Nửa nhóm số đối xứng và siêu đối xứng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHƢỚC TÀI NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ SIÊU ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ PHƢỚC TÀI NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ SIÊU ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Vinh – 2012 Mục lục Trang Bảng dẫn kí hiệu định nghĩa Mở đầu Chƣơng Nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Nửa nhóm số đối xứng Chƣơng Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử nửa nhóm số siêu đối xứng 18 2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử 18 2.2 Nửa nhóm số siêu đối xứng 24 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÍ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA S : nửa nhóm số x S y  t  S : x  t  y F  S   max x  : x  S  : Số Frobenius S g  S  g  S   s : s  S với g  F  S  S nửa nhóm đối xứng S   g  S   S '  x  : x  S , x  a  S ,  a  S , a   Dạng S : type  S   S ' h  S   max x  : x  S , x  g  S  S g  S : S nửa nhóm với F  S   g 10 S  s   t  S : t  s  S  với s  S , s  11 L  st   1 , , ,t 1   t 1 : 1s1   s2   t 1st 1  S  st  12 n bội dương nhỏ st thuộc nửa nhóm s1 , s2 , , st 1 : Điểm gốc St 13 S  s1 , s2 , , st nửa nhóm st - siêu đối xứng t 1 st  ni si  S , i  1,2, , t  kéo theo  st   ni si  S i 1 14 S  s1 , s2 , , st nửa nhóm siêu đối xứng S si - siêu đối xứng với i  1,2, , t  MỞ ĐẦU Năm 1884, J.J.Sylvester phát biểu giải toán sau:” Giả sử s1 , s hai số nguyên tố Xác định số nguyên lớn g không biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính n1s1  n2 s2 n1 n2 số nguyên không âm” Câu trả lời g  s1s2  s1  s2 Tuy nhiên, Sylvester khoảng  0, g  có số khơng âm biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm s1 , s2 chứa số nguyên không âm không biểu diễn dạng Tính chất đặc trưng nửa nhóm S sinh s1 , s2 Sylvester gọi tính đối xứng Năm 1942, Frobenius Braur tổng quát hóa toán Sylvester sau: “Giả sử s1 , s2 , , sk số tự nhiên với ước chung lớn Xác định số nguyên lớn không biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính nguyên s1 , s2 , , sk ” Số nguyên gọi số nguyên Frobenius Việc giải toán làm xuất hướng nghiên cứu nửa nhóm gọi nửa nhóm số Luận văn chúng tơi dựa cơng trình On numerial semigroups đăng Semigroup Forum số 35 năm 1987 The double of a numerial semigroups đăng Journal of Pure and Applied Algebra số 213 (2009) để tìm hiểu nửa nhóm số đối xứng siêu đối xứng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia làm hai chương: Chương Nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm số, nửa nhóm số đối xứng số tính chất chúng Chương Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử nửa nhóm số siêu đối xứng Trong chương chúng tơi trình bày nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử , nửa nhóm số siêu đối xứng trình bày số tính chất đặc trưng