Thực hành dạy học tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng theo hướng tích cực hoá hoạt độngnhận thức của học sinh THPT

T ổ n gBộêgiáo dụcovà đàoi ệ t n a m l i n đ o n l a ® é n g v t¹o T r ­ ê Trờngi đạic c ô nvinh n n g đ ¹ h ä häc g ® o - - Nguyễn Thị Kim Liên đạI học công đoàn Thực hành dạy học - tích vô hớng véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh thpt N g µ n h : t µ i c h ín h k ế t o n Chuyên ngành: lý luận ph ơng pháp giảng dạy môn toán Mà số: 60.14.10 đ ề t i: Luận văn thạc sĩ giáo dục học Ngời hớng dẫn khoa häc: TS Bïi gia quang H µ N é i, th ¸ n g / 0 Vinh - 2008 Lời Cảm ơn Để hoàn thành luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Gia Quang - ngời đà tận tình giúp đỡ, hớng dẫn kể từ nhận đề tài luận văn đợc hoàn thành Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo,cô giáo khoa Toán khoa Đào tạo Sau đại học Trờng Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ trình học tập Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành bạn bè, gia đình ngời thân thiết đà động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt cho trình học tập Vinh, tháng năm Tác giả Nguyễn Thị Kiên Liên Mục lục Trang Phần mở đầu 1 Lý chän ®Ị tµi .1 Mục đích nhiệm vụ nghiªn cøu Gi¶ thuyÕt khoa häc Ph¬ng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Ch¬ng I: Cơ sở lý luận việc xác định số định hớng dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng (chơng II Hình học 10) theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Tính tích cực hoạt động nhËn thøc cña häc sinh .5 Nội dung kiến thức kỹ chơng II Hình học 10 .9 Một số định hớng thực hành dạy học chơng II Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh 11 Chơng II: Thực hành dạy học chơng II Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh 20 Tiềm bồi dỡng tính tÝch cùc nhËn thøc cđa häc sinh thùc hµnh dạy học chơng II Hình học 10 20 Mét số biện pháp thực hành dạy học chơng II Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhËn thøc cña häc sinh .22 2.1 Hệ thống câu hỏi, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 24 2.1.1 Chó träng viƯc híng dÉn häc sinh häc sinh t trình hình thành tìm kiến thức 24 2.1.2 Thờng xuyên rèn luyện cho học sinh hoạt động thành phần việc củng cố khái niệm, định lý Xác lập mối liên hệ đơn vị kiến thức, hệ thống kiến thức .26 2.1.3 Khai thác khía cạnh khác định lý, khái niệm tạo tiềm ứng dụng 30 2.2 Hệ thống câu hỏi, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 31 2.2.1 X©y dùng hệ thống tập cho đơn vị kiến thức, cho chủ đề, nâng dần mức độ khó khăn .31 2.2.2 Rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển đổi ngôn ngữ học tập 38 2.3 Hệ thống câu hỏi, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 53 2.3.1 Lôi học sinh vào hoạt động nhận thức thông qua sử dụng dạy học giải vÊn ®Ị .53 2.3.2 Hình thành học sinh thói quen mở rộng, phát triển vấn đề trình học tập 56 2.3.3 Qua chủ đề hình thành ý tởng 61 2.4 Hệ thống câu hỏi, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng .68 2.4.1 RÌn luyện thao tác t hình thành phẩm chÊt trÝ t .68 2.5 HƯ thèng c©u hái, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 76 2.5.1 Tiến hành dạy học phân hóa nội dạy học đồng loạt 76 2.5.2 