BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LỜI MỞ ĐẦU Đại số Lie và lý thuyết biểu diễn của các đại số Lie là một trong những lĩnh vực quan trọng nhất của toán học vì tính đẹp đẽ của nó cũng như sự ứng dụng rộng rãi của nó trong toán học và các khoa học khác. Hiện đã có rất nhiều chuyên khảo kinh điển và công cụ tính toán mạnh mẽ hỗ trợ cho lý thuyết này. Trong một bài báo gần đây (6), do nhu cầu biểu diễn nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất thông qua nghiệm của các phương trình bậc thấp hơn, thông qua lý thuyết Galois vi phân, hai tác giả Nguyễn An Khương và Marius van der Put đã dùng phần mềm trực tuyến LiE (7) để tính toán và thiết lập các biểu diễn bất khả quy có chiều nhỏ hơn 11 cho các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp. Bảng kết quả này càng lớn thì ta càng có thể mở rộng được lớp các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm có thể biểu diễn được thông qua nghiệm của các phương trình có bậc thấp hơn. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ thống, chứng minh chi tiết các kết quả về biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn, dùng phần mềm trực tuyến Lie để tính lại bảng kết quả nói trên cho các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp trong 7, Mục 1.2. Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia làm bốn chương. Chương 1 dành để trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về các đại số Lie sẽ dùng trong các chương sau. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lý thuyết cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn. Chương 3 dành để mô tả biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn. Cuối cùng, trong Chương 4, chúng tôi sử dụng phần mềm trực tuyến LiE để tính lại các biểu diễn bất khả quy có chiều không quá 11 của các đại số Lie nửa đơn có chiều thấp trong 6. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn An Khương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với thầy. Thầy không chỉ cung cấp những tài liệu quý giá, hướng dẫn, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà còn thông cảm, khuyến khích, động viên tác giả vượt qua những khó khăn trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu đề tài.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ NGỌC DƯ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Quy Nhơn - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ NGỌC DƯ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN AN KHƯƠNG Quy Nhơn - 2011 i MỤC LỤC Mục lục i Lời mở đầu Chương kiến thức sở 1.1 Định nghĩa ví dụ đại số Lie 1.2 Iđêan đồng cấu 1.3 Biểu diễn đại số Lie 1.4 Tính giải tính lũy linh 1.5 Định lý Engel 1.6 Định lý Lie 1.7 Tiêu chuẩn Cartan 10 1.8 Biểu diễn sl2 14 Chương lý thuyết cấu trúc 20 2.1 Đại số Cartan 20 2.2 Dạng compact 21 2.3 Các tính chất hệ nghiệm 29 2.4 Dạng chuẩn Weyl-Chavalley 32 2.5 Các tự đẳng cấu 34 Chương lý thuyết biểu diễn 40 3.1 Biểu đồ Cartan-Stiefel 40 3.2 Trọng vectơ trọng 43 3.3 Sự hoàn toàn khả quy 45 3.4 Phân loại đại số Lie đơn 49 3.4.1 Al = sl(l + 1, C) 51 3.4.2 Bl = o(2l + 1, C) 52 3.4.3 Cl = sp(l, C) 52 3.4.4 Dl = o(2l, C) 53 3.4.5 G2 53 ii 3.5 3.4.6 F4 54 3.4.7 E6 54 3.4.8 E7 54 3.4.9 E8 55 Biểu diễn trực giao đối ngẫu 55 Chương biểu diễn bất khả quy đại số lie nửa đơn có chiều thấp 62 4.1 Biểu diễn bất khả quy sl2 62 4.2 A table of irreducible representations 63 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 