Kiểu của nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ THỊ THẢNH KIỂU CỦA NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG CHIỀU NHÚNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy cô giáo, học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt trưởng thành ngày hôm Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2017 Sinh viên Lê Thị Thảnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Đỗ Văn Kiên Những nội dung không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2017 Sinh viên Lê Thị Thảnh ii Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Mục lục Mở đầu 1 Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Số Frobenius số giả Frobenius 1.3 Tập Apéry 1.4 Phân loại nửa nhóm số 11 1.4.1 Nửa nhóm số đối xứng 11 1.4.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 13 1.4.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 16 Ma trận RF 19 1.5 KIỂU CỦA NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG CHIỀU NHÚNG 23 2.1 Ma trận RF liên hợp 23 2.2 Kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng 24 iii Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán 2.3 Một số ví dụ iv Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho S nửa nhóm số Khi vành k[S] = k[ts : s ∈ S] ⊆ k[t] k[[S]] = k[[ts : s ∈ S]] ⊆ k[[t]] miền nguyên chiều Chúng gọi vành nửa nhóm số S tương ứng hai trường hợp phân bậc địa phương Có nhiều tính chất bất biến S tương ứng với k[S] Chẳng hạn S đối xứng hầu đối xứng vành k[S] vành Gorenstein([Ku]) hầu Gorenstein ([BF], [GMP]) Một bất biến quan trọng đại số giao hoán kiểu Cohen-Macaulay Kiểu vành k[S] kiểu nửa nhóm số S ([GW]) Trong trường hợp S có chiều nhúng kiểu S không ([FGH]) Nhưng chiều nhúng lớn kiểu S nói chung không bị chặn ([FGH]) Một kết đẹp S có chiều nhúng bội kiểu S không ([NNW]) Mục đích luận văn tìm hiểu kiểu S S hầu đối xứng có chiều nhúng Luận văn thực dưa báo A.Moscariello ([M], 2016) Kết chứng minh kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng không Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn sâu tìm tòi nghiên cứu số loại nửa nhóm số, kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu nửa nhóm số, kiểu nửa nhóm số chiều nhúng 4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm chương • Chương 1: Nửa nhóm số Nội dung chương trang bị kiến thức nửa nhóm số, số Frobenius, số giả Frobenius, tập Apéry ma trận RF • Chương 2: Kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng Trong chương trình bày kiến thức ma trận RF liên hợp kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Chương Nửa nhóm số Trong chương trình bày kiến thức nửa nhóm số, bất biến nửa nhóm số phân loại nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.1 Cho S tập thực tập số tự nhiên Khi S gọi nửa nhóm số     0∈S    S+S ⊆S      #(N\S) < ∞ Nếu S sinh n số tự nhiên a1 , a2 , · · · , an ta ký hiệu S = a1 , a2 , · · · , an Trong trường hợp dễ thấy S = {λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an |λi ∈ N} Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Nhận xét sau suy trực tiếp từ định nghĩa Nhận xét 1.1.2 Cho S = a1 , a2 , · · · , an S = ∅ ⇔ ∈ S S = N ⇔ ∈ /S Mệnh đề 1.1.3 Cho S = a1 , a2 , · · · , an , n > Khi #(N\S) < ∞ gcd(a1 , a2 , · · · , an ) = Chứng minh • Điều kiện cần Giả sử #(N\S) < ∞ ta chứng minh gcd(a1 , · · · , an ) = Đặt d = gcd(a1 , a2 , · · · , an ) Mọi số thuộc S chia hết cho d nên d > tất số tự nhiên có dạng nd + 1, n ∈ N không thuộc S Do tập N \ S vô hạn, mâu thuẫn Vậy d = • Điều kiện đủ Ta chứng minh phương pháp quy nạp Xét trường hợp S = a, b , gcd(a, b) = Nếu a = b = S = {λ1 a + λ2 b : λ1 , λ2 ≥ 0} = N Do N\S = ∅ ⇒ #(N\S) < ∞ Nếu < a < b Trước hết nhận xét với m ∈ Z m có biểu diễn dạng m = ax + by, ≤ y < a Thật vậy: Biểu diễn: Vì gcd(a, b) = nên ∃u, v ∈ Z : au + bv = Suy m = amu + bmv = amu + b(aq + y) (0 ≤ y < a) = amu + abq + by = a(mu + bq) + by = ax + by Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Duy nhất: Giả sử m = ax + by = ax + by với ≤ y, y < a ⇒ a(x − x ) = b(y − y) Vì gcd(a, b) = nên a ước | y − y |⇒ y = y ⇒ x = x Vậy với m ∈ Z, m viết dạng m = ax + by, ≤ y < a Từ m ∈ S ⇔ x ≥ Do số lớn không thuộc S phải a(−1) + b(a − 1) = ab − a − b Đặt c = (a − 1)(b − 1) c − = ab − a − b số lớn không thuộc S Như với m ≥ c m > c − ⇒ m ∈ S ⇒ #(N\S) ≤ c − Giả sử n > khẳng định với n − a1 an−1 Đặt d = (a1 , · · · , an−1 ) ⇒ ( , · · · , )=1 d d Theo giả thiết quy nạp, tồn m1 ∈ N cho ∀m ≥ m1 ⇒ m ∈ a1 an−1 ,··· , d d Do ∀m ≥ m1 ⇒ md ∈ a1 , a2 , · · · , an−1 Đặt c = dm1 + (d − 1)an + Ta chứng minh với m ≥ c m ∈ H Thật vậy, gcd(d, an ) = nên m có biểu diễn m = dx + an y, ≤ y < d Suy dx = m − an y ≥ (d − 1)an + m1 d + − an y ≥ dm1 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Chứng minh Gọi A = (aij ) ma trận RF f B = (bij ) ma trận RF F (S) − f ∈ PF(S) \ {F (S)} Trong ma trận có 12 cặp phần tử dạng bij , aij Do theo mệnh đề 2.1.2 có 12 hệ tử không phần tử A B Theo bổ đề 2.2.3 ta có 12 ≤| Γf | + | ΓF (S)−f | +8 hay | Γf | + | ΓF (S)−f |≥ Xét hai trường hợp: • Trường hợp Nếu F (S) ∈ PF(S) ta viết PF(S) \ {F (S)} = {g1 , F (s) − g1 , · · · , gm , F (S) − gm , F (S) } Suy m | Γ |=| Γ F (S) | + (| Γgi | + | ΓF (S)−gi ) ≥ + 4m = 2(1 + 2m) i=1 Mà 2(1 + 2m) = | PF(S) \ {F (S)} | Vậy | Γ |≥ | PF(S) \ {F (S)} |= 2(t(S) − 1) • Trường hợp Nếu F (S) ∈ / PF(S) ta viết PF(S) \ {F (S)} = {g1 , F (s) − g1 , · · · , gm , F (S) − gm } Suy m | Γ |= (| Γf | + | ΓF (S)−gi ) ≥ 2m = | PF(S) \ {F (S)} | i=1 Vậy ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.5 Cho S = n1 , n2 , n3 , n4 f, f ∈ PF(S) \ {F (S)} với f = Mji = λji ni − nj f = Mki = λki ni − nk 28 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán λji ≥ λki , {i, j, k, h} = {1, 2, 3, 4} Cho A = (apq ) ma trận RF F (S) − f Khi