Trong phần 3.4, ta đó xỏc định được tất cả cỏc sơ đồ Dynkin liờn thụng của một hệ nghiệm bất khả quy. Trong phần này ta chỉ ra rằng mỗi sơ đồ Dynkin loại A-G đều thuộc một hệ nghiệm nào đú.
Định lý 3.5.1. Mỗi sơ đồ Dynkin (hay ma trận Cartan), thuộc loại A-G, đều là sơ đồ của một hệ nghiệm nào đú.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này, ta sẽ xõy dựng một hệ nghiệm tương ứng trong mỗi trường hợp.
Xột khụng gian vector Rn với hệ cơ sở trực chuẩn{ǫ1, ǫ2, ..., ǫn}.
Đặt I =SpanZ(ǫ1, ǫ2, ..., ǫn), được gọi là một dàn.
Al(l≥1): Đặt E là khụng gian vector con l chiều của Rl+1 trực giao với vector
ǫ1 +ǫ2+...+ǫn. Đặt I′ = I ∩E, và đặt Φ = {α ∈ I′|(α, α) = 2}. Giả sử x ∈ Φ,
x = Pl+1
k=1akǫk ở đú ak ∈ Z. Từ (x, x) = 2 ta được Pl+1k=1a2
k = 2 nờn tồn tại i 6=j
sao cho |ai|=|aj|= 1 và ak = 0 với k 6=i, j. Lại cú:(x, ǫ1+ǫ2+...+ǫl+1) = 0 nờn
ai+aj = 0.
Xột l vector: αi = ǫi −ǫi+1, i = 1, l. Cỏc vector này là độc lập tuyến tớnh vỡ từ Paiαi = 0 ta được P(ai+1 −ai)ǫi = 0, ở đõy a0 = 0, mà {ǫi} là cơ sở nờn
ai = 0, i = 1, l. Như vậy Φ là hữu hạn, Φ khụng chứa 0, và Φ sinh ra E; mỗi ǫi−ǫj ∈Φchỉ cú hai bội trong Φ là±(ǫi−ǫj).
Ta tớnh (αi, αj): (αi, αi) = 2;
(αi, αi+1) = (αi, αi−1) =−1;
(αi, αj) = 0, k 6=i−1, i, i+ 1. Doǫi−ǫj =Pj−1
k=iαkvới mỗii < jvà(αi, αj)∈Z,∀i, jnờn(α, β)∈Z,∀α, β ∈Φ. Xột cỏc phộp lật σαi, từ σαi(ǫj) =ǫj−(ǫj, αi)αi ta được:
σαi(ǫi) =ǫi+1, σαi(ǫi+1) =ǫi; σαi(ǫj) =ǫj,∀j 6=i, i+ 1.
Do đú, cỏc phộp lật σαi giữ bất biến Φnờn cỏc phộp lậtσα cũng giữ bất biến Φ với mọiα ∈Φ.
Vậy Φ là một hệ nghiệm của E với {αi}l
i=1 là một cơ sở. Hơn nữa, ma trận Cartan củaΦ cú dạngAl như trong bảng 2.
Theo tớnh toỏn ở trờn, cỏc phộp lật σαi giao hoỏn ǫi với ǫi+1 và giữ cố định
ǫj, j 6=i, i+ 1. Do đú σαi tương ứng với phộp thế vị (i, i+ 1) trong nhúm đối xứng
Sl+1, mà cỏc phộp thế vị này sinh ra Sl+1 nờn ta cú đẳng cấu tự nhiờn giữa nhúm Weyl W và nhúm đối xứngSl+1.
Bl(l ≥2): Đặt E =Rl vàΦ = {α∈I|(α, α)∈ {1; 2}}. Tương tự như phần trờn,
ta thấyΦ ={±ǫi}i=1,l∪{±ǫi±ǫj}i6=j. Cỏc vector của hệ nghiệm trong phần thứ nhất cú độ dài 1 cũn trong phần thứ hai cú độ dài 2. Hệ vector{ǫ1−ǫ2, ǫ2−ǫ3, ..., ǫl−1−ǫl, ǫl}
độc lập tuyến tớnh và cỏc nghiệm ngắn:ǫi = (ǫi−ǫi+1)+(ǫi+1−ǫi+2)+...+(ǫl−1−ǫl)+ǫl,
cũn cỏc nghiệm dài được biểu diễn tương tự. Như vậy hệ trờn là cơ sở củaΦvà tớnh toỏn tương tự phần trờn ta được hệ nghiệm Φ cú ma trận Cartan cú dạng Bl như trong bảng 2. Nhúm Weyl tỏc động như một nhúm của cỏc hoỏn vị và đổi dấu tập hợp {ǫ1, ..., ǫl} nờn W đẳng cấu với tớch nửa trực tiếp của (Z/2Z)l và Sl.
Cl(l ≥3): Đặt E =Rl và Φ ={±2ǫi} ∪ {±(ǫi±ǫj)}i6=j, ∆ = {ǫ1−ǫ2, ..., ǫl−1 − ǫl,2ǫl}. Tương tự phần Bl, thỡ Φlà một hệ nghiệm củaE và ∆là một cơ sở của Φ. Nhúm Weyl của Cl đẳng cấu với nhúm Weyl của Bl và do đú đẳng cấu với tớch nửa trực tiếp của (Z/2Z)l và Sl.