LỜI MỞ ĐẦU Đại số Lie lý thuyết biểu diễn đại số Lie lĩnh vực quan trọng tốn học tính đẹp đẽ ứng dụng rộng rãi tốn học khoa học khác Hiện có nhiều chuyên khảo kinh điển cơng cụ tính tốn mạnh mẽ hỗ trợ cho lý thuyết Trong báo gần ([6]), nhu cầu biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính thơng qua nghiệm phương trình bậc thấp hơn, thơng qua lý thuyết Galois vi phân, hai tác giả Nguyễn An Khương Marius van der Put dùng phần mềm trực tuyến LiE ([7]) để tính tốn thiết lập biểu diễn bất khả quy có chiều nhỏ 11 cho đại số Lie nửa đơn có chiều thấp Bảng kết lớn ta mở rộng lớp phương trình vi phân tuyến tính có nghiệm biểu diễn thơng qua nghiệm phương trình có bậc thấp Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống, chứng minh chi tiết kết biểu diễn đại số Lie nửa đơn, dùng phần mềm trực tuyến Lie để tính lại bảng kết nói cho đại số Lie nửa đơn có chiều thấp [7, Mục 1.2] Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn chia làm bốn chương Chương dành để trình bày số khái niệm, định lý đại số Lie dùng chương sau Trong Chương 2, chúng tơi trình bày lý thuyết cấu trúc đại số Lie nửa đơn Chương dành để mô tả biểu diễn đại số Lie nửa đơn Cuối cùng, Chương 4, sử dụng phần mềm trực tuyến LiE để tính lại biểu diễn bất khả quy có chiều khơng q 11 đại số Lie nửa đơn có chiều thấp [6] Luận văn hoàn thành trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn thầy Nguyễn An Khương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc thầy Thầy không cung cấp tài liệu quý giá, hướng dẫn, truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà thơng cảm, khuyến khích, động viên tác giả vượt qua khó khăn suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn, q thầy tận tình tham gia giảng dạy Lớp Cao học Tốn khóa XI, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Gia Lai, Phòng Giáo dục Trung học nơi tác giả công tác; Trường THPT Chu Văn An - Gia Lai nơi tác giả công tác Quý thầy, cô quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực kế hoạch học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, anh chị lớp Cao học Tốn khóa X, khóa XI Trường Đại học Quy Nhơn người thân gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên, khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều kết đạt luận văn khiêm tốn khó tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy Cô độc giả để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm, kết (hầu không chứng minh) dùng chương sau 1.1 Định nghĩa ví dụ đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường, charK = 2, Một đại số Lie g không gian vectơ hữu hạn chiều K trang bị ánh xạ song tuyến tính (được gọi ngoặc Lie ) [, ] : g × g −→ g với hai tính chất sau (i) [X, Y ] = −[Y, X] (tính đối xứng lệch), (ii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = (hệ thức Jacobi), với phần tử X, Y, Z ∈ g Ví dụ 1.1.2 Các khơng gian vectơ đại số Lie với ngoặc Lie xác định [A, B] = AB − BA, với A, B ma trận vuông cấp n (1) Đại số Lie tuyến tính tổng quát gln = {A ∈ M atn } (2) Đại số Lie tuyến tính đặc biệt sln = {A ∈ M atn |tr(A) = 0} (3) Đại số Lie trực giao on = A ∈ M atn |A + AT = (4) Đại số Lie unitary un = {A ∈ M atn |A + A∗ = 0}, (5) Đại số Lie unitary đặc biệt sun = {A ∈ un |tr(A) = 0} (6) Đại số Lie đối ngẫu spn = A ∈ M at2n |AT J + JA = , J = diag(J1 , J1 , , J1 ) với J1 = −1 Định nghĩa 1.1.3 Cho g đại số Lie {X1 , X2 , , Xn } sở (không gian vectơ) g Ánh xạ song