Biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng SU(2) biến dạng (LV01751)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== TRẦN THỊ ÁNH TUYẾT BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2) BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hƣớng dẫn cô suốt trình học tập đến hoàn thành luận văn Chính quan tâm tận tình bảo cô tạo động lực cho em thêm niềm tin, cố gắng để thực luận văn mong muốn có phát triển Em xin chân trọng cảm ơn ban chủ nhiêm khoa, thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí - Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, quan tâm bảo em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh bên suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Trần Thị Ánh Tuyết LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Những vấn đề trình bày luận văn tìm hiểu riêng không trùng lặp với luận văn khác Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Trần Thị Ánh Tuyết MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Những đóng góp đề tài CHƢƠNG BIỂU DIỄN CỦA NHÓM 1.1 Biểu diễn nhóm [3] 1.2 Biểu diễn khả quy nhóm [3] 1.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm [3] KẾT LUẬN CHƢƠNG 13 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) 14 2.1 Biểu diễn nhóm SU(2) [5, 6] 14 2.1.1 Nhóm SU(2) 14 2.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2) 15 2.2 Biểu diễn khả quy nhóm SU(2) [5, 6] 16 2.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2) [5, 6] 18 KẾT LUẬN CHƢƠNG 21 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG 22 3.1 Biểu diễn nhóm SU(2)q [4] 22 3.1.1 Nhóm SU(2)q 22 3.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2)q 22 3.1.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2)q 24 3.2 Biểu diễn nhóm SUp,q(2) [4] 26 3.2.1 Nhóm SUp,q(2) 26 3.2.2 Biểu diễn nhóm SUp,q(2) 27 3.2.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SUp,q(2) 28 KẾT LUẬN CHUNG 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu hệ vật lý, ta thƣờng gặp tính chất đối xứng chúng Đối xứng đóng vai trò quan trọng vật lý đại Đối xứng chuẩn dẫn đến lý thuyết trƣờng chuẩn, tính đối xứng không gian thời gian hệ quy chiếu quán tính, tính đối xứng cấu trúc vật chất: tinh thể, phân tử, hạt Các tính đối xứng kể đƣợc tính toán ngôn ngữ môn toán học lý thuyết nhóm Và số mặt vấn đề giải lý thuyết nhóm đặc biệt lý thuyết biểu diễn nhóm Các tính đối xứng tƣơng ứng với phép biến đổi đối xứng liên quan đến khái niệm nhóm Các lý thuyết chuẩn đƣợc xây dựng sở nhóm chuẩn U(1), SU(2) SU(3) đƣợc mô tả thành công tƣơng tác điện từ, yếu mạnh hạt Sau phát triển mẫu quark lý thuyết Gauge không abelian tƣơng tác mạnh tƣơng tác điện yếu hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành công cụ chủ yếu vật lý lí thuyết đại nhƣ giải tính phức, phƣơng trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn… Nhóm lƣợng tử mở rộng nhóm Lie xâm nhập vào nhiều lĩnh vực vật lý Phát minh Macfarlane Biedenham thực hiện, đại số lƣợng tử SUq(2) thuật ngữ q dao động tử điều hòa làm nảy sinh việc áp dụng đối xứng lƣợng tử vấn đề thực vật lý Nhìn vào lịch sử vật lý ta thấy nhà vật lý nhiều lần biến dạng (deform) quy luật vật lý Lý thuyết (đã biến dạng) tổng quát chứa lý thuyết ban đầu nhƣ trƣờng hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị đặc biệt Nhóm lƣợng tử nhóm đối xứng lƣợng tử đƣa lý thuyết thoát khỏi phạm vi nhóm cổ điển, điều dẫn đến nhiều thống kê với hạt đƣợc đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q- biến dạng (hạt quon), thống kê para (parafermion, paraboson ….) Nhóm lƣợng tử đối xứng lƣợng tử đƣa đến phát triển lý thuyết trƣờng lƣợng tử, lý thuyết hạt bản, vũ trụ học Trong luận văn nghiên cứu biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng lƣợng tử, biểu diễn khả quy bất khả quy nhóm Lie, nhóm đối xứng SU(2)q, SU(2)p,q Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu biểu diễn bất khả quy số nhóm đối xứng lƣợng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng lƣợng tử SU(2), SU(2)q, SU(2)p,q Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Nghiên cứu biểu diễn khả quy bất khả quy số nhóm đối xứng lƣợng tử Nghiên cứu biểu diễn khả quy bất khả quy nhóm đối xứng lƣợng tử SU(2)q , SU(2)p,q Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu VLLT - VLT Các phƣơng pháp nhóm đối xứng lƣợng tử Những đóng góp đề tài Nghiên cứu viết tổng quan biểu diễn khả quy bất khả quy nhóm Lie, nhóm đối xứng SU(2)q, SU(2)p,q Cung cấp tài liệu tham khảo số biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng lƣợng tử CHƢƠNG BIỂU DIỄN CỦA NHÓM 1.1 Biểu diễn nhóm [3] Cho biểu diễn T nhóm G không gian tuyến tính L nghĩa ứng với phần tử g nhóm G ta làm tƣơng ứng toán tử T(g) không gian L cho T  g1  T  g2   T  g1 g2  (1.1) Thứ nguyên không gian L gọi thứ nguyên biểu diễn Một nhóm có biểu diễn hữu hạn chiều nhƣ biểu diễn vô hạn chiều Ví dụ 1: Xét nhóm tịnh tiến không gian dọc theo trục z phần tử tg phép tịnh tiến chiều Gọi L không gian chiều T toán tử nhân với eikz Nếu chọn tƣơng ứng z  T  z   eikz (1.2) T  z1   eikz1 T  z2   eikz2 T  z1 z2   eik  z1  z2  (1.3) z1 z2  z1  z2 Tƣơng ứng z  T  z  đồng cấu nên T  z  biểu diễn nhóm tịnh tiến Ví dụ 2: Xét hạt có lƣợng E nằm trƣờng U  r  trạng thái đƣợc biểu diễn hàm số sóng   r  thỏa mãn phƣơng trình Schodinger   r   2m  E  U  r   r   (1.4) Xét trƣờng hợp E < ứng với giá trị E cho phƣơng trình tìm đƣợc nghiệm  (r), (r), (r) , n (r) nghiệm độc lập tuyến tính Nghiệm tổng quát phƣơng trình:  (r)  c1 (r)  c2  (r)   cn  n (r) (1.5) Nghiệm tổng quát đƣợc coi véc tơ trƣờng không gian n chiều có véc tơ sở  (r), (r), (r) , n (r) không gian gọi LE Xét nghiệm G bao gồm phần tử g G tập hợp phép quay quay gƣơng không gian mà không làm thay đổi giá trị trƣờng U nghĩa U (gr)  U(r) lúc trƣờng phải có tính chất đối xứng G nhóm quay Biểu diễn nhóm G không gian LE: ứng với phần tử g làm tƣơng ứng với toán tử Tg Toán tử Tg không gian LE Muốn cho Tg biểu diễn G phải thỏa mãn: T (g1 ) T(g )  T(g1 g2 ) (1.6) g  T  g  mà T (g) (r)   (g 1 r) (1.7) Ta chứng minh :  (g 1r) véc tơ không gian LE T (g) phải thỏa mãn tính chất đồng cấu  (g 1 r) nằm không gian LE phải nghiệm phƣơng trình Schodingger:  (g 1 r)  2m  E  U (g 1r)  (g 1r)  U (g 1 r)  U(gg 1 r)  U(r) (1.8) (1.9)  (g 1 r) nghiệm phƣơng trình Schodingger T (g) thỏa mãn tính chất đồng cấu: T (g2 ) (r)   (g 21 r)   (r) (1.10) T (g1 ) T(g ) (r)  T(g 1) (r)   (g11r)   (g 21g11r) (1.11) T (g1g ) (r)   ((g1g )1 r)   (g 21g11r) (1.12) Vậy