Thực hành dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động của học sinh thông qua dạy học giải các bài tập lượng giác

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh Trần thị anh thơ Thực hành dạy học phát giải vấn đề Nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập l ợng giác Luận văn thạc sỹ giáo dục học Vinh 2007 Lời cảm ơn Bên cạnh nỗ lực thân, Luận văn đà đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo TS Nguyễn Đinh Hùng Luận văn nhận ý kiến góp ý thầy, cô thuộc chuyên ngành Lý luận Phơng pháp giảng dạy môn toán Xin trân trọng gửi tới thầy, cô lời biết ơn chân thành sâu sắc tác giả Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu, tổ toán trêng THPT Nghi Léc I, huyÖn Nghi Léc, tØnh NghÖ An đà tạo điều kiện cho tác giả thực nghiệm trình thực đề tài Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp nguồn cổ vũ động viên để tác giả có thêm nghị lực để hoàn thành Luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Mục lục Trang Mở đầu .………………………………… Ch¬ng 1: Mét sè c¬ së lý luận để xây dựng biện pháp dạy học Phát giải vấn đề theo hớng tích cực hoá hoạt động học sinh 1.1 Hoạt ®éng……………………………………………………………… 1.2 Hoạt động học tập. 1.3 Tính tích cực hoá hoạt động học sinh. 12 1.3.1 TÝnh tÝch cùc.…………………………………………………………………………………………… 13 1.3.2 Một vài đặc điểm tính tích cực nhận thức cđa häc sinh.………… 13 1.3.3 Ph¬ng pháp dạy học phát huy đợc tính tích cực 14 1.3.3.1 Một phơng pháp dạy học cần thoả mÃn điều kiện tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh………… ………… 14 1.3.3.2 Những dấu hiệu đặc trng phơng pháp d¹y häc tÝch cùc 15 1.4 D¹y häc Phát giải vấn đề ………… 20 1.4.1 C¬ së khoa học phơng pháp dạy học Phát giải vấn đề 20 1.4.1.1 Cơ sở triết học. 21 1.4.1.2 Cơ sở tâm lý häc…………………………………………………………………………… 22 1.4.1.3 C¬ së giáo dục học 23 1.4.2 Những khái niệm 23 1.4.2.1 Vấn đề 24 1.4.2.2 Tình gợi vấn đề 24 1.4.3 Dạy học PH GQVĐ 26 1.4.4 Bản chất dạy học Pháp giải vấn đề 27 1.4.5 Những hình thức cấp độ dạy học Phát giải vấn đề 27 1.4.6 Quy trình dạy học Phát giải vấn đề 29 1.4.6.1 Nguyên tắc thiết lập quy trình dạy học Phát giải vấn đề 29 1.4.6.2 Cấu trúc quy trình dạy học Phát giải vấn đề 30 1.5 KÕt luËn ch¬ng 34 Trang Ch¬ng 2: Các biện pháp dạy học Phát giải vấn đề theo hớng tích cực hoá hoạt động học sinh 2.1 Các định hớng xây dựng biƯn ph¸p…………………………………………………………….… 2.2 C¸c biƯn ph¸p…………………………………………………………………………………………… 2.2.1 Biện pháp 1: Tạo tình gợi vấn đề nhờ giải tập mà ngời học cha 35 35 39 39 biết thuật giải. 2.2.2 Biện pháp 2: Tạo tình gợi vấn đề nhờ lật ngợc vấn đề, xem xét tơng 44 tự, đặc biệt hoá, kh¸i qu¸t ho¸.…………………………………………………………………………… 2.2.3 BiƯn ph¸p 3: Sư dơng c¸c phơng pháp suy luận, mò mẫn, dự đoán để tìm 60 cách giải vấn đề. 2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành thói quen kiểm tra vận dụng kết vấn 68 đề đợc giải quyết. 2.2.5 Biện pháp 5: Phát nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm lời 71 giải. 2.2.6 Biện pháp 6: Hình thành phơng pháp tự häc, tù nghiªn cøu cho häc sinh ……………………………… …………………………………………………………………………… 2.3 KÕt luËn ch¬ng Ch¬ng 3: Thùc nghiƯm s ph¹m………………………………………………………………… 78 84 86 3.1 Mơc ®Ých thùc nghiƯm…………………………………………………………………………… 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm……………………………………………………………………… 3.2.1 Tỉ chøc thùc nghiƯm…………………………………………………………………………… 3.2.2 Néi dung thùc nghiÖm…………………………………………………………………………… 3.3 KÕt qu¶ thùc