Coi trọng ngo¹i khãa .80 Chơng III: Thực nghiệm s phạm 84 Mơc ®Ých, néi dung thùc nghiÖm 84 Tỉ chøc thùc nghiƯm .86 PhÇn kÕt luËn 87 Tài liệu tham khảo 88 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Sự nghiệp công nghiệp hóa đại hóa đất nớc đòi hỏi đổi phơng pháp giáo dục nớc nhà, đòi hỏi thầy giáo, cô giáo phải tự học sáng tạo, phải đổi phơng pháp giảng dạy Nghị Quyết Trung ơng II khóa đà rõ Đổi phơng pháp giáo dục đào tạo khắc phục lèi trun thơ mét chiỊu RÌn lun thµnh nÕp t ngời học bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến, phơng pháp đại vào trình dạy học Nghị Quyết hội nghị lần thứ IV BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII năm 1993 đà mục tiêu giáo dục đào tạo phải hớng vào đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo có lực giải vấn đề thờng gặp qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc dân giàu, nớc mạnh, xà hội công dân chủ văn minh Nghị Quyết số 37/2004 giáo dục Quốc héi níc Céng hßa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam khóa XI kỳ họp thứ VI tháng 12 năm 2004 nhấn mạnh Ngành giáo dục cần chuẩn bị đầy đủ điều kiện cần thiết để thực đổi nội dung chơng trình, phơng pháp giáo dục Từ yêu cầu phát triển KHKT công nghệ nên thông qua vật liệu" hệ thống tri thức khoa học đà đợc lựa chọn, xếp sách giáo khoa, giáo viên phải phát triển học sinh không hình thức t lôgic mà phải phát triển họ t tiền lôgic nhằm trang bị cho học sinh tri thức nội dung mà trang bị cho học sinh tri thức phơng pháp Thực tiễn dạy học - tích vô hớng hai véctơ ứng dụng cho thấy học sinh gặp không khó khăn lĩnh hội vận dụng kiến thức trình học tập Nguyên nhân kiến thức véctơ mẻ học sinh, em cha đợc tổ chức hoạt động học tập tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo Thực tiễn đòi hỏi cần thiết phải tiến hành việc dạy học tích vô hớng véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Vì thế, lựa chọn đề tài cho luận văn "Thực hành dạy học - tích vô hớng hai véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh THPT" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Xác định số định hớng làm sở cho việc đề xuất biện pháp s phạm cần thiết theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh nhằm nâng cao chất lợng dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng lớp 10 trờng THPT Kim Liên Nam Đàn Nghệ An 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Xác định lý luận thực tiễn việc đề xuất định hớng - Xác định biện pháp s phạm có tính khả thi cho định hớng - Xây dựng hệ thống tập tơng ứng với biện pháp làm sở cho việc tổ chức dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận nhận thức học sinh Giả thuyết khoa học Trên sở tôn trọng nội dung chơng trình SGK hình học 10 từ số định hớng đúng, xây dựng đợc biện pháp s phạm có tính chất khả thi hệ thống tập hợp lý có tổ chức việc dạy học tích vô hớng véctơ ứng dụng đạt yêu cầu theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu SGK, Sách giáo viên, tài liệu tự chọn nâng cao, tài liệu tự chọn bám sát hình học 10, tài liệu liên quan đến đề tài, đối chiếu thực trạng dạy học trờng THPT Kim Liên Nam Đàn Nghệ An, làm sở cho việc xác định định hớng biện pháp s phạm luận văn - Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm tra tính đắn biện pháp hệ thống tập đà đề xuất Đóng góp luận văn a Về lý luận Làm rõ sở lý luận việc xác định số định hớng dạy học tích vô hớng véctơ ứng dụng Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Đề xuất số biện pháp s phạm có tính khả thi cho định hớng b Về thực tiễn Xây dựng đợc hệ thống tập thích ứng cho biện pháp đà nêu, cách sử dụng hợp lý Cấu trúc luận văn: gồm phần * Phần mở đầu Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn cho việc xác định số định hớng dạy học tích vô hớng véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hóa hoạt động nhËn thøc cđa häc sinh 1: TÝnh tÝch cùc ho¹t ®éng nhËn thøc cña häc sinh 2: Néi dung kiÕn thức tích vô hớng hai véctơ ứng dụng Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh 3: Một số định hớng thực hành dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Chơng II: Các giải pháp hệ thống câu hỏi, tập dùng cho việc dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng (chơng II - Hình học 10) theo tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Hệ thống câu hỏi tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng Hệ thống câu hỏi tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng Hệ thống câu hỏi tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng Hệ thống câu hỏi tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng Hệ thống câu hỏi tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng Chơng III: Thực nghiệm s phạm 1: Mục đích, nội dung thùc nghiƯm 2: Tỉ chøc thùc nghiƯm 3: KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm * PhÇn kÕt ln * Tài liệu tham khảo trích dẫn Sau nội dung chơng luận văn 10 Chơng I Cơ sở lý luận việc xác định số định hớng dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh Chúng ta biết: Nhận thức phản ánh nh gơng tợng, kiện trình tợng vào ý thức ngời Hình ảnh đối tợng thực xuất ý thức thông qua phản ánh có tính chất cải tạo, bao gồm có sáng tạo Vì nhận thức trình tích cực, thể chỗ: - Sự phản ánh vật, tợng thực diễn trình hoạt động phận tích cực vỏ nÃo Bản chất đối tợng đợc phản ánh đòi hỏi phải trải qua hoạt động t phức tạp dựa thao tác lôgic - Sự phản ánh đời hỏi lựa chọn từ vô số vật tợng thực, chủ thể nhận thức phải tích cực lựa chọn trở thành đối tợng phản ánh Với tiếp cận lịch sử nhân văn, thấy để tồn phát triển ngời hoạt động lao động để chế ngự thiên nhiên cải tạo xà hội Trong trình ngời đà tích lũy đợc kinh nghiệm mà chúng đà đợc kết tinh dới dạng đặc biệt: văn hóa vật chất văn hóa tồn khách quan bên ngời Song lại nguồn gốc tâm lý ngời cụ thể, khả (dới dạng tiềm năng) nh nguyên liệu sản phẩm tơng lai Con đờng nhận thức khoa học đờng phát thuộc tính chất quy luật thực khách quan trình phức tạp đa dạng Khoa học không nghiên cứu nằm bề mặt cã thĨ tri 65 ¸p dơng hƯ thøc (2) ta cã b + c + d = b + d + k c2 ⇔ k = ta mở rộng sang định lý mét tø gi¸c låi a2 + b2 + c2 + d2 = m2 + n2 + 4IJ2 VÝ dụ 7: Từ định lý trung tuyến Gọi ma, mb, mc độ dài trung tuyến ứng với cạnh BC = a, CA = b, AB = c cña ∆ABC, ta cã: ma = b2 + c2 a a + c2 b b2 + a c2 2 − ; mb = − ; mc = − 4 (*) Với công thức trên, giáo viên hớng học sinh đến việc thiết lập mối liên hệ độ dài đờng trung tuyến với cạnh từ lập mối liên hệ với yếu tố khác Từ công thức (*) hớng học sinh khẳng định: a b c ⇔ ma ≤ m b ≤ mc 2 m a + m + m c > a + b + c , b Kết hợp với mối liên hệ khác đà biết, hình thành mối liên hệ mới: h a h b ≥ h c ⇔ m a ≤ m b ≤ m c , Tõ mèi liªn hƯ hai dÃy đại lợng tơng ứng thứ tự nh trên, gợi học sinh sử dụng bất đẳng thức trêbsép đế tạo bất đẳng thức vẽ yếu tố tam giác Ta nhắc lại bất đẳng thøc trªn b phÐp víi n = Cho d·y sè u1, u2, u3; v1, v2, v3 - NÕu x1 ≤ x2 ≤ x3 vµ v1 ≤ v2 ≤ v3 th× 3(u1v1 + u2v2 + u3v3) ≥ (u1 + u2 + u3) (v1 + v2 + v3) - NÕu u1 ≤ u2 ≤ u3 vµ v1 ≥ v2 ≥ v3 th× 3(u1v1 + u2v2 + u3v3) ≤ (u1 + u2 + u3) (v1 + v2 + v3) 66 Tõ bất đẳng thức này, hớng học sinh khám phá bất đẳng thức cho ABC Nếu a b c ma mb mc Do đó: 3(ama + bmb + cmc) ≤ (a + b + c) (ma + mb + mc) Mµ (1) (m a + m b + m c ) > a + b + c nên từ (1) ta lại có: 9(a.m a + b.m b + c.m c ) ≤ 4(m a + m b + m c ) (2) Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki thì: 2 (m a + m b + m c ) ≤ 3(m a + m + m c ) nªn tõ (2) ta cã: b 2 a.m a + b.m b + c.m c ) < (ma + m b + m c ) (3) - NÕu a ≥ b ≥ c th× A ≥ B ≥ C nªn cosA ≤ cosB ≤ cosC Do ®ã 3(a.cosA + b.cosB + c.cosC) ≤ (a + b + c) (cosA + cosB + cosC) mµ cosA + cosB + cosC ≤ (4) nªn tõ (4) ta cã: a cos A + b cos B + c cos C ≤ ≤ (a + b + c) (5) 2.3.3 Qua chủ đề hình thành ý tởng Qua chủ đề, hình thành cho học sinh ý tởng giải toán cần thíêt Vì qua làm cho học sinh có phong phú cách nhìn, suy luận trình hứng thú, sáng tạo Ví dụ 8: Sử dụng lợng giác giải toán vận dụng sin2 + cos2 = Bài toán 1: Trong nghiệm a; y; g; t víi x; y; g; t > cđa hƯ  x + y = (1)  2 g + t = 16 (2)  xt + yg > 12 (3) Tìm giá trị lớn nhÊt cña x + y 2 x  y x; y;g; t > ⇒  ÷ +  ÷ = 3 3 67 2 x y g t Đặt = sin ; = cos Từ (2) ta cã   +   =  ÷  ÷ 3 4 4 g t ⇒ β ∈ (0,90o) cho  ÷ = sin β;  ÷ = cosβ 4 4 Tõ (3) ⇒ xt + yg = 3sin αcosβ + 3cosα.4sin β = 12sin(α + β) ≥ 12 ⇔ sin(α + β) = ⇒ α + β = 90o Do ®ã 90o - α x + g = 3sinα - 4sinβ = 3sinα + 4cosβ = 5sin(α + β) ≤ VËy giá trị lớn x + g = Bài toán 2: Cho a, b, c, d cho d ≤ 1; c ≤ a = c − d2 b = d a − c2 o o §Ỉt d = cosϕ, c = cosα (0 ≤ α, ϕ ≤ 90 ) a + b = cosα − cos 2ϕ + cosϕ − cos 2α = cosα sin ϕ + cosϕ.sin α = sin(α + ϕ) Bài toán 3: Chứng minh Nếu x < n N, n (1 − x) n + (a + x) n < 2n Giải: Do x < nên tồn góc α ∈ (0o, 180o) cho x = cosα Khi ®ã: (1 − x)n + (1 + x)n = (1 − cosα) n + (1 + cosα) n n n n  α  α α  α   =  2sin ÷ +  2cos ÷ = 2n  sin ÷ +  cos ÷  2  2 2  2      α α  < 2n  sin + cos ÷ = 2n 2 Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhỏ cảu hàm số x = x + 1+ x Giải: Do x nên tồn gãc ϕ ∈ [0o, 180o] cho x = cosϕ Ta cã: y = − cosϕ + + cosϕ = 2sin ϕ ϕ + 2cos 2 68 ϕ ϕ  ϕ  2  sin + cos ÷ = sin  + 45o ÷ 2  2  o V× ≤ ϕ ϕ ϕ  ≤ 90o ⇒ 45o ≤ + 45o ≤ 135o ⇒ sin  + 45o ÷ ≤ 2 2  ϕ  ⇒ ≤ 2sin  + 45o ÷ ≤ VËy y = 2; y max = 2  Bµi tËp 5: Giải phơng trình ( 1+ x2 = x 1+ x2 ) Giải: Điều kiện x Đặt x = cost; 0o t 90o Phơng trình trở thành: ( ) + a − cos t = cos t + = cos t ⇔ + sin t = cos t ( + 2sin t ) ⇒ + sin t = cos t ( + 4sin t + 4sin t ) ⇔ 4cos t.sin t + cos t.sin t − sin t − sin t = ⇔ 4cos t.sin t ( + sin t ) − sin t ( + sin t ) = sin t = cos t =  ⇔ sin t ( + sin t ) ( 4cos t − 1) = ⇔ ⇔ cos t = ±  cos t =   2 V× 0o ≤ t ≤ 90o Vậy phơng trình đà cho có hai nghiệm: x = 1; x = VÝ dơ 9: Sư dơng