2. Một số biện pháp thực hành dạy học chơng II – Hình học 10 theo hớng tích
2.1.Hệ thống câu hỏi, bài tập tơng ứng với mỗi biện pháp để thực hành dạy học
học theo định hớng 1.
2.1.1. Chú trọng việc hớng dẫn học sinh t duy trong quá trình hình thành tìm ra kiến thức mới
Trong thực tiễn dạy học cần phải tránh lối truyền thụ một chiều thầy đọc trị ghi, thầy tĩm tắt nội dung rồi trị vận dụng chẳng hạn.
Từ kiến thức sin2α + cos2α = 1 Giáo viên nêu lên: sin23α + cos23α = ?
sin2α + cos2β = ? Khi tính giá trị biểu thức: A 3sin 2cos
sin cos
α + α =
Giáo viên phải nêu câu hỏi làm thế nào để xuất hiện tgα = 2 trong biểu thức?
Niềm vui, hứng thú cĩ tác dụng qua lại với tính tự giác tích cực chủ động trong học tập của học sinh cĩ ảnh hởng tới kết quả học tập của học sinh đĩ là trạng thái tâm lý thoải mái thì học sẽ vào hơn nếu học sinh đợc độc lập quan sát so sánh, phân tích, khái quát các sự kiện, hiện tợng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt. Bằng cách tạo nên tình huống cĩ vấn đề để học sinh tìm ra kiến thức mới là tốt nhất.
Ví dụ về dạy học bài
Định lý cosin trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c (xem hình 3) Ta cĩ a2 + b2 + c2 – 2bc cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
Cách dạy thứ nhất (khơng phù hợp) giáo viên nêu định lý và vẽ hình lên bảng, học sinh theo dõi và ghi vào vở, sau đĩ giáo viên trình bày chứng minh, học sinh ghi lại phép chứng minh
2 2 2 2 2
a =BCuuuur=(AC AB)uuur uuur− =ACuuuur uuuur+AB −2AB.ACuuur uuur
2 2 2 2
AC AB 2AB.AC cos A b c 2bc cos A
= + − = + −
Cách dạy thứ hai: Thể hiện qua các hoạt động của giáo viên và học sinh d- ới đây (xem hình 4):
Giáo viên hỏi một em hãy nhắc lại định lý pitago ở lớp dới.
Học sinh: Trong một tam giác vuơng bình phơng độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phơng các cạnh gĩc vuơng
đồng thời giáo viên vẽ hình 2 và iết lên bảng
Hình 3 B A C a b c Hỡnh 24
a2 = b2 + c2
Giáo viên: Bây giờ chúng ta nghiên cứu định lý pitago cụ thê hãy mở rộng định lý này nghĩa là đi tìm một hệ thức tổng quát trong tam giác bất kỳ sao cho định lý pitago là một trờng hợp đặc biệt của nĩ.
Học sinh: ? ? ? (học sinh suy nghĩ)
Giáo viên: Cĩ nhiều con đờng mở rộng định lý trong đĩ con đờng nghiên cứu một cách chứng minh định lý đĩ. Ta hãy sử dụng kiến thức về véctơ vừa mới học.
Học sinh: ? ? ?
Giáo viên: Hệ thức pitago viết dới dạng véctơ nh thế nào? Học sinh: BCuuuur uuuur uuuur2 =AB2+AC2
Giáo viên: Hãy chứng minh định lý đĩ Học sinh: ? ? ?
Giáo viên: Hãy biến đổi một vế thành vế kia chẳng hạn biến đổi vế phải. Học sinh: BCuuuur2 =(ACuuuur uuur2−AB). Vậy BC2 =AC AB2 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giáo viên: Định lý pitago đã đợc chứng minh bây giờ ta nghiên cứu quá trình chứng minh trên để tìm ra hệ thức mở rộng.
Giả thiết ∆ABC vuơng sử dụng chỗ nào.
Học sinh: ∆ABC vuơng ⇒ AC⊥AB ⇔ AB.AC 0uuur uuur=
Giáo viên: ∆ABC bất kỳ thì sao? Học sinh: AB.ACuuur uuur= AB AC cos Auuur uuur Giáo viên: Đúng: Hãy viết hệ thức đĩ
2 2 2 2
BC =(AC AB)uuur uuur− =ACuuuur uuuur+AB −2AB.ACuuur uuur
2 2
AC AB 2ABC cos A
=uuuur uuuur+ −
2 2 2
a =b + −c 2bc cos A
a . b b . ar uur r ur=
(k.a)b k(a.b); c(a b) a.c b.cr r= r r r r r+ =r r r r+
Giáo viên yêu cầu học sinh hoạt động làm hệ thống bài tập. Đối với hệ trục tọa độ Oxy cho a (1; 2), b( 3, 4), c (0, 3)r= r − = −
Hãy tính a.br r
và b.a;urr
(3a)br r
và 3(a.b)r r
c(a b)r r r+ và c.a b.cr r r r+
Các bài tập trên ngồi dụng ý là hình thành các tính chất của tích vo hớng cịn rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính tích vơ hớng của hai véctơ theo tọa độ của chúng.