T (g) biểu diễn nhóm G không gian hàm số sóng 1.2 Biểu diễn khả quy nhóm [3] Biểu diễn T nhóm G tác dụng không gian L gọi khả quy ( hay không tối giản ) L tồn không gian L1 không vô vị bất biến tất toán tử T(g) T(g) x1 = y1 x1 , y1  L1 (1.13) Nếu L không tồn L1 nhƣ T(g) đƣợc gọi biểu diễn tối giản ( biểu diễn bất khả quy) đƣợc ký hiệu T(g) Nếu T biểu diễn khả quy nhóm G tác dụng không gian L L1 không gian thực L Trong L1 xây dựng biểu diễn T1(g) mà T1(g) x1 = T(g) x1 thảo mãn với x1 thuộc L1 biểu diễn G tác dụng không gian L1, T(g) biểu diễn G tác dụng không gian L ( T(g) cảm ứng không gian L1 cho T1(g)) Nếu T(g) Unita T1(g) Unita Nếu L1 tồn không gian không vô vị T1(g) biểu diễn khả quy Cho T biểu diễn khả quy Unita nhóm G không gian L L1 không gian bất biến phần phụ trực giao với L1 không gian L2 bất biến Không gian L: L = L1 + L2 +… (1.14) Gọi x vec tơ L1 Gọi y vec tơ L2 Gọi X vec tơ L T(g) cảm ứng L1 cho T1(g) T(g) cảm ứng L2 cho T2(g) Nếu X = x + y T(g)X = T1(g)x + T2(g)y (1.15) 18 J3 n     a1 a1  a2a2  n1 , n2  n1  n2  n1 , n2 (2.24) Nhƣ ta biểu diễn đại số SU(2) qua toán tử Boson, biểu thức (2.16) véc tơ không gian Hilbert biểu diễn 2.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2) [5, 6] Để đƣa biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2), ta xét từ không gian biểu diễn (2.9) tìm không gian bất khả quy Xét toán tử Casimir: C  J12  J 22  J 32 Đặt J   N1  N   a1 a1  a2 a2   (2.25) Ta có: C = J(J + 1) (2.26) Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Casimir có giá trị xác định từ dạng (2.26) C ta đặc trƣng cho biểu diễn SU(2) giá trị riêng toán tử J mà ta ký hiệu j Theo định nghĩa Ni từ (2.25) ta có j  n1  n2  (2.27) Ta thấy j số nguyên bán nguyên, không âm Để xác định véc tơ riêng không gian không gian Hilbert (1.26), biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2) ta nhận xét biểu diễn đƣợc xác định hai giá trị riêng (do không gian chung đƣợc xác định hai số n1, n2) Ta nhận xét toán tử J3 giao hoán với J tức có giá trị 19 riêng xác định Ta ký hiệu trị riêng m từ định nghĩa J (1.14) ta có: m  n1  n2  (2.28) Vậy biểu diễn bất khả quy SU(2) không gian véc tơ sở (2.12) đặc trƣng j m liên hệ với n1 , n2 nhƣ sau : n1  j  m (2.29) n2  j  m Từ không gian véc tơ sở biểu diễn bất khả quy là: a  a   j, m  j m  j m  j  m ! j  m ! (2.30) Từ (2.17) (2.18) ta thấy với j xác định m lấy 2j + giá trị: m =j, j - 1, …., -j + 1, -j (2.31) không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + chiều ta có:  a  j, m  a a  j, m  a  j m  j m  j  m ! j  m ! (2.32) a  a   j m  j m  j  m ! j  m ! (2.33) 1 j  m 1 j  , m  2 a1 j , m  a1   1 j  m 1 j  , m  2   a  a  a  a   j m  j m  j  m ! j  m ! 1 j  m j  ,m  2 (2.34) 20 a  a  j m  a2 j , m  a2  j m  j  m ! j  m ! 1 j  m j  ,m  2  Từ ta tính đƣợc: 1 a1 a1 j , m  a1 j  m j  , m  2   j  ma a   j  m 1 a   j m  j  m  1! j  m ! (2.35)   j  m  j, m Hay: N1 j, m  n1 j, m (2.36) Và: 1 a2 a2 j, m  a2 j  m j  , m  2   j  ma a  a   j m  (2.37) j  m 1  j  m ! j  m  1!   