nghiƯm…………………………………………………………………………… 3.3.1 Kết đánh giá hoạt động học tập cđa häc sinh ë líp häc………………………… 3.3.2 KÕt qu¶ kiĨm tra……………………… …………………………………………………………… 3.3.3 KÕt luËn chung vÒ thùc nghiƯm s ph¹m………………………………………………………… KÕt ln…………………………………………… ………………………………………………………… 86 86 86 86 89 89 89 91 94 Qui ớc chữ viết tắt sử dụng luận văn Viết tắt PP GQVĐ THPT THCS PPDH Nxb ®pcm TN §C GTNN B§T : : : : : : : : : : : : Viết đầy đủ Phơng pháp Giải vấn đề Trung học phổ thông Trung học sở Phơng pháp dạy học Nhà xuất Điều phải chứng minh Thực nghiệm Đối chứng Giá trị nhỏ Bất đẳng thức Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khóa VIII 1997 ) đà đề ra: Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, sinh viên đại học Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, điều 28.2 đà viết: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; cần phải bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niỊm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh V× vậy, đổi phơng pháp dạy học làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải tiết học, học sinh đợc suy nghĩ, thảo luận hoạt động nhiều Đây tiêu chí, thớc đo đánh giá đổi Thay cho lối truyền thụ chiều, thuyết trình giảng dạy, ngời giáo viên cần phải tổ chức cho học sinh đợc học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo (Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên giáo viên THPH chu kỳ 3) 1.2 Trong xà hội phát triển nhanh theo chế thị trờng, theo định hớng xà hội chủ nghĩa cạnh tranh gay gắt, phát sớm giải hợp lý vấn đề nảy sinh thực tiễn lực bảo đảm thành đạt sống Vì tập dợt cho học sinh biết phát giải vấn đề gặp phải học tập, sống cá nhân, gia đình cộng đồng ý nghĩa tầm phơng pháp dạy học mà phải đợc đặt nh mục tiêu giáo dục đào tạo Trong dạy học Phát (PH) giải vấn đề (GQVĐ), học sinh vừa nắm đợc tri thức mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó, phát triển t tích cực sáng tạo, đợc chuẩn bị lực thích ứng với đời sống xà hội; phát kịp thời giải hợp lý vấn đề nảy sinh (Tài liệu bồi dỡng giáo viên - tr 34) 1.3 Nhà toán học Mü G.Polya ®· nãi: “Sù kÝch thÝch tèt nhÊt cho viƯc häc tËp lµ sù høng thó mµ tµi liƯu học tập gợi nên cho học sinh, phần thởng tốt cho hoạt động trí óc căng thẳng sảng khoái đạt đợc nhờ vào hoạt động nh vËy” Theo V.A.Cruchetxki, c¸c kh¸i niƯm “t tÝch cùc”, t độc lập t sáng tạo có mối liên hệ mật thiết với nhau, mức độ t khác nhau, mức độ trớc tiền đề cho mức độ sau, ngợc lại mức độ sau thể mức độ trớc Nh t tích cực cấp độ tiền đề cho cấp độ t đồng thời có mối liên hệ qua lại với cấp độ khác, phát huy đợc tính tích cực học sinh hoạt ®éng häc tËp lµ viƯc hÕt søc quan träng vµ điều đợc tác giả: Phan Gia Đức - Phạm Văn Hoàn Rèn luyện công tác độc lập cho học sinh thông qua môn Toán đà đợc khẳng định cách đắn: Nếu hoạt động t tích cực cho học sinh vũ trang cho học sinh kiến thức kỹ xảo chắn Mâu thuẫn yêu cầu đào tạo ngời xây dựng xà hội công nghiệp hóa đại hóa với thực trạng lạc hậu phơng pháp dạy học Toán đà làm nảy sinh thúc đẩy vận động đổi phơng pháp dạy học Toán với định hớng đổi tổ chức cho ngời học học tập hoạt động hoạt động, tự giác, tích cực, sáng tạo 1.4 Bộ môn lợng giác đời từ lâu, việc giảng dạy phần khó khăn giáo viên khó học sinh trình tiếp thu PH GQVĐ phơng pháp dạy học thích hợp với nhiều nội dung, đặc biệt sử dụng phơng pháp để dạy học giải tập lợng giác hình thành cho học sinh lực tự GQVĐ Vì lý trên, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: Thực hành dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Luận văn xác định sở lý luận tính tích cực hoạt động học tập học sinh thông qua phơng pháp dạy học, PH GQVĐ Từ xây dựng biện pháp s phạm làm sáng rõ khả dạy học PH GQVĐ, nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác NHIệM Vụ NGhIÊN CứU Để đạt đợc mục đích nghiên cứu hình thành nhiệm vụ sau: 3.1 HƯ thèng hãa c¬ së lý ln vỊ tÝnh tÝch cực hóa hoạt động học sinh dạy học PH GQVĐ Phân tích chất hình thức tổ chức phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh 3.2 Đề xuất định hớng làm sở xây dựng biện pháp dạy học 3.3 Xây dựng biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác 3.4 Thực nghiệm s phạm kiểm tra tính khả thi phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt ®éng cđa häc sinh Gi¶ thut khoa häc NÕu xây dựng đợc số biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh trình dạy học giải tập lợng giác, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán trờng phổ thông Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phơng pháp dạy học môn với tài liệu liên quan đến đề tài 5.2 Điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên vµ viƯc häc cđa häc sinh THPT 5.3 Thùc nghiƯm s phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số tiết trờng THPT để xét tính khả thi, hiệu đề tài Đóng góp luận văn 6.1 Về mặt lý luận Làm rõ đợc phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh Đề định hớng biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh 6.2 Về mặt thực tiễn Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trờng THPT Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn có ch¬ng: Ch¬ng 1: Mét sè c¬ së lý luËn để xây dựng biện pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt ®éng cđa häc sinh 1.1 Ho¹t ®éng 1.2 Ho¹t ®éng học tập 1.3 Tính tích cực hoá hoạt động học sinh 1.3.1 Tính tích cực 1.3.2 Một vài đặc ®iĨm vỊ tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cđa häc sinh 1.3.3 Phơng pháp dạy học phát huy đợc tính tích cực 1.3.3.1 Một phơng pháp dạy học cần thoả mÃn điều kiện tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh 1.3.3.2 Những dấu hiệu đặc trng phơng pháp dạy học tích cực 1.4 Dạy học Phát giải vấn đề 1.4.1 Cơ sở khoa học phơng pháp dạy học PH GQVĐ 1.4.1.1 Cơ sở triết học 1.4.1.2 Cơ sở tâm lý học 1.4.1.3 Cơ sở giáo dục học 1.4.2 Những khái niệm 1.4.2.1 Vấn đề 1.4.2.2 Tình gợi vấn đề 1.4.3 Dạy học PH GQVĐ 10 1.4.4 Bản chất dạy học PH GQVĐ 1.4.5 Những hình thức cấp độ dạy học PH GQVĐ 1.4.6 Quy trình dạy học PH GQVĐ 1.4.6.1 Nguyên tắc thiết lập quy trình dạy học PH GQVĐ 1.4.6.2 Cấu trúc quy trình dạy học PH GQVĐ 1.5 Kết luận chơng Chơng 2: Các biện pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh 2.1 Các định hớng xây dựng c¸c biƯn ph¸p 2.2 C¸c biƯn ph¸p 2.2.1 BiƯn ph¸p 1: Tạo tình gợi vấn đề nhờ giải tập mà ngời học cha biết thuật giải 2.2.2 Biện pháp 2: Tạo tình gợi vấn đề nhờ lật ngợc vấn đề, xem xét tơng tự, đặc biệt hoá, kh¸i qu¸t ho¸ 2.2.3 BiƯn ph¸p 3: Sư dơng c¸c phơng pháp suy luận, mò mẫn, dự đoán để tìm cách giải vấn đề 2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành thói quen kiểm tra vận dụng kết vấn đề đợc giải 2.2.5 Biện pháp 5: Phát nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm lời giải 2.2.6 Biện pháp 6: Hình thành phơng pháp tự học, tự nghiên cứu cho học sinh 2.3 KÕt ln ch¬ng Ch¬ng 3: Thùc nghiƯm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Nội dung