Cơ sở toán học của mã đối xứng

1 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng Đại Học Sƣ phạm Hà Nội Khoa toán == o0o== đỗ ngọc sở toán học mã đối xứng khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: ứng dụng Người hướng dẫn khoa học ts Trần minh tƣớc hà nội – 2010 Đỗ Ngọc Tấn K32 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Ngọc Tấn K32 CN Toán MỤC LỤC Lời cảm ơn ………………….……………………………………………… Lời cam đoan ……………………………………………………………… Mở đầu ……………………………………………………………………… CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép đồng dư vấn đề liên quan ……………………………………… 1.2 Trường hữu hạn ………………………………………………………… 1.3 Trường số (mở rộng đại số) …………………………………………… 11 CHƢƠNG MÃ ĐỐI XỨNG 2.1 Một số thuật ngữ khái niệm ………………………………………… 14 2.2 Một số hệ mã đối xứng 2.2.1 Khái niệm chung ……………………………………………………… 15 2.2.2 Hệ mã liệu tiêu chuẩn DES ……………………………………… 15 2.2.3.Tiêu chuẩn mã nâng cao AES thuật toán Rijndael ………………… 21 Kết luận …………………………………………………………………… 42 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 43 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành Khóa luận tốt nghiệp em nhận hướng dẫn, bảo tận tình TS.Trần Minh Tƣớc, giúp đỡ, động viên thầy tổ tốn ứng dụng, tất thầy cô bạn sinh viên khoa toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu, đạo tận tình thầy Trần Minh Tƣớc Em xin nói lời cảm ơn tới thầy cô bạn sinh viên Hà nội, tháng năm 2010 Sinh viên thực Đỗ Ngọc Tấn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung khóa luận hoàn toàn kết nghiên cứu riêng dẫn khoa học thầy Trần Minh Tước Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Đỗ Ngọc Tấn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói, mật mã xuất từ thời cổ đại Người ta cho rằng, người áp dụng mật mã cách có hệ thống để đảm bảo bí mật thông tin quân nhà quân thiên tài La mã cổ đại Julius Caesar Ngày mật mã không dùng quân ngoại giao mà dùng nhiều lĩnh vực khác kinh tế, thương mại, truyền thông… Thừa nhận ý nghĩa quan trọng mang tính sống mật mã thời đại ngày nay, đông đảo chuyên gia đầu tư công sức để nghiên cứu, tìm tòi điều mẻ hiệu mật mã Trong cơng nghệ mã hóa thơng tin phương diện nghiên cứu ứng dụng, Mã đối xứng có vai trò quan trọng Mã đối xứng hệ mã mà việc lập mã giải mã sử dụng chung chìa khóa mã Các loại mã đối xứng điển hình lý thuyết mật mã như: Hệ mã liệu tiêu chuẩn (DES), Mã hoá liệu quốc tế (IDEA), Hệ mã SAFER, gần đời loại mật mã có tính bảo mật cao mã AES Rijndael nghiên cứu Trong đề tài đặt vấn đề nghiên cứu vai trò tốn học lý thuyết mật mã nói chung thể số hệ mã đối xứng DES, AES lấy tên đề tài “Cơ sở toán học mã đối xứng” Mục tiêu đề tài Tìm hiểu sơ qua cơng nghệ mã hóa thơng tin cụ thể số hệ mã đối xứng điển hình *Đối tƣợng, phạm vi phƣơng pháp nghiên cứu + Đối tượng: Một số hệ mã đối xứng Chìa khố cho vòng chọn cho độ dài phải phù hợp với độ dài mảng trạng thái (tức độ dài khối) Nếu tính theo số lượng từ độ dài Nb Cho nên cách lấy khố tự nhiên, cho vòng thứ i chọn từ dải từ W Nb * iđến W Nb * (i 1) 2.2.3.3.5 Thuật toán lập mã Thuật tốn mã hóa Rijndael bao gồm :  Khởi tạo việc cộng với khóa vòng;  Thực (Nr-1) vòng biến đổi thơng thường;  Thực vòng kết thúc ; Trong Nr xác định mối tương quan với độ dài khối độ dài khóa hình Với hàm KeyExpansion(), AddRoundKey (), Round (), finalRound () đưa phần trên, ta mơ tả thuận toán Rijndael sau: Rijndael (State,CipherKey)  KeyExpansion (CipherKey, ExpandedKey); AddRoundKey (State, ExpandedKey); For (i 1;i Nr;i ) Round (State, ExpandedKey Nb * i); Finalround (State, EXpandedKey Nb * Nr);  Nếu q trình mở rộng chìa khóa thực trước định rõ thông qua biến ExpandedKey, thuật tốn Rijndael mơ tả gọn sau : Rijndael (State,CipherKey)  AddRoundKey (State, ExpandedKey); For (i 1;i Nr;i ) Round (State, ExpandedKey Nb * i); Finalround (State, EXpandedKey Nb * Nr);  2.2.3.3.6 Thuật toán giải mã Ta biết tất phép biến đổi sử dụng trình lập mã khả nghịch, nên vấn đề giải mã khơng gặp khó khăn ngun tắc Thêm nữa, phép biến đổi nghịch đảo có chất tương tự phép biến đổi gốc (chỉ khác tham số), tốc độ lập mã giải mã Thông thường, nghịch đảo vòng biến đổi dãy phép biến đổi ngược phép biến đổi vòng, theo thứ tự ngược với thứ tự thực phép lập mã Theo đó, q trình nghịch đảo, phép biến đổi phi tuyến Bytesub phải thực sau cùng, phép dịch hàng phải thực sau phép trộn cột Như vậy, triển khai thuật