diện tích chứng minh Một vài bái toán giải đợc nhiều cách khác ta tính đến cách sử dụng công thức tính diện tích, vận dụng nh công cụ khác Trớc hết học sinh phải nắm đợc kết quả: - Một đa giác đợc chia thành đa giác không giao diện tích đa giác ban đầu tổng diện tích đa giác đợc chia - Hai đa giác đồng dạng tỷ số diện tích bình phơng tỷ số đồng dạng - Hai tam giác có chung đáy tỷ số diện tÝch b»ng tû sè ®êng cao - Hai tam giác có đờng cao tỷ số diện tích tỷ số hai đáy 69 Bài 1: Cho ABC vuông A, cạnh góc vuông b, c chøng minh r»ng la = 2b.c ( la: lµ độ dài phân giác góc A) bc Giải: (Xem h×nh 25) Ta cã S∆ABC + S∆ABM + S∆MCA A 1 ⇒ bc = c.la sin 45o + b.l a sin 45o 2 ⇒ b.c = la ⇒ la = (b + c) c 2bc 2b.c = 2(b + c) b + c b la B M C Hình 25 Từ cách giải toán trên, hình thành học sinh ý tởng giải toán việc sử dụng diện tích nh công cụ chứng minh Bài 2: Cho ABC, AD phân giác góc A Chứng minh: AD = 2bc A cos (xem h×nh 26) b+c A A AB.AD sin S∆ABD 2 = Ta cã: S∆ABC AB.ACsin A la AD = 2.ACcos S A (1) BD D B H×nh 26 C ABD = = Mặt khác: S (2) BC b + c ∆ABC AD C = ⇒ AD = Tõ (1) vµ (2) A b+c 2bcos C 2bc.cos b+c A Bài 3: Cho đa giác lồi ngoại tiếp đờng tròn bán kính ta chia đa giác thành tam giác không giao Chứng minh tổng bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác lớn r 70 Giải: Ký hiệu đờng tròn nội tiếp tam giác r1, , rn, chu vi chúng lần lợt p1,, pn, diện tích chúng lần lợt S1,, Sn Gọi S, P lần lợt diện tích chu vi đa giác ban đầu ta cã: Pi < p, mäi i = 1, n ⇒ r1 + + rn = S1 S2 S S S S + + + n > + + n = = r.0 P1 P2 Pn P P P Bài 4: Cho điểm M nằm ABC vẽ qua M đờng thẳng AM, BM, CM chúng lần lần lợt cắt cạnh ABC tơng ứng t¹i A1, B1, C1 Chøng minh r»ng: AM BM CM AM BM CM a) A M + B M + C M ≥ 6; A M B M C M ≥ 1 1 1 A Giải: Xem hình 27 Ta kí hiệu: S1 = S∆MBC C1 S2 = S∆MAC ; S3 = S∆MBA AA S ∆ABC = Ta cã: A M = S ∆MBC S1 + S2 + S3 S1 M B AA1 − MA1 S2 + S3 MA S2 S3 = ⇒ = + A1M S1 MA1 S1 S1 MB S S MC S B1 A1 H×nh 27 S 1 T¬ng tù ta cã: MB = S + S ; MC = S + S 2 3 a) MA MB MC  S2 S1   S3 S2   S1 S3  + + =  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ MA1 MB1 MC1  S1 S2   S2 S3   S3 S1  (Theo bÊt đẳng thức cosin) dấu = xảy S1 = S2 = S3 b) Từ kết ta cã: AM BM CM  S2 S3  S3 S1   S1 S2  =  + ÷ + ÷ + ÷ A1M B1M C1M  S1 S1  S2 S2   S3 S3  = (S2 + S3 )(S3 + S1 )(S1 + S2 ) (Theo bất đẳng thức cosin) S1.S2S3 Dấu = xảy M trọng tâm ABC Bài 5: Cho < x, y, g < Chøng minh r»ng X(1 – y) + y (1 – g) + g (1 – x) < (*) C 71 Gi¶i: (Xem hình 28) Mỗi tích VT (*) tích hai cạnh tam giác ví nh nên ta lấy tam giác ABC có cạnh 1, cạnh AB, BC, CA lần lợt lấy điểm M, N, P cho AM = x, BN = g, CP A =y Ta cã: S∆AMP + S∆BMN + S∆CNP < S∆ABC x y M P B g N 1 ⇒ x(1 − y) sin 60o + g(1 − x)sin 60o + y(1 − g)sin 60o 2 H×nh 28 C < 12.sin 60o ⇒ x(1 − y) + y(1 − g) + g(1 − x) < VÝ dô 10: Cho sè thùc n, v, x, y cho u2 + v2 = 1; x2 + y2 = Chøng minh r»ng: − ≤ n(y − x) + v(x + y) ≤ Ta liên tởng nhanh đến đẳng thức sin2a + cos2a = Và ý tởng chuyển sang toán lợng giác N = cosα, v = sinα, x = cosβ, y = sinβ Ta cã: P = cosα (sinβ - cosβ) + sinα (cosβ + sinβ) π = sin(α + β) − cos(α + β) = sin(α + β − ) π  V× −1 ≤ sin  α + β − ÷ ≤  4 VËy − ≤ P ≤ VÝ dô 11: Chøng minh r»ng c¸c gãc cđa ∆ABC tháa m·n hƯ thøc tgB sin B = tam