nửa nhóm số với ba phần tử sinh chứng minh kết liên quan đến số Frobenius nửa nhóm số Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người hướng dẫn tận tình, chu đáo suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Vinh, bạn bè cao học Tốn khóa 18 – Chun ngành Đại số Đại số, thầy cô khoa Sau đại học trường Đại học Đồng tháp có đóng góp q báo để tác giả hồn thành luận văn Mặt dù cố gắng luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHÓM SỐ NỬA NHĨM SỐ ĐỐI XỨNG 1.1 Nửa nhóm số Trong tiết này, phép tốn nửa nhóm S kí hiệu theo lối cộng Ta nhắc lại rằng, nửa nhóm S gọi nửa nhóm xyclic tồn phần tử a  S cho S  a  a,2a, , na,  Có hai trường hợp xảy ra: Thứ nhất, với hai số nguyên m, n khác ma  na , S đẳng cấu với nửa nhóm cộng  * số nguyên dương S có cấp vô hạn Thứ hai, tồn m  n ma  na , ta kết sau 1.1.1 Mệnh đề.( [1, Định lý 1.9] ) Giả thiết S  a nửa nhóm xyclic cho ma  na với số nguyên dương m, n khác Giả sử k số nguyên dương nhỏ cho ka  với r  k giả sử mk n (1) Đối với p  q  r , đẳng thức pa  qa m chia hết cho p  q ; (2) S  a,2a, ,  k  1 a có lực lượng k  1; (3) G  ra,  r  1 a, ,  k  1 a nhóm S ; đơn vị G , h số nguyên thỏa mãn r  h  m  r  h chia hết cho m Phần tử a gọi phần tử sinh nửa nhóm S  a , r gọi số m gọi chu kỳ a ( gọi số chu kỳ nửa nhóm xyclic hữu hạn S  a ), số nguyên m  r  gọi cấp phần tử a ( gọi cấp nhóm xyclic S  a ) Chỉ số chu kỳ nửa nhóm xyclic hữu hạn xác định sai khác đẳng cấu Hơn nữa, hai số nguyên dương r m , tồn nửa nhóm xyclic hữu hạn C  r , m  số r chu kì m Nửa nhóm xyclic  r , m  nhóm r  , C 1, m  nhóm xyclic cấp m Mặt khác, nửa nhóm xyclic C  r , m  chứa lũy đẳng nhất, đơn vị nhóm G Mệnh đề 1.1.1 Nửa nhóm cộng * tất số nguyên dương nửa nhóm xyclic vơ hạn nửa nhóm cộng số ngun khơng âm vị nhóm nhận từ * cách bổ sung thêm phần tử không 1.1.2 Định nghĩa Các vị nhóm nửa nhóm cộng gọi nửa nhóm số S tập sinh nhóm cộng số nguyên Giả sử S nửa nhóm số khác khơng d ước chung lớn phần tử thuộc S Thế S  d T , T  S ước chung lớn phần tử thuộc T 1; giả sử nửa nhóm T nửa nhóm số nguyên thủy Để xác định tất nửa nhóm số, ta cần xác định nửa nhóm số nguyên thủy Trước hết ta chứng minh kết sau 1.1.3 Mệnh đề Giả sử a b số nguyên dương nguyên tố Nếu n   a  1 b  1 tồn số ngun khơng âm x y cho n  xa  yb Chứng minh Trong trường hợp a b tầm thường, giả thiết  a  b Chúng ta viết ib  qi a  ri ,  ri  a  i  a  Vì b  (mod a) nên tập hợp ri i 0 tập đầy a 1 đủ thặng dư mod a Nếu n   a  1 b  1 , viết n  ta  r ,  r  a , từ r  ri i 0 Nếu r  rj , t  q j ; t  q j kéo theo a 1 ta  rj  n  q j a  rj  jb Do jb  n chia hết cho a Nhưng jb   a  1 b  1   a  1 : mâu thuẫn Do t  q j từ n   t  q j  a  q j a  rj   t  q j  a  jb Từ Mệnh đề 1.1.3 suy nửa nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên tố chứa iđêan k   x  \ x  k , k số nguyên dương Kết chứng tỏ nửa nhóm số nguyên thủy khác