2.1.2. Thờng xuyên rèn luyện cho học sinh các hoạt động thành phần trong việc củng cố các khái niệm, định lý. Xác lập mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức, hệ thống kiến thức
Học tập là một quá trình thu nhận và xử lý thơng tin. Mỗi thơng tin gồm 2 phần: Nội dung kiến thức và giá mang. Kiến thức là thơng tin cịn nằm trong giá mang. Để nắm đợc kiến thức, hoạt động học tập của học sinh cĩ nhiệm vụ là tách nội dung kiến thức ra khỏi giá mang. Lý do học sinh khơng nắm đợc nội dung kiến thức là do khơng tách đợc nội dung kiến thức ra khỏi giá mang của nĩ. Học sinh cĩ thể thuộc lịng các định nghĩa, định lý nhng lại khơng vận dụng đợc vào các tình huống khác nhau hay áp dụng một cách máy mĩc hình thức. Việc xác lập mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức, hệ thống hĩa kiến thức giúp học sinh đặt các kiến thức trong mối liên hệ, thống nhất giúp các em trong việc định hớng giải quyết vấn đề.
Ví dụ 2: Sau khi học sinh hình thành về định nghĩa các hàm số lợng giác của gĩc α (Oo ≤ α ≤ 180o) để học sinh nắm vững định nghĩa, cho học sinh tiến hành các hoạt động sau:
b) Dựng gĩc α biết: sin 3, cos 1, sin cos
3 2
α = α = − α = α
c) Xác định dấu các hàm số lợng giác trong bảng sau: Oo 90o 180o
sinα + +
cosα + -
tgα + - (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cotgα + -
d) Tìm tập hợp giá trị các hàm số y = cosα, y = sinα; với α ∈ [0; 180o] e) Cho gĩc α với Oo < α < 90o tg α cĩ thể bằng mỗi số sau đây đợc khơng?
Giải thích? 0,8; 1,3; -5; 0; 123
Chẳng hạn: * Đối với khái niệm tích vơ hớng của 2 véctơ, cĩ thể hớng dẫn học sinh nên các định nghĩa tơng đơng sau:
- Dạng độ dài: 1( 2 2 2) a.b a b a b 2 = + − − r r r r r r hay 1( 2 2) a.b a b a b 4 = + − − r r r r r r
- Dạng lợng giác: a.br r = a b .cos a, br r ( )r r
- Dạng tọa độ: a.b a br r= 1 1+a b2 2 (với a(a ,a ); b1 2 r =(b , b1 2)
Với các hình thức diễn đạt khác nhau, gợi cho học sinh các ứng dụng khác nhau của mỗi định lý, khái niệm. Qua đĩ lại khai thác đợc các cơng dụng mới
từ cách diễn đạt đĩ. Chẳng hạn: Từ cos A b2 c2 a2 bc
+ −
= dẫn đến xây dựng các mơ
hình về tam giác vuơng, nhọn, tù. Từ đĩ giúp học sinh trong việc chọn biểu thức để giải quyết vấn đề.
- Sau mỗi phần, mỗi chủ đề cần rèn luyện cho học sinh cĩ thĩi quen xác lập mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức, hệ thống hĩa kiến thức, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng.
Ví dụ 3: Về hệ thức cơ bản giữa các hàm số lợng giác của gĩc α (Oo ≤ α ≤ 180o) cĩ thể hớng dẫn học sinh lập bảng sau:
sinα sin2α + cos2α = 1 cosα 1 + cotg2α
= 1/sin2α
1 + tg2α = 1/cos2α cotgα tgα . cotgα = 1 tgα
Ví dụ 4: Mối liên hệ giữa các định lý cĩ thể là mối liên hệ chung riêng cũng cĩ thể là mối liên hệ suy diễn sau khi học xong 3. Hệ thức lợng trong tam giác, hớng dẫn học sinh các nhĩm lập bảng.
Với tam giác ABC bất kỳ BC = a, CA = b, AB = c, gọi S, p, R, r là diện tích, nửa chu vi, bán kính đờng trịn ngoại tiếp, bán kính đờng trịn nội tiếp ∆ABC.
