Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc1 of 141 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN CHU THỊ TUYẾT NHUNG NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG BỘI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2017 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc1 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc2 of 141 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy cô giáo, học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt trưởng thành ngày hôm Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Tuyết Nhung luan van thac si su pham,luan van ths giao duc2 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc3 of 141 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Đỗ Văn Kiên Những nội dung không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Tuyết Nhung ii Chu Thị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac si su pham,luan van ths giao duc3 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc4 of 141 Mục lục Mở đầu 1 Nửa nhóm nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm, nửa nhóm 1.1.1 Nửa nhóm 1.1.2 Nửa nhóm 1.1.3 Tập sinh nhóm 1.2 Nửa nhóm số 1.3 Tập Apéry 1.4 Số Frobenius số giả Frobenius 10 1.5 Phân loại nửa nhóm số 14 1.5.1 Nửa nhóm số đối xứng 14 1.5.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 16 1.5.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 19 1.5.4 Một số ví dụ 22 iii ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc4Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc5 of 141 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số chiều nhúng bội qua tập sinh tối tiểu 2.2 24 24 Đặc trưng nửa nhóm số chiều nhúng bội qua iđêan định nghĩa Tài liệu tham khảo 34 43 iv ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc5Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc6 of 141 MỞ ĐẦU Đại số nội dung quan trọng toán học đại Đối tượng chủ yếu cấu trúc đại số nhóm, vành, trường Trong nhóm đối tượng toán học Nghiên cứu nửa nhóm số tương đương với việc giải nghiệm nguyên không âm phương trình tuyến tính không bậc với hệ số nguyên dương Đây vấn đề cổ điển nghiên cứu nhiều tài liệu nửa nhóm số đóng vai trò quan trong giải tích, đại số tuyến tính Trong lý thuyết nửa nhóm số có ba loại nửa nhóm số quan trọng nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng Cho trước nửa nhóm số H, toán đặt xác định xem nửa nhóm số H thuộc loại toán khó phức tạp Kết luận văn thực dựa theo báo tác giả Nari, Numata, Watanabe ([NNW], 2011) Cụ thể H nửa nhóm số sinh phần tử bội trả lời cho câu hỏi Hơn nữa, kiểu không vượt Với ý nghĩa lòng yêu thích chuyên ngành Đại số với gợi ý giúp đỡ thầy giáo - Th S Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn chọn đề tài "Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5" làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ đề tài cung cấp số kiến thức sơ nửa nhóm số cung cấp loại nửa nhóm số hầu ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc6Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc7 of 141 đối xứng bội với phép nhúng chiều Nội dung đề tài cấu trúc thành hai chương: Chương 1: Nửa nhóm, nửa nhóm số Chương 2: Nửa nhóm số hầu đối xứng bội Chương thứ tập trung tính đối xứng nửa nhóm mà tổng quát nửa nhóm số hầu đối xứng Chương thứ hai đề cập tới dạng nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử bội Các kết định lý 2.1.1, 2.1.4 2.2.2 