tuyến tính [, ] hồn tồn xác định giá trị [Xi , Xj ] biết Các hệ số ckij quan hệ [Xi , Xj ] = ckij Xk gọi số cấu trúc g 1.2 Iđêan đồng cấu Định nghĩa 1.2.1 Một đại số Lie g khơng gian p g đóng kín với phép toán ngoặc Lie, tức [p, p] ⊂ p Nói cách khác, p đại số Lie với phép tốn tuyến tính phép tốn ngoặc Lie cảm sinh từ g Định nghĩa 1.2.2 Một đại số Lie p iđêan g [g, p] ⊂ p, tức X ∈ g Y ∈ p [X, Y ] ∈ p Nếu p iđêan g khơng gian vectơ thương g/p = {X + p|X ∈ g} với phép toán ngoặc [, ] cảm sinh g/p xác định đại số Lie gọi đại số Lie thương g p Định nghĩa 1.2.3 Cho g, g1 đại số Lie Một ánh xạ tuyến tính ϕ : g → g1 bảo tồn phép tốn ngoặc Lie, nghĩa ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )] gọi đồng cấu hai đại số Lie g, g1 Nếu g1 = g ϕ gọi tự đồng cấu Một đồng cấu gọi đẳng cấu song ánh Một đẳng cấu đại số Lie vào gọi tự đẳng cấu Hạt nhân đồng cấu ϕ : g → g1 tập hợp {X ∈ g|ϕ(X) = 0}, kí hiệu ker ϕ Mệnh đề 1.2.4 Cho g, g1 đại số Lie đồng cấu ϕ : g → g1 Khi đó, (i) Nếu q đại số Lie g1 ϕ−1 (q) đại số Lie g; (ii) Nếu q iđêan g1 ϕ−1 (q) iđêan g; (iii) Im ϕ đại số Lie g1 1.3 Biểu diễn đại số Lie Định nghĩa 1.3.1 Một biểu diễn đại số Lie g không gian vectơ V đồng cấu đại số Lie ϕ : g −→ gl(V ) Ta nói g tác động V V g-không gian V g-môđun Định nghĩa 1.3.2 Một biểu diễn ϕ gọi biểu diễn trung thành ker ϕ = 0, nghĩa ϕ(X) = ⇔ X = Đặc biệt, ker ϕ = q cảm sinh nên biểu diễn trung thành g/q cách tự nhiên Một biểu diễn tầm thường đại số Lie g biểu diễn g không gian chiều với tất phần tử g thành toán tử Định nghĩa 1.3.3 Cho ϕ1 , ϕ2 hai biểu diễn g không gian vectơ tương ứng V1 , V2 Một ánh xạ tuyến tính T : V1 → V2 gọi đẳng biến ϕ1 , ϕ2 thỏa mãn quan hệ T ◦ ϕ1 (X) = ϕ2 (X) ◦ T, ∀X ∈ g Nếu đẳng biến T đẳng cấu ta nói ϕ1 ϕ2 tương đương Khi đó, ϕ2 (X) = T ◦ ϕ1 (X) ◦ T −1 , ∀X ∈ g Thông thường ta cần quan tâm đến lớp tương đương biểu diễn Định nghĩa 1.3.4 Cho g tác động V qua ϕ Một không gian ổn định (hay không gian bất biến) W biểu diễn ϕ không gian V cho ϕ(X)(W ) ⊂ W, ∀X ∈ g Khi đó, có biểu diễn cảm sinh tự nhiên g không gian thương V /W , phép chiếu tắc V → V /W đẳng biến Định nghĩa 1.3.5 Biểu diễn ϕ g V gọi biểu diễn bất khả quy (hay gọi biểu diễn đơn) khơng có khơng gian bất biến không tầm thường (nghĩa khác V ) Biểu diễn ϕ g V gọi biểu diễn hoàn toàn khả quy (hay gọi biểu diễn nửa đơn) khơng gian bất biến V có không gian bù bất biến V Hay nói cách tương đương, biểu diễn ϕ g V gọi hoàn toàn khả quy phân tích thành tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy theo nghĩa Định nghĩa 1.3.6 Cho ϕ1 , ϕ2 hai biểu diễn g không gian tương ứng V1 , V2 Khi đó, tổng trực tiếp ϕ1 ⊕ ϕ2 : g −→ gl(V1 ⊕ V2 ) hai biểu diễn ϕ1 , ϕ2 biểu diễn V1 ⊕ V2 tích tensor ϕ1 ⊗ ϕ2 : g −→ gl(V1 ⊗ V2 ) hai biểu diễn ϕ1 , ϕ2 biểu diễn V1 ⊗ V2 xác định sau: ϕ1 ⊕ ϕ2 (X)(v1 , v2 ) = (ϕ1 (X)(v1 ), ϕ2 (X)(v2 )), ϕ1 ⊗ ϕ2 (X)(v1 , v2 ) = ϕ1 (X)(v1 ) ⊗ v2 + v1 ⊗ ϕ2 (X)(v2 )) Định nghĩa 1.3.7 Cho g đại số Lie Ánh xạ đạo hàm D : g → g g ánh xạ tuyến tính thỏa mãn D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ] Định nghĩa 1.3.8 Với X ∈ g, ta định nghĩa ánh xạ ad(X) : g −→ g Y −→ [X, Y] Định nghĩa 1.3.9 Cho g đại số Lie Tâm g iđêan {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g} = ker(ad: g →Endg) Kí hiệu C(g) Định nghĩa 1.3.10 Cho g đại số Lie Một dạng song tuyến tính đối xứng , : g × g → K gọi bất biến [X, Y ], Z = X, [Y, Z] Định nghĩa 1.3.11 Cho g đại số Lie Một dạng song tuyến