Gọi ha, hb, hc và ma, mb, mc là đờng cao trong tuyến ứng với cạnh a, b, c ta cĩ bảng sau: Định lý hàm số cosin a2 = b2 + c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ab cosC A nhọn: ⇔ a2 < b2 + c2 A vuơng: ⇔ a2 = b2 + c2 A tù: ⇔ a2 > b2 + c2 Định lý hình chiếu a = bcosC + ccosB b = acosC + ccosA c = bcosA + acosB Định lý hsố cos suy rộng
Cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB Định lý trung tuyến a b 1 1 S a.h b.h 2 2 = = S−+ pr Định lý hàm số cosin S= p(p a)(p b)(p c)− − − abc S 4R = Định lý hàm sin
Ví dụ 5: Sơ đồ sau đây là hệ thống hĩa các cơng thức lợng giác
2.1.3. Khai thác các khía cạnh khác nhau của mỗi định lý, mỗi khái niệm tạo tiềm năng ứng dụng
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ
cos2α = cos2α - sin2α Cos3α = 4cos3α - 3cosα
2 1 cos2 cos 2 + α α = α = β 3α = 2α + α
Việc khai thác các khía cạnh khác nhau của mỗi khái niệm, định lý làm cho học sinh hiểu sâu sắc nội dung các khái niệm, định lý đĩ. Thơng qua đĩ tạo cho học sinh tiềm năng ứng dụng.
Ví dụ 6 : Học định lý cosin a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
Nêu lên mối liên hệ 3 cạnh 1 gĩc trong tam giác. Từ hệ thức giáo viên hớng dẫn học sinh rút ra các ứng dụng. - Tính cạnh - Tính gĩc, chẳng hạn 2 2 2 b c a cos A 2bc + − =
- Xác định hình dạng của tam giác (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A nhọn: ⇔ cosA = 0 ⇔ a2 < b2 + c2 A vuơng: ⇔ cosA = 0 ⇔ a2 = b2 + c2 A tù: ⇔ cosA < 0 ⇔ a2 > b2 + c2 Từ đĩ ta cĩ mơ hình về tam giác
∆ABC nhọn ⇔
cos A 0
cos B 0 cos A.cos B.cos C 0
cos C > > ⇔ > > ∆ABC cĩ 1 gĩc tù ⇔ cosA.cosB.cosC < 0
∆ABC cĩ 1 gĩc vuơng ⇔ a) cosA = 0 ⇔ a2 = b2 + c2 b) cosB = 0 ⇔ b2 = a2 + c2 c) cosC = 0 ⇔ c2 = b2 + a2
2.2. Hệ thống câu hỏi, bài tập tơng ứng với mỗi biện pháp để thực hành dạy học theo định hớng 2.
2.2.1. Xây dựng hệ thống bài tập cho mỗi đơn vị kiến thức, cho mỗi chủ đề,nâng dần mức độ khĩ khăn. nâng dần mức độ khĩ khăn.
ở trờng phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Các bài tốn ở tr- ờng phổ thơng là phơng tiện rất cĩ hiệu quả và khơng thể thay thế đợc trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo… Hoạt động giải bài tập tốn là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trờng phổ thơng. Vì vậy tổ chức cĩ hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn cĩ vai trị quyết định việc dạy học tốn.
Do đĩ trong dạy học tốn ở trờng phổ thơng, sau khi hình thành cho học sinh các kiến thức lý thuyết nh định nghĩa, định lý… cần tổ chức cho học sinh hoạt động nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đĩ bằng cách tại ra hệ thống bài tập sau đĩ học sinh luyện tập.
Ví dụ 1: Bài 1: Cho sin 3(0 90 ) 5
α = < α < o Tìm cosα?
Bài 2: Cho cos 1 3
α = − . Tìm sinα
Bài 3: Oo < α < 180o. Chứng minh rằng a) (sinα + cosα)2 = 1 + 2sin + cosα b) (sinα - cosα)2 = 1– 2sinα cosα c) sin4α - cos4α = 1 – 2sin2α cos2α Bài 4: Cho sinα + cosα = 1,4
Tìm sinα . cosα?
Bài 5: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc α a) A = (sinα + cosα)2 – (sinα - cosα)2
b) B = 2(sin6α + cos6α) – 3(sin4α + cos4α)
Bài 6: Biết cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny (Oo≤ x, y; x + y ≤ 180o) Chứng minh rằng: ∆ABC khơng tù thì (1 + sin2A)(1 + sin2B)(1 + sin2C) > 4 Bài 7: Cho u, v > 0; u2 + v2 = 1
Lu ý cách thực hiện: Các bài tập đợc sắp xếp dựa vào phân bậc hoạt động theo sự phức hợp của hoạt động hay theo nội dung của hoạt động.