j  m  j, m Hay : N2 j, m  n2 j, m (2.38) Ta có :  N1  N2  (2.39) J j, m  m j, m (2.40) J3  Nên : Nên đặt : J   J1  iJ  a1 a2 21 J   J1 -iJ  a2 a1 (2.41) Thì : J  j, m   j  m  1 j  m  j, m  J  j, m   j  m  1 j  m  j, m 1 (2.42) KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng trình bày biểu diễn khả quy bất khả quy nhóm SU(2): Đƣa biểu diễn dao động đại số SU(2) không gian Hilbert từ tách thành không gian véc tơ sở biểu diễn bất khả quy SU(2) 22 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG 3.1 Biểu diễn nhóm SU(2)q [4] 3.1.1 Nhóm SU(2)q Nhóm lƣợng tử SU(2)q toán tử liên hợp J1, J2 , J3 đƣợc mô tả hệ thức: [J1, J2 ] = i [ 2J3 ]q (3.1) [J1, J3 ] = -iJ2 (3.2) [J2, J3] = iJ1 (3.3) Hay: i [J+,J-] = [ 2J3 ]q (3.4)  J3 , J     J  (3.5) q x  q x  xq  1 q q (3.6) đƣa vào kí hiệu : Đại số bến dạng đại số SU(2) đƣợc đặc trƣng thông số biến dạng q Trong trƣờng hợp giới hạn q   xq  x đại số (3.6) trở đại số SU(2) thông thƣờng 3.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2)q Để tìm biểu diễn nhóm SU(2)q ta xây dựng dao động tử điều hòa biến dạng q có hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy dao động tử nhƣ sau:   a j   q 1  1  ij  a j   ijq  Ni  , a j    ai , a j   (3.7) 23 Với i, j = 1,2 Ni toán tử số dao động tử mode i thỏa mãn hệ thức: ai   Ni q (3.8) ai   Ni  1q Và:  Ni , a j   a j y, (3.9)  Ni , a j   a j  y, Không gian Hilbert với sở véc tơ trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử Ni Ni n n q q  ni n  n1 , n2 (3.10) q q Trong không gian biểu diễn với véc tơ trạng thái riêng n q toán tử số dao động tử N xây dựng từ toán tử a , a nhƣ sau : n q  n1 , n2 a  a    n1 q  n2  n1 q ! n2 q ! (3.11) Ta tác dụng toán tử a, a+ lên véc tơ trạng thái n q ta đƣợc: a1 n1 , n2 q a1 n1 , n2 q a2 n1 , n2 q a2 n1 , n2 q  n1 q  n1 1 , n2  n1  1q  n1  1 , n2  n2 q  n2  1q n1 ,  n2  1 (3.12) q q (3.14) q n1 ,  n2  1 (3.13) q (3.15) Ta tác dụng vi tử J1, J2, J3 hệ thức (2,11) lên véc tơ trạng thái n q ta đƣợc: J1 n  q    a1 a2  a2 a1  n  n 1 q q  n2 q   n1  1 ,  n2  1 q  n1 q  n2  1q  n1  1 ,  n2  1 q (3.16) 24 J2 n     a1 a2  a2 a1  n  n 1 J3 n  q q m n q  n2 q   n1  1 ,  n2  1 q  n2  1q n1 q  n1 1 ,  n2  1 q q (3.17) q  n1  n2  n (3.18) q 3.1.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2)q Biểu diễn bất khả quy đại số lƣợng tử SUq(2) thu đƣợc tử trạng thái (3.11) với n1 = (j+m) n2 = (j-m) Từ không gian với véc tơ sở biểu diễn bất khả quy là: j, m q  j  m, j  m q   a1   a2   j  mq ! j  mq ! j m j m (3.19) Trong đó:  n1  n2  m   n1  n2  j (3.20) Nhƣ vậy, với giá trị j xác định m có 2j + giá trị nhƣ sau: m = j, j-1, ……, -j+1, -j toán tử , ai  i  1, 2 tác dụng không gian nhƣ sau: a1 j , m a1 j , m q q a2 j , m q a2 j , m q 1 j  ,m  2   j  mq   j  m  1q 1 j  ,m  2 1 j  ,m  2   j  mq   j  m  1q 1 j  ,m  2 (3.21) 25 Đại số lƣợng tử SU(2)q biến dạng q đại số SU(2) đƣợc xây dựng ba toán tử liên hợp J1, J2, J3 biểu diễn theo toán tử hủy sinh dao động nhƣ sau:  a1 a2  a2 a1   J   a1 a2  a2 a1  2i J   N1  N  J1  (3.22) Hoặc để thuận tiện, thong thƣờng ngƣời ta sử dụng vi tử tổ hợp vi tử E  J   J1  iJ  a1 a2 E  J   J1 -iJ  a2 a1 (3.23) H  J  N1  N Dựa vào hệ thức (3.27) chứng minh đƣợc đại số SU(2)q đóng kín nhƣ sau:  J  , J     J q  J3 , J     J  (3.24) Hoặc đại số lƣợng tử SUq(2) có dạng :  E , F    H q  H, F   E  H, F   2 F (3.25) Những vi tử J  , J  , J đại số SU(2)q đƣợc biểu diễn qua a1, a2 liên hợp chúng a , a nhƣ sau:  a a 2 J  J  (3.26)  a2 a1  J  