giác vuông cân tgC sin C 72 XuÊt ph¸t tõ quan s¸t ta thấy vai trò B, C bình đẳng với hệ thức ta dự đoán ABC cân B = c, ABC vuông A = 90o B = 90o vai trò B, C nh C = 90o vô lý Nh ta định hớng mục đích phép biện chứng B = C hc A = 90o VÝ dơ: øng dụng tích vô hớng Bài toán 1: Chứng minh đờng cao tam giác đồng qui Giả sử A đờng cao cắt D (Xem hình 29) uu uu ur ur DA.BC = uu uu ur ur DB.CA = D Ta ph¶i chøng minh DC ⊥ AB ⇔ B H×nh 29 uu uu ur ur DC.AB = C Từ nảy ý tëng chøng minh uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur DA.BC + DB.CA + DC.AB = uu uu uu uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur ur ur ur ⇔ DA DC − BD + DB DA − DC + DC DB − DA = ( ) ( ) ( ) Bài toán 2: ứng dụng để giải phơng trình x x +1 + x = x2 +1 Phép giải thông thờng dẫn tới phơng trình bậc cao không giải ta đặt r r a = (x, 1); b = ( x + 1, − x ) r r a = x + 1; b = x + + − x = rr r r VÕ tr¸i = a.b , vÕ ph¶i a b rr rr Vế trái = vế phải a.b chiều a.b > ⇔ ⇔ x2 = x +1 ⇔ 3x − x = x − ⇔ x − 3x + x + = 3− x x x +1 = 3− x 73 ⇔ (x − 1)(x − 2x − 1) = ⇔ x = 1; x = ± Bài toán 3: Giải bất phơng trình x + x − ≥ 2(x − 3) + 2x − ⇔ x ≥ 1, x − + x − ≥ 2(x − 3) + 2(x 1) r r Đặt = v = ( x − 1, x − 3) ⇒ u = x − + (x − 3) r r v = (1;1) ⇒ v = r r ⇒ u v = (x − 3) + (x − 1)    rr rr r r u.v = x − + x − ⇔ u.v ≥ u v rr r r r r mµ u.v ≤ u v ⇔ u, v cïng chiỊu ⇔ x ≥ x −1 = ⇔ x −1 = x − ⇔  x −3  x = 7x + 10 =  x = (loại) ⇔  x = (nhận) 2.4 Hệ thống câu hỏi, tập tơng ứng với biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 2.4.1 Rèn luyện thao tác t hình thành phẩm chất trí tuệ - Trong dạy toán, phân tích tổng hợp hai thao tác trình t học sinh, hai thao tác t trái ngợc lại hai mặt trình thống Trong trình t duy, phân tích tổng hợp hai thao tác đợc thực đan xen, hỗ trợ nhau, sau số bớc phân tích ta cần có tổng hợp lại để có kết luận ban đầu, từ làm sở, định hớng cho phân tích Trong trình có kết hợp với phép tơng tự, so sánh, khái quát hóa, đà biệt hóa Ví dụ 1: Tìm công thức cos3 theo cosα (0o ≤ α ≤ 60o) 74 Tríc tiªn hớng dẫn học sinh phân tích làm biến đổi: cos3 thành cos(2 + ) Sự phân tích diễn sở tổng hợp, liên hệ cos3 với công thøc: cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb Việc gộp trờng hợp riêng cos(2 + ) vào công thức tổng quát cos(a + b) khái quát (việc làm đợc thực nhờ trìu tợng hóa) Tiếp theo hớng dẫn học sinh đặc biệt hãa c«ng thøc: cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb cho trêng hỵp a = 2α; b = α ®Ĩ ®i ®Õn cos(2α + α) = cos2α + cosα - sin2α sinα DÉn ®Õn: cos(2α + α) = 2cos2 - 1).cos - 2cos.sin2 Lại tiếp tục phân tích biÕn ®ỉi: sin2α = – cos2α DÉn tíi cos(2α + α) = 2cos3α cosα - 2cosα (1 – cos2α) = 4cos3α - 3cosα Sau cïng viƯc liªn kÕt biểu thức xuất phát cos3 với kết 4cos3 3cos tổng hợp - Sự phát triển lên toán học trình khái quát hóa liên kết lẻ tẻ đợc thống lại lý thuyết tổng quát Mỗi lần đặt đợc khái quát nh có công cụ để sáng tạo Khái quát hóa lực trí tuệ cảu lực toán học Việc dạy học toán hớng tới năm trừu tợng, tổng quát Do trình dạy học toán cần thờng duyên rèn luyện cho học sinh khả khái quát hóa, tức làm cho em nắm đợc cấu trúc, chất đối tợng nhận thức Ví dụ 2: Từ công thức trung tuyến tam giác MA + MB2 = 2MI + M AB2 = 2NI + IA + IB2 Ta tæng quát