Hệ động lực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— CHU THỊ THẢO HỆ ĐỘNG LỰC SINH BỞI NỬA NHĨM TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải Tích Giảng viên hướng dẫn Th.s Phùng Đức Thắng HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Phùng Đức Thắng, Thầy dành nhiều thời gian, bảo, giúp đỡ tận tình suốt q trình làm khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện mặt để tơi hồn thành đề tài nghiên cứu Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Tác giả Chu Thị Thảo i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn Ths Phùng Đức Thắng khóa luận chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính"được hồn thành kết nghiên cứu thân tôi, không trùng với đề tài khác Trong thực đề tài sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Chu Thị Thảo ii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU v KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Định nghĩa khơng gian Banach 1.1.3 Tốn tử tuyến tính 1.2 Không gian L(X, Y ) 1.3 Nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tốn tử sinh nửa nhóm tuyến tính 1.3.3 Các tính chất 1.4 Hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính 10 1.4.1 Định ngĩa 10 1.4.2 Ví dụ 11 MỘT VÀI ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SINH BỞI NỬA NHĨM TUYẾN TÍNH 2.1 14 Quỹ đạo tập bất biến 14 iii Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Tập ω - giới hạn tập α - giới hạn 16 2.3 Tính ổn định hệ động lực tuyến tính 17 2.4 Toán tử sinh hệ động lực tuyến tính 18 2.5 Hệ động lực tiêu hao tính compact tiệm cận 2.6 Tập hút toàn cục hệ động lực tuyến tính 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Thị Thảo 22 33 iv K36C SP Toán LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu Khi nghiên cứu tính đặt toán đặc trưng, ta xây dựng nửa nhóm tuyến tính liên tục (C0 – nửa nhóm) hệ động lực phụ thuộc vào toán Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập tới vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học thường mô tả hệ động lực Nhiều nhà toán học nghiên cứu lý thuyết hệ động lực thu kết sâu sắc phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân kết Những phương trình xuất nhiều tốn thực tiễn nghiên cứu năm trở lại Với mong muốn tìm hiểu rõ lý thuyết C0 - nửa nhóm, lý thuyết hệ động lực Được hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng, em chọn đề tài "Hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính" để làm khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Tốn học v Khóa luận tốt nghiệp Khóa luận chia làm hai chương: Chương Trình bày kiến thức chuẩn bị có liên quan tới hệ động lực tuyến tính khơng gian Banach,tốn tử tuyến tính, khơng gian L(X, Y ), nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh, định nghĩa ví dụ hệ động lực Chương Trình bày đặc trưng hệ động lực tuyến tính bao gồm quỹ đạo tập bất biến, tập ω - giới hạn tập α – giới hạn, tính ổn định hệ động lực, hệ động lực tiêu hao, toán tử sinh hệ động lực, tập hút toàn cục Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu C0 – nửa nhóm, lý thuyết hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính Phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm, hệ động lực thuyến tính Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp kiến thức Chu Thị Thảo vi K36C SP Toán Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa khơng gian tuyến tính định chuẩn a Khơng gian tuyến tính Cho X tập tùy ý, K trường số (C, R) Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính tập X xác định hai phép toán cộng hai phần tử X phép nhân phần tử X với số thuộc trường K Hai phép tốn xác định sau: Phép cộng: Đó ánh xạ ϕ: X ×X →X ϕ(x, y) = x + y thỏa mãn tiên đề sau: i) x + y = y + x với x, y ∈ X; Khóa luận tốt nghiệp ii) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X; iii) Tồn phần tử ∈ X thỏa mãn: x + = + x với x ∈ X iv) Với phần tử x ∈ X tồn phần tử đối, ký hiệu (−x) thỏa mãn: x + (−x) = Phép nhân với số: Đó ánh xạ: ψ :X +K →X (Ký hiệu ψ(x, α) = αx xα, x ∈ K, α ∈ K) thỏa mãn: i) α(βx) = β(αx) = (αβx) với x ∈ X, α, β ∈ K; ii) Tồn phần tử ∈ K thỏa mãn 1.x = x với x ∈ X; iii) (α + β)x = αx + βx với x ∈ X, α, β ∈ K; iv) α(x + y) = αx + αy với x ∈ X, α ∈ K; +) K = R khơng gian tuyến tính X gọi khơng gian tuyến tính thực +) K = C khơng gian tuyến tính X gọi khơng gian tuyến tính phức Ví dụ 1.1 R khơng gian tuyến tính thực C khơng gian tuyến tính phức Chu Thị Thảo K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp K n = {(x1 , x2 , , xn ); xi ∈ K, i = 1, , k} - khơng gian tuyến tính ∞ L2 = {(X1 , x2 , , xn , ); xi < +∞, xi ∈ K} - không gian i=1 tuyến tính với phép cộng phép nhân với số theo tọa độ b Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính Một ánh xạ ϕ : X → R gọi chuẩn X ϕ thỏa mãn tiên đề sau: Ta ký hiệu ϕ(x) = x 1) x ≥ 0, (∀x ∈ X) ϕ(x) = x = 2) αx = |α| x (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) 3) x + y ≤ x + y (∀x, y ∈ X) Số x gọi chuẩn véctơ x Ta có ký hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.3 Không gian tuyến tính X với chuẩn xác định gọi khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.4 Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X, với X khơng gian tuyến tính định chuẩn gọi dãy (dãy Cauchy) với ε > cho trước tồn n0 (phụ thuộc ε) cho với n, m > n0 ta có: xn − xm < ε Chu Thị Thảo K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2.3 Xét hệ động lực tuyến tính   f (x − t) , t < x ≤ S(t)f (t) =  0 ,x ∈ / (t, 1] Xác định X = {f ∈ C([0, 1]) : f (0) = 0} Ta thấy    lim f (x − t) − x , t < x ≤ S(t)f (t) − x t→0 + t lim+ =  t→0 t  0 ,x ∈ / (t, 1] Suy lim+ t→0 S(t)f (t) − x tồn trongX t Như hệ động lực xác định tốn tử sinh Ví dụ 2.4 Lặp lại ví dụ với X = L1 ((0, 1)) Đặt f1 (x) =   f (x − t) − f (x) , t < x ≤   −f (x) ,x ∈ / (t, 1] t Ta thấy f1 → g X, g đạo hàm yếu f f (0) = Ngược lại, f liên tục tuyệt đối f (0) = 0, ta ln có Với f1 → −f X Thật vậy, mở rộng đoạn f [0, 1] Với t ∈ (0, 1), xét toán tử Tt , T : W 1,1 ((−1, 2)) → X định nghĩa sau T1 g = Chu Thị Thảo g( − t) − g(.) |[0,1] Tg = −g |[0,1] t 19 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Rõ ràng g ∈ C , T1 g → T g X Hơn bất đẳng thức sau T1 g x g L1 ((−1,2)), ∀g ∈ W 1,1 ((−1, 2)) Áp dụng nguyên lý trù mật, ta điều phải chứng minh Định lý 2.3 Với x cố định,x ∈ D(A), ta có ánh xạ t → S(t)x ∈ C ([0, ∞), D(A)) d S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax dt Chứng minh Cho x ∈ D(A) t S(h)S(t) − S(t)x S(h)x − x = lim S(t) = S(t)Ax h→0 h→0 h h lim Điều chứng tỏ S(t)x ∈ D(A) AS(t)x = S(t)Ax Hơn nữa, tập hợp giá trị đạo hàm bên phải t → S(t)x S(t)Ax cho < h < t Ta có x − S(h)x S(t − h) − S(t)x = S(t − h) − Ax + S(t − h)Ax −h −h Lấy giới hạn h → 0, Áp dụng định lý (1.5) thấy đạo hàm bên trái tồn S(t)Ax Tính liên tục đạo hàm sau rõ ràng Chu Thị Thảo 20 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Định lý 2.4 Toán tử sinh A toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật Chứng minh Cho x ∈ X, Kí hiệu: τ xτ = S(x)xds, τ >0 Vì tính liên tục S(t), nên ta có xτ =x lim τ →0 τ Ta chứng minh xτ ∈ D(A), Do suy D(A) trù mật Thật vậy, τ S(t)xτ − xτ = t t [S(t + x)x − S(s)x] ds Bằng tính chất nửa nhóm Do S(t)xτ − xτ = t t τ +t t S(s)xds − t τ S(s)xds → S(τ )x − x t → 0 Vậy xτ ∈ D(A) Axτ = S(τ )x − x Suy D(A) trù mật Giờ ta chứng minh D(A) đóng Để chứng minh D(A) đóng, cho xn ∈ D(A) cho xn → x Axn → y X Theo định lý (1.2) t S(t)xn − xn = S(s)yds Chu Thị Thảo 21 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Giả sử n → ∞, được: t S(t)x − x = t t S(s)yds Cuối cùng, lấy giới hạn t → S(t)x − x =y t→0 t lim Do x ∈ D(a) Ax = y Toán tử sinh xác định hệ động lực tuyến tính Định lý 2.5 Cho S(t) S0 (t) tuyến tính hệ động lực X với tốn tử sinh A S(t) = S0 (t) 2.5 Hệ động lực tiêu hao tính compact tiệm cận Định nghĩa 2.6 Hệ động lực (X < S(t)) gọi tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị chặn) tồn tập bị chặn B0 ⊂ X hút điểm (tương ứng, hút tập bị chặn) X Định nghĩa 2.7 Cho E, F tập khác rỗng không gian Banach X Nửa khoảng cách Hausdorff hai tập hợp E, F ký hiệu dist(E, F ) tính cơng thức: dist(E, F ) = sup inf a − b a∈E b∈F dist(E, F ) = E ⊂ B Chu Thị Thảo 22 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét Nếu hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao bị chặn tồn tập B0 ⊂ X cho với tập bị chặn B ⊂ X, tồn T = T (B) ≥ cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T Tập B0 gọi tập hấp thụ hệ động lực (X, (S(t)) Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường gọi tắt hệ động lực tiêu hao Nếu (X, S(t)) hệ động lực tuyến tính (X, S(t)) tiêu hao theo hàm mũ ổn định Hệ động lực tiêu hao bị chặn tiêu hao điểm, điều ngược lại khơng đúng, với hệ động lực hữu hạn chiều Từ ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.1 Nếu hệ động lực hữu hạn chiều tiêu hao điểm tiêu hao bị chặn Chứng minh Cho hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao điểm, ta chứng minh (X, S(t)) tiêu hao bị chặn Với ε ≥ kí hiệu B = S(t)N (B0 , ε) 0≤t≤∞ Trong B0 tập hấp thụ bị chặn hệ động lực chứng minh tập B tập bất biến dương bị chặn hút tập bị chặn B X Trong khơng gian Rm cho hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao điểm Khi tồn tập bị chặn B0 ⊂ X hút điểm X Nghĩa tồn tập bị chặn B0 ⊂ X cho với x0 ∈ X, tồn Chu Thị Thảo 23 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp t0 (x0 ) ≥ cho S(t)x0 ∈ B0 ⊂ B Do ta có với x0 ∈ B0 ⊂ B ⊂ X : S(t)x0 ∈ B0 ⊂ B Suy S(t)B ⊂ B Theo định nghĩa B tập bất biến dương Vì hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao điểm nên với z ∈ N (B0 , ε) tồn t0 = t0 (z) cho S(t)z ∈ B0 , ∀t ≥ t0 Vì nghiệm phụ thuộc vào điều kiện ban đầu nên tồn lân cận mở N (z) điểm z cho S(t0 (z))N (z) ⊂ N (B0 , ε) Bây giờ, lấy phủ hữu hạn N (B0 , ε) lân cận N (z) tập t∗ = maxi t0 (zi ) Khi đó, B ⊂ S(t)N (B0 , ) 0≥t≥t∗ nên B hiển nhiên tập đóng bị chặn Lấy B tập bị chặn X Chứng minh tương tự ta có phủ hữu hạn B lân cận mở N (xi ) cho: S(t0 (xi ))N (xi ) ⊂ N (B0 , ), ∀xi ∈ B S(t)N (xi ) ⊂ B , ∀t ≥ t0 (xi ) Đặt t1 (B0 ) = maxi t0 (xi ) ta có S(t)B ⊂ B , ∀t ≥ t1 (B) Chu Thị Thảo 24 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nghĩa B hút tập bị chặn X Vậy (X, S(t)) tiêu hao bị chặn Định nghĩa 2.8 Giả sử X không gian Banach Hệ động lực (X, S(t)) gọi compact tiệm cận với t > 0, S(t) biểu diễn dạng: S(t) = S (1) (t) + S (2) (t) (2.1) Ở S (1) (t) S (2) (t) thỏa