2. Một số biện pháp thực hành dạy học chơng II – Hình học 10 theo hớng tích
2.2.1.Xây dựng hệ thống bài tập cho mỗi đơn vị kiến thức, cho mỗi chủ đề,
nâng dần mức độ khĩ khăn.
ở trờng phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Các bài tốn ở tr- ờng phổ thơng là phơng tiện rất cĩ hiệu quả và khơng thể thay thế đợc trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo… Hoạt động giải bài tập tốn là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trờng phổ thơng. Vì vậy tổ chức cĩ hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn cĩ vai trị quyết định việc dạy học tốn.
Do đĩ trong dạy học tốn ở trờng phổ thơng, sau khi hình thành cho học sinh các kiến thức lý thuyết nh định nghĩa, định lý… cần tổ chức cho học sinh hoạt động nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đĩ bằng cách tại ra hệ thống bài tập sau đĩ học sinh luyện tập.
Ví dụ 1: Bài 1: Cho sin 3(0 90 ) 5
α = < α < o Tìm cosα?
Bài 2: Cho cos 1 3
α = − . Tìm sinα
Bài 3: Oo < α < 180o. Chứng minh rằng a) (sinα + cosα)2 = 1 + 2sin + cosα b) (sinα - cosα)2 = 1– 2sinα cosα c) sin4α - cos4α = 1 – 2sin2α cos2α Bài 4: Cho sinα + cosα = 1,4
Tìm sinα . cosα?
Bài 5: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc α a) A = (sinα + cosα)2 – (sinα - cosα)2
b) B = 2(sin6α + cos6α) – 3(sin4α + cos4α)
Bài 6: Biết cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny (Oo≤ x, y; x + y ≤ 180o) Chứng minh rằng: ∆ABC khơng tù thì (1 + sin2A)(1 + sin2B)(1 + sin2C) > 4 Bài 7: Cho u, v > 0; u2 + v2 = 1
Lu ý cách thực hiện: Các bài tập đợc sắp xếp dựa vào phân bậc hoạt động theo sự phức hợp của hoạt động hay theo nội dung của hoạt động.
Ví dụ 2: Để rèn luyện kỹ năng vận dụnh định lý hàm số sin, giáo viên cĩ thể cho học sinh giải hệ thống bài tập sau:
Bài 1: Cho ∆ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ha là đờng cao ứng với cạnh a, R là bán kính đờng trịn ngoại tiếp. Chứng minh
a) sinA = sinBcosC + cosBsinC; ha = 2RsinAsinB b) 2sinA = sinB + sinC với b + c = 2a
c) sinBsinC = sin2A với bc = a2
Bài 2: Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh a2sin2B + b2sin2A = 2absinC Bài 3: Cho ∆ABC vuơng A. Chứng minh c = c cos2B + bsin2B Bài 4: Xác định hình dạng ∆ABC biết:
Sin4C + 2sin4A + 2sin4B = sin2C . (sin2A + sin2B) Bài 5: Biết: 2 2 3 3 3
S R (sin A sin B sin C)
3
= + + . Chứng minh ∆ABC đều.
Bài 6: Cho ∆ABC cĩ CM là trung tuyến và ACMã = α; BCMã = β. Chứng minh sinA = sinα : sinβ
* Hớng dẫn sử dụng: Học sinh yếu, kém làm các bài 1, 3; học sinh trung bình làm thêm các bài 2, 4; học sinh khá, giỏi làm thêm các bài cịn lại.
* Trong quá trình dạy học tốn, việc tạo ra các “bài tốn gốc” để phục vụ cho mỗi chủ đề nào đĩ là rất cần thiết. Các bài tốn gốc là phơng tiện nh các định lý bổ sung cĩ tính chất thực hành của giáo trình tốn ở trờng phổ thơng. Việc tạo ra hệ thống bài tốn gốc giúp học sinh tiềm lực huy động tri thức. Do đĩ việc xây dựng hệ thống bài tốn gốc trong mỗi dạng tốn là rất quan trọng, giúp học sinh định hớng trong t duy để giải tốn.
