mt i s Lie trờn F nu cỏc tiờn sau c tha món: (1) nh x [x, y] l song tuyn tớnh (2) [x, x] = 0, x L (phn giao hoỏn) (3) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, x, y, z L (ng nht thc Jacobi) Nhn xột: T iu kin (L2) ta suy iu kin (L2): [x, y] = [y, x] V charF = thỡ (L2) v (L2) tng ng Vi K l khụng gian vector ca L Khi ú, K c gi l i s Lie ca L nu K úng vi tớch Lie, tc l: x, y L : [x, y] K Vi mi phn t x L, x = 0, ta luụn cú K = Fx l i s Lie mt chiu ca L vi tớch Lie tm thng: [y, y ] = 0, y, y K T õy v sau, nu ta núi K l mt i s ca i s Lie L thỡ hiu K l mt i s Lie ca i s Lie L Vớ d 1.1.2 Vi (A, ã) l mt i s kt hp trờn F, ta nh ngha mt phộp toỏn mi [, ] : A ì A A, (x, y) [x, y] = x ã y y ã x Khi ú (A, [, ]) l mt i s Lie trờn F c bit, A = End(V ), vi V l mt khụng gian vector hu hn chiu trờn F, v phộp nhõn "ã" l phộp hp thnh hai t ng cu trờn V , thỡ ta cú (End(V ), [, ]) l mt i s Lie Ta vit gl(V ) thay cho End(V ) hiu A l mt i s Lie Nu ta c nh mt c s ca V , ú ta cú th ng nht gl(V ) CHNG KIN THC C S vi i s cỏc ma trn n ì n trờn F, ký hiu gl(n, F) hay n gin l gl(n), vi dim gl(V ) = dim gl(n, F) = n2 Phộp hp thnh hai t ng cu trờn V l phộp nhõn hai ma trn tng ng Ta xỏc nh tớch Lie trờn gl(n, F): Xột c s {eij } ca gl(n, F), vi {eij } l ma trn nh sau: phn t v trớ (i,j) bng 1, cỏc phn t cũn li bng Phộp nhõn hai ma trn c xỏc nh trờn c s: eij ekl = jk eil , õy, jk l ký hiu Kronecker, bng nu j = k v bng cỏc trng hp khỏc Do tớnh song tuyn tớnh ca tớch Lie nờn xỏc nh tớch Lie, ta ch cn xỏc nh trờn c s {eij } nh sau: [eij , ekl ] = eij ekl ekl eij = jk eil li ekj õy l mt ma trn cú cỏc thnh phn l 0,1,-1 Vớ d 1.1.3 Xột sl(n) = sl(n, F) = {x gl(n, F)|T r(x) = 0}, ú T r(x) l vt ca x Khi ú, sl(n) l khụng gian vector ca gl(n) vỡ: T r(ax + by) = aT r(x) + bT r(y) = 0, a, b F; x, y sl(n) Hn na, sl(n) l i s ca gl(n) vỡ: T r([x, y]) = T r(xy) T r(yx) = 0, x, y sl(n) sl(n) c gi l i s tuyn tớnh c bit n1 Nhn xột: dim sl(n) = n2 Mt c s ca sl(n) l {eij }i=j {hi }i=1 vi hi = eii ei+1,i+1 Vi n = 2, ta cú sl(2) = { a b |a, b, c F} cú c s l: c a 0 0 ,h = ,y = 1 0 Vi cỏc tớch Lie: [h, x] = 2x, [h, y] = 2y, [x, y] = h x= Vớ d 1.1.4 i s i xng: sp(2l) = sp(2l, F) = {x gl(2l, F)|sx = xt s} m n |m, n, p, q gl(l, F) tha món: nt = n, pt = t, mt = q} = {x = p q Il , Il l n v ca gl(l) Il Ta cú: sp(2l) l i s Lie ca gl(2l)( vỡ úng vi tớch Lie) Hn na, sp(2l) l i s Lie ca sl(2l), dim sp(2l) = 2l2 + l, vi c s: ú xt l chuyn v ca x, s = eii ei+1,i+1 , 1il eij el+j,l+i , i = j l ei,l+i , 1il ei,l+j + ej,l+i , i < j l el+i,i , 1il el+i,j + el+j,i , i < j l CHNG KIN THC C S Vớ d 1.1.5 i s Lie ca cỏc vi phõn: Cho A l mt F-i s v d EndF (A) Khi ú mt ỏnh x tuyn tớnh d : A A c gi l mt vi phõn nu nú tha cụng thc Leibniz: d(a.b) = d(a).b + a.d(b) Tp cỏc vi phõn ca A c ký hiu l Der(A) Vi d, d Der(A), ta cú: [d, d](a.b) = (dd d d)(a.b) = d(d (a).b a.d (b)) d (d(a).b a.d(b)) = (dd d d)(a).b + a.(dd d d)(b) = [d, d ](a).b a.