thùc nghiƯm 3.2.1 Líp thùc nghiƯm 3.2.2 TiÕn tr×nh thùc nghiệm 69 Dự đoán giúp ta thật mà giải tập giảm đợc cách giải mày mò, mù quáng, trớc khó không vội vào tính toán, chứng minh mà biết vào kiện mục tiêu cần giải để có trù liệu, phán đoán Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên đâu? Sau bắt tay vào chứng minh, tính toán Khi đạt đợc phần kết kết hợp với mục tiêu để dự đoán, cảm nhận đợc cách giải đạt đợc kết Nếu thấy đợc tiếp tục phơng pháp đó, cảm thấy không đợc phải quay điều kiện ban đầu để dự đoán, tìm cách giải khác, điều chỉnh mÃi giải đợc Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, t×m GTLN cđa biĨu thøc T = sinA + sinB + sinC + 1 + + sin A sin B sin C Giáo viên đa nhận định A, B, C ba góc tam giác < A, B, C < 180o ⇒ sinA > 0, sin B > 0, sin C > BiÓu thức T cho dạng tổng số dơng có tích không đổi, để tìm GTNN T ta phải đánh giá theo chiều "" nên liên tởng gần sử dụng BĐT Cauchy để giải: T = sinA + sinB + sinC + ≥ 6 sin Asin B sin C 1 + + sin A sin B sin C 1 =6 sin A sin B sin C ThÕ nhng, dÊu đẳng thức lại xảy (Vì: sinA = sinB = sinC = ⇒A=B=C= 1 = = =1 sin A sin B sin C mâu thuÉn víi A + B + C = π) Vậy hớng sử dụng BĐT Cauchy cho số không đến kết quả, ta khai thác hớng khác Ta xem thử có liên hệ sinA, sinB, sinC hay không? 70 Ta thử liên hệ tới bất đẳng thức quen thuộc tam giác: sinA + sinB + sinC 3 Lúc toán đa dạng đại số túy: "Cho sè d¬ng a, b, c tháa m·n a + b + c ≤ T=a+b+c+ 3 T×m GTNN cđa T 1 + + " a b c Dựa vào vai trò bình đẳng a, b, c toán đồng thời thử số trờng hợp, ta dự đoán T đạt GTNN a = b = c = MỈt khác, dấu "=" BĐT Cauchy xảy hạng tử Từ dự đoán ta cã: a=b=c= 1 = = = a b c Để có số hạng BĐT Cauchy, ta phải tìm số cho: αa = αb = αc = 1 = = hay α = ⇒α= a b c 3 Trên sở đó, ta có lời giải Bài toán nh sau: T=a+b+c+ 1 4 1 1 + + = a + b + c + + + − (a + b + c) a b c 3 a b c     1 1 − (a + b + c) ≥ ≥ 6  a ÷ b ÷ c ÷     a b c ≥ 12 3 21 − = = 3 71 T= 3 ⇔a=b=c= 2 Hay GTNN cña T b»ng π , đạt đợc A = B = A = Trong ví dụ trên, giáo viên đà thuyết trình lại trình mò mẫm, tìm kiếm lời giải toán Giáo viên biết đặt vào vị trí học sinh, hình dung bình luận sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, biết xoay chuyển hớng suy nghĩ gặp khó khăn, đa lời giải 2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành thói quen tự kiểm tra ứng dụng kết vấn đề đợc giải Một mục tiêu quan trọng môn Toán là: Góp phần hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thờng xuyên Để thực mục tiêu Trong dạy học toán cần hình thành thói quen tự kiểm tra vận dụng kết vấn đề đợc giải Đây biện pháp hữu hiệu việc tích cực hoá hoạt động học sinh Ví dụ1: Chứng minh tam giác ABC không vuông ta có đẳng thức: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC Giáo viên tạo tình cách tập nhỏ: Bài 1: Cho tam giác ABC đều, h·y so s¸nh: tanA + tanB + tanC víi tanA.tanB.tanC Bài 2: Cho tam giác ABC có A = 1200, B = 300, C = 300, h·y so s¸nh: tanA + tanB + tanC với tanA.tanB.tanC Dự đoán vấn đề: Cho tam giác ABC không vuông, chứng minh rằng: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC Häc sinh tù giải vấn đề theo đờng biến đổi tổng thµnh tÝch: tan A + tan B + tan C = sin( A + B) sin C sin C sin C + = + cos A.cos B cos C cos A.cos B cos C 72 = sin C cos C + sin C cos A cos B sin C (cos C + cos A cos B) = cos A cos B cos C cos A cos B cos C   sin C  cos C + (cos( A + B) + cos( A − B)) ÷   = cos A.cos B.cos C = sin C (2cos C − cos C + cos( A − B)) 2cos A cos BcosC = sin C ( − cos( A + B ) + cos( A − B)) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C = tan A tan B tan C cos A cos B cos C Giáo viên kiểm tra lại trình biến đổi hỏi: Có cách đơn giản không? Nếu thấy cần thiết gợi ý: “A + B = π - C, hai gãc b»ng giá trị tan chúng nh nào? Mấu chốt toán trả lời đợc câu hái trªn: tan(A + B) = tan(π - C) ⇔ tan A + tan B = − tan C − tan A tan B ⇔ tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC Giáo viên cho học sinh trình bày lại cách Kiểm tra hai cách giải, tự học sinh so sánh cách giải sau tối u có sở cho không toán dạng Yêu cầu học sinh tự đặt toán tơng tự, lúc học sinh dự đoán vấn ®Ò tiÕp theo nh sau: “Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ta cã: cotA + cotB +cotC = cotAcotBcotC Học sinh tự giải vấn đề cách tơng tự, kết bác bỏ điều dự đoán pháp biểu lại vấn đề: Trong tam giác ABC ta cã: cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA =1” 73 Các đẳng thức chứng minh tơng tự Chứng minh r»ng tam gi¸c ABC ta cã: 1) cot A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2) tan A B B C A C tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 Kiểm tra lại việc sử dụng giả thiết toán, phát biểu lại toán sau “Cho A + B + C = n π , A, B, C ≠ π + kπ Chøng minh r»ng: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC” VËn dông kết toán để làm toán sau: Cho tam giác ABC nhọn, hÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = tanAtanBtanC Giáo viên tạo tình cách yêu cầu học sinh làm toán nhỏ: Bài 1: Cho tam giác ABC Tính P1 = tanAtanBtanC Bài 2: Cho tam giác ABC cã A = 600, B=750, C = 450 TÝnh P2 = tanAtanBtanC Bài 3: Cho tam giác ABC có A = 300, B=750, C = 750 TÝnh P3 = tanAtanBtanC Nêu đặc điểm chung ba tam giác so sánh ba giá trị P1, P2, P3? Tùy mức ®é thêi gian cho phÐp, cã thÓ xem tÝnh tan75 vấn đề nhỏ áp dụng kết đà biết Học sinh dễ dàng tính đợc P1 = 3 , P2= (2+ ) , P3 = + 12 , vµ P1 < P2 < P3 , đặc điểm chung ba tam giác tam giác nhọn Từ học sinh dự đoán vấn đề: Phải tam giác nhän ABC ta ®Ịu cã: tanAtanBtanC ≥ 3 (= P1)? 74 Giáo viên yêu cầu học sinh khai thác hết giả thiết, cho tam giác ABC nhọn nghĩa cho gì? Trớc hết học sinh phải phát tam giác ABC không vuông, nghĩa ta có đẳng thức tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC, ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dơng Tùy đối tợng học sinh, cần thiết giáo viên gợi ý: Tìm giá trị nhỏ tích, mà tích tổng, số hạng tổng dơng gợi cho em sử dụng công thức nào? Học sinh tù gi¶i quyÕt: tanA + tanB +tanC ≥ 3 tan A tan B tan C ⇔ tanAtanBtanC ≥ 3 tan A tan B tan C ⇔ tanAtanBtanC ≥ 3 Giáo viên kiểm tra lại trình giải toán Yêu cầu học sinh vận dụng làm tập: Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh rằng: tan8A + tan8B + tan8C ≥ 9tan2Atan2Btan2C” 2.2.5 BiƯn ph¸p 5: Phát sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm trờng phổ thông, môn Toán có nhiều tình dạy học điển hình, nhng xem giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Bởi vậy, chất vấn đề cho học sinh đợc thử thách với toán dễ mắc sai lầm Con ngời phải biết học sai lầm thiếu sót (G Pôlia) Chỉ có hoạt động đợc giáo viên thờng xuyên định hớng khích lệ nhng luôn tự việc mò mẫm sai lầm đa tới độc lập mặt trí tuệ (J Piaget) A A Stoliar nhấn mạnh: Không đợc tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh 75 J A Kômenxki khẳng định: Bất kỳ sai lầm làm cho học sinh nh giáo viên không ý tới sai lầm cách