Ví dụ 3: Trong phần véctơ đã cĩ bài tốn:
Cho ∆ABC trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm E, F đặt AE m;AF n FC AB= = uuur uuur uuur . E B A C F M Hình 5
Hai đờng thẳng BF và CE cắt nhau tại M (xem hình 5). Chứng minh rằng:
AM mMB nMC= +
uuuur uuur uuur (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(1) Từ kết quả bài tốn trên,
hớng dẫn học sinh đặc biệt hĩa cho các trờng hợp: + Khi M trùng tâm O của đờng trịn
ngoại tiếp tam giác ABC nhọn. (Xem hình 6)
áp dụng định lý hàm số sin cho các tam giác AEO, BEO
Ta cĩ:
1 1 2 2 1
AE R EB R R
;
sin O =sin E sin O =sin E =sin E
(R là đờng trịn ngoại tiếp ∆ABC mà sinC1 = sinAOC = sin2B; sinO2 = sin2A
AE sin 2B ; sin 2A EB ⇒ = uuur
uuur tơng tự AF sin 2C sin 2A FC = uuur uuur Do đĩ (1) trở thành: AC sin 2BOB sin 2COC sin 2A sin 2A = +
uuur uuur uuur
+ Khi M là tâm I của O đờng trịn nội tiếp ∆ABC thì từ (1) cho
sin B sin C
AC IB IC
sin A sin A
= +
uuur uur uur
+ Khi M là trục tâm H của ∆ABC thì (1) cho
taB tgC
AH .HB .HC
tgA tgA
= +
uuur uuur uuur
* Trong quá trình giải các bài tốn bằng hoạt động phân tích cĩ định h- ớng, thơng qua tổng hợp cần làm cho học sinh “nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài tốn khơng những về tính chất của kết luận, về cơng cụ giải mà cần phát hiện đợc mối liên hệ về cấu trúc của bài tốn là một bộ phận của bài tốn khác hay kết luận của bài tốn cần chứng minh suy ra từ bài tốn đã biết.
B A C E F O 2 2 1 1 Hình 6
Ví dụ 4: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Chứng minh rằng: CA OB Ouuur uuur ur+ = (1)
a) Xét ví dụ trên là bài tốn gốc đề dự đốn các bài tốn mới.
Sau khi giải ví dụ giáo viên cĩ thể đặt câu hỏi cho học sinh. Cĩ bao nhiêu điểm thỏa mãn (1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ (1) ta cĩ: AO AB AO O 2AO AB AO 1AB 2
−uuur uuur uuur ur+ − = ⇒ uuur uuur= ⇒uuur= uuur
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm O chính là trung điểm của AB.
Giáo viên cĩ thể gợi ý: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ cĩ tìm đợc điểm O sao cho V OA OB OC Our uuur uuur uuur ur= + + = hay khơng?
Gọi N là trung điểm của BC, ta cĩ: OB OC 2ONuuur uuur+ = uuur
Do đĩ V OA 2ONur uuur= + uuur
Dựng điểm A’ so cho OA 2ONuuur= uuur ta cĩ V OA OA 'ur uuur uuuur= +
Vậy điểm O luơn tồn tại và duy nhất. Từ đĩ ta cĩ
Bài tốn 1: Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ. Chứng minh rằng luơn tồn tại duy nhất điểm O sao cho OA OB OC Ouuur uuur uuur ur+ + =
Bài tốn 2: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại điểm O sao cho OA OB OC OD Ouuur uuur uuur uuur ur+ + + =
Từ đĩ học sinh cĩ thể phát biểu giả thiết
Bài tốn 3: Cho n điểm phân biệt A1, A2, …, An (n ≥ 2) luơn tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn GAuuuur uuuur1+GA2+ +... GAuuuur urn =O.
Nhận xét: Với M bất kỳ ta cĩ
1 2 n
GAuuuur uuuur+GA + +... GAuuuur ur=O
1 2 n
nGM MA MA ... MA O
⇔ uuuur uuuuur uuuuur+ + + +uuuuur ur=
( 1 2 n) 1
GM MA MA ... MA
2
G gọi là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, …, An
b) Xét bài tốn tổng quát của ví dụ 1 theo hệ số của các véctơ ta cĩ Bài tốn 4: Cho hai điểm phân biệt A, B và 2 số thực α, β (α + β≠ 0) Chứng minh rằng: Tồn tại duy nhất điểm I sao cho α + +β =IAuur IB Ouur ur Hớng dẫn: Ta cĩ α + β = ⇔ −α + βIAuur IB Ouur ur IAuur (AB IA) Ouuur uur− =ur
( )IA AB ⇔ α + β uur= βuuur IA β AB ⇔ = α + β uur
Đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại duy nhất của điểm I, đồng thời chia ra cách dựng điểm I.
Điểm I gọi là tâm tỉ cực của hai điểm {A, B} với hệ số (α, β) kết hợp bài tốn 3 và bài tốn 4 ta cĩ:
Bài tốn 5: Với n điểm phân biệt A1, A2, …, An (n ≥ 2) và n số thực α1, α2, …, αn sao cho α1+ α2 + … + αn≠ 0
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I sao cho
1
1IA 2IA2 ... nIAn O (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
α uur + α uuur+ + α uuur ur=
Điểm I đợc gọi là tâm tỉ cực của hệ điểm {A1, A2, …, An} ứng với bộ số {α1, α2, …, αn}.