[d, d ](b) Do ú [d, d] Der(A) Vy Der(A) l i s Lie ca gl(A) Vớ d 1.1.6 Vi L = R, dim L = T tớnh tuyn tớnh v phn i xng ta cú: [a, b] = [a.1, b.1] = ab[1, 1] = 0, a, b L Mt i s Lie vi tớch Lie bng c gi l i s Lie giao hoỏn hay n gin l abel C nh trng F, vi charF = Xột L = span{e1 , e2 , , en } l khụng gian vector n chiu trờn trng F xỏc nh mt tớch Lie trờn L, ta ch cn xỏc nh trờn cỏc c s ei : [ei , ej ] = nk=1 ckij ek Cỏc h s ckij c gi l hng s cu trỳc ca i s Lie L.Cỏc hng s ny tha tớnh cht sau: ckii = = ckij + ckji , k m k (cij ckl k m + ckjl cm ki + cli ckj ) = Vớ d 1.1.7 Vi dim L = 2, gi s L = span{e1 , e2 }, ta xỏc nh tớch Lie khụng tm thng trờn L T tớnh phn giao hoỏn ca tớch Lie, ta cú: [e1 , e1 ] = [e2 , e2 ] = 0, [e1 , e2 ] = [e2 , e1 ] t [e1 , e2 ] = y = e1 + e2 = Khi ú ta cú: [e1 , y] = [e1 , e1 + e2 ] = [e1 , e1 ] + [e1 , e2 ] = y, tng t: [e2 , y] = y Do ú, nu chn x cho L = span{x, y} ta luụn cú [x, y] = y, = tớch Lie khụng tm thng Thay x bi x/ ta c: L = span{x, y}, [x, y] = y Nh vy ch cú hai i s Lie chiu( sai khỏc mt ng cu) l i s Lie giao hoỏn v i s Lie xỏc nh nh trờn Vớ d 1.1.8 Khụng gian R3 vi tớch cú hng a ì b xỏc nh nh sau: i j k (a1 , a2 , a3 ) ì (b1 , b2 , b3 ) = det a1 a2 a3 b1 b2 b3 l mt i s Lie, vi tớch Lie: e1 ì e2 = e3 , e2 ì e3 = e1 , e3 ì e1 = e2 CHNG KIN THC C S 1.2 Ideal v ng cu nh ngha 1.2.1 Khụng gian vector I ca i s Lie L c gi l mt ideal ca L nu [x, y] L, x L, y I Vớ d 1.2.2 Hai ideal tm thng ca L l: v L Vớ d 1.2.3 Tõm ca L: Z(L) = {z L|[x, z] = 0, x L} l mt ideal ca L.Ta cú: L giao hoỏn v ch Z(L) = L Vớ d 1.2.4 Vi I, J l hai ideal ca i s Lie L, thỡ I + J = {x + y|x I, y J} v [I, J] = { xi yj |xi I, yj J} cng l cỏc ideal ca L [L, L] c gi l i s dn xut ca L Ta cú: L l giao hoỏn v ch [L, L] = i s Lie L c gi l n nu [L, L] = v L khụng cũn ideal no khỏc ngoi ideal tm thng l v L Rừ rng, nu L l n thỡ: Z(L) = 0, [L, L] = L Vớ d 1.2.5 L = sl(2, F), charF = 2, l i s Lie n Tht vy, xột c s chun tc ca L l {x, y, z} c xỏc nh vớ d 1.1.3 Ta cú: [x, y] = h, [h, x] = 2x, [h, y] = 2y Vi I = l mt ideal ca L Xột phn t khỏc khụng ca I cú dng: ax + by + ch Ta cú: [x, ax + by + ch] = a[x, x] + b[x, y] + c[x, h] = bh 2cx I [x, bh 2cx] = 2bx I Tng t: 2ay I Do a, b, c khụng ng thi bng nờn mt ba phn t x, y, h thuc I, suy I = L Vy L l n Vớ d 1.2.6 Chng minh L = sl(n, F) l i s Lie n Gi {eij }i,j=1,n l c s chun tc ca gl(n, F) Khi ú, theo vớ d 1.1.2, {eij }i=j {eii ejj }i=j l mt h sinh ca sl(n, F) ( nu thay {eii ejj }i=j bi {eii ei+1,i+1 } ta c mt c s ca sl(n, F)) Ta cú cỏc tớch Lie trờn c s chun tc ca gl(n, F) c xỏc nh bi ng thc:[eij , ekl ] = jk eil li ekj Vi i = j ta cú: [eij , eji ] = eii ejj v [eii ejj , eij ] = 2eij nờn [L, L] = L chng minh L l i s Lie n, ta s chng minh L khụng cú ideal no khỏc ngoi v L Gi s I l mt ideal khỏc khụng ca L Khi ú vi mi x = (xkl ) L ta cú: x = kl xkl ekl nờn: [eij , x] = xkl [eij , ekl ] kl xkl (jk eil li ekj ) = kl jk xkl eil = kl kl xjl eil = l li xkl ekj xki ekj k CHNG KIN THC C S Kt qu õy l mt ma trn cú c bng cỏch ly mt ma trn cú dũng th j l dũng th j ca x cũn cỏc dũng khỏc bng 0, ri tr i mt ma trn cú ct th i l ct th i ca x, cũn cỏc ct khỏc bng Nu I ch cha cỏc ma trn ng chộo thỡ vi x = (xkl ) I tn ti i = j cho xii xjj = vỡ nu khụng xii = 0, i T r(x) = Nhng ú, theo tớnh toỏn trờn thỡ [eij , x] = l xjl eil k xki ekj I l mt ma trn cú phn t ct th i dũng th j l xjj xii = Vy I cú cha phn t khụng cú dng