không chứa cặp số nguyên dương nguyên tố 1.1.4 Mệnh đề Nếu S nửa nhóm số ngun thủy khác khơng tồn số nguyên dương a, b nguyên tố cho a, b  S Chứng minh Tồn tập hữu hạn a1 , a2 , , an  S  * với ước chung lớn Chọn số nguyên x1 , x2 , , xn cho:  x1a1  x2a2   xn an Thế  k  a1  a2   an1   xn  an   x1  kan  a1    xn1  kan  an1 số nguyên k , k đủ lớn, xi  kxn số nguyên dương cho n 1  x i 1 i  kan    k  a1   an1   xn  an  S nguyên tố với an  S 1.1.5 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số khác khơng d ước chung lớn phần tử khác không thuộc S (1) Tồn số nguyên dương k cho S chứa md với mk; (2) S hữu hạn sinh Từ đó, thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng  a.c.c  nửa nhóm con; (3) Tồn tập hữu hạn B phần tử sinh nửa nhóm S cho C tập sinh tùy ý S (xét vị nhóm) B  C Chứng minh Khẳng định (1) suy trực tiếp từ Mệnh đề 1.1.3 Mệnh đề 1.1.4 Để chứng minh (2), ý tập hợp si i 1 phần tử thuộc S t mà bé kd hữu hạn, S sinh bởi: s  t i i 1 10  kd ,  k  1 d , ,  2k  1 d  Khẳng định nói vị nhóm hữu hạn sinh suy điều kiện chuỗi tăng  a.c.c  vị nhóm thỏa Để chứng minh (3), giả sử k1 phần tử dương nhỏ S Thế b1 thuộc vào tập sinh C S Nếu b1 sinh S vị nhóm lấy B  b1 Ngược lại, giả sử b2 phần tử nhỏ S khơng nằm vị nhóm b1 sinh b1 Thế b1 , b2   C tập sinh C S Tiếp tục trình ta nhận b1 , b2 , , bn  S n thỏa mãn điều kiện  a.c.c  vị nhóm con, ta lấy B  b1 , b2 , , b n  Chúng ta thấy nửa nhóm số đẳng cấu với vị nhóm nguyên thủy Kết chứng tỏ nửa nhóm số nguyên thủy khác không đẳng cấu với 1.1.6 Mệnh đề Giả thiết S T nửa nhóm số Nếu  : S  T đồng cấu tồn số hữu tỉ q không âm cho   s   qs với s  S Như vậy,  đơn ánh ánh xạ tất phần tử S thành Nếu S T vị nhóm nguyên thủy  đẳng cấu từ S lên T S  T Chứng minh Giả sử s phần tử khác không S t    s  , giả sử q  t Lấy s '  S s Nếu s '    s '   qs ' Nếu s '    ss '  s  s '  s '  s  nên   s '  qs ' Như  đơn ánh q   ánh xạ không q  18 1.2.13 Ký hiệu Giả sử S nửa nhóm số Với s  S \ 0 , ký hiệu S  s  tập hợp tất phần tử t  S cho t  s  S , nghĩa S  s   t  S | t  s  S  Như vậy, t  S  s  t số nhỏ thuộc S nằm lớp thặng dư modul s Vì \ S hữu hạn nên có s phần tử thuộc S  s  Từ trực tiếp suy 1.2.14 Bổ đề Tập hợp S  s  tập cô lập S theo thứ tự phận  S , nghĩa t  S  s  u  S t u  S  s  1.2.15 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số s  S \ 0 Với số nguyên t , điều kiện sau tường đương: (i) t  sS ' ; (ii) t tối đại S  s  với quan hệ thứ tự phận  S ; Chứng minh t  s  S ' t  s  S t  s  u  S với u  S \ 0 , nghĩa t  S  s  t  u  S  s  với u  S \ 0 Nhưng điều tương đương với t phần tử tối đại S  s  với quan hệ thứ tự phận  S 1.2.16 Hệ Nếu S nửa nhóm số s  S \ 0 dạng S số phần tử tối đại S  s  theo thứ tự phận  S 1.2.17 Hệ Dạng nửa nhóm số S khơng vượt s  S | s  0  Chứng minh Giả sử s số nguyên dương nhỏ thuộc S Vì  S  s  nên S  s  chứa s  phần tử tối đại (theo quan hệ  S ) 1.2.18 Hệ Nếu S nửa nhóm số s  S \ 0 F  S   max S  s   Chứng minh Vì F  S  phần tử lớn S ' 19 1.2.19 Ví dụ a/ Nửa nhóm 2,2k  k , k  1,2k  thỏa mãn đẳng thức Hệ 1.2.18 Một hệ khác g  s1s2  s1  s2 nửa nhóm sinh tối tiểu hai số s1 s2 Công thức cổ điển thuộc Synester ông nghiên cứu số Frobenius nửa nhóm số Sử dụng kĩ thuật tính S  a  ( tính S ' F  S  ) nửa nhóm số S sinh dãy số a, a  d , a  2d , , a  kd 1.2.20 Mệnh đề Giả sử d s t số nguyên tố nhau, s  s1 , s2 , , st T  ds1 , ds2 , , dst 1 , st Thế (1) T  st   ds | s  S  st  ; (2) Dạng S dạng T , nói riêng S đối xứng T đối xứng; (3) F T   dF  S    d  s  st Chứng minh Giả sử t  T  st  Thế t  ds1 , ds2 , , dst 1 Đặt t  ds với s  S Khi t  st T từ ds  dst T Như s  st  S , nghĩa s  S  st  Do phần tử thuộc T  st  có dạng ds với s  S  st  Đẳng thức (1) suy T  st  S  st  có st phần tử Từ (2) (3) suy từ Hệ 1.2.17, Hệ 1.1.19 Mệnh đề 1.2.16 CHƢƠNG NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG SINH BỞI BA PHẦN TỬ VÀ NỬA NHÓM SỐ SIÊU ĐỐI XỨNG 20 2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử Trước hết ta xét mệnh đề sau: 2.1.1 Mệnh đề Giả sử S  s1 , s2 , , st nửa nhóm số u  s1 , s , , st 1 Khi hai điều kiện sau tương đương: (1) u  S  st  u  si  S  t  si S u  i  1,2, , t  1 ; (2) u bội dương nhỏ s t nằm s1 , s2 , st 1 Chứng minh Điều kiện u  S  st  tương đương với st  S u Như u thỏa mãn điều kiện (1) có st  S u st  si S u với i  1,2, , t  Suy u  kst với k Nếu có mst  s1 , s2 , , st 1 m  , m  k i 1,2, , t  1 phải có si S mst từ si  st S u Như k nhỏ nhất, nghĩa u thỏa mãn điều kiện (2) Bây giả sử u  pst bội dương nhỏ st thuộc s1 , s2 , st 1 Rõ ràng u  S  st  Lấy i tùy ý thỏa mãn  i  t  cho si S u chọn r lớn cho rst  si S u Thế   p  r  st  s1 , s2 , , st 1 từ r  Như st  si S u nên u thỏa mãn điều kiện (1) 2.1.2 Định nghĩa Số u thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.1.1 gọi điểm góc (corner) S  st  Ký hiệu L  st   1 , , ,t 1   t 1 | 1s1   s2   t 1st 1  S  st  Phần tử 1 , , ,t 1   L  st  gọi cực đại L  st   , , , , i 1 i  1,i 1 , ,t 1   L  s t  i  1,2, , t  2.1.3 Ví dụ Chúng ta minh họa định nghĩa hình vẽ cho L  st  hai trường hợp Trước hết giả sử s1 , s2 , s3  5,6,7 21 Ở đây, L     0,0  , 1,0  ,  2,0  ,  3,0  ,  0,1 , 1,1 ,  2,1  3,0  ;  2,1 phần tử cực đại L   Điểm góc S   3s1  s2  3.5   21  3.7 (Xem hình 1a) Tiếp theo, giả sử s1 , s2 , s3  4,6,9 Ở đây, L     0,0  , 1,0  ,  2,0  ,  3,0  ,  4,0  , 5,0  ,  0,1 , 1,1 ,  2,1 ,  0,2  , 1,2  ,  2,2  Các phần tử cực đại L    5,0  ;  2,2  chúng biểu diễn phần tử 20 S Điểm góc S   3s1  s2  3.4   18  2.9 (Xem hình 1b) s2 s2 s1 s1 Hình 1b Hình 1a 2.1.4 Mệnh đề Giả sử S  s1 , s2 , s3 Nếu tồn ba phần tử cực đại L  s3  S nửa nhóm đối xứng Chứng minh Giả sử phần tử cực đại L  s3   ,   ,  ,   , ,  ,   với 1 2 k k k  Chúng ta khơng có phần tử cực đại L  s3  với tọa độ thứ nhất, giả