mãn tính chất sau a) Với tập bị chặn B ⊂ X γB (t) = sup S (1) (t)y → t → +∞; (2.2) y∈B b) Với tập bị chặn B X, tồn t0 cho tập hợp γ (2) (t0 )B = S (2) (t)B (2.3) t≥t0 compact X, [γ] bao đóng tập γ Một hệ động lực gọi compact compact tiệm cận ta lấy S (1) (t) ≡ biểu diễn (2.1) Nhận xét Bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều compact Điều kiện (2.3) thỏa mãn tồn tập compact K X cho với tập bị chặn B ⊂ X tồn t0 (B) cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B) Nói riêng, hệ tiêu hao compact có tập hấp thu compact Chu Thị Thảo 25 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Bổ đề 2.2 Hệ động lực (X, S(t)) compact tiệm cận tồn tập compact K cho lim dist(S(t)B, K) = t→+∞ với tập B bị chặn X 2.6 Tập hút toàn cục hệ động lực tuyến tính Tập hút tồn cục đối tượng trung tâm lý thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều Định nghĩa 2.9 Một tập khác rỗng A X gọi tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) nếu: a) A tập đóng bị chặn; b) A bất biến, tức S(t)A = A với t > 0; c) A hút tập bị chặn B X, tức lim dist(S(t)B, A) = 0, t→+∞ dist(E, F ) = sup inf d(a, b) nửa khoảng cách Hausdorff a∈E b∈F hai tập E F Tính chất tập hút toàn cục Mệnh đề 2.2 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút tồn cục A Khi đó: a) Nếu B tập bị chặn bất biến X B ⊂ A( tính cực đại) Chu Thị Thảo 26 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp b) Nếu B tập đóng hút tập bị chặn X A ⊂ B ( tính cực tiểu ); c) A Định lý 2.6 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao compact tiệm cận Nếu B tập hấp thụ bị chặn hệ (X, S(t) A = ω(B) tập compact khác rỗng tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) Hơn nữa, tập hút toàn cục A liên thông X Chứng minh Giả sử B tập hấp thụ bị chặn hệ động lực (X, S(t)) Ta chứng minh A = ω(B) tập hút tồn cục Ta có hệ động lực (X, S(t) compact tiệm cận Khi với tập bị chặn B X, tập ω - giới hạn, ω(B) tập compact bất biến khác rỗng Theo định nghĩa tập hấp thụ, ta cần chứng minh ω(B) hút tập hấp thụ B Giả thiết phản chứng ω(B) không hút B Khi disst(S(t)B, ω(B)) → t → ∞ Có nghĩa rằng: tồn δ > dãy tn → +∞ cho dist(S(t))B, ω(B)) ≥ 2δ Do tồn yn ∈ B cho dist(S(tn )yn , ω(B)) ≥ δ, n = 1, 2, Giả sử {Zn} dãy nằm ω(B) ∀n ≥ 1, ∃tn ≥ n yn cho Zn − S(tn )yn ≤ Chu Thị Thảo 27 n K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Từ tính compact tiệm cận, tồn phần tử z dãy {nk } cho S(tnk )ynk − z → k → ∞ Suy z ≡ lim S(tnk )ynk ∈ ω(B) k→∞ Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ω(B) tập hút tồn cục Chứng minh tính liên thơng tập hút tồn cục A phản chứng Giả sử A khơng liên thơng Khi tồn hai tập mở U1 U2 cho Ui ∩ A = ∅, i = 1, 2, A ⊂ U1 ∪ U2 = ∅ Giả sử Ac = conv (A) bao lồi A, tức N N c A = λi νi : νi ∈ A, λi 0, i=1 λi = 1, N = 1, 2, i=1 Rõ ràng Ac tập liên thông bị chặn A ⊂ Ac Tính liên tục S(t) kéo theo S(t)Ac tập liên thơng, A = S(t)A ⊂ S(t)Ac nên Ui ∩ S(t)Ac = ∅, i = 1, 2, Từ với t > khơng thể phủ S(t)Ac Do tồn dãy điểm xn = S(n)yn ∈ S(n)Ac cho xn khơng thuộc U1 ∪ U2 Từ tính compact tiệm cận hệ động lực suy tồn dãy nk cho xnk = S(nk )ynk → y ∈ X k → ∞ Chu Thị Thảo 28 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Rõ ràng y không thuộc U1 ∪ U2 vày ∈ ω(Ac ) Điều khơng xảy ω(Ac ) ⊂ ω(B) = A ⊂ U1 ∪ U2 Vậy ω(B) tập liên thông Định lý 2.7 Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có tập hút tồn cục A B tập hấp thụ bị chặn (X, S(t)) Khi lim dist(A, S(t)) = t→∞ Chứng minh Giả