akj = Chứng minh Giả sử akj = F (S) = λji ni − nj + aki ni + akj nj − nk + akh nh = (λji + aki )ni + (akj − 1)nj − nk + akh nh Suy F (S) − f = (λji + aki )ni + (akj − 1)nj + akh nh ∈ S Mà (λji + aki ) ≥ 0; akj − ≥ 0; akh ≥ suy f ≤S F (S) Do f = F (S) (mâu thuẫn) Vậy akj = Bổ đề 2.2.6 Cho S =< n1 , n2 , n3 , n4 > nửa nhóm số hầu đối xứng Khi f, f , f ∈ PF(S) \ {F (S)} cho f = Mji = λji ni − nj f = Mki = λki ni − nk f = Mhi = λhi ni − nh với {i, j, k, h} = {1, 2, 3, 4} Chứng minh Giả sử không tính tổng quát với f = M21 = λ21 n1 − n2 f = M31 = λ31 n1 − n3 f = M41 = λ41 n1 − n4 29 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán ta giả sử λ21 ≥ λ31 ≥ λ41 Cho g = F (S) − f ∈ PF(S) Xét F ma trận RF f  −1   λ21 F =   f31  f41 f12 f13 f14    −1 0    f32 −1 f34   f42 f43 −1 Xét G ma trận RF g  −1    g21 G=   g31  g41 g12 g13 g14    −1 g23 g24    g32 −1 g34   g42 g43 −1 Theo mệnh đề 2.1.2 λ21 > theo g12 = Theo bổ đề 2.2.5 cặp {f, f } {f, f } thu g32 = g42 = Như G thỏa mãn giả thiết bổ đề 2.2.1, từ g = F (S) f = F (S) Từ f = g suy G ma trận RF g f Áp dụng mệnh đề 2.1.2 G, xét ma trận RF f g thu gij = gji = với i = j Cuối f = g = λ21 n1 − n2 giả sử không tính tổng quát   −1 g13 g14     λ21 −1 0   G=    g31 −1 g34    g41 g43 −1 30 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Tuy nhiên ma trận G có hai số g34 , g43 không Nếu g43 = theo mệnh đề 2.1.2 ta có f = λ21 n1 − n2 = g41 n1 − n4 Suy n4 = (λ21 − g41 )n1 + n2 Theo mệnh đề 2.1.3 g41 = λ41 Do λ21 ≥ λ41 = g41 Suy n4 = (λ21 − g41 )n1 + n2 ∈ n1 , n2 (vô lý) Tương tự g34 = n2 ∈ n1 , n4 (vô lý) Mệnh đề 2.2.7 Cho S = n1 , n2 , n3 , n4 nửa nhóm số hầu đối xứng Khi t(S) ≤ Chứng minh Theo bổ đề 2.2.4 ta có | Γ |≥ 2(t(S) − 1) Hơn | Γ |≥ ta cần mâu thuẫn • Nếu hàng có nhiều hai cặp ∈ Γ | Γ |≤ (mâu thuẫn) • Tồn hàng có ba cặp ∈ Γ chẳng hạn (j, i), (k, i), (h, i) ∈ Γ {i, j, h, k} = {1, 2, 3, 4} suy tồn fji ∈ PF(S) \ {F (S)} cho fji = λji ni − nj Tương tự ta có fhi = λhi ni − nh fki = λki ni − nk fhi , fki ∈ PF(S) \ {F (S)} Dựa vào bổ đề 2.2.6 | Γ |≤ 2(t(S) − 1) ≤ tức t(S) ≤ 31 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Giả sử t(S) = suy | Γ |= từ bổ đề 2.2.5 tồn hai số j, k cho Mji , Mki ∈ Γ Hơn Giả sử không tính tổng quát, tồn f, f ∈ PF(S) \ {F (S)} cho f = λ21 n1 − n2 f = λ31 n1 − n3 với λ21 ≥ λ31 Gọi A = (aij ) A = (bij )lần lượt ma trận RF f F (S) − f Theo bổ đề 2.2.4 | Γ |= suy | Γf | + | ΓF (S)−f |= với f ∈ PF(S) \ {F (S)} Vì theo bổ đề 2.2.3 mệnh đề 2.1.2 ta có kết luận A B có 12 hệ tử không, với cặp số i, j với i = j có hai hệ tử aij , bji hệ tử không Hơn theo bổ đề 2.2.5 có b32 = ta nói cặp phần tử a23 = b32 = Bổ đề 2.2.8 Cho S = n1 , n2 , n3 , n4 nửa nhóm số hầu đối xứng với t(S) = cho C ma trận RF F (S) ∈ PF(S) \ {F (S)} | Γ |= 8, | Γ F (S) |= 4, hàng C ba gồm hai hệ tử không Chứng minh Theo bổ đề 2.2.4 ta có | Γ |≥ 2(t(S) − 1) với t(S) = suy | Γ |≥ Kết hợp với bổ đề 2.2.6 ta có ≤| Γ |≤ t(S) = nên 32 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán PF(S) = {f, F (S) , F (S) − f, F (S)} Gọi A, B ma trận RF f F (S) − f Đặt ΓA = {(i, j) ∈ Γ | (i, j) ∈ Γf } ⊆ Γf ΓB = {(i, j) ∈ Γ | (i, j) ∈ ΓF (S)−f } ⊆ ΓF (S)−f ΓC = {(i, j) ∈ Γ | (i, j) ∈ Γ F (S) } ⊆ Γ F (S) 2 Ró ràng ΓA , ΓB , ΓC tập rời nhau, tồn chẳng hạn (i, j) ∈ ΓA ∩ ΓB suy (i, j) ∈ Γf (i, j) ∈ ΓF (S)−f Từ Γf ∩ ΓF (S)−f = ∅ (mâu thuẫn với mệnh đề 2.2.1) Ta có song ánh ba tập lên hàng A, B, C có hai hệ tử không Chẳng hạn đặt HA tập hàng A có hai hệ tử không có hai ánh xạ ngược ΓA −→ HA (i, j) −→ hàng thứ i HA −→ ΓA r −→ (j, r) r ∈ HA nên tồn j = r cho rj = 0, ari = ark = với {i, j, r, k} = {1, 2, 3, 4} Suy f = −nr + mrj nj nên mrj = λij Từ f = −nr + λrj nj nên (r, j) ∈ Γ suy (r, j) ∈ ΓA Hơn số hàng A có hệ tử không nhiều 4− | ΓA | (vì hàng có hệ tử không) Khi A có nhiều (4− | ΓA |) + | ΓA |= 4+ | ΓA | hệ tử không Khi 33 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán có nhiều 16+ | ΓA | + | ΓB | +2 | ΓC | hệ tử không bốn ma trận A, B, C, C Tuy nhiên tính số không mệnh đề 2.1.2 với cặp ma trận có 12 hệ tử không Nhờ bổ đề 2.2.6 với i có nhiều hai số j, k hai phần tử fi , fi ∈ PF(S)\{F (S)} cho fi = Mji , fi = Mki Hơn với cặp thế, bổ đề 2.2.5 phát biểu có cặp phần tử có hai dạng sau ajk , bkj cjk , ckj hệ tử không Vì số cặp có | ΓA | + | ΓB | + | ΓC | −4 hệ tử không, nên thu hai cặp A, B C, C có 12+12+ | ΓA | + | ΓB | + | ΓC | −4 hệ tử không Kết hợp với tính bị chặn thu bất đẳng thức 20+ | ΓA | + | ΓB | + | ΓC |≤ 16+ | ΓA | + | ΓB | +2 | ΓC | Do | ΓC |≥ suy | ΓC |= tức dòng C chứa hệ tử không =| ΓC |≤| Γ F (S) | suy | Γ F (S) |= 2 Từ | Γ |=| Γf | + | ΓF (S)−f | + | Γ F (S) | + | ΓF (S) | mà | Γf | + | ΓF (S)−f |≥ | Γ F (S) |= Suy | Γf |≥ Mặt khác | Γf |≤ | Γ |= Với bổ đề dễ dàng chứng minh t(S) ≤ theo định lý Định lý 2.2.9 Cho S = n1 , n2 , n3 , n4 nửa nhóm số hầu đối xứng Khi t(S) ≤ 34 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.7 ta cần t(S) = Giả sử t(S) = theo bổ đề 2.2.8 ta có | Γ |= Nhờ bổ đề 2.2.6 ta có với số i tồn hai phần tử Mji ,i , Mki ,i cho Mji ,i , Mki ,i ∈ PF(S)\{F (S)} Mji ,i = λji ,i ni − nji Mki ,i = λki ,i ni − nki với λji ,i ≥ λki ,i Gọi ma trận A, B ma trận RF f F (S) − f Theo bổ đề 2.2.3 có nhiều 12 hệ tử không theo mệnh đề 2.1.2 có 12 hệ tử không, có 12 hệ tử không cặp ma trận A, B Tuy nhiên Mji ,i = F (S) đưa nhờ bổ đề 2.2.4 có nhât 13 hệ tử không cặp ma trận A, B (mâu thuẫn) Vì Mji ,i = F (S) với i = 1, 2, 3, λji ,i ≥ λki ,i Gọi C ma trận RF F (S) Nhờ bổ đề 2.2.7 dòng C có hệ tử không phần tử Γ F (S) xuất C Chúng thấy có ma trận Giả sử xếp lại số j1 = k1 = tức λ21 ≥ λ31 M21 = λ21 n1 − n2 = F (S) có 35 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán  −1   λ21 C=   c31  c41 c12 c13 c14    −1 0    c32 −1 c34   c42 c43 −1 Nếu cp1 = với p = 2, kể từ hàng C