thiết 1      k Thế 1  2  k Tiếp theo nhận xét i  1,2, , k  nên có  i  1 s1   i 1  1 s2 điểm góc S  s3  (Xem hình 2) 22 Mệnh đề 2.1.1(2) kéo theo i  1, i 1  1 tất biểu diễn phần tử S  s3  i  1,2, , k  điểm góc Hiển nhiên điều kéo theo i s1  i 1s2 tất i  1,2, , k  điều đưa đến  ,     0,     i i 1 tất biểu diễn phần tử i  1,2, , k  Nhưng với i  nhận  ,   phần tử cực 1 đại L  s3  , biểu diễn phần tử cực đại S  s3  Như vậy,  ,  i i 1  1  2  biểu diễn phần tử cực đại S  s3  từ  ,  i 1  1  2  phần tử cực đại L  s3  i  1,2, , k  i Điều dẫn đến i 1  1  2  i mà chứng tỏ  i , i  tất biểu diễn phần tử S  s3  i  1,2, , k  Cuối cùng,  k 2 ,  k 1   k 1 ,  k  biểu diễn phần tử  i , i  i  k Chúng ta chứng tỏ tất phần tử cực đại S  s3  nhau, từ dạng S một, nghĩa S nửa nhóm số đối xứng Chúng tơi trình bày hai cách chứng minh cho kết sau, cách sử dụng khái niệm điểm góc S  s3  phần tử L  s3  , cách chứng minh trực tiếp khơng dùng khái niệm 23 2.1.5 Định lý Nếu S  s1 , s2 , s3 dạng S không vượt Chứng minh thứ Nếu số phần tử cực đại L  s3  S đối xứng theo Mệnh đề 2.1.4 Dạng S số phần tử cực đại S  s3  mà khơng vượt q số phần tử cực đại L  s3  Mâu thuẫn chứng tỏ dạng S không vượt Chứng minh thứ hai Trước hết mô tả cách để xây dựng phần tử S ' Giả sử a  max  j | s3  js1  S  b  max k | s3  as1  ks2  S  Khi z  s3  as1  bs2  S ' z  S z  si  S , i  1,2,3 Chúng ta nói phần tử xây dựng cách  s3 , s1 , s2  - sinh tắc Bằng cách có sáu phần tử S ' phép  s1 , s2 , s3  Bây giả sử x  S ' Thế x viết dạng x  a2 s2  s2  c2 s3  a3s1  b3s2  s3 với số nguyên không âm a2 , c2 , a3 , b3 Chúng ta khẳng định x  s2 , s3 , s1  - sinh tắc s ,s ,s  sinh tắc, nghĩa s2   c2  1 s3  S s3   b3  1 s2  S Giả thiết s2   c2  1 s3  S s3   b3  1 s2  S Thế từ x  a2 s1  s2  c2 s3 suy ra: s2   c2  1 s3  x  s3  as1   a3  a2  s1  b3s2 phần tử khơng thuộc S nên phải có a3  a2 Tương tự s3   b3  1 s2  x  s2  a3s1   a2  a3  s1  c2 s3 không thuộc S kéo theo a2  a3 Mâu thuẫn nhận chứng minh S ' chứa hai phần tử dạng S không vượt Nhận xét sau thuộc J.Backelin: không tồn cận dạng s1 , s2 , , st t  24 2.1.6 Ví dụ Giả sử n  r  3n  cho trước s  r  3n    , S  s ,s  3, s  3n  1, s  3n  Đặt M   r  1 s  i | 2  i  3n  1, i  0(mod3) Khi M  S ' Thật vậy, trước hết nhận xét x  S , x   r   s x phải tổng gồm  x  phần tử Do M  S   Sau  s chứng tỏ M  x  S với phần tử sinh x S Từ M  S ' dạng S không nhỏ 2n  (Thực ra, người ta chứng minh S '  M   2n  1 s  6n dạng S 2n  ) 2.1.7 Mệnh đề Nếu S  s1 , s2 , s3 khơng phải nửa nhóm đối xứng phần tử S  s3  có cách biểu diễn L  s3  Chứng minh Giả sử phần tử S  s3  có hai biểu diễn khác L  s3  : 1 , 1   ,   Khi tồn số ngun khơng âm  ,  cho    ,     2    ,     1 phần tử cực đại L  s3  , từ phần tử nằm L  s3  phần tử cực đại L  s3  tương ứng với phần tử cực đại S  s3  1   , 1    phải biểu diễn phần tử S  s3     ,     biểu diễn Như vậy, phần