ng chộo x = (xij ) vi xji=0 , õy i = j Theo tớnh toỏn trờn, ta cú: xjl eil [eij , [eij , x]] = [eij , l xk,i ek,j ] k xjl [eij , eil ] = xki [eij , ekj ] k l xjl (ji eil li eij ) = l xk,i (jk eij ji ekl ) k = 2xji eij Vỡ [eij , [eij , x]] I v aji = nờn eij I Vy [eij , eji ] = eii ejj I v [eij , eji ] = ei i ej j I Trong trng hp n = ta cú iu phi chng minh, cũn trng hp n > vi k = i, j ta cú [eij , ejk ] = eik I v vi l = i, k thỡ elk = [eli , eik ] I Chng minh tng t thỡ cỏc ma trn ng chộo ca L cng nm I v ú I = L Vi I l mt ideal thc s khỏc ca L, khụng gian vector thng L/I l mt i s Lie, gi l i s Lie thng, vi tớch Lie c xỏc nh: [x + I, y + I] = [x, y] + I Tớch ny c nh ngha tt vỡ vi x x = u I, y y = v I ta cú: [x, y] [x , y ] = [u, y ] + [x , v] + [u, v] I Vi K l mt i s ca i s Lie L, chun tc húa ca K, ký hiu NL (K), c xỏc nh nh sau: NL (K) = {x L|[x, K] K} Khi ú, NL (K) l mt i s ca L v hn na, nú l i s ln nht ca L m cha K nh mt ideal Tht vy, NL (K) l mt i s ca L vỡ vi x, y NL (K), tc l k K : [x, k], [y, k] K, ta cú theo ng nht thc Jacobi k K : [[x, y], k] = [x, [y, k]] + [[x, k], y] K Ngoi ra, theo nh ngha thỡ K l mt ideal ca NL (K), v cng theo nh ngha ca NL (K) l i s ln nht ca L m cha K nh mt ideal Khi K = NL (K), ta gi K l t chun tc Tõm ca mt hp X L, ký hiu CL (X), c xỏc nh nh sau: CL (X) = {x L|[x, X] = 0} Theo ng nht thc Jacobi, tng t trờn, ta cú CL (X) l mt i s ca L Khi X = L, CL (L) = Z(L) CHNG H NGHIM 43 Chng minh iu kin : Gi s = vi (1 , ) = v l bt kh quy t = , = Do (1 , ) = nờn (1 , ) = m = v l bt kh quy nờn hoc = hoc = Nh vy hoc hoc Nu thỡ (, ) = m sinh E nờn (E, ) = ú = 0, mõu thun Trng hp cũn li, tng t, cng mõu thun iu kin cn: Gi s bt kh quy v = vi (1 , ) = Vi mi nghim , tn ti w W cho w() l nghim n t i l hp cỏc nghim liờn hp vi i Khi ú ta cú: = Do W sinh bi cỏc phộp lt { } Vi i i thỡ i (j ) = j , j = i Do ú, mi nghim ca i c sinh t i bng cỏch thờm vo hay tr i cỏc phn th ca i Do ú (1 , ) = Vỡ l bt kh quy nờn hoc = hoc = Vy nờn hoc = hoc = , mõu thun B 3.3.4 c phõn tớch nht thnh hp ca cỏc h nghim bt kh quy i Ei m ú E = E1 E2 Em Chng minh t = m l phõn tớch ca c s thnh cỏc khụng gian bt kh quy trc giao t Ei l khụng gian sinh bi i ca E Khi ú ta cú: E = E1 E2 Em t i = W (i ) Nh mnh trc ta cú: i Ei , (i , j ) = vi i = j v = m Nhúm Weyl Wi ca i l nhúm ca W sinh bi cỏc phộp lt {i }i i v i bt bin di tỏc ng ca Wi Do ú i l mt h nghim bt kh quy ca Ei B 3.3.5 Vi l mt h nghim bt kh quy, ú W tỏc ng bt kh quy lờn E Qu o ca nghim qua tỏc ng ca W sinh E Chng minh Khụng gian sinh bi qu o ca mt nghim qua tỏc ng ca W l mt khụng gian bt bin di tỏc ng ca W nờn phn th hai ca mnh c suy trc tip t phn th nht Gi s E l khụng gian khỏc khụng ca E bt bin di tỏc ng ca W, tc l (E ) E , W Khi ú phn bự trc giao E ca E cng bt bin di tỏc ng ca W Vi mi thỡ ta cú E hoc E P nờn nu E thỡ E Do ú mi nghim s nm mt hai khụng gian ny Vi = E , = E thỡ = , (1 , ) = Theo tớnh bt kh quy ca thỡ = hoc = Vỡ E khỏc khụng nờn M sinh E nờn E = E H qu 3.3.6 Vi l mt h nghim bt kh quy, ú s cú khụng quỏ hai di ca cỏc nghim xut hin , v mi nghim cú cựng di s liờn hp di tỏc ng ca W CHNG H NGHIM 44 Chng minh Theo mnh trc thỡ vi , thỡ khụng trc giao vi tt