hớng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa khắc phục sai lầm Cần phải tập cho học sinh phát chỗ sai lời giải, tìm nguyên nhân đề xuất cách giải Bởi vì, biết bị sai lầm lỗi kiến thức bản, học sinh thực thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc chất tri thức đà lĩnh hội quan trọng em thấy thực cần thiết phải tự kiểm tra lại bớc lập luận trình tìm tòi lời giải toán Để giúp học sinh có phơng pháp nhận biết lời giải sai, Lê Thống Nhất cho cần trang bị cho họ dấu hiệu quan trọng sau: - Kết lời giải toán mâu thuẫn với kết trờng hợp riêng - Trờng hợp riêng kết không thoả mÃn toán - Kết lời giải không chứa kết trờng hợp riêng - Kết tìm đợc mâu thuẫn với thực tế - Kết không bình đẳng yếu tố bình đẳng giả thiết - Kết lời giải khác kết lời giải khác - Đơn vị đo hai vế đẳng thức khác Cuối phải nói thấy học sinh mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ sai lầm mà cè g¾ng dÉn d¾t khÝch lƯ häc sinh tù nhËn thức đợc sai lầm Tiến hành nh hợp lý muốn tích cực phải có hứng thú, mà hứng thú thờng mang màu sắc xúc cảm * Sai lầm việc biến đổi biểu thức lợng giác: Ví dụ 1: với x (0;π ) , rót gän: A = + cos x + − cos x Häc sinh thêng gi¶i nh sau: A = 2cos x + 2sin x = cos x + sin x = 2(cos x + sin x) = 2sin( x + ) 76 Giáo viên tạo tình b»ng c¸ch hái häc sinh: “Em h·y nhËn xÐt lêi giải hay sai?, Nếu sai, sai chỗ nào? Giáo viên phân tích sai lầm: Sai lầm mang dấu ấn sai lầm biến đổi đại số a2 = a Từ yêu cầu học sinh giải lại toán Lời giải ®óng lµ: A = 2cos2 x + 2sin x = 2( cos x + sin x ) Nhng víi x ∈ (0;π ) nªn sinx ≥ Ta cã hai trêng hỵp: π Trêng hỵp 1: x ∈ (0; ] cosx nên: A= (cosx + sinx) = 2sin ( x + π ) Trờng hợp 2: x ( ; ) cosx < nªn: A= π (cosx - sinx) = 2sin ( x − ) * Sai lầm việc giải phơng trình lợng giác: Khi giải phơng trình, học sinh thờng gặp phải sai lầm liên quan tới việc lấy nghiệm, kết hợp nghiệm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng Ví dụ 2: Giải phơng trình: sinx + cosx = (1) + cos x + sin x Ta gỈp nhiỊu häc sinh lËp ln nh sau: Tập xác định (1) là: + cosx + sin2x ⇔ 2+2( cos 2x + sin 2x ) ≥ 2 π ⇔ 2+2 cos( 2x − ) ≥ ⇔ ∀x ∈ R 77 Khi vế phải không âm mà vế phải vế trái nên vế trái không âm Vì hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng: (sinx + cosx)2 = + cos2x + sin2x π  π    2(cos( x − ) = 1 + cos( x − )        π     π   1 + cos( 2x − )  = 1 + cos( x − ) ®óng víi ∀x R Vậy nghiệm phơng trình (1) với x R Đây lập luận sai, sai lầm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng Cách lập luận học sinh xét tập nghiệm phơng trình, nhng giải phơng trình lại tìm tập nghiệm Do sau tìm đợc giá trị cần phải đối chiếu xem x có thuộc tập nghiệm hay không, tức phải lần lợt kiểm tra giá trị, điều nói chung không khả thi sin x + cos x Lời giải đúng: Ta có (1)  (sin x + cos x) = + cos x + sin x  π 2π   π + k 2π 2cos( x − ) ≥ − + k 2π ≤ ⇔ ⇔ ∀x ∈ R ∀x ∈ R   ⇔− π 2π + k 2π ≤ x ≤ + k 2π , k ∈ z 3 Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiÖm: f(x) = + tan x + m(tan x + cot x) − = sin x (5) NhiÒu häc sinh lËp luËn nh sau: Ta cã (5) ⇔ 3(tan x + ) + m(tan x + cot x) − = sin x 78 ⇔ 3(tan x + + cot x ) + m(tan x + cot x ) − = ⇔ 3(tan x + cot x ) + m(tan x + cot x ) + = Đặt tanx + cotx = t ⇒ tan x + cot x = t − Khi ®ã ta cã: 3(t2-2) + mt + = ⇔ 3t2 + mt = (5) Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm, phơng trình (5) có a.c=-12 < nên phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt Do phơng trình (5) có nghiệm