tử cực đại S  s3  tương ứng với hai phần tử khác nằm L  s3  Nếu số phần tử cực đại L  s3  hai chứng tỏ chúng biểu diễn phần tử nằm S  s3  , trường hợp S nửa nhóm số đối xứng Hiển nhiên L  s3  có phần tử cực đại S3 đối xứng 25 2.1.8 Bổ đề Giả sử S  s1 , s2 , s3 với giả thiết s1 , s2 , s3 đôi nguyên tố s3  s1 hay s3  s2 Thế phần tử S  s3  có tọa độ L  s3  Chứng minh Giả thiết phản chứng có hai phần tử  n1 , n2   m1 , m2  thuộc L  s3  biểu diễn phần tử m1s1  m2 s2  n1s1  n2 s2 thuộc S  s3  , s3  s1 với n Giả thiết n1  m1 , n2  m2 Thế  m1  s1   m2  n2  s2 S n1s1  n2 s2 phần tử thuộc S  s3  theo Bổ đề 1.2.15 Phép chứng minh hoàn thành chứng tỏ as1  bs2  S  s3  kéo theo a  b  Giả sử bs2  S  s3  , ks2  S  s3  với k  0,1, , b nên b  s3  s1 Vì s1 , s2 nguyên tố nên phải có s1 chia hết b , b  từ a  2.1.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm số sinh cực tiểu ba phần tử đôi nguyên tố Khi S khơng phải nửa nhóm số đối xứng Chứng minh Giả sử S  s1 , s2 , s3 s1  s3 , s2  s3 s1 , s2 , s3 đôi nguyên tố Giả thiết phản chứng S đối xứng Ta chứng tỏ s1  s2 , s3 s2  s1 , s3 Trước hết ta chứng tỏ điểm góc S  s3  bội s1 s2 Giả thiết  a1  1 s1   a2  1 s2 điểm góc S  s3  Thế S  s3  phải chứa phần tử cực đại a1s1  b2 s2 với b2  a2 phần tử cực đại b1s1  a2 s2 với b1  a1 Theo Bổ đề 2.1.8, hai phần tử nằm S  s3  khác nhau, điều mâu thuẫn với S nửa nhóm đối xứng Như điểm góc S  s3  bội s1 hay s3 Ta xem xét điểm góc S  s3  ks3  as1 Vì s1 s3 nguyên tố nên s3 chia hết a Từ tính cực tiểu k suy a  s3 26 0, s1 ,2s1 , ,  s3  1 s1  S  s3  , S sinh S  s3  s3 , S  s1 , s3 hay s2  s1 , s3 2.2 Nửa nhóm số siêu đối xứng Trong tiết chúng tơi tìm hiểu nửa nhóm số với số phần tử sinh tùy ý Trước hết chúng tơi xét lớp nửa nhóm đối xứng đặc biệt gọi nửa nhóm siêu đối xứng Sau chúng tơi phân lớp nửa nhóm siêu đối xứng Chúng tơi cần đến khái niệm cở sở hai bổ đề chuẩn bị 2.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm số S  s1 , , st gọi st - siêu đối xứng t 1 từ st  ni si  S , ni  , i  1,2, , t 1 kéo theo  st   ni si  S i 1 2.2.2 Mệnh đề Nửa nhóm S  s1 , s2 , st nửa nhóm st - siêu đối xứng S nửa nhóm đối xứng phần tử thuộc S  st  có biểu diễn L  st  Chứng minh Giả sử S nửa nhóm st - siêu đối xứng với i  1,2, , t  đặt  max ni | st  ni si  S  t 1 Khi  st   si  S g  F  S  phải phần tử cực đại i 1 S ' Do S đối xứng Ta thấy có phần tử S  st  với hai cách biểu diễn khác L  st  , có phần tử cực đại L  st  với hai cách biểu diễn khác nhau, theo phép chứng minh Mệnh đề 2.1.7, mà điều có hiệu lực nửa nhóm số có phần tử sinh nhiều Nhưng rõ ràng L  st  có phần tử cực đại  a , a , , a  t 1 Đảo lại, giả thiết S nửa nhóm đối xứng cho phần tử thuộc S  st  có biểu diễn L  st  Giả sử  a1 , a2 , , at 1  phần t 1 tử cực đại L  st  , F  S    st   si Do i 1 27 st  si  S i  1,2, , t  Giả thiết st  bj s j  S với j t 1 cho a j  b j Thế