tính đối xứng g xác định k(X, Y ) = tr(ad X ◦ ad Y ) gọi dạng Killing g Ta thường viết X, Y = tr(ad X ◦ ad Y ) 1.4 Tính giải tính lũy linh Định nghĩa 1.4.1 Cho g đại số Lie Đại số dẫn xuất g đại số Lie g(1) = [g, g] = [X, Y ] : X, Y ∈ g Định nghĩa 1.4.2 Cho g đại số Lie Chuỗi giảm g xác định g0 = g, gn = [gn−1 , g], có nghĩa g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], g] ⊇ 53 Z/T = Z/2 I d : dạng λ = 3.4.4 l fi ωi với f1 ≥ f2 ≥ ≥ fl ≥ Dl = o(2l, C) H1 = e1 − e2 , , Hl−1 = el−1 − el , Hl = el−1 + el λi = ω1 +ω2 +· · ·+ωi với i = 1, 2, , l−2, λl−1 = (ω1 +ω2 +· · ·+ωl−1 −ωl ) δ = (l − 1).ω1 + (l − 2).ω2 + · · · + ωl−1 ϕ1 = o(2l, C) = Λ1 , ϕ2 = ϕ1 = Λ2 , , ϕl−2 = ϕ1 = Λl−2 Thêm + có hai biểu diễn bất khả quy khơng hiển nhiên ϕl−1 = ∆− l , ϕl = ∆l gọi biểu diễn nửa spin âm dương, hai có số chiều 2l−1 T : H với tọa độ nguyên chí nguyên Z : H với tất tọa độ nguyên tất nửa nguyên Z/T = Z/4 với l lẻ Z/T = Z/2 ⊗ Z/2 với l chẵn 1 Điểm P = ( , , , ) đại diện cho phần tử sinh với l lẻ 1 1 P Q = ( , , , , − ) đại diện cho phần tử sinh hai Z/2Z với l chẵn I d : dạng λ = l f i ωi với f1 ≥ f2 ≥ ≥ fl ≥ 0, ∀fi nguyên tất fi nửa nguyên f1 ≥ f2 ≥ ≥ fl−1 ≥ |fl | 3.4.5 G2 H1 = (1, −1, 0), H2 = (−1, 2, −1) λ1 = ω1 − ω3 , λ2 = ω1 + ω2 (Chú ý ω1 + ω2 + ω3 = 0.) δ = 3ω1 + 2ω2 ϕ1 có số chiều 14 Nó biểu diễn liên hợp ϕ2 có số chiều Nó đồng G2 với đại số Lie phép lấy đạo hàm (đại số 8-chiều) số Cayley hay với phức hóa T : H = (a1 , a2 , a3 ) với tất nguyên a1 + a2 + a3 = Z=T Z/T = I d : dạng λ = f1 ≥ f2 , 2f2 ≥ fl + f3 l fi ωi với khác biệt fi nguyên cho 54 F4 3.4.6 H1 = e1 − e2 − e3 − e4 , H2 = 2e4 , H3 = e3 − e4 , H4 = e2 − e3 λ1 = ω1 , λ2 = 3(ω1 + ω2 + ω3 + ω4 ), λ3 = 2ω1 + ω2 + ω3 λ4 = ω1 + ω2 δ = (11ω1 + 5ω2 + 3ω3 + ω4 ) Dàn trung tâm Z: Các H với tọa độ nguyên chí nguyên T = Z Z/T tầm thường I d : dạng λ = l f i ωi với fi tất nguyên tất fi nửa nguyên với f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ f1 ≥ f2 + f3 + f4 3.4.7 E6 H1 = e1 − e2 , , H5 = e5 − e6 , H6 = (−e1 − e2 − e3 + 2e4 + 2e5 + 2e6 ) 1 λ1 = (4ω1 + ω2 + · · · + ω6 ), λ2 = (5ω1 + 5ω2 + 2ω3 + · · · + 2ω6 ), λ3 = 2(ω1 + ω2 + ω3 ) + ω4 + ω5 + ω6 , λ4 = (ω1 + · · · + ω4 )+ (ω5 + ω6 ), λ5 = (ω1 + · · · + ω5 )− ω6 , λ6 = ω1 + · · · + ω6 δ = 8ω1 + 7ω2 + 6ω3 + 5ω4 + 4ω5 + 3ω6 Dàn trung tâm Z: Các H với , i > tất nguyên tất ≡ mod tất ≡ mod Đối dàn T : Dàn Z với 4a1 + a2 + · · · + a6 ≡ mod Z/T = Z/3 Một biểu diễn phần tử sinh e1 I d : dạng λ = fi ωi với 3fi tất nguyên, tất fi − fj nguyên, f1 +f2 +f3 −2(f4 +f5 +f6 ) nguyên chia hết cho 3, f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ f5 ≥ f6 f1 + f2 + f3 ≤ 2(f4 + f5 + f6 ) 3.4.8 E7 H1 = e1 − e2 , , H6 = e6 − e7 , H7 = (−e1 − e2 − e3 − e4 + 2e5 + 2e6 + 2e7 ) λ1 = (3ω1 + ω2 + · · · + ω7 ), λ2 = 2(ω1 + ω2 ) + ω3 + · · · + ω7 , λ3 = (ω1 +ω2 +ω3 )+ (ω4 +· · ·+ω7 ), λ4 = 3(ω1 +· · ·+ω4 )+2(ω5 +· · ·+ω7 ), λ5 = 2(ω1 + · · · + ω5 ) + ω6 + ω7 , λ6 = ω1 + · · · + ω6 , λ7 = (ω1 + · · · + ω7 ) δ = (27ω1 + 25ω2 + 23ω3 + 21ω4 + 19ω5 + 17ω6 + 15ω7 ) 55 Dàn trung tâm Z: Các H với tất nguyên tất ≡ mod tất ≡ mod Đối dàn T : Dàn Z với 3a1 + a2 + + a7 ≡ mod Z/T = Z/2 Một biểu diễn phần tử sinh e1 I d : dạng λ = nguyên, fi ωi với fi tất nguyên tất nửa fi nguyên chia hết cho 3, f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ f4 ≥ f5 ≥ f6 ≥ f7 f1 + f2 + f3 + f4 ≤ 2(f4 + f5 + f6 ) 3.4.9 E8 H1 = e1 − e2 , , H7 = e7 − e8 , H8 = (−e1 − · · · − e5 + 2e6 + 2e7 + 2e8 − e9 ) λi = ω1 + · · · + ωi − iω9 với ≤ i ≤ 5, 10 λ6 = (ω1 + · · · + ω6 )− (ω7 + ω8 )− ω9 , λ7 = (ω1 + · · · + ω7 )− ω8 − ω9 , λ8 = (ω1 + · · · + ω8 )− ω9 δ = (19ω1 + 16ω2 + 13ω3 + 10ω4 + 7ω5 + 4ω6 + ω7 − 2ω8 − 68ω9 ) Dàn trung tâm Z: Các H với tất nguyên tất ≡ mod tất ≡ mod Đối dàn T = Z Z/T tầm thường I d : dạng fi ωi với fi tất nguyên tất fi ≡ mod tất fi ≡ mod 1, fi = 0, f1 ≥ f2 ≥ · · · ≥ f8 f6 + f7 + f8 ≥ 3.5 Biểu diễn trực giao đối ngẫu Mục đích phần để xác định biểu diễn đại số Lie nửa đơn Cho V khơng gian vectơ trường F có số chiều hữu hạn, g đại số Lie, ϕ biểu diễn g V Đặt B(V ) khơng gian vectơ hàm song tuyến tính b : V × V → F, gọi L∗ (V ) khơng gian vectơ ánh xạ tuyến tính b : V → V Liên kết với ϕ biểu diễn V , B(V ) L∗ (V ) Biểu diễn V đối ngẫu với ϕ, kí hiệu ϕ∆ Ta quan tâm đặc biệt đến dạng song tuyến tính ϕ-bất biến, nghĩa 56 phần tử b ∈ B(V ) thỏa mãn b(ϕ(X)v, w) + b(v, ϕ(X)w) = 0, ∀v, w ∈ V, X ∈ g Dưới đẳng cấu B(V ) L∗ (V ) chúng tương ứng với ánh xạ ϕ-đẳng biến từ V → V , nghĩa ánh xạ tuyến tính f : V → V thỏa mãn f ◦ ϕ(X) = ϕ(X)∆ ◦ f, ∀X ∈ g Định nghĩa 3.5.1 Biểu diễn ϕ đại số Lie g không gian V gọi tự đối ngẫu tương đương với đối ngẫu ϕ∆ Biểu diễn ϕ đại số Lie g không gian V gọi trực giao tồn dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến V bất biến ϕ(X) Biểu diễn ϕ đại số Lie g không gian V gọi đối ngẫu tồn dạng song tuyến tính khơng đối xứng khơng suy biến V bất biến ϕ(X) Mệnh đề 3.5.2 Cho V khơng gian vectơ trường C có số chiều hữu hạn Gọi ϕ biểu diễn g V bất khả quy Khi đó, (i) ϕ dạng song tuyến tính bất biến ϕ không suy biến 0; (ii) có nhiều dạng song tuyến tính bất biến khác 0; (iii) ϕ dạng song tuyến tính bất biến ϕ đối xứng phản đối xứng Chú ý 3.5.3 B(V ) ≈ V ⊗V với ∀(v, w) ∈ V × V ta có λ ⊗ µ(v, w) = λ(v).µ(w) Mệnh đề 3.5.4 Cho V khơng gian vectơ trường C có số chiều hữu hạn Gọi ϕ biểu diễn g V bất khả quy Khi đó, (i, ii) khơng gian bất biến ϕ∆ ⊗ ϕ∆ V ⊗ V có số chiều 1, ϕ tự đối ngẫu; (iii) tự đối ngẫu ϕ khác trực giao đối ngẫu ϕ trực giao lũy thừa bậc hai đối xứng S ϕ có bất biến (tức chứa biểu diễn tầm thường) ϕ đối ngẫu ϕ có bất biến 57 Chứng minh Ta xét dạng song tuyến tính bất biến ánh xạ đẳng biến từ V vào V Vì ϕ∆ bất khả quy V nên theo Bổ đề Schur ta có khẳng định (i) Nếu b1 b2 hai dạng song tuyến tính bất biến với số k thích hợp dạng b1 − kb2 suy biến bất biến Áp dụng (i) ta khẳng định (ii) Một dạng song tuyến tính b tổng dạng đối xứng dạng phản đối xứng 1 b(v, w) = (b(v, w) + b(w, v)) + (b(v, w) − b(w, v)) 2 Nói cách khác, ta có phân tích bất biến V ⊗ V = S 2V + V Nếu b bất biến dạng đối xứng phản đối xứng bất biến Áp dụng (ii) ta có khẳng định (iii) Mệnh đề 3.5.5 (i) Nếu ϕ trực giao (tương ứng đối ngẫu) đối ngẫu ϕ∆ trực giao (tương ứng đối ngẫu), tích ngồi r ϕ thứ r trực giao (tương ứng đối ngẫu) với r lẻ trực giao với r chẵn; (ii) tổng trực tiếp hai biểu diễn trực giao (tương ứng đối ngẫu) biểu diễn trực giao (tương ứng đối ngẫu); (iii) tích tensor hai biểu diễn trực giao hai biểu diễn đối ngẫu biểu diễn trực giao; (iv) tích tensor biểu diễn trực giao biểu diễn đối ngẫu biểu diễn đối ngẫu Bổ đề 3.5.6 Giả sử biểu diễn ϕ g V tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy không gian Vi ϕ1 V1 không đối ngẫu biểu diễn ϕi , i > Khi đó, ϕ trực giao (tương ứng đối ngẫu) ϕ1 Chứng minh Trước tiên, ϕ∆ V tổng trực tiếp ϕ∆ i Vi Khi đó, đẳng cấu đẳng biến b : V → V sinh ánh xạ tương tự b1 : V1 → V1 giả thuyết