Học sinh đà mắc phải sai lầm lập luận chỗ đà không quan tâm đến điều kiện t cho phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm Lời giải cần bổ sung Điều kiện t là: t Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm thoả mÃn t Phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 Mặt khác, t t = nghiệm t1, t2 thoả mÃn nên phơng trình (5) đồng thời có hai t1 t2 ≥2 Do ®ã (5) cã nghiƯm (5’) cã mét nghiệm đoạn [ 2;2] nghiệm khoảng ( 2;2 ) f ( )f ( 2) ≤ (8 − 2m)(8 + 2m) ≤ m ≥4 Häc sinh cã thÓ tìm điều kiện để phơng trình (5) có nghiệm thoả m·n t ≥2 theo c¸ch kh¸c VÝ dơ : Xác định m để phơng trình: (m-1) sin2 x+2(3m+2) sin x - = (4) có nghiệm Giải: Đặt t = sin x Khi đó, phơng trình đà cho trở thành (m-1)t2+2(3m+2) t- = (5) 79 Phơng tr×nh (4) cã nghiƯm (5) cã nghiƯm ∆'(5) = (3m -2)2 +4 (m-1) ≥ 19  m≤ 9m2 +16m ≥   m ≥ VËy víi m ≤ 19 hc m phơng trình đà cho có nghiệm Việc giáo viên yêu cầu tìm chỗ sai lời giải toán đà tạo tình nêu vấn đề, nói chung thuật giải để phát sai lầm Tình gợi nhu cầu nhận thức lẽ thân học sinh muốn tìm sai lầm lời giải, chấp nhận lời giải sai Nó gây cho ngời học niềm tin có khả huy động tri thức kỹ có thân họ hiểu rõ lời giải có sai lầm liên quan đến tri thức đà học Sau phát thấy sai lầm, học sinh đứng trớc nhiệm vụ nhận thức: Tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm Đó tình nêu vấn đề Bởi học sinh cha có sẵn câu trả lời thuật giải để có câu trả lời, học sinh có nhu cầu giải vấn đề, họ không chấp nhận để nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa, tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm liên quan tới tri thức sẵn có họ, vợt yêu cầu, học sinh thấy nÕu tÝch cùc suy nghÜ vËn dơng tri thøc ®· học giải đợc vấn đề Lời giải sai lầm chỗ: Học sinh không ý thức đợc điều kiện t nên đà phát biểu toán thành: "Xác định m để phơng trình (m-1)t2+2(3m+2)t- = cã nghiƯm" chÝnh v× vËy dÉn đến kết sai Việc giải sai lầm liên quan tới tri thức sẵn có học sinh em đà biết tập giá trị hàm số sin Với này, đặt t = sinx, điều kiện t -1 t Yêu cầu toán đợc chuyển thành: 80 " Xác định m để phơng trình (m-1)t2 + 2(3m+2) t - = 0" cã nghiÖm tho¶ m·n -1 ≤ t ≤ 1" * Sai lầm giải toán lợng giác tam giác: Một số sai lầm giải toán lợng giác tam giác không biện luận hết khả không để ý điều kiện c¸c gãc mét tam gi¸c VÝ dơ : Định dạng ABC, biết rằng: tan A sin A = (*) tan B sin B Häc sinh lËp luận nh sau: Dễ dàng nhận thấy để tanA tanB xác định tam giác vuông A hc B Ta cã: (*) tan A sin B = tan B sin A sin A sin B Sin B = sin A cos A cos B sin B sin A = sin B cos B = sin A cos A cos B cos B sin 2B = sin 2A 2B = 2A A = B ∆ABC cân C Giáo viên yêu cầu học sinh xem lại lời giải lời giải đà có chỗ sai Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh chỗ cho rằng: sin B = sin A B = A Đến giáo viên hỏi học sinh: Tại sin2B = sin2A 2B = 2A?” DƠ dµng thư thÊy 2B = π − 2A th× sin 2B = sin( π − 2A) Mµ sin( π − 2A) = sin 2A , suy sin 2B = sin 2A Từ chỗ phân tích sai lầm yêu cầu học sinh làm lại từ bớc sin2B = sin2A Và đà đa lời giải nh sau: 81 Ta có: (*) tan Asin B = tan Bsin A sin A sin B Sin B = sin A cos A cos B sin B sin A = sin Bcos B = sin A cos A cos B cos B sin 2B = sin 2A sin2A – sin2B = 2cos(A + B) sin (A – B) =  cos( A + B ) = ⇔ sin( A − B ) = Vì A + B (0; ) A − B ∈ (−π ;π ) nªn A + B = ⇔C= π hc A – B = A = B Tam giác vuông C cân C 2.2.6 Biện pháp 6: Hình thành phơng pháp tự học, tự nghiên cứu cho häc sinh * Tù häc lµ mét biĨu hiƯn