phải có phần tử cực đại  st   ci si nằm i 1 S  st  với c j  b j , điều mâu thuẫn với tính biểu diễn phần tử tối đại S  st  Như st  ni si  S với i  1,2, , t  t 1 ni  với i  1,2, , t   st   ci si  S , điều chứng tỏ S nửa i 1 nhóm st - siêu đối xứng 2.2.3 Định nghĩa Một nửa nhóm số S  s1 , s2 , , st gọi siêu đối xứng (supersymmetric) S si siêu đối xứng với i  1,2, , t Mệnh đề 2.2.2 chứng tỏ S  s1 , s2 , st nửa nhóm siêu đối xứng S nửa nhóm đối xứng L  st  biểu diễn phần tử S  st  tất hoán vị phần tử sinh s1 , s2 , st Tất nửa nhóm s1 , s2 siêu đối xứng, điều suy trực tiếp từ đặc trưng cho sau 2.2.4 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số s1 , s2 , s3 phần tử thuộc S Giả thiết số tự nhiên , bi , ci (i  1,2) đó, có s1  b1s2  c s3  S ,  s2  a2 s1  c2 s3  S , s1   b1  1 s2  S ,  s1   c1  1 s3  S s2   a2  1 s1  S ,  s2   c2  1 s3  S Thế c1  c2 Chứng minh Ta có s1  b1s1  c s3  s1   b1  1 s2  s2  c1s3  S Nếu c1  c2 s2  c1s3  S nên s1   b 1 s2  s2  c1s3  S s1   b1  1  S : Mâu thuẫn với giả thiết Như c1  c2 Lập luận tương tự  s2  a2 s1  c2 s3  s2   a2  1 s1  s1  c2 s3 ta nhận c2  c1 Vậy c1  c2 28 Bây ta chứng tỏ nửa nhóm siêu đối xứng đặc trưng tập hợp phần tử sinh cực tiểu chúng tính số Frobenius F  S  theo phần tử sinh 2.2.5 Mệnh đề Giả sử S  s1 , s2 , , st nửa nhóm siêu đối xứng t a s i 1 i j ij i  s j với j  1,2, , t biểu thức F  S  Thế ai1    ait với i  1,2, , t , nghĩa ta có ( với bi  aij ):  1 b2 b3 bt   b  b b  t    b1 b2  bt       b1 b2 b3      s1  1  s  1   2    s3   F  S  1           st  1  Chứng minh Khẳng định ai1    ait suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.4 2.2.6 Mệnh đề Nửa nhóm số S sinh cực tiểu s1 , s2 , , st nửa nhóm số siêu đối xứng có t cặp số đơi ngun tố  t  pj  p1 , p2 , , pt cho si   j 1  pi với i  1,2, , t Chứng minh Từ công thức F  S   b1s1  b2 s2   bt 1st 1  st từ biểu diễn L  st  phần tử S  st  suy tồn b  1b  1  bt 1  1 phần tử khác S  st  Nhưng có st phần tử S  st  Bằng lập luận tương tự ta thấy si   t j 1 b j  1  b  1 với i i  1,2, , t Đặt pi  bi  với i  1,2, , t Khi p1 , p2 , , pt đơi nguyên tố Điều suy từ giả thiết chuẩn tắc chúng ta: phần tử sinh có ước chung 29 2.2.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số,  t p  i  S   i 1  p1  t p  i  ,  i 1   t p  i  , ,  i 1  p2  t  p t  j  t j 1   Khi F  S    t  1  pi    pi i 1 i 1   pt      Chứng minh Ta có  t    pi  F  S    p1  1  i 1   t    pi    p2  1  i 1  p1  t  pj   t   t  1  pi  i 1  j 1  p2  t    pi     pt 1  1  i 1  pt 1  t    pi    i 1  t i 1 pi 2.2.