Ví dụ 2: Để rèn luyện kỹ năng vận dụnh định lý hàm số sin, giáo viên cĩ thể cho học sinh giải hệ thống bài tập sau:
Bài 1: Cho ∆ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ha là đờng cao ứng với cạnh a, R là bán kính đờng trịn ngoại tiếp. Chứng minh
a) sinA = sinBcosC + cosBsinC; ha = 2RsinAsinB b) 2sinA = sinB + sinC với b + c = 2a
c) sinBsinC = sin2A với bc = a2
Bài 2: Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh a2sin2B + b2sin2A = 2absinC Bài 3: Cho ∆ABC vuơng A. Chứng minh c = c cos2B + bsin2B Bài 4: Xác định hình dạng ∆ABC biết:
Sin4C + 2sin4A + 2sin4B = sin2C . (sin2A + sin2B) Bài 5: Biết: 2 2 3 3 3
S R (sin A sin B sin C)
3
= + + . Chứng minh ∆ABC đều. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 6: Cho ∆ABC cĩ CM là trung tuyến và ACMã = α; BCMã = β. Chứng minh sinA = sinα : sinβ
* Hớng dẫn sử dụng: Học sinh yếu, kém làm các bài 1, 3; học sinh trung bình làm thêm các bài 2, 4; học sinh khá, giỏi làm thêm các bài cịn lại.
* Trong quá trình dạy học tốn, việc tạo ra các “bài tốn gốc” để phục vụ cho mỗi chủ đề nào đĩ là rất cần thiết. Các bài tốn gốc là phơng tiện nh các định lý bổ sung cĩ tính chất thực hành của giáo trình tốn ở trờng phổ thơng. Việc tạo ra hệ thống bài tốn gốc giúp học sinh tiềm lực huy động tri thức. Do đĩ việc xây dựng hệ thống bài tốn gốc trong mỗi dạng tốn là rất quan trọng, giúp học sinh định hớng trong t duy để giải tốn.
Ví dụ 3: Trong phần véctơ đã cĩ bài tốn:
Cho ∆ABC trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm E, F đặt AE m;AF n FC AB= = uuur uuur uuur . E B A C F M Hình 5
Hai đờng thẳng BF và CE cắt nhau tại M (xem hình 5). Chứng minh rằng:
AM mMB nMC= +
uuuur uuur uuur
(1) Từ kết quả bài tốn trên,
hớng dẫn học sinh đặc biệt hĩa cho các trờng hợp: + Khi M trùng tâm O của đờng trịn
ngoại tiếp tam giác ABC nhọn. (Xem hình 6)
áp dụng định lý hàm số sin cho các tam giác AEO, BEO
Ta cĩ:
1 1 2 2 1
AE R EB R R
;
sin O =sin E sin O =sin E =sin E
(R là đờng trịn ngoại tiếp ∆ABC mà sinC1 = sinAOC = sin2B; sinO2 = sin2A
AE sin 2B ; sin 2A EB ⇒ = uuur
uuur tơng tự AF sin 2C sin 2A FC = uuur uuur Do đĩ (1) trở thành: AC sin 2BOB sin 2COC sin 2A sin 2A = +
uuur uuur uuur
+ Khi M là tâm I của O đờng trịn nội tiếp ∆ABC thì từ (1) cho
sin B sin C
AC IB IC
sin A sin A
= +
uuur uur uur
+ Khi M là trục tâm H của ∆ABC thì (1) cho
taB tgC
AH .HB .HC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tgA tgA
= +
uuur uuur uuur
* Trong quá trình giải các bài tốn bằng hoạt động phân tích cĩ định h- ớng, thơng qua tổng hợp cần làm cho học sinh “nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài tốn khơng những về tính chất của kết luận, về cơng cụ giải mà cần phát hiện đợc mối liên hệ về cấu trúc của bài tốn là một bộ phận của bài tốn khác hay kết luận của bài tốn cần chứng minh suy ra từ bài tốn đã biết.
B A C E F O 2 2 1 1 Hình 6
Ví dụ 4: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Chứng minh rằng: CA OB Ouuur uuur ur+ = (1)
a) Xét ví dụ trên là bài tốn gốc đề dự đốn các bài tốn mới.
Sau khi giải ví dụ giáo viên cĩ thể đặt câu hỏi cho học sinh. Cĩ bao nhiêu điểm thỏa mãn (1).
Từ (1) ta cĩ: AO AB AO O 2AO AB AO 1AB 2
−uuur uuur uuur ur+ − = ⇒ uuur uuur= ⇒uuur= uuur
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm O chính là trung điểm của AB.
Giáo viên cĩ thể gợi ý: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ cĩ tìm đợc điểm O sao cho V OA OB OC Our uuur uuur uuur ur= + + = hay khơng?
Gọi N là trung điểm của BC, ta cĩ: OB OC 2ONuuur uuur+ = uuur
Do đĩ V OA 2ONur uuur= + uuur
Dựng điểm A’ so cho OA 2ONuuur= uuur ta cĩ V OA OA 'ur uuur uuuur= +