cho ABC, G trọng tâm, điểm M bÊt kú A I B ⇒ MA + MB2 + MC2 = 3MG + GA + GB2 + GC2 Từ ta dự đoán tổng quát cho x điểm A1, A2, , An với G trọng tâm, với M 2 MA1 + MA + + MA = n.MG + GA1 + GA + + GA 2 n n 75 u ur u u r uu uu u ur u u r uu uu Chøng minh vÕ tr¸i = ( MG + GA12 ) + ( MG + GA ) + + ( MG + GA n ) 2 2 = n.MG + GA1 + GA + + GA 2 n Ví dụ 3: Tìm tập hợp N cho MA2 + 3MB2 = K2 không đổi, A, B điểm cho trớc (Xem hình 39) Để giải toán ta hớng dẫn học sinh giải toán tổng quát hơn, tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = K2, A, B, C, D cố định, K số cho trớc Gọi I, J lần lợt trung điểm AB, CD AB2 CD ⇔ MC2 + MD = 2MJ + ⇔ MA + MB2 = 2MI + MA + MB2 + MC + MD = ( MI + MJ ) + Do ®ã: MI2 + MJ = AB2 + CD 2 2K − AB2 = CD = không đổi Vậy quỹ tích đờng tròn tâm O trung điểm IJ Bán kính R = 2K − AB2 − CD − IJ 2 Víi 2K2 – AB2 – CD2 – 2IJ2 Trở toán cho C, D, B trïng ⇔ MB = MD = MC, MJ = MB 2K − AB2 AB2 ⇔R= − = 4K − 3AB2 2 4 H×nh 30 Để xem dạng ta áp dụng cho tam giác đặc biệt ABC, cạnh A = 0, góc A = o vµ b = c, B ≡ c Dạng có 02 = 2b2 + mà b ≠ VËy d¹ng sai D¹ng cã 02 = 2b2 + K2cos0 76 02 = 2b2 + Kb2 K = -2 Vậy chắn là: a2 = b2 + c2 – 2bc cosA VÝ dơ 4: Víi ∆ABC vu«ng ë A (BC = a, CA = b, AB = c) th× S = bc Với thói quen phân tích nh trên, học sinh tự đặt vấn dề: Tìm công thức tính diện tích S cho ABC Công thức tổng quát sÏ trë thµnh: S= bc A = 90o Từ học sinh dự đoán không khó khăn công 2 thức tổng quát cho ABC bất kú lµ S = bc sin A - Tõ kết đà biết, cần hớng dẫn học sinh tiến hành tổng quát hóa khía cnạh khác Ví dụ 5: Với định lý công thức trung tuyÕn tam gi¸c ABC a2 b2 + c2 a 2 b + c = + 2m a (hay m a = − ) (1) 2 A 2 N D Cã thĨ xem c¸c cạnh AB CA ABC (hình 31) nh đờng L K chéo BD AC tứ giác suy biến Đặt vấn đề tính tổng: AC2 + BD2 B M C H×nh 31 Gäi M, N, L, K lần lợt trung điểm BC, AD, DC, AB Dễ thấy MLNK hình bình hành, NM2 + KL2 = 2NK2 + 2KM2 Mµ NK = BD AC BD AC ; KM = ⇒ NM + KL2 = + 2 2 ⇒ BD + AC2 = 2(MN + KL2 ) (2) Khi cho A D (2) trở thành (1) Mặt khác ta thấy (2) công thức tổng quát công thức tổng bình A phơng hai đờng chéo hình bình hành Công thức (1) trờng hợp đặc biệt B M C 77 M trung điểm BC (Hình vẽ) công thức tính độ dài AM M điểm cạnh BC? Đặt MB p = công thøc AM2 sÏ lµ m a ë (1) MC q p Khi = tức M trọng điểm BC q A Xem hình vẽ: áp dụng định lý hàm sè sin cho ∆ABM vµ ∆ACM B M Ta cã: · AB2 = MB2 + MA − 2MA.MB.cosAMB (3) · AC2 = MC2 + MA − 2AM.MC.cosAMC (4) Nh©n (3) víi q, nh©n (4) víi p råi céng lại ta đợc qAB2 + pAC2 = qMB2 + pMC2 + (p + q).MA · · − 2AM.(qMB.cosAMB + p.MC.cosAMC · · V× cosAMB = −cosAMC; qMB = pMC nên đẳng thức viết đợc: pb + qc2 = qMB2 + pMC2 + (p + q)MA V× MB = qa pa pqa ; MC = + (p + q)MA nªn pb + qc2 = p+q p+q p+q ⇒ (q + p)AM = pb + qc − pqa p+q (5) Râ ràng (5) tổng quát (1) Từ (5) ta cã: b + c2 a − Khi M trung điểm BC thì: AM = Ta đợc công thức trung tuyến tam giác C 78 Nh định lý SGK, đợc tập dợt học sinh tự lực tiến hành tổng quát theo khía cạnh khác đợc kết khác Tổng quát (1) theo khía cạnh thứ ta đợc công thức tính tổng bình phơng hai đờng chéo tứ giác theo hai đờng trung bình tứ giác công thức tính đờng trung tuyến - Khi học vấn đề đó, cần hớng dẫn cho học sinh suy nghĩ tìm tòi mở rộng xem vấn đề có liên quan đến vấn đề khác