Cơ sở toán học của mã chống nhiễuĐây là tài liệu được lưu giữ trong quá trình học tập của các bạn sinh viên các trường Đại Học,được biên soạn làm sẵn trên PowerPoint và Word rất thuận tiện cho việc trình chiếu khi thảo luận.Mong nó sẽ giúp ích cho các bạn đỡ tốn nhiều thời gian mắc công phải tìm kiếm tài liệu rồi mất nhiều thời gian biên soạn.Chúc các bạn thành công
Bài 6: Cơ sở toán học của m chống nhiễu Một số khái niệm cơ bản Tr ờng GF(2) và các đa thức trên tr ờng GF(2) Một số khái niệm cơ bản Nhóm G: Một tập G với một toán tử hai ngôi (*) đ ợc định nghĩa trên nó nếu thỏa mãn điều kiện sau: - Toán tử * có hính kết hợp - G chứa phần tử đơn vị e sao cho: a*a = a*e = a - Mọi a thuộc G thì luôn tồn tại một phần tử nghịch đảo của a sao cho: a*a= a*a = e Nhóm hữu hạn: là nhóm có số phần tử hữu hạn gọi là nhóm hữu hạn. Nhóm vô hạn: là nhóm có số phần tử là vô hạn gọi là nhóm vô hạn Nếu toán tử hai ngôi (*) thoả mãn điều kiện với mọi a, b thuộc G: a*b = b*a thì nhóm G có tính giao hoán. Phép cộng và phép nhân modul: 1. phép cộng modul: cho một số nguyên d ơng bất kỳ m xác định. Xây dựng một tập số nguyên G = {0,1 m-1. phép cộng là phép cộng modul với biểu thức: baGba :, ví dụ: cho một số nguyên m xác định. xây dựng tập hợp các số nguyên G = {0,1,2 m- 1}. cho phép + là phép cộng thông th ờng. trên G định nghĩa toán tử hai ngôi (+) nh sau: với hai số nguyên i,j thuộc G ta có i j = r, r là phần d của phép toán (i + J) /m với 0 <= r<= m-1. ta chia i+j cho m ta có: (i+j)/m = q+r với 0<= r <= m-1 vậy r = i (+) j B¶ng phÐp céng modul 5: (+) 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 2. Với phép (x) là phép nhân thông th ờng, ta xây dựng một phép nhân là phép nhân modul với biểu thức sau: baGba :, Ví dụ: cho p là số nguyên tố p = 1, 3, 5, 7, G là tập các số nguyên G = {1,2p-1} với phép nhân thông th ờng, ta định nghĩa toán tử hai ngôi (.) trên G nh sau: i (.) j = r víi r lµ sè d cña phÐp to¸n i(.)j/p víi r thuéc (0,p). phÐp nh©n modul_p cã tÝnh kÕt hîp vµ tÝnh giao ho¸n. B¶ng nh©n modul_5 víi G = {1,2,3,4} (.) 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Tr ờng F: F là tập hợp các phần tử với hai phép toán với hai ngôi: phép cộng (+) và phép nhân(.) gọi là một tr ờng nếu thoả mãn các điều kiện: F là một nhóm giao hoán với phép cộng, với phần tử đơn vị là 0. Tập các phân ftử khác 0 trong F là nhóm giao hoán với phép nhân, phần tử đơn vị là 1. Phép nhân có tính phân phối với phép cộng khi trong F có 3 phần tử nh : a,b,c: a. (b+c) = a.b+a.c Số phần tử trong một tr ờng gọi là bậc (order) của tr ờng. Phép cộng thì nghịch đảo của a là -a. Phép nhân: nghịch đảo của a là a -1 Tr ờng nhị phân ký hiệu là GF(2) có hai phần tử 0 và 1. [...]... ( x ) = x 3 + 2 + 1 =1 + x + x x x * 3 Nếu a(x) BKQ thì a*(x) cũng BKQ Mã xyclic (mã vòng): là tập hợp các đa thức BKQ của vành đa thức Z2[x]/Xn+1 Mã tuyến tính đợc gọi là mã xyclic nếu dịch vòng của một từ mã của C cũng là từ mã của C Ma trận sinh của mã xyclic C(n,k): G g( x) x g ( x ) G= k 1 x g ( x ) ví dụ: mã xyclic (7,4) có đa thúc sinh g(x)= 1+x2+x3 ma trận sinh là: 1 + x 2 +... +x +x +c = 0 Nh vậy H đợc sử dụng trong bộ mã để kiểm tra các từ mã nhận đợc là chẵn hay lẻ.