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc7Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc8 of 141 Chương Nửa nhóm nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm, nửa nhóm Trước tiên, trình bày kiến thức sở nửa nhóm, nửa nhóm để hình thành khái niệm nửa nhóm số 1.1.1 Nửa nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một phép toán hai tập hợp X ánh xạ T : X × X → X Ảnh (x, y) ∈ X × X qua ánh xạ T gọi hợp x y phép toán T, kí hiệu xT y Thông thường phép toán T kí hiệu · (phép nhân ) + (phép cộng ) Phép toán hai T tập hợp X gọi có tính chất kết hợp với x, y, z ∈ X ta có xT (yT z) = (xT y)T z Phép toán hai T tập hợp X gọi có tính chất giao hoán với x, y ∈ X ta có xT y = yT x Nếu tồn phần tử e ∈ X cho với x ∈ X thỏa mãn xT e = ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc8Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc9 of 141 eT x = x e gọi phần tử đơn vị X Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp X khác rỗng nửa nhóm X với phép toán hai cho X có tính chất kết hợp Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm mà phép toán giao hoán gọi nửa nhóm giao hoán Ví dụ 1.1.3 (1) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng thông thường tạo thành vị nhóm giao hoán (2) Tập hợp ma trận cấp × với hệ số thực phép nhân ma trận không nửa nhóm giao hoán Thật vậy, lấy  A=  A.B =    ,B =  11 15    , B.A =    11 14   Ta thấy A.B = B.A Định lý 1.1.4 Giả sử x1 , x2 , , xn n phần tử (phân biệt hay không ) nửa nhóm X x1 x2 xn = (x1 xi )(xi+1 xj ) (xm+1 xn ) Nói cách khác, tích n phần tử tùy ý nửa nhóm không phụ thuộc vào cách kết hợp Định lý 1.1.5 Trong nửa nhóm giao hoán X, tích x1 x2 xn không ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm luan van thac su pham,luan van ths giao duc9Toán of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc10 of 141 phụ thuộc vào thứ tự nhân tử, tức x1 x2 xn = xi1 xi2 xin với i1 , , in hoán vị 1, , n 1.1.2 Nửa nhóm Định nghĩa 1.1.6 Một nửa nhóm A nửa nhóm X tập khác rỗng đóng kín với phép toán hai X Mệnh đề 1.1.7 Giao họ khác rỗng nửa nhóm nửa nhóm X nửa nhóm X 1.1.3 Tập sinh nhóm Định nghĩa 1.1.8 Cho A tập nửa nhóm X, nửa nhóm nhỏ X chứa A gọi nửa nhóm sinh A Một nửa nhóm tồn mệnh đề 1.1.7 Kí hiệu nửa nhóm sinh A A Đặc biệt, X = A ta nói X sinh A Nếu X = a , a ∈ X X gọi nửa nhóm xyclic Nhận xét 1.1.9 i) Nếu X vị nhóm với đơn vị e A = ∅ A = {e} ii) Nếu A = ∅ A = {λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an | n ∈ N \ {0} , ∈ A, λi ∈ N ∀i} ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc10 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc34 of 141 Vậy H đối xứng Bây ta chứng minh định lý Định lý 2.1.4 Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số bội 5, {5, b, c, d} hệ sinh tối tiểu H, xếp lại vị trí {b, c, d} Khi (1) H giả đối xứng b = 3α + 2β + 1, c = α + 4β + 2, d = 2α + 3β + 4, α, β ≥ với β − α ≡ 2(mod 5) Trong trường hợp F (H) = 4α + 6β − (2) H hầu đối xứng với t(H) = b = 3α + 2β − 1, c = α + 4β − 2, d = 2α + 3β − 4, α ≥ 1, β ≥ với β − α ≡ 3(mod 5) Trong trường hợp F (H) = 4α + 6β − 13 (3) H đối xứng b = 3α + 2β, c = α + 4β, d = 2α + 3β, α, β ≥ với α ≡ β(mod 5) Trong trường hợp F (H) = 4α + 6β − Chứng minh Ta có Ap(H, 5) = {0, b, c, d, w} 29 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc34 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc35 of 141 (1) + Giả sử   b + d ≡ 0(mod 5)   b + d ≡ 0(mod 5) ⇔  c + 2d ≡ 0(mod 5)  c + w ≡ 0(mod 5) Ta có •   2(b + d) ≡ 0(mod 5) ⇒ c ≡ 2b(mod 5)  c + 2d ≡ 0(mod 5) •2(c + 2d) ≡ 2c + 4d ≡ 2c − d ≡ 0(mod 5) ⇒ 2c ≡ d(mod 5) •   d ≡ −b(mod 5) ⇒ c + b ≡ b(mod 5)  c ≡ 2b(mod 5) Từ định lý 2.1.3 H giả đối xứng + b + c = 2d, ta có hệ sau    c + d ≡ b(mod 5)       c ≡ 2b(mod 5)    2c ≡ d(mod 5)      b + c + = 2d     2b = c + 5α    ⇔ 2c = d + 5β      b + c + = 2d với α, β ≥ Suy     b = 3α + 2β +    c = α + 4β +      d = 2α + 3β + 30 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc35 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc36 of 141 F (H) = 2(d − 5) = 4α + 6β − + Nếu b, c, d ≡ 0(mod 5)     3α + 2β + ≡ 0(mod 5)    α + 4β + ≡ 0(mod 5)      2α + 3β + ≡ 0(mod 5) Do β − α ≡ 2(mod 5) Mà H = 5, b, c, d nửa nhóm số nên gcd(5, b, c, d) = Suy β − α ≡ 2(mod 5) (2) Như (1) ta có   2b = c + 5α  2c = d + 5β với α, β ≥ Từ định lý 2.1.3 H hầu đối xứng với t(H) = b + c = 2d + Do ta có hệ sau     2b = c + 5α    2c = d + 5β      b + c = 2d +     b = 3α + 2β −    ⇔ c = α + 4β −      d = 2α + 3β − F (H) = 2d − = 4α + 6β − 13, với α ≥ 1, β ≥ 31 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc36 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc37 of 141 + Nếu b, c, d ≡ 0(mod 5)     3α + 2β − ≡ 0(mod 5)    α + 4β − ≡ 0(mod 5)      2α + 3β − ≡ 0(mod 5) ⇒ β − α ≡ 3(mod 5) Mà H = 5, b, c, d nửa nhóm số nên (5, b, c, d) = Do β − α ≡ 3(mod 5) (3) Như (1) ta có   2b = c + 5α  2c = d + 5β với α, β ≥ Từ định lý 2.1.3, H đối xứng nên b + c = d Do ta có hệ sau         b = 3α + 2β 2b = c + 5α       ⇔ c = α + 4β 2c = d + 5β           d = 2α + 3β b + c = 2d + với α, β ≥ F (H) = 2d − = 4α + 6β − 32 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc37 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc38 of 141 +Nếu b, c, d ≡ 0(mod 5)     3α + 2β ≡ 0(mod 5)    α + 4β ≡ 0(mod 5)      2α + 3β ≡ 0(mod 5) ⇒ β − α ≡ (mod 5) Mà H = 5, b, c, d nửa nhóm số nên (5, b, c, d) = Do β − α ≡ 0(mod 5) Ví dụ 2.1.5 Với α = 1, β = 2, β − α = ≡ 2(mod 5), từ định lý 2.1.4 ta có b = 8, c = 11, d = 12 Theo định lý 2.1.3 ta thấy + b + c = 2d Do H giả đối xứng F (H) = 2(d − 5) = 4α + 6β − = 14 (2) Với α = 2, β = 3, β − α = ≡ 3(mod 5), từ định lý 2.1.3 ta có b = 9, c = 8, d = Theo định lý 2.1.3 ta thấy b + c = 2d + Do H hầu đối xứng F (H) = 2d − = 4α + 6β − 13 = (3) Với α = 3, β = 4, ≡ 3(mod 5), từ định lý 2.1.3 ta có b = 17, c = 19, d = 18 Theo định lý 2.1.3 ta thấy b + c = 2d Do H đối xứng F (H) = 2d − = 4α + 6β − = 31 33 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc38 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc39 of 141 2.2 Đặc trưng nửa nhóm số chiều nhúng bội qua iđêan định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Cho nửa nhóm số H = a, b, c, d Gọi k[H] = k[ta , tb , tc , td ] vành nửa nhóm số H k[X, Y, Z, W ] vành đa thức ẩn trường k Khi ta có toàn cấu tự nhiên ϕ : k[X, Y, Z, W ] −→ k[ta , tb , tc , td ] X −→ ta Y −→ tb Z −→ tc W −→ td Đặt I = Kerϕ, ta gọi I iđêan định nghĩa H Định lý 2.2.2 Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số, e(H) = 5, xếp lại {b, c, d} Khi đó: (1) H giả đối xứng I = (X α+β+1 − Y W, Y − X α Z, Z − X β W, W − XY Z, X β+1 Y − ZW ) α, β ≥ β − α ≡ 2(mod 5) (2) H hầu đối xứng với t(H) = I = (X α+β −Y W, Y −X α−1 W , Z −X α+1 Y, W −X β Z, X α W −Y Z, XY −ZW ) α ≥ 1, β ≥ β − α ≡ 3(mod 5) 34 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc39 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc40 of 141 (3) H đối xứng I = (X α+β − ZW, Y − X α Z, Z − Y W, W − X β Y, X α W − Y Z) α, β ≥ với α ≡ β(mod 5) Chứng minh Xét đồng cấu ϕ : k[X, Y, Z, W ] −→ k[H] X −→ t5 Y −→ tb Z −→ tc W −→ td (1) [⇐] Giả sử J1 = (X α+β+1 − Y W, Y − X α Z, Z − X β W, W − XY Z, X β+1 Y − ZW ) α, β ≥ 1, β − α ≡ 2(mod 5) Suy ϕ(X α+β+1 − Y W ) = ⇒ t5(α+β+1) = tb+d Do b + d = 5(α + β + 1) Tương tự ta có 2b = 5α+c, 2c = 5β +d, 2d = 5+b+c, 5(β +1)+b = c+d 35 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc40 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc41 of 141 Do giải hệ phương trình    b + d = 5(α + β + 1)       2b = 5α + c    2c = 5β + d      2d = + b + c ta     b = 3α + 2β +    c = α + 4β +      d = 2α + 3β + α, β ≥ với β − α ≡ 2(mod 5) Theo định lý 2.1.4 suy H giả đối xứng [⇒]• Vì H giả đối xứng nên theo định lý 2.1.4 xếp b, c, d cho b = 3α + 2β + 1, c = α + 4β + 2, d = 2α + 3β + α, β ≥ với β − α ≡ 2(mod 5) • Đặt J1 = (X α+β+1 − Y W, Y − X α Z, Z − X β W, W − XY Z, X β+1 Y − ZW ) Ta có ϕ(X α+β+1 − Y W ) = t5(α+β+1) − tb+d = t5(α+β+1) − t5(α+β+1) = 36 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc41 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc42 of 141 Tương tự ta có ϕ(Y − X α Z) = 0; ϕ(Z − X β W ) = 0; ϕ(W − XY Z) = 0; ϕ(X β+1 Y − ZW ) = Suy J1 ⊆ I • Hơn dimk k[X, Y, Z, W ]/(J1 , X) = dimk k[X, Y, Z, W ]/(I, X) = Suy (J1 , X) = (I, X) Theo bổ đề Nakayama ta I = J1 (2) [⇐] Giả sử J2 = (X α+β −Y W, Y −X α−1 W , Z −X α+1 Y, W −X β Z, X α W −Y Z, XY −ZW ) α ≥ 1, β ≥ β − α ≡ 3( mod 5) Suy ϕ(X α+β − Y W ) = ⇔ 5(α + β) = b + d Tương tự ta có 3b = 5(α−1)+2d, 2c = 5(α+1)+b, 2d = 5β +c, 5α+d = b + c, + 2b = c + d 37 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc42 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc43 of 141 Do giải hệ phương trình     5(α + β) = b + d        3b = 5(α − 1) + 2d       2c = 5(α + 1) + b    2d = 5β + c        5α + d = b + c       5 + 2b = c + d ta     b = 3α + 2β −    c = α + 4β −      d = 2α + 3β − α ≥ 1, β ≥ β − α ≡ 3(mod 5) Theo định lý 2.1.4 suy H hầu đối xứng [⇒]• Vì H hầu đối xứng nên theo định lý 2.1.4 xếp lại b, c, d cho b = 3α + 2β − 1, c = α + 4β − 2, d = 2α + 3β − 4, α ≥ 1, β ≥ β − α ≡ 3(mod 5) • Đặt J2 = (X α+β −Y W, Y −X α−1 W , Z −X α+1 Y, W −X β Z, X α W −Y Z, XY −ZW ) α ≥ 1, β ≥ β − α ≡ 3(mod 5) Ta có ϕ(X α+β − Y W ) = t5(α+β) − tb+d = 38 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc43 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc44 of 141 Tương tự ta có: ϕ(Y − X α−1 W ) = 0; ϕ(W − X β W ) = 0; ϕ(X α W − Y Z) = 0; ϕ(XY − ZW ) = Suy J2 ⊆ I • Hơn dimk k[X, Y, Z, W ]/(J2 , X) = dimk k[X, Y, Z, W ]/(I, X) = Suy (J2 , X) = (I, X) Theo bổ đề Nakayama ta I = J2 (3) [⇐] Giả sử J3 = (X α+β − ZW, Y − X α Z, Z − Y W, W − X β Y, X α W − Y Z) α, β ≥ với α ≡ β(mod 5) Ta có ϕ(X α+β − ZW ) = ⇒ 5(α + β) = c + d Tương tự ta có 2b = 5α + d, 2c = b + d, 2d = 5β + b, 5α + d = b + c Do giải hệ phương trình    5(α + β) = c + d         2b = 5α + d    2c = b + d       2d = 5β + b       5α + d = b + c 39 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc44 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc45 of 141 ta     b = 3α + 2β    c = α + 4β      d = 2α + 3β α, β ≥ α ≡ β(mod 5) Theo định lý 2.1.4 suy H đối xứng [⇒]• Vì H đối xứng nên theo định lý 2.1.4 xếp lại b, c, d cho b = 3α + 2β, c = α + 4β, d = 2α + 3β α, β ≥ α ≡ β(mod 5) • Đặt J3 = (X α+β − ZW, Y − X α Z, Z − Y W, W − X β Y, X α W − Y