ϕ1 làm cho ϕ1 -tự đối ngẫu Nếu đối ngẫu b ±b đối ngẫu b1 ±b1 Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.5.7 Với λ trọng trội cho trước Biểu diễn bất khả quy ϕλ liên kết với λ tự đối ngẫu trọng nhỏ −λ Nói cách 58 khác, biểu diễn bất khả quy ϕλ tự đối ngẫu đối lập biến λ thành −λ Chứng minh Từ định nghĩa đối ngẫu ϕ∆ (X) = −ϕ(X) chứng tỏ trọng ϕ∆ phủ định trọng ϕλ Do đó, λ∆ trọng cực hạn cực đại ϕ∆ λ phủ định trọng cực tiểu ϕλ Ta viết λ = fi ωi Định lý sau mô tả kết nghiên cứu Định lý 3.5.8 (a) Al : ϕλ tự đối ngẫu f1 = f2 + fl = f3 + fl−1 = (một cách tương đương n1 = nl , n2 = nl−1 , ) Nó đối ngẫu l ≡ mod f1 lẻ, trực giao trường hợp lại; (b) Bl : ϕλ ln tự đối ngẫu Nó đối ngẫu l ≡ mod l ≡ mod fi nửa nguyên (với nl lẻ) trực giao trường hợp lại; (c) Cl : ϕλ ln tự đối ngẫu Nó đối ngẫu fi lẻ (tức n1 + n3 + n5 + · · · lẻ) trực giao trường hợp lại; (d) Dl : ϕλ tự đối ngẫu l lẻ l chẵn fl = (nếu nl−1 = nl ) Nó đối ngẫu l ≡ mod fi nửa nguyên (nếu nl−1 + nl lẻ) trực giao trường hợp lại; (e) G2 : ϕλ tự đối ngẫu trực giao với λ; (f ) F4 : ϕλ tự đối ngẫu trực giao với λ; (g) E6 : ϕλ tự đối ngẫu fi = f1 + f6 = f2 + f4 = f3 + f4 (nếu n1 = n5 n2 = n4 ) Nó trực giao (nếu fi nguyên); (h) E7 : ϕλ tự đối ngẫu Nó trực giao fi nguyên (nếu n1 +n3 +n7 chẵn), đối ngẫu trường hợp lại; (i) E8 : ϕλ ln tự đối ngẫu trực giao Định nghĩa 3.5.9 (Đại số Lie 3-chiều.) Cho g đại số Lie đề cập đầu chương Vì nghiệm α1 , , αl sở h0 tồn phần tử Hp ∈ h0 cho αi (Hp ) = 2, ≤ i ≥ l Ta viết 59 Hp = pi Hi , chọn số ci , c−i cho ci c−i = pi Xp = X−p = c−i Hi Sử dụng quan hệ ci Hi , [HXi ] = αi (H)X−i , [Xi X−i ] = Hi , [Xi X−j ] = với i = j ta thử lại [Hp Xp ] = 2Xp , [Hp X−p ] = −2X−p , [Xp X−p ] = Hp Đại số Lie g gp sinh Hp , Xp , X−p hiển nhiên loại A1 gp gọi đại số Lie 3-chiều, viết tắt P T D P T D có đại số Cartan CHp Hệ nghiệm bao gồm ±αp xác định αp (Hp ) = Một biểu diễn ϕ∼ gp hạn chế biểu diễn ϕ g Vì Hp ∈ h nên trọng ρ∼ ϕ∼ hạn chế trọng ρ ϕ tất trọng ϕ∼ xuất theo cách Nói chung, ϕ∼ không bất khả quy ta tách thành tổng biểu diễn bất khả quy gp tức tách thành Ds Bổ đề 3.5.10 Cho ϕ = ϕλ biểu diễn bất khả quy g với trọng cực hạn λ Khi đó, (i) λ∼ trọng cực đại ϕ∼ có bội 1; (ii) tách ϕ∼ thành biểu diễn Ds với 2s = λ(Hp ) xảy lần Chứng minh (i) Các trọng ϕ khác với λ có dạng ρ = λ− với số nguyên không âm ki ρ(Hp ) = λ(Hp ) − ki αi ki > Do đó, từ αp (Hp ) = ta có ki < λ(Hp ) Vì λ có bội ϕ nên suy (i) (ii) Kết (ii) hệ (i) Ds giá trị riêng lớn H xác 2s Mệnh đề 3.5.11 Giả sử ϕλ tự đối ngẫu Khi đó, (i) ϕλ trực giao λ(Hp ) lẻ; (ii) ϕλ đối ngẫu λ(Hp ) chẵn ∼ Chứng minh Rõ ràng ϕ∼ λ trực giao ϕλ trực giao ϕλ đối ngẫu ϕλ đối ngẫu Ta áp dụng Bổ đề 3.5.6 ϕ∼ λ tách Ds Vì thành phần đầu xảy lần Bổ đề 3.5.10 nên suy từ Bổ đề 3.5.6 thành phần đầu trực giao ϕ∼ λ trực giao 60 ∼ đối ngẫu ϕ∼ λ đối ngẫu Mặt khác ϕλ λ(Hp ) chẵn đối ngẫu λ(Hp ) lẻ Định lý 3.5.12 Một nhóm compact G GL(n, C) liên hợp GL(n, C) với nhóm nhóm trực giao thực O(n)) [nhóm đối ngẫu n unita Sp( ) với n chẵn] để lại bất biến dạng song tuyến tính đối xứng [đối xứng lệch] không suy biến Cn Chứng minh Ta bắt đầu việc tìm dạng Hermite xác định dương , Cn bất biến G Sự tồn điều tiêu chuẩn thực tế Một chứng minh vắn tắt L Auerbach sau: Cho G tác động không gian vectơ gồm tất dạng Hermite (theo công thức thông thường g.h(v, w) = h(g −1 v, g −1 w)) Gọi C thay cho bao lồi tập G-biến đổi số dạng xác định dương chọn, C tập compact bao gồm toàn dạng