cao hứng thú Trong năm gần đây, khối lợng tri thức khoa học tăng lên cách nhanh chóng Theo thống kê nhà khoa học, năm lại tăng lên gấp đôi, dòng thông tin tăng lên nh vũ bÃo dẫn đến chỗ khoảng cách tri thức khoa học nhân loại phận tri thức đợc lĩnh hội nhà trờng năm lại tăng lên Mà thời gian học tập nhà trờng có hạn, phơng pháp tự học có ý nghĩa đặc biệt thiết thực Tuy nhiên để tự học có hiệu cần có hớng dẫn giáo viên Tự học không hiểu học với sách, thầy bên cạnh; Mà có thầy bên cạnh, trò phát huy nội lực cố gắng học tự học Tự học tồn với học nh hình với bóng Để việc tự học bớt mò mẫm, thời gian có hệ thống nh chiều sâu, giáo viên phải rèn luyện cho học sinh có đợc phẩm chất trí tuệ nh tính linh hoạt, tính phê phán, tính độc lập, tính sáng tạo Ví dụ 1: Giải phơng trình: 82 Sin2x + sin23x = cos2x + cos24x (1) Bài toán vấn đề cần giải quyết, học sinh sẵn sàng bớc vào giải có khả giải đợc Phơng trình đà cho hiển nhiên cha có thuật giải, cha có dạng quen thuộc, cha gặp phơng trình chứa lũy thừa bậc chẵn giá trị lợng giác nên học sinh biến đổi: Phơng trình (1) cos 2x − cos 6x + cos 4x + cos 8x + = + 2 2 ⇔ cos8x + cos6x+cos4x + cos2x = (2) Häc sinh cã thể biển đổi phơng trình (2) phơng trình bậc chứa cosx nhng sau gặp khó khăn Do phải nghĩ đến phơng án đa phơng trình tích số (theo mạch phân tích logíc) cách nhóm số hạng sử dụng công thức céng (2) ⇔ 2cos7x.cosx + 2cos3x.cosx = ⇔ cosx(cos7x+cos3x) = ⇔ cosx.cos5x.cos2x =  cos x = ⇔  cos x =   cos5 x =  Khi lÊy nghiƯm cđa ph¬ng trình cosx = có học sinh cho nghiÖm: x= π π + kπ , cã häc sinh khác lại cho nghiệm x = + k , 2 x= + k Đây vấn đề cần làm sáng tỏ, yêu cầu học sinh giải thích ba nghiệm theo công thức khác lại mà không đợc dùng đờng tròn lợng giác Bài tập tơng tự: Giải phơng trình sau: sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 83 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = π sin24x - cos26x = sin(10,5 π +10x), x ∈ (0, ) Ví dụ 2: Giải phơng trình: sin x + sin x = Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại bất đẳng thức Bunhia- Copsky áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copsky để tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A= cos3x + cos x Với cách tạo tình gợi vấn đề nh giáo viên, học sinh liên hệ bất đẳng thức Bunhia-Copsky để áp dụng giải phơng trình phơng pháp đánh gi¸ A = cos3x + − cos x Dấu đẳng thức xẩy tơng đơng víi cos3x = ⇔ x = k 2π Từ dễ dàng nhận thấy: vế trái vế phải VT = cos3 x = Do phơng trình VP = sin x = (*) Yêu cầu học sinh tìm nghiệm phơng trình tơng tự giải phơng trình sau: 1) sin x + − sin x = 2(1 + cos 2 x) 2) sin x + − sin x = 3) sinx + cosx = 2(1-sin72x) VÝ dơ 3: A, B, C lµ gãc cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: Sin2B + sin2C – 2sinBsinCcosA = sin2A Ta cã thÓ chøng minh Sin2B + sin2C - sin2A – 2sinBsinCcosA = X = ... pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh 1.1 Hoạt động 1.2 Hoạt động học tập 1.3 Tính tích cực hoá hoạt động học sinh 1.3.1 Tính tích cực 1.3.2 Một vài đặc điểm tính tích. .. tởng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh Dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, dựa nguyên tắc Phát huy tính tích cực, tự giác sáng tạo học sinh Thực chất trình tổ chức, hớng dẫn học sinh. .. thụ động) a) Dạy học thông qua tổ chức hoạt động học tập học sinh Trong phơng pháp tích cực, ngời học, đối tợng hoạt động dạy, đồng thời chủ thể hoạt động học, đợc hút vào hoạt động học tập giáo