( chẵn: số bit 1 trong một từ mã là chẵn, nếu lẻ thì số bit 1 trong từ mã là lẻ) nên H gọi là ma trận kiểm tra parity của mã (n,k) Các bài toán tối u của mã tuyến tính nhị phân Bài toán 1: với k,d0 xác định, ta phải tìm đợc mã có độ dài là lớn nhất để giải đợc bài toán này ta có giới hạn Griesmer: k 1 d0 n.. .Mã tuyến tính: đ/n 1: Mã tuyến tính có độ dài n là mã có các từ mã với các ký hiệu là các dạng tuyến tính đ/n 2: Mã hệ thống tuyến tính (n,k) là mã tuyến tính có chiều dài n, trong đó ta có thể tìm đợc vị trí của k ký tự thông tin trong từ mã Ma trận sinh xét xm1,xm2xmk là k bit thông tin đợc mã hoá thành một từ mã Cm k bit thông tin đ ợc đavào mã hoávà ký hiệu là: Xm = [xm1xm2xmk] đầu ra của. .. bộ mã hoá là: Cm = [cm1cm2cmn] Quá trình mã hoá trong bộ mã hoá khối tuyến tính đợc thể hiện bởi n phơng: cmi = xm1g1j + xm2g2j+ +xmkgkj Với j = 1,2 ,n, gij = 0 hoặc 1 các phơng trình của cmj đợc biểu diễn bởi ma trận sau: Cm = Xm.G G đợc gọi là ma g gsinh của mã C là: trận g g 1 11 g g G = 2 = 21 g k g k1 12 g 22 gk2 1n g 2n g kn Nh vậymỗi từ mã là tổ hợp tuyến tính của gij của. .. Griesmer ta xác định n>= 3+2+1+1= 7 vậy mã phải có độ dài tối thiểu là n = 7 vậy ta có mã (7,4,3)có 4 hàng, 7 cột và có khoảng cách tối thiểu là 3 Bài toán 2: với n, k xác định cần phải tìm đợc mã có d0 là lớn nhất, để giải quyết vấn đề này ta sử dụng giới hạn Plotkin: k 1 n.2 d0 k 2 1 Bài toán 3: với n và số lỗi có khă năng sửa đợc xác định t ta phải xác định đợc mã có số bit thông tin là lớn nhất hay... b= 1101000 Vành đa thức: là tập hợp các đa thức với phép toán hai ngôi (cộng đa thức và nhân đa thức)theo modul xn+1 tạo nên vành đa thức Với các hệ số của các đa thức nằm trong GF(2) thì vành đa thức đợc ký hiệu là:Z2[x]/xn+1 Ideal vành đa thức: là tập hợp các đa thức a(x) là bội của một đa thức g(x) thoả mãn: n g ( x ) X + 1 Với g(x) là ớc của Xn+1 Để xác định đợc Ideal trong vành đa thức ta cần... 1011000 3 4 x + x + x = 0101100 G= 2 x + x 4 + x 5 0010110 3 5 6 x + x + x 0001011 Ma trận kiểm tra của mã xyclic(n,k): H Trong đó r = n n k; x +1 h( x ) = g ( x) h* ( x) * x.h ( x ) H= r 1 * x h ( x ) h*(x) là đa thức đối ngẫu của h(x) ví dụ: tìm ma trận H của mã xyclic(7,4) với đa thức sinh sau: G(x) = 1 +x2 +x3 Với n = 7 nên xn+ 1= x7+1, r = n - k =3 x7 +1 ( x) = ( x +... khả quy bậc m trên trờng GF(2) đều là ớc số của Xn+1 với n = 2m 1 ví dụ m=3 thì n = 7.đa thức g(x) = x3+x+1, x3+x2+1.đều là ớc số của X7+1 vì X7+ 1= (x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) Vậy đa thúc bất khả quy là những đa thức có số lẻ các đơn thức Đa thức đối ngẫu: g*(x) là đối ngẫu của g(x) đợc xác định bởi: g*(x) = xdeg g(x).g(x-1) với(g(x-1) là biểu thức nghịch đảo của g(x) ví dụ: g ( x ) = x + x + 1 3 2 1... sinh G luôn tồn tại ma trận Hn-k,n với n-k hàng độc lập tuyến tính Với mã tuyến tính có ma trận sinh luôn tồn tại ma trận kiểm tra nh sau: 1 0 0 0 0 1 0 0 T H = I nk P = 0 0 0 1 [ ] p 00 p10 p ( k 1) 0 p 01 p11 p ( k 1)1 p 0 ( n k 1) p1( n k 1) p ( k 1)( n k 1) PT là ma trận chuyển vị của P và G.HT = 0 ví dụ: xét mã (7,4) có ma trận sinh: 1 0 G = 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0... dụng giới hạn hamming để giải quyết vấn đề này 2 nk t C i =0 i n Vành đa thức và mã xyclic: Vành đa thức: xét tập các đa thức có bậc không lớn hơn n-1: n 1 f ( x ) = f i x i i =0 Bậc của f(x) không lớn hơn n-1, f lấy giá trị trong trờng F nào đó thờng là trong tr ờng nhị phân GF(2) Tập đa thức thờng đ ợc xác định hai phép toán là cộng đa thức và nhân đa thức Phép cộng đa thức: xét hai biểu thức là: . Bài 6: Cơ sở toán học của m chống nhiễu Một số khái niệm cơ bản Tr ờng GF(2) và các đa thức trên tr ờng GF(2) Một số khái niệm cơ bản Nhóm G: Một tập G với một toán tử hai ngôi. đ ợc mã hoá thành một từ mã C m . k bit thông tin đ ợc đ avào mã hoávà ký hiệu là: X m = [x m1 x m2 x mk ] đầu ra của bộ mã hoá là: C m = [c m1 c m2 c mn ] Quá trình mã hoá trong bộ mã hoá. trong bộ mã để kiểm tra các từ mã nhận đ ợc là chẵn hay lẻ.( chẵn: số bit 1 trong một từ mã là chẵn, nếu lẻ thì số bit 1 trong từ mã là lẻ) nên H gọi là ma trận kiểm tra parity của mã (n,k) Các