xác định dương bất biến G Bây giờ, gọi b dạng đối xứng [tương ứng lệch] định lý Phương trình b(v, w) = Av, w xác định tự đẳng cấu liên hợp tuyến tính A Cn A tự liên hợp [tương ứng liên hợp không đối xứng] dạng xác định dương Re , CnR = R2 n Trong trường hợp đối xứng, Aiv = −iAv có nhiều giá trị dương giá trị âm nên giá trị riêng A số thực Gọi W không gian thực sinh vectơ riêng ứng với giá trị riêng dương, W có số chiều n dạng thực Cn Nhóm G để lại W bất biến Ta biến đổi G vào O(n) cách lấy sở trực chuẩn W Re , biến thành sở trực chuẩn thông thường Rn Trường hợp khơng đối xứng, A2 tốn tử đối xứng R2n có giá trị riêng âm Ta điều chỉnh A nhân tố thực không gian riêng A2 cho A2 = −id Với vectơ đơn vị v ta có Av, v = b(Av, v) = −1 Không gian ((v, Av)) phần bù , -trực giao hai A-ổn định Bằng quy nạp suy n chẵn có sở trực chuẩn {v1 , v2 , , } Cn với b(v1 , v2 ) = b(v3 , v4 ) = = −1 tất trường hợp khác b(vi , vj ) = Biến vi thành vectơ sở thông thường Cn biến đổi G thành nhóm Sp( n2 ) 61 Từ kết ta suy rằng: Tất biểu diễn Spin(n) với n ≡ ±1 mod n ≡ ±0 mod 8, SO(n) với n ≡ mod nhóm compact G2 , F4 , E8 biến đổi thành dạng compact thực Ta ý: biểu diễn xoắn ∆l Bl trực giao với l ≡ mod l ≡ mod ∆l đối ngẫu l ≡ mod l ≡ mod Biểu diễn ± nửa xoắn ∆± l Dl trực giao với l ≡ mod ∆l đối ngẫu với l ≡ mod không tự đối ngẫu với l lẻ 62 Chương BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN CÓ CHIỀU THẤP Trong Mục 4.2 đây, chúng tơi trình bày danh sách biểu diễn bất khả quy V, dim V = d đại số Lie nửa đơn, với việc phân tích biểu diễn Λ2 V sym2 V Chúng sử dụng phần mềm trực tuyến LiE [7] để tính tốn kết Do chúng tơi sử dụng kí hiệu dùng chương trình chương Ta làm sau Sau chọn d nghiệm đơn α1 , , αd , biểu đồ Dynkin (với cách gán nhãn tự nhiên đỉnh nghiệm này), trọng ω1 , , ωd hồn tồn xác định Khi ta kí hiệu biểu diễn bất khả quy tương ứng với trọng n1 ω1 + · · · + nd ωd [n1 , , nd ] Đặc biệt, [0, , 0] biểu diễn tầm thường 1-chiều Trước hết, ta tính tốn cho sl2 , trường hợp khác ta làm tương tự 4.1 Biểu diễn bất khả quy sl2 Trong mục này, ta tính tốn tường minh biểu diễn bất khả quy đại số Lie A1 = sl2 Có hai nhóm Lie (đại số) liên thơng nhận sl2 làm đại số Lie chúng Đó SL2 PSL2 Với nhóm Lie thứ nhất, SL2 biểu diễn tự nhiên W cảm sinh biểu diễn tự nhiên sl2 ta biết tất biểu diễn khác sl2 sinh từ biểu diễn tự nhiên W qua phép tốn đại số tuyến tính tích tensor, tích ngồi, hàm tử Hom, phép lấy đối ngẫu Nhóm Lie PSL2 có biểu diễn bất khả quy {[2n] | n ≥ 0} Các biểu diễn cảm sinh cách tự nhiên nên biểu diễn sl2 tất biểu diễn khác sl2 sinh từ biểu diễn dạng qua phép tốn 63 đại số tuyến tính nói Chẳng hạn, ta thu biểu diễn [2] từ biểu diễn [2n] với n > Thật vậy, ta có Λ2 [2n] = ⊕nk=1 [4k − 2] Tương tự, xét biểu diễn [2n+1] với n > Khi ta có sym2 [2n+1] = ⊕n+1 k=1 [4k −2] ta thu biểu diễn [2] Hơn nữa, từ [2] ⊗ [2k + 1] = [2k − 1] ⊕ [2k + 1] ⊕ [2k + 3] ta thu biểu diễn [2k − 1] Theo cách này, biểu diễn [1] có từ biểu diễn [2n + 1] qua phép toán đại số tuyến tính Các cơng thức tính tốn sử dụng suy từ tính chất tích tensor 4.2 A table of irreducible representations Đối với đại số Lie sln với n > ta bỏ qua phép lấy đối ngẫu biểu diễn Hơn nữa, ta bỏ qua phép lấy tích đối xứng Để phân biệt biểu diễn khác nhau, ta phân tích chúng qua lũy thừa bậc hai đối xứng (sym2 ) lũy thừa bậc hai tích ngồi (Λ2 ) Ta tính tốn biểu diễn mà chúng biểu diễn qua biểu diễn có chiều thấp Kết cho Bảng 4.1 Đối