tốn theo hình thức “bảng tra” (table-lookup) phép giải mã khơng có mơ hình bảng tra giống phép lập mã Đây điều mà người sáng lập Rijndael tạo cấu trúc khéo léo giống q trình lập mã, thân phép biến đổi thay nghịch đảo nó, với thay đổi phù hợp q trình sinh khóa Đây điều làm sang tỏ phần Nghịch đảo phương án Rijndael với vòng Đây phương án rút gọn, gồm có vòng: vòng thơng thường vòng kết thúc Nếu ký hiệu InvA nghịch đảo phép biến đổi A nghịch đảo vòng thơng thường mơ tả sau: InvRound  State, RoundKey   AddRoundKey  State, RoundKey ; InvMixColumn  State  ; InvShiftRow  state  ; InvBytesub  State  ;  Và nghịch đảo vòng kết thúc là: InvRound  State, RoundKey   AddRoundKey  State, RoundKey ; InvShiftRow  State  ; InvBytesub  State  ;  Nếu hợp lại ta có nghịch đảo phương án Rijndael vòng AddRoundKey  State, ExpandedKey 2 * Nb ; InvShiftRow  State  ; InvBytesub  State  ; AddRoundKey  State, ExpandedKey  Nb ; InvMixColumn  State  ; InvShiftRow  State  ; InvBytesub  State  ; AddRoundKey  State, ExpandedKey ; Chú ý phép byte ( ByteSub ) thực biến đổi byte cách độc lập (không phụ thuộc vào vị trí byte), phép dịch hàng (ShiftRow) khơng làm thay đổi giá trị byte Cho nên phép biến đổi hốn vị cho mà khơng làm ảnh hưởng đến q trình biến đổi chung Tiếp theo, lưu ý K, S tương ứng từ khóa trạng thái, C ma trận tương ứng với phép trộn cột, là ký hiệu phép loại bit ,  ký hiệu phép nhân từ với ma trận (theo phép trộn cột), ta dễ dàng thấy K S  S  C S  C Kˆ ,  C  K  C Kˆ K  C Đẳng thức cho thấy thay việc cộng với khóa trộn với cột C việc trộn với cột C cộng với khóa khóa Kˆ Kˆ , biến đổi khóa K sau phép trộn cột Vì phép trộn cột ngược (InvMixColumn) lại phép trộn cột, coi C phép trộn cột ngược đặt InvRoundKey InvMixColumn (RoundKey), từ lập luận ta suy thay AddRoundKey  State, RoundKey ; InvMixColumn  State  ; bằng: InvMixColumn  State  ; AddRoundKey  State, InvRoundKey ; Suy nghịch đảo phương án Rijndael vòng tương đương với dãy phép biến đổi sau: AddRoundKey  State, ExpandedKey 2 * Nb ; InvBytesub  State  ; InvShiftRow  State  ; InvMixColumn  State  ; AddRoundKey  State, I _ ExpandedKey  Nb ; InvBytesub  State  ; InvShiftRow  State  ; AddRoundKey  State, ExpandedKey ; Trong I _ ExpandedKey khóa giả mã, tính cách lấy InveMixColumn chìa khóa cho vòng quy trình lập mã Như vậy, mặt cấu trúc, trình giải mã hồn tồn tương tự q trình lập mã Khác biệt chỗ phép toán thay ngịch đảo KẾT LUẬN Qua đề tài “Cơ sở toán học mã đối xứng”, chúng tơi tìm hiểu số hệ mã đối xứng điển DES, AES Thể qua: - Mơ tả phép biến đổi, quy trình sinh khóa, mơ tả ánh xạ, quy trình hoạt động hệ mã DES rút gọn đầy đủ - Các công cụ chuẩn bị (Trường byte, Đa thức với hệ số byte), thuật toán biến đổi, quy trình sinh khóa, thuật tốn lập mã thuật tốn giải mã hệ mã AES Và đặc biệt thấy rõ vai trò sở tốn học xây dựng hệ mật mã Đề xuất: Trong phạm vi nghiên cứu cho sinh viên, tiếp tục triển khai lập trình cho hệ mã với ngơn ngữ lập trình bậc cao để ứng dụng thuật toán thực tế bảo mật thông tin sinh viên, bảo mật đề thi … khoảng thời gian không cho phép Do thời gian nghiên cứu hạn chế nên chúng tơi chưa nghiên cứu vấn đề Sau đề tài chúng tơi tiếp tục thực vấn đề đặt TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phạm Huy Điển, Hà Huy Khối, Mã hóa thơng tin : Cở sở Tốn học ứng dụng, Viện Toán học Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam 2 Hà Huy Khối, Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán : Cơ sở lý thuyết Tính tốn thực hành, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2002 3 M MATSUI, Linear Cryptanalysis Method for DES Cipher, Advances in Cryptology – EUROCRYPT ‟93 Proceedings, Springer-Verlag, 1994, pp.383- 397 4 B SCHINELER, Applied Cryptography, New York : John Wiley $ Sons, Inc, 1996 ... tốn học lý thuyết mật mã nói chung thể số hệ mã đối xứng DES, AES lấy tên đề tài Cơ sở toán học mã đối xứng Mục tiêu đề tài Tìm hiểu sơ qua cơng nghệ mã hóa thơng tin cụ thể số hệ mã đối xứng. .. mật mã Trong cơng nghệ mã hóa thông tin phương diện nghiên cứu ứng dụng, Mã đối xứng có vai trò quan trọng Mã đối xứng hệ mã mà việc lập mã giải mã sử dụng chung chìa khóa mã Các loại mã đối xứng. .. mã đối xứng điển hình *Đối tƣợng, phạm vi phƣơng pháp nghiên cứu + Đối tượng: Một số hệ mã đối xứng + Phạm vi: Tìm hiểu hệ mã đối xứng trọng đến sở toán học hệ mã đối xứng + Phương pháp nghiên