c () vi W M bỡnh phng t l di ca cỏc nghim ch cú th l 1, 2, 3, 12 , 31 v nu xut hin ba di ca cỏc nghim thỡ s tn ti hai nghim cú bỡnh phng di l 32 , loi Vy cú khụng quỏ hai di ca cỏc nghim xut hin Tip theo, gi s , cú cựng di Ta cú th chn mt cỏc liờn hp ca qua tỏc ng ca W cho chỳng phõn bit v khụng trc giao vi Khi ú, ta cú: = , = Ta cú th gi s l vỡ nu khụng, ta thay bi = () Do ú: () = ( ) = ( ) = Trong trng hp cú hai di, ta gi cỏc nghim l nghim ngn v nghim di nh lý 3.3.7 Gi L l mt i s Lie na n vi i s xuyn cc i H H nghim tng ng vi H l bt kh quy v ch L l i s Lie n Chng minh Nu L l i s Lie n, ta s chng minh h nghim l bt kh quy Gi s ngc li, l kh quy, ú = vi (1 , ) = Nu , thỡ ( + , ) = (, ) = v ( + , ) = (, ) = nờn + Do ú [L , L ] = vi mi , Gi L l i s ca L sinh bi tt c L , Nu L = L thỡ [L, L ] = 0, , trỏi vi iu kin Z(L) = L n Do ú L l i s thc s ca L T [L , L ] = ta c [L , L] L , ú L l ideal khụng tm thng ca L, trỏi vi iu kin L l n Nu l bt kh quy, ta s chng minh L l n Gi s ngc li, L cú mt ideal thc s I Do H tỏc ng ng chộo lờn I nờn I = H ( L ), ú H = H I v = { |L I = {0}} t J l ideal ca L l phn bự ca I, tc l L = I J Khi ú ta cng cú H tỏc ng ng chộo lờn J nờn J = H ( L ), ú H = H J v = \ Vy nờn = l mt phõn tớch thnh hai khụng tm thng ca Vi , , nu (, ) < thỡ + , vụ lý vỡ L+ = [L , L ] I J = {0}; nu (, ) > thỡ , vụ lý vỡ L = [L , L ] I J = {0} Vy (, ) = 0, , hay phõn tớch = l phõn tớch thnh hai thc s trc giao, iu ny trỏi vi gi thit bt kh quy H qu 3.3.8 Cho L l mt i s Lie na n vi i s xuyn cc i H v h nghim Nu L = L1 L2 Lm l phõn tớch thnh cỏc ideal n ca L, thỡ Hi = H Li l cỏc i s xuyn cc i ca Li v cỏc h nghim bt kh quy tng ng i cú th coi nh cỏc h nghim ca cho = m l phõn tớch ca thnh cỏc thnh phn bt kh quy Chng minh Vi i ta cú th m rng lờn H, : H F, bng cỏch t (Hj ) = 0, j = i Khi ú vi L Li Ngc li, nu thỡ [Hi , L ] = CHNG H NGHIM 45 vi i no ú vỡ nu khụng, L H Khi ú L Li v |Hi l mt nghim ca Li 3.4 Phõn loi h nghim nh ngha 3.4.1 Gi s l mt h nghim hng l ca khụng gian Euclide E, W l nhúm Weyl tng ng v = {1 , , l } l mt c s ca Khi ú ma trn ( i , j ) c gi l ma trn Cartan ca Cỏc phn t ca ma trn c gi l cỏc s nguyờn Cartan Nhn xột: ma trn Cartan cú cỏc phn t trờn ng chộo bng v cỏc phn t cũn li l cỏc s nguyờn khụng dng Vớ d 3.4.2 Ma trn Cartan ca cỏc h nghim hng l: 2 2 ; G2 : ; B2 : ; A2 : A1 ì A1 : 2 2 Nhn xột: W tỏc ng tm thng lờn hp cỏc c s nờn ma trn Cartan ca khụng ph thuc vo cỏch chn c s Vỡ l c s ca E nờn ma trn Cartan l khụng suy bin nh lý sau õy ch rng h nghim c xỏc nh nht, sai khỏc mt ng cu, bi ma trn Cartan ca nú Mnh 3.4.3 Vi E l mt h nghim khỏc vi c s = {1 , , l } tha món: i , j = i , j , i, j = 1, l thỡ song ỏnh i i cú th m rng mt cỏch nht thnh ng cu gia hai h nghim E v E õy ng cu gia hai h nghim E v E l mt ng cu gia hai khụng gian vector : E E , gi thnh v (), ( ) = , , , Chng minh Vi , ln lt l c s ca , , tn ti nht mt ng cu gia cỏc khụng gian vector : E E ,i i , i = 1, l Vi , ta cú: () (()) = () (), () () = () , () = ( , ) = ( ()) Do ú vi mi ta cú biu sau giao hoỏn: CHNG H NGHIM 46 E E () E E Do cỏc nhúm Weyl W v W c sinh bi cỏc phộp lt n v nờn ỏnh x: l ng cu gia W v W, () Tip theo, mi nghim liờn hp vi mt