Biểu diễn tích vô hạn của hàm Gamma và ứng dụng

Ứng dụng công thức tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann.. progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraicedari nequeunt” tại học viện St Peters

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Biểu diễn tích vôhạn của hàm gamma và ứng dụng" được hoàn thành theo quan điểmriêng của cá nhân tôi

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

Mục lục

1.1 Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức 8

1.1.1 Các tính chất cơ bản 8

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức 9

1.1.3 Sự hội tụ của chuỗi số phức 9

1.2 Hàm chỉnh hình 12

1.3 Tích phân phức 14

1.4 Lý thuyết thặng dư 20

1.4.1 Không điểm và cực điểm 20

1.4.2 Thặng dư và cách tính 22

Chương 2 TÍCH VÔ HẠN 25 2.1 Một số khái niệm và các tính chất cơ bản 25

2.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi 27

2.3 Tích vô hạn hội tụ tuyệt đối 30

2.4 Định lý Tannery và hàm mũ 31

2.4.1 Định lý Tannery đối với chuỗi 32

2.4.2 Định lý Tannery đối với tích vô hạn 35

2.5 Công thức tích Euler và áp dụng 36

2.5.1 Công thức tích Euler 36

2.5.2 Ứng dụng công thức tích của Euler 39

2.6 Tích chính tắc 40

Chương 3 BIỂU DIỄN TÍCH VÔ HẠN CỦA HÀM GAMMA

3.1 Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma 43

3.1.1 Công thức tích vô hạn thứ nhất 43

3.1.2 Công thức tích vô hạn thứ hai 46

3.1.3 Một số tính chất của hàm gamma 46

3.2 Mối quan hệ giữa hàm gamma với các hàm khác 53

3.2.1 Hàm zeta-Riemann 53

3.2.2 Hàm beta 54

3.3 Biểu diễn một số tích phân qua hàm gamma 56

3.3.1 Tích phân Wallis 57

3.3.2 Tích phân Rabe 58

3.4 Ứng dụng công thức tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann 59

Tài liệu tham khảo 63

Vấn đề mở rộng khái niệm giai thừa với đối số không phải là sốnguyên được xem xét đầu tiên bởi Daniel Bernoulli và Christian Goldbachtrong những năm 1720 Nó đã được giải quyết vào cuối thập kỷ này bởiLeonhard Euler.

Trong một bức thư ngày 13 tháng 10 năm 1729 gửi cho nhà toán họcGoldbach, ông đưa ra định nghĩa đầu tiên của hàm này dưới dạng

k

1 + nk

Ông viết cho Goldbach một lần nữa vào ngày 08 tháng 01 năm 1730,công bố khám phá của ông về biểu diễn dưới dạng tích phân của giai thừa

progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraicedari nequeunt” tại học viện St Petersburg ngày 28 tháng 11 năm 1729.Ngoài ra, Euler cũng phát hiện được thêm một số tính chất quan trọngkhác của hàm gamma.

Tới thế kỷ 19, Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler dướidạng

Nhà toán học Weierstrass thiết lập thêm nữa vai trò của hàm gammatrong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn tích khác của hàmnày dưới dạng

và ký hiệu của hàm gamma đã được giới thiệu bởi Legendre vào khoảngnăm 1811, Legendre cũng viết lại định nghĩa dạng tích phân của Euler nhưđang dùng hiện tại

Hầu hết ứng dụng của các hàm đặc biệt trong toán học ra đời từ việc

giải các phương trình vi phân xuất hiện trong lĩnh vực Vật lý và nhiềungành khoa học khác Tuy nhiên, hàm gamma không xuất hiện từ việc tìmlời giải cho bất kỳ phương trình vi phân đơn giản nhất Năm 1887, H ¨oder

đã chứng minh rằng hàm gamma không thỏa mãn bất kỳ phương trình viphân đại số nào

Với ý nghĩa và tầm quan trọng về hàm gamma, được sự định hướngcủa người hướng dẫn em chọn đề tài “Biểu diễn tích vô hạn của hàmgamma và ứng dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngànhToán giải tích

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Luận văn nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức; khái niệm và cáctính chất cơ bản của tích vô hạn, hàm gamma

- Nghiên cứu diểu diễn của hàm gamma qua tích vô hạn Biểu diễn một

số tích phân quan trọng thông qua giá trị của hàm gamma, dùng tích vôhạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và hàm gamma

- Biểu diễn một số tích phân thông qua giá trị của hàm gamma

- Dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann

4 Phạm vi nghiên cứu

- Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo

- Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có vận dụng chomục đích nghiên cứu đề tài

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày chi tiết nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn; kháiniệm và các tính chất cơ bản về hàm gamma Ngoài ra, luận văn đưa raứng dụng của hàm gamma về biểu diễn một số tích phân qua hàm này và

sử dụng công thức biểu diễn tích vô hạn để tính một số giá trị của hàmzeta-Riemann

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức

1.1.1 Các tính chất cơ bản

Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà

i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thườngnhư các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)và

z1.z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là

|z|2 = z.¯z;1

z =

¯z

|z|2 với z 6= 0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ Rđược gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác địnhmột cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, talưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là

n→∞Rezn = Rewlim

n→∞Imzn = ImwDãy số phức {zn} được gọi là dãy Cauchy nếu

|zn− zm| → 0 khi m, n → ∞

Điều đó tương đương với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho

|zn − zm| < ε với mọi n, m ≥ N

1.1.3 Sự hội tụ của chuỗi số phức

Giả sử ta có dãy số phức hoàn toàn xác định và khác ∞:

z1, z2, , zn, Biểu thức

X

n>1

zn = z1 + z2 + · · · + zn + · · · (1.1)được gọi là một chuỗi số trên C, còn biểu thức