Dl(l ≥4): Đặt E = Rl, Φ = {α ∈ I|(α, α) = 2} = {±(ǫi ±ǫj), i 6= j}, ∆ = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{ǫ1−ǫ2, ..., ǫl−1−ǫl, ǫl−1+ǫl}. Tương tự như cỏc phần trờn, ta cũng được Φlà một hệ nghiệm của E với ∆ là cơ sở và ma trận Cartan tương ứng cú dạng Dl cho như trong bảng 2. Nhúm Weyl là nhúm cỏc hoỏn vị và đổi dấu một số chẵn lần của tập hợp {ǫ_1, ..., ǫl}. Vậy nờn nhúm Weyl sẽ đẳng cấu với tớch nửa trực tiếp của
(Z/2Z)l−1 và Sl.
E6, E7, E8: Ta xõy dựng hệ nghiệm thỏa món trongE8, cũnE6, E7 tương tự. Đặt
E =R8,I′ =I+Z((ǫ1+ǫ2+...+ǫ8)/2), I” ={P
ciǫi+ c
2(P
ǫi)|(c+Pci)...}. Khi
đúI” là nhúm con của I′. Đặt Φ ={α∈I”|(α, α) = 2}. Với α=P
ciǫi+ c 2 P ǫi = P (ci+c 2)ǫi ∈Φ, ở đúc+P ci là số chẵn, do (α, α) = 2nờn P(ci+ c 2)2 = 2. Nếu c
lẻ, khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử c= 1, thỡ (ci+ c
2)2 ≥ 1
2,∀i nờn dấu bằng phải xảy ra. Khi đúci+c
2 =±1
2 hayα= 1 2
P
±ǫi, với số dấu trừ là số chẵn. Trong trường hợp cchẵn, giả sử c= 0, thỡ α=±(ǫi±ǫj), i6=j.
Vậy Φ ={±(ǫi±ǫj)}i6=j∪ {1 2
P±ǫi}, với số dấu trừ là số lẻ. Tương tự như phần
trước, ta cú thể chỉ raΦ là hệ nghiệm của E. Ta chứng minh ∆ ={1
2(ǫ1+ǫ8)−(ǫ2+ǫ3+...+ǫ7)} là một cơ sở của hệ nghiệm Φ. Thật vậy:
ǫi−ǫj = (ǫi−ǫi−1) +...+ (ǫj+1−ǫj), với i > j;
ǫ8−ǫ7 = 2(12(ǫ8+ǫ1 −(ǫ2+ǫ3+...+ǫ7))) + (ǫ6−ǫ5) + 2(ǫ5−ǫ4)+
3(ǫ4−ǫ3) + 4(ǫ3−ǫ2) + 2(ǫ2−ǫ1) + 3(ǫ1+ǫ2);
ǫi+ǫj = (ǫi−ǫj) + 2(ǫj −ǫ2) + (ǫ2−ǫ1) + (ǫ1+ǫ2), vớii > j;
1 2(ǫ8+P ǫi−P ǫj) = 12(ǫ8+ǫ1−P7 k=2ǫk) +12(P ǫi+P ǫj)−ǫ1+12(P ǫi− P ǫj) = 1 2(ǫ8+ǫ1 −P7 k=2ǫk) +P ǫi−ǫ1
Ở đõy, i là cỏc chỉ số từ 1 đến 7 mà hệ số của ǫi là 1
2, j là cỏc chỉ số mà hệ số của ǫj là −1
2 . Theo trờn, số dấu trừ là số chẵn nờn số cỏc chỉ số i là số lẻ, giả sử là
i0 < i1 < ... < i2m, thỡPǫi−ǫ1 = (ǫi2m+ǫi2m−1) +...+ (ǫi0 −ǫ1). Dễ dàng kiểm tra
ma trận Cartan củaE cú dạngE8 bảng 2. Nhúm Weyl tương ứng cú cấp là21435527. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
F4: ĐặtE =R4, I′ =I +Z((ǫ1+ǫ2+ǫ3+ǫ4)/2), Φ ={α ∈I′|(α, α)∈ {1; 2}}.
Tớnh toỏn tương tự như trờn ta được hệ nghiệm Φ = {±ǫi} ∪ {±(ǫi ±ǫj)}i6=j ∪ {±1
2(ǫ1 ±ǫ2 ±ǫ3 ±ǫ4)} với cơ sở ∆ = {ǫ2 −ǫ3, ǫ3 −ǫ4, ǫ4,1
2(ǫ1−ǫ2 −ǫ3 −ǫ4)} và nhúm Weyl cú cấp 1152.
G2: Gọi E là khụng gian con của R3 trực giao với ǫ1 +ǫ2 +ǫ3, I′ = I ∩ E,
Φ = {α ∈ I′|(α, α) ∈ {2; 6}}. Tương tự, ta cú thể tớnh được hệ nghiệm Φ =
±{ǫ1 −ǫ2, ǫ2 −ǫ3, ǫ1 −ǫ3,2ǫ1 −ǫ2 −ǫ3,2ǫ2 −ǫ1 −ǫ3,2ǫ3 −ǫ1−ǫ2} với cơ sở ∆ =
[1] James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory,
Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980. [2] Andreas Cap, Lie algebras and Representation theory, Spring Term 2009.