nghim n, ngha l tn ti W cho () = Khi ú: () = ( )(()) Do ú () ( ) Tng t, ( ) Vy nờn : E E l mt ng cu gia v Hn na, vỡ () (()) = ( ()), , nờn: (), () = , , , Nhn xột: nh lý trờn ch rng ta cú th tỡm li h nghim t ma trn Cartan ca nú Chng hn nh vớ d sau: Vớ d 3.4.4 Tỡm h nghim bit ma trn Cartan tng ng l: G2 : í tng õy l ta s tỡm tt c cỏc chui - nghim ca , da vo b 3.1.9 Gi hai nghim n ca l: v Ta cú: +) Chui - nghim ca : r = ( vỡ khụng phi l nghim, theo b 3.2.2), nờn theo b 3.1.9 ta cú: q = , = Vy, chui - nghim ca l: , = + , = + 21 , = + 31 +) Chui - nghim ca : tng t, ta cú: r = 0, q = , = nờn chui nghim l: , = + +) Chui - nghim ca , , chớnh l chui nghim ca +) Chui - nghim ca : = l nghim cũn 22 = khụng phi l nghim nờn r = 1, ú q = r , = Nờn chui nghim ca l: = , +) Chui - nghim ca : = 21 khụng phi l nghim nờn r = 0, ú q = , = Vy nờn chui - nghim ca ch cú +) Chui - nghim ca : tng t, ta c r = 0, q = nờn chui nghim ca l: , = + = 31 + 22 +) Chui - nghim ca chớnh l chui - nghim ca +) Chui - nghim ca : tng t ta cú r = 0, q = nờn chui nghim ca ch cú Theo h qu 3.2.10 thỡ tt c cỏc nghim dng ó c tỡm V ú h nghim bao gm cỏc nghim dng k trờn ( {i }6i=1 ) v cỏc nghim i ca nú Nu kt hp vi Bng 1, , = v , = 3, nờn gúc gia hai CHNG H NGHIM nghim n ny l nh sau: 47 v ||2 || = 3||1 || Do ú ta cú h nghim ca G2 c mụ t G2 : nh ngha 3.4.5 ( th Coxeter) Vi l mt h nghim hng l ca khụng gian Euclide E, W l nhúm Weyl ca , = {1 , , l } l mt c s ca Khi ú th Coxeter ca l mt th cú l nh tng ng vi cỏc nghim n, nh th i c ni vi nh th j bi i , j j , i cnh Vớ d 3.4.6 Trong trng hp l = 2, ta cú cỏc th Coxeter l: A1 ì A1 : A2 : B2 : G2 : Nhn xột: nu , , = thỡ hai nghim , cú cựng di Vỡ th, trng hp cỏc nghim cú cựng di thỡ t th Coxeter, ta hon ton cú th xỏc nh c cỏc s i , j da vo i , j = j , i Trong trng hp xut hin nhiu hn mt di, ú s xut hin cnh ụi v cnh ba, thỡ th Coxeter khụng th cho chỳng ta thụng tin nh no tng ng vi cnh ngn, nh no tng ng vi cnh di Vỡ vy, chỳng ta v thờm cỏc mi tờn lờn trờn cỏc cnh v hng v nh tng ng vi cnh ngn Biu chỳng ta thu c c gi l biu Dynkin ca Nú cho chỳng ta tt c cỏc thụng tin v ma trn Cartan tng ng vi h nghim Vớ d 3.4.7 Cỏc biu Dynkin cú hng l: CHNG H NGHIM A1 ì A1 : A2 : B2 : > G2 : < 48 Ngc li, t biu Dynkin, ta cú th xỏc nh c ma trn Cartan: Vớ d 3.4.8 Cho biu Dynkin ca F4 : > Khi ú ta cú cỏc nghim , l cỏc nghim di cũn cỏc nghim , l cỏc nghim ngn T biu Dynkin ta c: +) i , i = 2; +) T , 2 , = , 4 , = nờn , = , = , = , = 1; +) T , 3 , = v l nghim ln nờn , = v , = 1; +) Cỏc i , j cũn li bng Nh vy ma trn Cartan tng ng l: 0 2 0 Nhn xột: Hai nh i , j khụng liờn thụng v ch i , j = hay õy l hai nghim trc giao Do ú, cỏc thnh phn liờn thụng ca biu Dynkin s tng ng vi cỏc h nghim bt kh quy ca Vỡ th, thay vỡ phõn loi cỏc h nghim bt kh quy, ta phõn loi cỏc biu Dynkin liờn thụng nh lý sau õy s phõn loi cỏc biu Dynkin nh lý 3.4.9 Nu l mt h nghim bt kh quy cú hng l thỡ biu Dynkin tng ng s cú mt nhng dng sau: Al (l 1): l-1 l Bl (l 2): l-2 l-1 > l Cl (l 3): l-2 l-1 < l CHNG H NGHIM 49 l-3 l-1 l-2 l Dl (l 4): : E6 6 7 : E7 E8 : F4 : > < G2 : Cỏc ma trn Cartan tng ng l: Bng 2 Al : 0 Bl : 0 0 0 Cl : 0 0 2 2 CHNG H NGHIM Dl : 0 E6 : E7 : 0 