Z) Ta có ϕ(X α+β − ZW ) = t5(α+β) − tc+d = Tương tự ta có ϕ(Y − X α Z) = 0; ϕ(Z − Y W ) = 0; ϕ(W − X β Y ) = 0; ϕ(X α W − Y Z) = Suy J3 ⊆ I Hơn dimk k[X, Y, Z, W ]/(J3 , X) = dimk k[X, Y, Z, W ]/(I, X) = Suy I = J3 Ví dụ 2.2.3 (1) Cho H = 5, 12, 19, 18 Khi iđêan định nghĩa 40 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc45 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc46 of 141 H I = (X − Y W, Y − XZ, Z − X W, W − XY Z, X Y − ZW ) Ta thấy H giả đối xứng với F (H) = 26 (α, β) = (1, 4) (2) Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số giả đối xứng với F (H) = 26 Khi từ định lý 2.1.4 ta giải phương trình 4α + 6β − = 26 ta (α, β) = (1, 4) (4, 2) Do H = 5, 12, 19, 18 H = 5, 17, 14, 18 (3) Cho H = 5, 11, 13, 14 Định nghĩa iđean H I = (X −Y W, Y −XW , Z −X Y, W −X Z, X W −Y Z, XY −ZW ) Do H hầu đối xứng với t(H) = F (H) = 17 (từ định lý 2.1.4) (4) Giả sử H = 5, b, c, d nửa nhóm số hầu đối xứng với t(H) = F (H) = 17 Khi giải phương trình 4α + 6β − 13 = 17 ta có (α, β) = (3, 2) H = 5, 11, 13, 14 tập với t(H) = F (H) = 17 (5) Cho H = 5, 18, 16, 14 Khi iđean xác định I = (X − ZW, Y − X Z, Z − Y W, W − X Y, X W − Y Z) H đối xứng với F (H) = 27 ( từ định lý 2.1.4) (6) Nếu H = 5, b, c, d đối xứng với F (H) = Khi giải phương trình 4α + 6β − = 27 ta (α, β) = (5, 2) (2, 4) H = 5, 19, 13, 16 H = 5, 14, 18, 16 nửa nhóm số đối xứng thỏa mãn điều kiện 41 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc46 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc47 of 141 Kết luận Luận văn chứng minh số kết Cho H nửa nhóm số sinh phần tử bội Khi kiểu H không Cho H = 5, b, c, d với hệ sinh tối tiểu Khi miêu tả tất nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng qua b, c, d Cho H = 5, b, c, d với hệ sinh tối tiểu Khi miêu tả tất nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng qua iđêan định nghĩa H 42 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc47 of 141 luan van thac si su pham,luan van ths giao duc48 of 141 Tài liệu tham khảo [BF] V Barucci, R Fr¨oberg, One-dimensional almost Gorenstein rings, J Algebra, 188 (1997), 418-442 [FGH] R Fr¨oberg, C Gottlieb, R.Haggkvist, On numerical semigroups, Semigroup Forum, 35 (1987),63-83 [GW] S Goto, K Watanabe, On graded rings, J Math Soc Japan, 30 (1978), 172-213 [Ku] E Kunz, The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein ring, Proc Amer Math Soc 25 (1970), 748-751 [N] H Nari, Symmetries on almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum, 86 (2013), 140–154 [NNW] Nari, Numata, Watanabe, Almost symmetric numerical semigroups of multiplicity 5, Proceedings of the Institute of Natural Sciences, Nihon University, 47(2012) 43 ChusiThị Tuyết Nhung - Sư phạm Toán luan van thac su pham,luan van ths giao duc48 of 141 ... duc 25 of 141 Do nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng Vì khái niệm nửa hóm số hầu đối xứng khái niệm tổng quát nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng iii) Nửa nhóm số hầu đối xứng kiểu giả đối. .. loại nửa nhóm số đưa đặc trưng loại nửa nhóm số 1 .5 1 .5. 1 Phân loại nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa 1 .5. 1 Cho H nửa nhóm số H gọi đối xứng với x ∈ Z x ∈ H F (H) − x ∈ H Nhận xét 1 .5. 2... tích, đại số tuyến tính Trong lý thuyết nửa nhóm số có ba loại nửa nhóm số quan trọng nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng Cho trước nửa nhóm số H, toán đặt xác định xem nửa nhóm số H thuộc