với biểu diễn có chiều từ − 11, ta tính tốn để thu biểu diễn sau • sl3 with [1, 1] (dim 8), with [3, 0] (dim 10); • sl4 with [2, 0, 0] (dim 10); • sl5 with [0, 1, 0, 0] (dim 10); • so7 with [0, 0, 1] (dim 8); • sp4 with [2, 0] (dim 10); sl2 ì sl2 with [1] ⊗ [3] (dim 8), with [2] ⊗ [2] (dim 9), with [1] [4] (dim 10); sl2 ì sl3 with [2] ⊗ [1, 0] (dim 9); 64 • sl2 × sl4 with [1] ⊗ [1, 0, 0] (dim 8); sl2 ì sp4 with [1] [1, 0] (dim 8), with [1] ⊗ [0, 1] (dim 10); • sl2 × sl5 with [1] ⊗ [1, 0, 0, 0] (dim 10); sl3 ì sl3 with [1, 0] [1, 0] (dim 9); sl2 ì sl2 ì sl2 with [1] ⊗ [1] ⊗ [1] (dim 8) 65 Biểu diễn Λ2 sym2 sl2 [1] [0] [2] sl2 [2] [2] [4], [0] sl3 [1, 0] [0, 1] [2, 0] sl2 [3] [4], [0] [6], [2] sl4 [1, 0, 0] [0, 1, 0] [2, 0, 0] sp4 [1, 0] [0, 1], [0, 0] [2, 0] sl2 × sl2 [1] ⊗ [1] [0] ⊗ [2], [2] ⊗ [0] [0] ⊗ [0], [2] ⊗ [2] sl2 [4] [6], [2] [8], [4], [0] sp4 [0, 1] [2, 0] [0, 2], [0, 0] sl5 [1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0] [2, 0, 0, 0] sl2 [5] [8], [4], [0] [10], [6], [2] sl3 [2, 0] [2, 1] [4, 0], [0, 2] sl4 [0, 1, 0] [1, 0, 1] [0, 2, 0], [0, 0, 0] sl6 [1, 0, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] [2, 0, 0, 0, 0] sp6 [1, 0, 0] [0, 1, 0], [0, 0, 0] [2, 0, 0] sl2 × sl2 [1] ⊗ [2] [0] ⊗ [0], [0] ⊗ [4], [2] ⊗ [2] [0]⊗[2], [2]⊗[0], [2]⊗[4] sl2 × sl3 [1] ⊗ [1, 0] [0] ⊗ [2, 0], [2] ⊗ [0, 1] [0] ⊗ [0, 1], [2] ⊗ [2, 0] d Đại số Lie Bảng 4.1: Các biểu diễn bất khả quy có chiều d ≤ 66 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu trình bày số vấn đề sau Trình bày chi tiết biểu diễn sl2 , mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy sl2 theo trọng hệ nghiệm Trình bày chi tiết lý thuyết cấu trúc đại số Lie nửa đơn Trình bày chi tiết lý thuyết biểu diễn bất khả quy đại số Lie nửa đơn theo trọng vectơ trọng, phân loại đại số Lie nửa đơn Sử dụng phần mềm trực tuyến Lie để tính tốn lại lập nên bảng kết liệt kê biểu diễn bất khả quy có chiều khơng q 11 cho số đại số Lie nửa đơn có chiều thấp 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W Fulton and J Harris Representation Theory: A First Course Springer, 1991 [2] I Grojnowski Introduction to Lie Algebras and Their Representations Online Lecture Notes, University of Cambridge, 2010 [3] B C Hall Lie Groups, Lie Algebras and Representation Springer, 2003 [4] J E Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Springer, 1980 [5] N Jacobson Lie Algebras Dover Publications, 1962 [6] K.A Nguyen and M van der Put Sloving Linear Differential Equations Pure Appl Math Q Vol 6, No 1, 173-208, 2010 [7] A M Cohen et al LiE Online Service Website http://www-math.univ-poitiers.fr/∼maavl/LiE/ [8] H Samelson Notes on Lie Algebras Springer, 2nd edition, 1990 [9] J-P Serre Complex Semi-simple Lie Algebras Springer, 1987 [10] J-P Serre Lie Algebras and Lie Groups Springer, 1992 ... Biểu diễn ϕ g V gọi biểu diễn bất khả quy (hay gọi biểu diễn đơn) khơng có khơng gian bất biến khơng tầm thường (nghĩa khác V ) Biểu diễn ϕ g V gọi biểu diễn hoàn toàn khả quy (hay gọi biểu diễn. .. Cho g, g1 đại số Lie đồng cấu ϕ : g → g1 Khi đó, (i) Nếu q đại số Lie g1 ϕ−1 (q) đại số Lie g; (ii) Nếu q iđêan g1 ϕ−1 (q) iđêan g; (iii) Im ϕ đại số Lie g1 1.3 Biểu diễn đại số Lie Định nghĩa... khả quy A1 ) Mọi biểu diễn A1 tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy Chứng minh Trước tiên, ta xét biểu diễn không gian vectơ V với không gian V bất biến bất khả quy tác động cảm sinh bất khả quy