E8 : 0 F4 : G2 : 50 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 Chng minh Vi E l mt khụng gian Euclide, ta gi U = {1 , , n } l n vector n v c lp tuyn tớnh tha món: (i j ) v 4(i , j )2 {0; 1; 2; 3} vi mi i = j Mt hp cỏc vector nh th gi l chp nhn c T mt c s ca CHNG H NGHIM 51 mt h nghim, ta xõy dng hp cỏc vector chp nhn c bng cỏch ly mi vector chia cho di ca nú: { | } l mt chp nhn c Vi U l mt chp nhn c, ta xột th tng ng vi cỏc nh l cỏc phn t ca U tng ng, nh i v j c ni bi 4(i , j )2 cnh, õy i , j tng ng vi nh i v j Bõy gi, ta s phõn loi cỏc th nh th (1) Nu b mt vi phn t i thỡ phn cũn li l chp nhn c vi th tng ng thu c t bng cỏch b i cỏc cnh cú mt u mỳt l mt cỏc nh tng ng vi cỏc phn t b i (2) S cỏc cp nh k vi nhau, cú ngha l c ni vi bi ớt nht cnh, l thc s nh hn n Tht vy: t = n1 i Do {i }i=1,n l mt hp c lp tuyn tớnh nờn = Do ú: < (, ) = n + i nờn r = Li thay vo bt phng trỡnh (*) ta c: + 1q > 12 , suy 2q > 12 nờn q < Vi q = ta cú th chn p tựy ý Vi q = p ta cú p < Vy cỏc trng hp cú th xy l: (p, 2, 2) ng vi Dn , (3, 3, 2) ng vi E6 , (4, 3, 2) ng vi E7 , (5, 3, 2) ng vi E8 3.5 Xõy dng cỏc h nghim Trong phn 3.4, ta ó xỏc nh c tt c cỏc s Dynkin liờn thụng ca mt h nghim bt kh quy Trong phn ny ta ch rng mi s Dynkin loi A-G u thuc mt h nghim no ú nh lý 3.5.1 Mi s Dynkin (hay ma trn Cartan), thuc loi A-G, u l s ca mt h nghim no ú Chng minh chng minh nh lý ny, ta s xõy dng mt h nghim tng ng mi trng hp Xột khụng gian vector Rn vi h c s trc chun {1 , , , n } t I = SpanZ (1 , , , n ), c gi l mt dn Al (l 1): t E l khụng gian vector l chiu ca Rl+1 trc giao vi vector + + + n t I = I E, v t = { I |(, ) = 2} Gi s x , l+1 x = l+1 k=1 ak = nờn tn ti i = j k=1 ak k ú ak Z T (x, x) = ta c cho |ai | = |aj | = v ak = vi k = i, j Li cú: (x, + + + l+1 ) = nờn + aj = Vy = {i j }i=j CHNG H NGHIM 55 Xột l vector: i = i i+1 , i = 1, l Cỏc vector ny l c lp tuyn tớnh vỡ t i = ta c (ai+1 )i = 0, õy a0 = 0, m {i } l c s nờn = 0, i = 1, l Nh vy l hu hn, khụng cha 0, v sinh E; mi i j ch cú hai bi l (i j ) Ta tớnh (i , j ): (i , i ) = 2; (i , i+1 ) = (i , i1 ) = 1; (i , j ) = 0, k = i 1, i, i + Do i j = j1 k=i k vi mi i < j v (i , j ) Z, i, j nờn (, ) Z, , Xột cỏc phộp lt i , t i (j ) = j (j , i )i ta c: i (i ) = i+1 , i (i+1 ) = i ; i (j ) = j , j = i, i + Do ú, cỏc phộp lt i gi bt bin nờn cỏc phộp lt cng gi bt bin vi mi Vy l mt h nghim ca E vi {i }li=1 l mt c s Hn na, ma trn Cartan ca cú dng Al nh bng Theo tớnh toỏn trờn, cỏc phộp lt i giao hoỏn i vi i+1 v gi c nh j , j = i, i + Do ú i tng ng vi phộp th v (i, i + 1) nhúm i xng Sl+1 , m cỏc phộp th v ny sinh Sl+1 nờn ta cú ng cu t nhiờn gia nhúm Weyl W v nhúm i xng Sl+1 Bl (l 2): t E = Rl v = { I|(, ) {1; 2}} Tng t nh phn trờn, ta thy = {i }i=1,l {i j }i=j Cỏc vector ca h nghim phn th nht cú di cũn phn th hai cú di H vector {1 , , , l1 l , l } c lp tuyn tớnh v cỏc nghim ngn: i = (i i+1 )+(i+1 i+2 )+ +(l1l )+l , cũn cỏc nghim di c biu din tng t Nh vy h trờn l c s ca v tớnh toỏn tng t phn trờn ta c h nghim cú ma trn Cartan cú dng Bl nh bng Nhúm Weyl tỏc ng nh mt nhúm ca cỏc hoỏn v v i du hp {1 , , l } nờn W ng cu vi tớch na trc tip ca (Z/2Z)l v Sl Cl (l 3): t E = Rl v = {2i } {(i