Trên sở rút đợc điều bổ ích Thờng xuyên làm nh vậy, học sinh khám phá điều lạ từ tình bình thờng, qua nâng cao nhận thức t trìu tợng học sinh Ví dụ 6: Từ định lý pitago Tam giác ABC vuông A (BC = a, CA = b, BC = c) ta cã a = b2 + c2 Ta xem a2, b2, c2 lÇn lợt diện tích hình vuông có cạnh lần lợt a, b, c diễn đạt định lý pitago dới dạng khác: Diện tích hình vuông dựng cạnh huyền tam giác vuông tổng diện tích hình vuông dựng cạnh góc vuông Vì hình vuông đồng dạng với nên dẫn đến câu hỏi: Nếu ta dựng cạnh tam giác đa giác đồng dạng phải tam giác dựng cạnh huyền tổng diện tích hai đa giác dựng cạnh góc vuông? Tức gọi S(a), S(b), S(c) lần lợt diện tích đa giác đồng dạng dựng cạng a, b, c cã ph¶i ta cã S(a) = S9b) + s(c)? Trớc hết hÃy xét trờng hợp đặc biệt đa giác đồng dạng tam giác 2 Ta cã: S(a) = a.h a ; S(b) = b.h b ; S(c) = c.h c Mµ hb hc = = =K a b c 1 ⇒ h a = a.K; h b = b.K; h c = c.K ⇒ S(a) = a K = (b + c )K 2 79 = b K + c2 K = S(b) + S(c) 2 Với đa giác đồng dạng bất kú ta cã: S(a) S(b) S(c) = = =K a2 b c ⇒ S(a) = a K; S(b) = b K; S(c) = b K Nh vËy: S(b) + S(c) = b K + c K = (b + c ).K = a K = S(a) Từ định lý pitago chuyển sang xem xét số khía cạnh khác quan hệ diện tích đa giác đồng dạng dựng cạnh tam giác vuông đó, từ việc kiểm nghiệm trờng hợp đặc biệt chuyển đến trờng hợp tổng quát Nh từ kết quen thuộc, ta tìm đợc kết có khía cạnh khác Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD M, N lần lợt trung điểm cạnh AB, CD uu uu ur ur u ur AD + BC uu Chøng minh r»ng: MN = (1) M A B Với kết (1) sau học tích vô hớng véctơ, hớng dẫn học sinh sử dụng để tính độ dài đoạn MN D N u u r u u u u u ur uu uu uu ur ur ur ur u u u u u  AD + BC 2 AD + 2AD.BC + BC2 u ur ThËt vËy: MN =  ÷ =   uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur uu uu ur ur uu uu ur ur V× 2AD.BC = AD + AD BC =  BD − BA + CD − CA  uu uu ur ur uu uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur ur =  BD + CD − BA + CA  BC = BD + CD BD − CD   u ur u ur u ur u ur uu uu uu uu 2 = BD − CD − BA − CA = BD − CD − BA + CA ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( )( C (2) uu ur )  BC  uu uu uu uu ur ur ur ur ) − ( BA + CA ) ( BA − CA ) ) uu uu ur ur Thay giá trị 2AD.BC võa tÝnh vµo (2) ta cã: u u u u u r u ur u ur u ur u ur u ur u ur u u u u u u u u u u u u 4MN = AD + BC2 + BD + CA CD BA (3) Hoàn toàn tơng tự gọi P, Q lần lợt trung điểm AD vµ CB u ur u ur u ur u ur u u r u ur uu uu uu uu uu uu Ta cã: 4PQ2 = CD + AB2 + AC2 + BD − AD − BC2 (4) Tõ (3) vµ (4) ta nhËn thÊy: NÕu gäi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác đờng trung bình tứ giác ta có kết ... theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh 1: Tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh 2: Nội dung kiến thức tích vô hớng hai véctơ ứng dụng Hình học 10 theo hớng tích cực hóa hoạt động... hớng dạy học tích vô hớng hai véctơ ứng dụng (chơng II Hình học 10) theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Tính tích cực hoạt động nhận thức häc sinh .5 Néi dung kiến thức. .. cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Vì thế, lựa chọn đề tài cho luận văn "Thực hành dạy học - tích vô hớng hai véctơ ứng dụng theo hớng tích cực hoá hoạt ®éng nhËn thøc cđa häc sinh THPT" Mơc