N N 2 (3.27)  (3.28) 26 Các đại số lƣợng tử SUq(2) (3.24), (3.25) có dạng đại số SU(2) thông thƣờng trƣờng hợp giới hạn q = Tác dụng vi tử J3, J+ , J- lên sở j, m q không gian biểu diễn bất khả quy nhƣ sau: J  j, m q J  j, m q J j, m q   j  mq  j  m  1 j, m  q   j  mq  j  m  1 j, m  1  m j, m (3.29) q Toán tử Casimir có dạng: Cq  J12  J 22   2q  J q  J  J    J q  J  1q  J  J    J q  J  1q (3.30) Toán tử Casimir có giá trị riêng là: Cq   j q  j  1q (3.31) 3.2 Biểu diễn nhóm SUp,q(2) [4] 3.2.1 Nhóm SUp,q(2) Nhóm lƣợng tử SUp,q(2) đƣợc tạo nên vi tử J1, J2, J3 tuân theo hệ thức giao hoán:  J  , J   pq 1    J  pq  J3 , J    J   J3 , J     J  (3.32)  A, B f   AB  fBA (3.33) ta sử dụng kí hiệu:  x pq  Với p, q số thực q x  p x q1  p 1 (3.34) 27 Đại số đƣợc xem nhƣ biến dạng đại số SU(2) đƣợc đặc trƣng hai thông số biến dạng p, q Trong trƣờng hợp giới hạn p = q  x pq   xq đại số (3.32) trở đại số biến dạng tham số (3.4) (3.5) 3.2.2 Biểu diễn nhóm SUp,q(2) Ta xét toán tử a1, a2 liên hợp chúng a1 , a2 đƣợc định nghĩa để thỏa mãn hệ thức sau: a1a1  p 1a1 a1  q N1 , a2 a2  p 1a2 a2  q N2  , a j    , a j   Với i # j ( i,j = 1,2 ) (3.35) (3.36) Ni đƣợc gọi toán tử số dao động, đƣợc định nghĩa từ toán tử , ai nhƣ sau a1 a1   N1  pq (3.37) a2 a2   N qp Từ hệ thức tìm đƣợc:  Ni , a j   ai ij  Ni , a j   ai ij (3.38) Và a1a1   N1  1 pq a2 a2   N  1qp Cho Ni pq (3.39) trạng thái riêng toán tử số dao động Ni ni pq  ni ni pq (3.40) Từ (3.48) ta chứng minh đƣợc ai toán tử sinh hủy tƣơng ứng Tác dụng toán tử lên trạng thái riêng n pq đƣợc chọn cho: 28 a1 n a1 n   n  1 pq   n pq   n  1 pq pq pq a2 n pq a2 n pq   pq 1  n 1 n 1 n 1 pq pq n 1 (3.41) pq  n pq n 1 pq Nếu định nghĩa trạng thái chân không tƣơng ứng với giá trị riêng toán tử Ni trạng thái riêng lƣợng tử ni ni pq a   n1 i   ni  pq ! pq đƣợc định nghĩa là: (3.42) Chú ý trạng thái riêng đƣợc trực chuẩn nhờ hệ thức a1  a1   p  n  a1  a1   n  pq  a1  n a2  a   n n a   n n q a2   n  pq  a n 1   n 1 q N1 p (3.43) N2 Có thể chứng minh hệ thức từ hệ thức (3.35) Những trạng thái riêng đƣợc xây dựng từ toán tử a1 , a2 viết nhƣ sau: n  pq  n1 , n2 pq a  a   n1  n2  n1  pq ! n2  pq ! (3.44) Những vi tử SUp,q(2) đƣợc biểu diễn số hạng hai dao động độc lập a1 , a2 liên hợp chúng a1 , a2 nhƣ sau: J   a1 a2 J   a2 a1 J3  (3.45)  N1  N  3.2.3 Biểu diễn bất khả quy nhóm SUp,q(2) Bây tìm biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2)pq phƣơng pháp Schwinger tổng quát 29 Những vi tử SUp,q(2) đƣợc biểu diễn số hạng hai dao động độc lập a1 , a2 liên hợp chúng a1 , a2 : J   a1 a2 J   a2 a1 J3   N1  N  Từ trạng thái riêng toán tử số dao động n pq a  a   n1   n2  n1  pq ! n2  pq ! không gian Hilbert tách thành không gian đặt n1 = j + m n2 = j - m ta có biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2)pq , véc tơ sở biểu diễn bất khả quy có dạng j, m  pq a  a   j m  j m  j  m pq ! j  m pq ! (3.46) Tác dụng vi tử J  , J  , J lên vec tơ sở j, m J  j, m pq J  j, m pq J j, m pq   pq 1   j  m 1  j  m pq  j  m  1 pq  j  m pq  j  m  1 pq  m j, m j, m  j, m  pq pq (3.47) pq pq Toán tử Casimir : C pq   pq 1    pq 1  J3  J3 J J  p   q  J  pq  J  1 pq 1  pq 1  J  J    J  pq  J  1 pq   (3.48) Toán tử Casimir biến dạng toán tử Casimir cổ điển trƣờng hợp giới hạn p, q  trở hệ thức toán tử Casimir biết lý thuyết mômen xung lƣợng 30 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng nghiên cứu đại số biến dạng hai tham số SU(2) cách xây dựng dao động biến dạng hai tham số Tìm biểu diễn bất khả quy nhóm SU(2) biến dạng hai tham số Trong trƣờng hợp giới hạn p = q đại số trở đại số biến dạng tham số SU(2)q Trong trƣờng hợp đặc biệt p, q  đại số biến dạng hai tham số SUp,q(2) đại số SU(2) thông thƣờng Biến dạng hai loại thông số tổng quát loại thông số chất hai loại thông số khác 31 KẾT LUẬN CHUNG Sau thời gian nghiên cứu luận văn đạt đƣợc số kết nhƣ sau: Trình bày vấn đề lý thuyết biểu diễn nhóm: Nghiên cứu biểu diễn khả quy bất khả quy nhóm Nghiên cứu nhóm đối xứng lƣợng tử SU(2), SU(2)q, SUp,q(2), tìm hiểu không gian biểu diễn biết cách tách không gian nhiều chiều thành không gian chiều đơn giản Đƣa biểu diễn dao động SU(2)q, SUp,q(2) biến dạng, biểu diễn hữu ích việc áp dụng phƣơng pháp nhóm đối xứng lƣợng tử vào nghiên cứu hạng Đây mục đích nghiên cứu luận văn, lý thuyết biến dạng tổng quát lý thuyết chƣa biến dạng trƣờng hợp riêng Nghiên cứu tiếp đè tài áp dụng phƣơng pháp nhóm đối xứng lƣợng tử để nghiên cứu hạt 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết vật lí lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2003) [3] Nguyễn Hoàng Phƣơng, Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội (2002) Tài liệu Tiếng Anh [4] Dung Le Viet, Loan Nguyen Thi Ha, The p, q-Deformed harmonic oscillator representation of the quantum algebra SU (2)pq, communications in physics, Vol 4, No 2, June 1994, pp 85-89 [5] Loan Nguyen Thi Ha, Deformed oscillators and their Statistics, Communications in physics, Vol 6, No 2, June 1996 pp 18-22 [6] Chang Z.& Hong Yan (1991), “ Hq (4) and SUq(2) quantum group symmetries in diatomic molecules “, Phý.Rev A43(11), pp.6043-6052 [7] Nguyen Thi Ha Loan, colomlogy ò deformed algebra SU(2), com.in.phys, vol.No.March (1997)pp 56-59 [8] N.T.H.LOAN, N.H.HA, BRST charge operator for Generalized Deforsned SU(2) algebra, com.in phys No March 2008 pp.23-26 [...]... Trong chƣơng 2 tôi đã trình bày về biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm SU(2): Đƣa ra biểu diễn dao động của đại số SU(2) trong không gian Hilbert và từ đó tách ra thành các không gian con của các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy của SU(2) 22 CHƢƠNG 3 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG 3.1 Biểu diễn của nhóm SU(2)q [4] 3.1.1 Nhóm SU(2)q Nhóm lƣợng tử SU(2)q của toán tử liên hợp J1, J2 , J3... không gian biểu diễn khả quy là biểu diễn của nhóm tác dụng trong không gian L còn có thể tách thành các không gian con 1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm [3] Biểu diễn T (g) tác động trong không gian L là bất khả quy nếu không tồn tại một không gian con thực sự L1 không vô vị, bất biến đối với tất cả các toán tử T thì T đƣợc gọi là bất khả quy của nhóm G Nếu biểu diễn T (g) của nhóm G là bất khả quy thì... không gian biểu diễn bất khả quy là không thể tách đƣợc nữa hay là không gian tối giản KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Trong chƣơng 1 tôi đã nghiên cứu, trình bày về lý thuyết biểu diễn nhóm, biểu diễn