j )}i=j , = {1 , , l1 l , 2l } Tng t phn Bl , thỡ l mt h nghim ca E v l mt c s ca Nhúm Weyl ca Cl ng cu vi nhúm Weyl ca Bl v ú ng cu vi tớch na trc tip ca (Z/2Z)l v Sl Dl (l 4): t E = Rl , = { I|(, ) = 2} = {(i j ), i = j}, = {1 , , l1 l , l1 + l } Tng t nh cỏc phn trờn, ta cng c l mt h nghim ca E vi l c s v ma trn Cartan tng ng cú dng Dl cho nh bng Nhúm Weyl l nhúm cỏc hoỏn v v i du mt s chn ln ca hp {_1, , l } Vy nờn nhúm Weyl s ng cu vi tớch na trc tip ca CHNG H NGHIM 56 (Z/2Z)l1 v Sl E6 , E7 , E8 : Ta xõy dng h nghim tha E8 , cũn E6 , E7 tng t t E = R8 , I = I + Z((1 + + + )/2), I = { ci i + 2c ( i )|(c + ci ) } Khi ú I l nhúm ca I t = { I|(, ) = 2} Vi = ci i + 2c i = c c (ci + )i , ú c + ci l s chn, (, ) = nờn (ci + ) = Nu c l, khụng mt tớnh tng quỏt gi s c = 1, thỡ (ci + 2c )2 12 , i nờn du bng phi xy Khi ú ci + 2c = 12 hay = 21 i , vi s du tr l s chn Trong trng hp c chn, gi s c = 0, thỡ = (i j ), i = j Vy = {(i j )}i=j { 21 i }, vi s du tr l s l Tng t nh phn trc, ta cú th ch l h nghim ca E Ta chng minh = { 21 (1 + ) (2 + + + )} l mt c s ca h nghim Tht vy: i j = (i i1 ) + + (j+1 j ), vi i > j; = 2( 21 (8 + (2 + + + ))) + (6 ) + 2(5 )+ 3(4 ) + 4(3 ) + 2(2 ) + 3(1 + ); i + j = (i j ) + 2(j ) + (2 ) + (1 + ), vi i > j; j ) ( + i j ) = 12 (8 + = 21 (8 + 7k=2 k ) + i k=2 k ) + ( i + j ) + 12 ( i õy, i l cỏc ch s t n m h s ca i l 12 , j l cỏc ch s m h s ca j l Theo trờn, s du tr l s chn nờn s cỏc ch s i l s l, gi s l i0 < i1 < < i2m , thỡ i = (i2m + i2m1 ) + + (i0 ) D dng kim tra ma trn Cartan ca E cú dng E8 bng Nhúm Weyl tng ng cú cp l 214 35 52 F4 : t E = R4 , I = I + Z((1 + + + )/2), = { I |(, ) {1; 2}} Tớnh toỏn tng t nh trờn ta c h nghim = {i } {(i j )}i=j { 12 (1 )} vi c s = {2 , , , 21 (1 )} v nhúm Weyl cú cp 1152 G2 : Gi E l khụng gian ca R3 trc giao vi + + , I = I E, = { I |(, ) {2; 6}} Tng t, ta cú th tớnh c h nghim = {1 , , , 21 , 22 , 23 } vi c s = {1 , 21 + + } v nhúm Weyl cú cp 12 Ti liu tham kho [1] James E Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980 [2] Andreas Cap, Lie algebras and Representation theory, Spring Term 2009 57 [...]... gọi L là đại số Lie nửa đơn Ví dụ 1.4.6 Đại số Lie đơn là nửa đơn vì đại số Lie đơn có đúng hai ideal là 0 và chính nó, hơn nữa đại số Lie đơn là không giải được Với đại số Lie L bất kỳ thì L/Rad(L) là nửa đơn Một đại số Lie nửa đơn có tâm tầm thường, nên biểu diễn phụ hợp của đại số Lie nửa đơn là trung thành 1.5 Định lý Lie Xét F là trường đóng đại số có đặc số 0 Định lý 1.5.1 Xét L là đại số con giải... L nên Ker ad = Z(L) Khi L là đại số Lie đơn thì Z(L) = 0 nên ad : L −→ gl(L) là một đơn cấu Có nghĩa là mọi đại số Lie đơn đều đẳng cấu với một đại số Lie tuyến tính Ví dụ 1.2.15 Đại số dẫn suất của L là [L, L] = span{[x, y]|x, y ∈ L} Đây là một ideal của L vì [ αx,y [x, y], z] = αx,y [[x, y], z] = αxy ([x, [y, z]] + [[x, z], y]) ∈ [L, L] Thương L/[L, L] là một đại số Lie giao hoán vì [x+[L, L], y+[L,... cấu của một đại số Lie đơn cũng là đơn Thật vậy: xét đồng cấu đại số Lie φ : L −→ Im φ Gọi I là một ideal của Im φ, ta có phép chiếu chính tắc π : Im φ −→ Im φ/I Khi đó ta có đồng cấu đại số Lie θ = π ◦ φ : L −→ Im φ/I, x −→ φ(x) + I