Định nghĩa 1.1 Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn hữuhạn

lim

n→∞Sn = S

Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N = N (ε) , N ∈ N : ∀n > N

⇒ |Sn − S| < ε

Số S được gọi là tổng của chuỗi (1.1) Nếu lim

n→∞Sn không tồn tại hoặc bằng

∞ thì ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ

Điều kiện cần đối với sự hội tụ của chuỗi (1.1) thu được từ việc chuyểnqua giới hạn đẳng thức

Từ đó suy ra kết luận của định lý

Định lý 1.1 cho phép ta đưa việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số trong miền

phức về khảo sát các chuỗi số thực đã quen biết Chẳng hạn, bằng cách ápdụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy Sn ta thu được tiêu chuẩn Cauchy đối vớicác chuỗi: Chuỗi số phức (1.1) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃n > N (ε) :

∀n > N (ε) và ∀p ∈ N ⇒ |Sn+p− Sn| < ε Cùng với việc xét chuỗi (1.1)người ta còn xét chuỗi lập nên từ các modul của các số hạng của chuỗi ấy

16k6m

zN +k

Từ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ta suy ra

Định lý 1.2 Giả sử zn = xn+ iyn Chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối khi và chỉkhi các chuỗi

Chứng minh Thật vậy, điều kết luận của định lý được suy ra trực tiếp từbất đẳng thức kép sau đây

|xn| 6 |zn| 6 |xn| + |yn|và

|yn| 6 |zn| 6 |xn| + |yn|

1.2 Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω Hàm f (z) được gọi là khả

vi phức hay C_ khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức

Hàm f gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận của điểm

z0 để f là C_ khả vi tại mọi điểm trong lân cận đó Hàm f được gọi làchỉnh hình trên Ω nếu chỉnh hình tại mọi điểm thuộc Ω Nếu M là tậpđóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên mộttập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên

Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C

Ví dụ 1.3 Hàm f (z) = z là không chỉnh hình Thật vậy, ta thấy

h.không có giới hạn khi h → 0

Từ đẳng thức (1.5) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉnếu tồn tại hằng số a sao cho

f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ (h) , (1.6)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim

h→0ψ (h) = 0 Dĩ nhiên, ta

có a = f0(z)

Từ công thức (1.6) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục

Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta cũng dễ dàng chứng minhđược các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình

− Riemann

Định lý 1.3 (Điều kiện Cauchy − Riemann) Điều kiện cần và đủ

để hàm f (z) = u (x, y) + iv (x, y) khả vi phức tại điểm z = x + iy là cáchàm u (x, y) và v (x, y) khả vi thực tại (x, y), đồng thời thỏa mãn điều kiệnCauchy − Riemann

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình

là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước tiên chúng ta trình bàymột số khái niệm về đường cong và miền

Đường cong tham số là một hàm z (t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặtphẳng phức Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z0(t) trên[a, b] và z0(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]

Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z (t) liên tục trên [a, b]

và tồn tại các điểm

a = a0 < a1 < < an = bsao cho z (t) là trơn trên mỗi đoạn [ak, ak+1] , (0 6 k 6 n − 1)

Hai đường cong tham số

z : [a, b] → C và z : [c, d] → Cđược gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s 7→ t (s) từ[c, d] vào [a, b] sao cho t0(s) > 0 và z (s) = z (t (s)) Điều kiện t0(s) > 0đảm bảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến dthì t chạy từ a đến b Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với

z (t) xác định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua zvới hướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b Chúng ta có thể xác định đườngcong γ− thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng Như mộtdạng tham số hóa đặc biệt đối với γ−, chúng ta có thể lấy z : [a, b] 7→ R2

xác định bởi

z (t) = z (b + a − t) Các điểm z (a) và z (b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong Bởi

vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t chạy

từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z (a) là điểm đầu và z (b) là điểmcuối của đường cong

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z (a) = z (b)với tham số hóa bất kỳ của nó Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc đượcgọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là z (s) 6= z (t) trừ khi s = t.Đường cong trơn, đóng được gọi là chu tuyến

Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

Quy ước Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo biênthì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều

âm Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu là ∂D cũng là biêncủa nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm

Định nghĩa 1.3 Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hóa bởiphương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ Tích phân của hàm

f dọc theo γ được cho bởi công thức

[u (x (t) , y (t)) + iv (x (t) , y (t))] (x0(t) + iy0(y)) dt

=

Z b a

[u (x (t) , y (t)) x0(t) dt − v (x (t) , y (t)) y0(t) dt]+ i

Z b a

Mệnh đề 1.2 Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có cáctính chất sau

γ

f (z) dz

... data-page="26">

Chương TÍCH VƠ HẠN

Để nghiên cứu hàm gamma tính chất nó, trước hết chúng tanghiên cứu vài tính chất tích vơ hạn Theo nghĩa đókhái niệm tích vơ hạn tương tự khái niệm chuỗi Sự xuất củakhái... trực tiếp từ Định lý hội tụ giải tích củachuỗi hàm [[7], Định lý 3.1.8]

Định lý 2.2 (Tính giải tích tích vơ hạn) Giả sử fn(z) làmột dãy hàm giải tích tập mở A

∞... data-page="13">

1.2 Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định tập mở Ω Hàm f (z) gọi khả

vi phức hay C_ khả vi điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn biểu thức

Hàm f gọi chỉnh