thiết phản chứng định lý (2.7) khơng thỏa mãn Khi tồn dãy {an } ⊂ A {tn : tn → ∞} cho dist(an , S(tn )B) ≥ δ với δ > (2.4) Vì A tập compact, ta giả sử {an } hội tụ tới phần tử a ∈ A Do a = lim S(τmn )ymn = lim S(tn )zn m→∞ n→∞ Hệ thức (2.8) kéo theo dist(an , S(tn )zn ) ≥ dist(an , S(tn )B) ≥ δ Điều xảy Vậy ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2.5 Xét hệ Lorenz   dx   = −σx + σy   dt    dy = rx − y − xz  dt        dz = xy − bz dt Chu Thị Thảo 29 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ở σ, r, b số dương Nhận thấy hàm: f1 (x, y, z) = −σx + σy, f2 (x, y, z) = rx − y − xz, f3 (x, y, z) = xy − bz hàm liên tục nên theo định lý Peano hệ Lorenz có nghiệm S(t)V0 = V (t) = (x(t), y(t), z(t)) với V0 điều kiện ban đầu Dựng họ ánh xạ S(t), t ≥ : S(t) : R3 → R3 V0 → S(t)V0 = V (t) = V (x(t), y(t), z(t)) Khi (R3 , S(t)) hệ động lực sinh phương trình Lorenz Ta biết tập đóng bị chặn R3 compact nên ta cần tồn tập hấp thụ bị chặn Ta tồn hình cầu đủ lớn tập hấp thụ hệ động lực Xét hàm V (x, y, z) = x2 + y + (z + r − σ)2 Đạo hàm dọc theo quỹ đạo, ta có: dV = −2σx2 − 2y − 2bz + 2b(r + σ)z dt dV = −2σx2 − 2y − bz − br2 − bσ + 2bzr + 2bzσ + 2brσ − bz + dt br + bσ + 2brσ ⇔ dV = −2σx2 − 2y − b(z − r2 − σ + 2zr + 2zσ + 2rσ) − bz + dt b(r2 + σ + 2rσ) ⇔ Chu Thị Thảo 30 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp dV dt dV ⇔ dt dV ⇔ dt dV ⇔ dt ⇔ ⇔ eαt = −2σx2 − 2y − b(z − r − σ)2 − bz + b(r + σ)2 ≤ αx2 − αy − α(z − r − σ)2 − bz + (r + σ)2 ≤ −α(x2 + y + (z − r − σ)2 + b(r + σ)2 ≤ −αV + b(r + σ)2 α = min{2σ, 2, b} dV ≤ −αeαt V + beαt (r + σ)2 dt t t dV eαs ds ≤ dt ⇔ t −αeαs V ds + beαs (r + σ)2 t t αt αs α0 αe V ds ≤ ⇔ e V (t) − e V (0) − b(r + σ)2 eαs −αe V ds + α αs beαt (r + σ)2 be(r + σ)2 ⇔ e V (t) ≤ + + V (0) α α b(r + σ)2 b(r + σ)2 V (0) ⇔ V (t) ≤ + + αt α αeαt e Cho t → +∞ ta có αt 2b(r + σ)2 V (t) ≤ , t đủ lớn α b(r + σ)2 ta ln có V (t) ≤ R(t) Đặt R(t) = α Suy S(t)V0 ⊂ B(0, R(t)), t ≥ t0 Hình cầu B(0, R(t)) tập hút bị chặn hệ động lực (X, S(t)) Từ suy hệ Lorenz có tập hút tồn cục compact liên thơng khơng gian R3 Chu Thị Thảo 31 K36C SP Toán KẾT LUẬN Mục đích khóa luận nghiên cứu lý thuyết C0 nửa nhóm hệ động lực tuyến tính Khóa luận trình bày vấn đề: + Các kiến thức không gian Banach, tốn tử tuyến tính + Khơng gian L(X, Y ) + Nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh + Hệ động lực tuyến tính + Một vài đặc trưng hệ động lực tuyến tính 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải,"Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập II", NXB GD - 2001 [2] Cung Thế Anh,"Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều", NXB ĐH Sư Phạm - 2012 [3] Victtoorino, "Notes on Infinite Dimensional Dynamical Systems", [4] J.C.Robinson, "Infinite - Dimensional Dynamical Systems", Cambridge University Press, Cambridge, năm 2001 33 ... hệ động lực tuyến tính khơng gian Banach,tốn tử tuyến tính, khơng gian L(X, Y ), nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh, định nghĩa ví dụ hệ động lực Chương Trình bày đặc trưng hệ động lực tuyến tính. .. giới hạn, tính ổn định hệ động lực, hệ động lực tiêu hao, toán tử sinh hệ động lực, tập hút tồn cục Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hệ động lực sinh nửa nhóm tuyến tính Đối tượng... tử sinh xác định hệ động lực tuyến tính Định lý 2.5 Cho S(t) S0 (t) tuyến tính hệ động lực X với tốn tử sinh A S(t) = S0 (t) 2.5 Hệ động lực tiêu hao tính compact tiệm cận Định nghĩa 2.6 Hệ động