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm số dạng t n  n  S  số phần tử sinh S nhỏ số Frobenius F  S  Khi n  t  1  F  S   Chứng minh Giả sử phần tử sinh S  0; F  S   t1  t2   tn giả sử Ti  m  | m  S , m  s  S , s  S , s  ti  Thế T1  S ' Tn  \ S Chúng ta khẳng định có phép nhúng: ti : Ti \ Ti 1  T1 Giả sử m Ti \ Ti 1 nghĩa m  s  S , s  S , s  ti m  ti  S Thế m  ti T1  n  ti   s  S đến s  , s  S Điều có nghĩa số phần tử Ti \ Ti 1 không vượt số phần tử nằm T1 , từ số phần tử Ti khơng nhiều t lần số phần tử nằm T1 (với i  ) Nói riêng số phần tử Tn  \ S không vượt n lần số phần tử nằm T1  S ' Nhớ t lực lượng S ' , ta nhận F  S    n  nt hay n 1  t   F  S   pt 30 2.2.9 Chú ý Chúng ta so sánh kết với câu hỏi mà Willf đặt vào năm 1978: Giả sử S nửa nhóm sinh k phần tử với k.n  S   F  S   Phải đẳng thức xảy S  k , k  1, ,2k  ? Mệnh đề 1.2.5 cho ta khẳng định cho câu hỏi Willf với k  Nếu k  câu trả lời khẳng định với nhóm số dạng lớn (Xem 2.1.5) Mặt khác, ý sau Định lý 2.1.6 không kéo theo câu trả lời khẳng định cho câu hỏi Willf k  Cuối nhận thấy đẳng thức câu hỏi Willf xảy tất nửa nhóm số S  k , mk  1, mk  2, mk  3, ,  m  1 k  F  S   mk  1, n  S   m số phần tử sinh k 31 KẾT LUẬN Nội dung luận văn gồm vấn đề sau: Trình khái niệm tính chất lớp nửa nhóm (nửa nhóm số, nửa nhóm số đối xứng nửa nhóm số đối xứng với ba phần tử sinh, nửa nhóm số siêu đối xứng) Trình chứng minh liên quan đến kết số Frobenius nửa nhóm số ( Định lý 2.2.8) TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Tiếng Việt [1] A.H Cliphớt G.B Prestơn(1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại , Trường Đại học Vinh [4] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [5] M.Brass – Amorós, P.A – Gacía – Sanchér (2006), Patterns on numerical semigroups, Linear Algebra Appl 414 , 652 – 669 [6] D.E.Dobbs, H.J.Smith (2010), Numerical semigroups whose fractions are of maximal embedding dimension, Semigroup Forum, Pubblished online: 10 November 2010, Springer [7] R.Froberg, C GotHieb, R Haggkvist(1987), On numerial semigroups, Semigroup Forum, 35 , 63 – 83 [8] A.M.Robles – Pérez, J.C.Rosales, V.Vasco (2009) The doubles of a numerial semigroup, Journal of Pure and Applied Algebra 213, 387 – 396 [9] J.C Rosales, P.A García – Sásnchez, J.I García – García, M.B Branco (2004), Arf numerical semigroups, Journal of Algebra 276, – 12 [10] H.J.Smith (2010), Numerical semigroups that are fractions of numerical semigroup of maximal embedding dimension, Jp J.Algebra Number Theory Appl.17, 69 – 96 ... Nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Nửa nhóm số đối xứng Chƣơng Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử nửa nhóm số siêu đối xứng 18 2.1 Nửa nhóm. .. khái niệm nửa nhóm số, nửa nhóm số đối xứng số tính chất chúng 6 Chương Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử nửa nhóm số siêu đối xứng Trong chương chúng tơi trình bày nửa nhóm số đối xứng sinh... CHƢƠNG NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG SINH BỞI BA PHẦN TỬ VÀ NỬA NHÓM SỐ SIÊU ĐỐI XỨNG 20 2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh ba phần tử Trước hết ta xét mệnh đề sau: 2.1.1 Mệnh đề Giả sử S  s1 , s2 , , st nửa nhóm