Do Ker θ là một ideal của đại số Lie đơn L nên hoặc Ker θ = 0 hoặc Ker θ = L Mà L/Ker θ ∼ = L thì = Im φ/I nên hoặc Im φ/I ∼ Im φ ∼ = 0 thì I = Im φ Vậy Im φ là đơn = L và... x] = 0 hay x ∈ K ∩ Z(L) 1.4 Đại số Lie giải được Ta xét dãy các ideal của L như sau: L(0) = L, L(1) = [L, L], L(2) = [L(1) , L(1) ], , L(i) = [L(i−1) , L(i−1) ], CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 Định nghĩa 1.4.1 Đại số Lie L được gọi là giải được nếu tồn tại n sao cho: L(n) = 0 Ví dụ 1.4.2 Đại số Lie lũy linh (và do đó, đại số Lie giao hoán) là giải được Ví dụ 1.4.3 Đại số Lie τ (n, F) của các ma trận... gl(n) thì [L, L] = sl(n) Nên nếu K là đại số con của gl(n) thì [K, K] là đại số con của sl(n) 1.3 Đại số Lie lũy linh và định lý Engel Xét dãy các ideal của đại số Lie L (chuỗi giảm các ideal): L0 = L, L1 = [L, L], , Li = [L, Li−1 ], Định nghĩa 1.3.1 L được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho: Ln = 0 Rõ ràng các đại số giao hoán là lũy linh Ví dụ 1.3.2 Đại số Lie πn , bao gồm các ma trận tam giác... nửa đơn thì L = [L, L] và mọi ideal và ảnh đồng cấu của L cũng là nửa đơn Hơn nữa mỗi ideal là tổng các ideal đơn của L Chứng minh Với L là nửa đơn, từ bổ đề 2.3.6 ta có L = [L, L] Với J là một ideal của L thì theo chứng minh bổ đề 2.3.6 thì J là tổng của các ideal đơn nên cũng theo 2.3.6 thì J là nửa đơn Theo ví dụ 1.2.8 thì ảnh đồng cấu của một đại số Lie đơn là một đại số Lie đơn Nên nếu L là nửa đơn. .. 2.6.1 Một đại số con khác không của L chỉ bao gồm các phần tử nửa đơn được gọi là đại số con xuyến Nhận xét: Nếu L không có phần tử nửa đơn nào, có nghĩa là L chỉ bao gồm các phần tử lũy linh, khi đó theo định lý Engel, L là lũy linh Trong trường hợp ngược lại, luôn tồn tại phần tử x có phần nửa đơn trong phân tích Jordan khác không Khi đó luôn tồn tại đại số con xuyến Bổ đề 2.6.2 Một đại số con xuyến... 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 31 vế trái −ay là một vector riêng ứng với trị riêng khác 0, còn vế phải là tổ hợp tuyến tính của các vector riêng ứng với trị riêng khác 0, và do đó −ay = 0 Định nghĩa 2.6.3 Một đại số con xuyến được gọi là cực đại nếu nó không nằm thực sự trong một đại số con xuyến khác Ví dụ 2.6.4 Với L = sl(n, F) thì đại số con H của L bao gồm tất các các ma trận có dạng đường chéo là một đại. .. của C nằm trong H Giả sử x ∈ C là phần tử nửa đơn và [x, H] = 0 thì H + Fx cũng là đại số con giao hoán của L, hơn nữa tổng của các phần tử nửa đơn giao hoán cũng là một phân tử nửa đơn, theo mệnh đề 2.1.2, nên H + Fx cũng là một đại số con xuyến Theo tính cực đại của H thì H + Fx = H, hay x ∈ H CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 33 (3) Hạn chế của κ trên H là không suy biến Giả sử κ(h, H) = 0 với h ∈ H Với... nhất trọng cực đại λ (λ = dim V − 1) nên vector cực đại của V là duy nhất, sai khác một vô hướng CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 30 Hệ quả 2.5.6 Cho V là một L-module hữu hạn chiều, với L = sl(2, F) Khi đó các trị riêng của h trên V là các số nguyên và mỗi trị riêng xuất hiện cùng số đối của nó với cùng số lần Hơn nữa, mọi phân tích của V thành tổng trực tiếp các module con bất khả quy, số các hạng tử