Bài tốn này đợc chứng minh bằng quy nạp.
c) Giáo viên cĩ thể hớng dẫn học sinh nhìn nhận ví dụ trên theo hớng khác nh sau:
Cho đoạn thảng AB và điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, N ngồi trên đờng thẳng AB nhng khơng nằm trên đoạn AB. Khi đĩ MA.MBuuur
và MB.MAuuur uuuur
cùng độ dài và ngợc hớng, NA.NBuuur
và NB.NAuuur
cùng độ dài và cùng hớng. Từ đĩ ta cĩ.
Bài tốn 6: Cho đoạn thẳng AB, M nằm trên đoạn thẳng AB, N nằm trên đờng thẳng AB nhng khơng nằm trên đoạn thảng AB. Chứng minh rằng:
b) NA.NB NB.NA Ouuur− uuur ur=
Nhận xét: Với điểm O bất kỳ, ta cĩ
( ) ( )
MA.MB MB.MA Ouuur uuur uuuur ur+ = ⇔MA OB OMuuur uuuur− +MB OA OMuuur uuuur+ =Our
( )
MA.OB MB.OA MA MB OM
⇔ uuur+ uuur= + uuuur
MA.OB MB.OA AB.OM
⇔ uuur+ uuur= uuuur
( ) ( )
NA.NB NB.NA Ouuur− uuur ur= ⇔NA OB ONuuur uuur− −NB OA ONuuur uuur− =Our
( )
NA.OB NB.OA NA NB ON
⇔ uuur− uuur= − uuur
Khi N nằm bên phải đoạn AB ta cĩ AB.ON NA.OB NB.OAuuur= uuur− uuur
Khi N nằm bên trái đoạn AB ta cĩ AB.ON NB.OA NA.OBuuur= uuur− uuur
Khi đã cĩ kết quả trên đoạn thẳng, ta cĩ thể thu đợc kết quả tơng tự trong mặt phẳng. Bằng cách cho tơng ứng đờng thẳng với tam giác, độ dài với diện tích, ta cĩ bài tốn.
Bài tốn 7: Cho ∆ABC, M là một điễm thuộc miền trong tam giác. N là điểm thuộc miền ngồi tam giác nhng thuộc miền trong gĩc BAC.
Chứng minh rằng:
i) S .MA S MB S MC OAuuuur+ Buuur+ Cuuur ur= (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong đĩ: SA =S∆MBC; SB=S∆MAC; SC =S∆NBA
ii) S .NA S NB S .NC OA uuur+ Buuur+ Cuuur ur=
Trong đĩ: SA =S∆NBC; SB =S∆NAC; SC =S∆NBA
Chứng minh: xem hình 7
i) Kẻ AM cắt BC tại M1. Theo nhận xét của bài tốn 6. Ta cĩ:
1 1 1
BC.MMuuuuur=M B.MC M C.MBuuur+ uuur (1)
1 1 1 M B M C MM MC MB BC BC ⇒ = uuur+ uuur (2) Thay (2) vào (1) ta cĩ: 1 1 1 M B M C MA. MC MB MM .MA O BC BC + + = ữ
1 1 1
MA.M B.MC MA.M C.MB BC.MM .MA O
⇔ uuur+ uuur+ uuuur ur= (3) Ta lại cĩ:
( ) MM B1 MM C1 A
1 1 1 1
2S 2S 2S
BC.MM BM M C .MM
sin sin sin
∆ ∆ = + = + = ϕ ϕ ϕ (a) Với ϕ =MM Cã 1 ( ) AM C1 MM C1 B 1 1 1 1 2S 2S 2S MA.M C AM MM M C
sin sin sin
∆ ∆ = − = − = ϕ ϕ ϕ (b) Tơng tự 1 2Sc MA.M B sin = ϕ (c)
Thay (a), (b), (c) vào (3) và rút gọn ta đợc
A B C
S .MA S .MB S .MC Ouuuur+ uuur+ uuur ur= (đpcm)
ii) áp dụng nhận xét tiếp theo của bài tốn 6 và chứng minh hồn tồn t- ơng tự câu (i) giáo viên cĩ thể hớng dẫn học sinh xây dựng các bài tồn khác khi cho M, N là các điểm đặc biệt của tam giác.
+ Khi cho M trùng với trọng tâm G của tam giác ta cĩ GA GB GC Ouuur uuur uuur ur+ + =
+ Khi cho M trùng với tâm đờng trịn nội tiếp I của ∆ABC ta cĩ aIA bIB cIC Ouur+ uur+ uur ur=
Thay a 23; b 2S; c 2S
ha hb hc
= = = ta đợc IA IB IC O
ha +hb hc+ =
uur uur uur ur (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thay a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC ta đợc sinA.IA sin B.IB sin C.IC Ouur+ uur+ uur ur=
+ Nếu ∆ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác x, y, z là khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB ta cĩ A B C M M1 Hình 7
x.MA yMB z.MC Ouuuur+ uuur+ uuur ur=