khả quy và biểu diễn bất khả quy của nhóm đồng thời đã chứng minh đƣợc rằng mọi biểu diễn khả quy có thứ nguyên hữu hạn và unita thì có thể tách ra đƣợc thành các biểu diễn bất khả quy unita và từ các biểu diễn ấy có...  n1 , n2 2 1  n1  n2  n1 , n2 2 (2.24) Nhƣ vậy ta đã biểu diễn đại số SU(2) qua các toán tử Boson, biểu thức (2.16) chính là các véc tơ trong không gian Hilbert của biểu diễn 2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] Để đƣa ra biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2), ta xét từ không gian biểu diễn (2.9) tìm ra các không gian con bất khả quy Xét toán tử Casimir: C  J12  J 22  J 32 Đặt J ... thuyết biểu diễn nhóm: Nghiên cứu về biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm 2 Nghiên cứu nhóm đối xứng lƣợng tử SU(2), SU(2)q, SUp,q(2), tìm hiểu về không gian biểu diễn và biết cách tách không gian nhiều chiều thành không gian con một chiều đơn giản 3 Đƣa ra biểu diễn dao động SU(2)q, SUp,q(2) biến dạng, biểu diễn này rất hữu ích trong việc áp dụng phƣơng pháp nhóm đối xứng lƣợng tử vào nghiên cứu hạng... ấy có thể hợp thành biểu diễn khả quy 14 CHƢƠNG 2 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) 2.1 Biểu diễn của nhóm SU(2) [5, 6] 2.1.1 Nhóm SU(2) Tập hợp các ma trận (2x2) hai unita, có định thức bằng một và thỏa mãn các tích chất của nhóm tạo thành một nhóm đối xứng SU(2) g là ma trận (2x2) và g  SU  2 thì : gg+ = I det g = 1 (2.1) g g  g =  11 12   g 21 g 22  Khi thông số biến đổi của SU(2) là vô cùng bé... Những vi tử của SUp,q(2) có thể đƣợc biểu diễn trong những số hạng của hai dao động độc lập a1 , a2 và liên hợp của chúng a1 , a2 nhƣ sau: J   a1 a2 J   a2 a1 J3  (3.45) 1  N1  N 2  2 3.2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SUp,q(2) Bây giờ chúng ta sẽ tìm biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)pq bằng phƣơng pháp Schwinger tổng quát 29 Những vi tử của SUp,q(2) có thể đƣợc biểu diễn trong những... thức giao hoán (2.7) ta tìm đƣợc hệ thức giao hoán của Ji  J i , J j   i ijk J k (2.15) Đây chính là đại số SU(2) Vậy có thể biểu diễn nhóm SU(2) qua các toán tử Boson Biểu thức (2.9) chính là hệ véc tơ cơ sở trong không gian Hilbert 2.2 Biểu diễn khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] Trong biểu diễn dao động thì các vi tử của nhóm đối xứng SU(2) có dạng: 17 1   a1 a2  a2 a1  2 1 J 2   a1 a2...  1 q  n2  1q n1 q  n1 1 ,  n2  1 q q (3.17) q 1  n1  n2  n 2 (3.18) q 3.1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)q Biểu diễn bất khả quy của đại số lƣợng tử SUq(2) có thể thu đƣợc tử trạng thái (3.11) với n1 = (j+m) và n2 = (j-m) Từ đó không gian con với các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là: j, m q  j  m, j  m q   a1   a2   j  mq ! j  mq ! j m j m 0 (3.19) Trong... Toán tử Casimir này là sự biến dạng của toán tử Casimir cổ điển và trong trƣờng hợp giới hạn p, q  1 nó sẽ trở về hệ thức của toán tử Casimir đã biết trong lý thuyết mômen xung lƣợng 30 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 Trong chƣơng 3 này chúng ta nghiên cứu đại số biến dạng hai tham số SU(2) bằng cách xây dựng dao động biến dạng hai tham số Tìm biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) biến dạng hai tham số Trong trƣờng