có hai hệ tử không (theo mệnh đề 2.1.3) cp1 = λp1 Do λ21 n1 − n2 = λp1 n1 − np Suy np = (λ21 − np1 )n1 + n2 Ta xét trường hợp sau Nếu λ21 ≥ λp1 suy np ∈ n1 , n2 (vô lý) Nếu λ21 < λp1 suy n2 ∈ n1 , np (vô lý) Như c41 = Với lí tương tự chứng minh cột có nhiều phần tử dương hàng C có hệ tử nhiều phần tử dương tất C Trong cột C có phần tử dương, đưa kết vào tính toán c21 > 0, c31 = c41 = Ngoài nhờ mệnh đề 2.1.2 c12 = nhờ bổ đề 2.2.4 c32 = Vì phải có c42 > Nhờ mệnh đề 2.1.3 suy c42 = λ42 c41 = c43 = Ngoài c31 = c32 = 0, xét dòng thứ C có c34 > c34 = λ34 Cuối c42 > c34 > suy c12 = c14 = Vì xét hàng C xác định sau 36 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán   −1 λ13     λ21 −1 0   C=    0 −1 λ34    λ42 −1 Với M21 = M34 = M13 = M42 = F (S) Bây tìm phần tử Mki ,i Áp dụng bổ đề 2.2.4 vào F (S) , có phép tương ứng phần tử Mki ,i cặp phần tử cji ki , cki ji C cho cji ki = cki ji = Kiểm tra C, ta ý có cặp c23 = c32 = c14 = c41 = Do thu j1 = 2, j2 = 4, j3 = 1, j4 = suy k1 = 3, k2 = 1, k3 = 4, k4 = Bây xét phần tử sau M21 = M34 = F (S) M21 , M34 ∈ Γf ∪ ΓF (S)−f Theo định nghĩa ji ki có λ21 > λ31 λ34 > λ24 Theo giả thiết M31 M24 không thuộc tập Γf Nếu M31 = M24 có trường hợp ∗ Trường hợp 1: Nếu M31 ∈ Γf M24 ∈ ΓF (S)−f suy   λ31 n1 − n3 = f  λ24 n4 − n2 = F (S) − f Suy λ31 n1 − n3 + λ24 n4 − n2 = F (S) Mà F (S) = M21 + M31 = λ21 n1 − n2 + λ31 n1 − n3 Từ ta có λ31 n1 − n2 − n3 + λ24 n4 = λ21 n1 − n2 − n3 + λ34 n4 37 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán (2.2) Khi n1 (λ31 − λ21 ) = n4 (λ34 − λ24 ) Điều λ21 > λ31 λ34 > λ24 Do M31 = M24 ∗ Trường hợp 2: Nếu M24 ∈ Γf M31 ∈ ΓF (S)−f suy   λ31 n1 − n3 = F (s) − f (2.3)  λ24 n4 − n2 = f Làm hoàn toàn trường hợp ta thu kết M31 = M24 Kết hợp với M21 = M34 suy M21 − M31 = M24 − M34 Khi n1 (λ21 − λ31 ) = n4 (λ34 − λ24 ) Do ta viết F (S) = λ21 n1 − n2 = λ31 n1 + (λ21 − λ31 )n1 − n2 = λ31 n1 + (λ34 − λ24 )n4 − n2 với λ34 − λ24 > Bằng cách đổi chỗ hàng thứ ma trận C tức (λ12 , −1, 0, 0) với (λ31 , −1, 0, λ34 − λ24 ) ta có ma trận C ma trận RF F (S) F (S) = λ31 n1 − n2 + (λ34 − λ24 )n4   −1 λ13     λ31 −1 λ34 − λ24   C =    0 −1 λ34    λ42 −1 38 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Tuy nhiên ma trận C có dòng với hệ tử không Theo bổ đề 2.2.7 ma trận tồn tại, có ma trận RF - ma trận C F (S) F (S) ∈ PF(S) điều t(S) ≤ 2.3 Một số ví dụ Hai ví dụ minh họa cho định lý 2.2.9 Ví dụ 2.3.1 S = 5, 7, 8, 11 hầu đối xứng t(S) = Thật N \ S = {1, 2, 3, 4, 6, 9}, F (S) = M axN \ S = PF(S) = {3, 6, 9} Như t(S) = Mặt khác ta có x = thỏa mãn giả thiết x ∈ N \ S F (S) − x ∈ / S Mà ta lại có x ∈ PF(S) F (S) − x ∈ PF(S) nên S hầu đối xứng Ví dụ 2.3.2 S = 3, 7, không hầu đối xứng có kiểu t(S) = Thật N \ S = {1, 2, 4, 5}, F (S) = M axN \ S = PF(S) = {4, 5} Như t(S) = Mặt khác ta thấy giá trị x thỏa mãn giả thiết x ∈ N \ S F (S) − x ∈ / S để x ∈ PF(S) F (S) − x ∈ PF(S) nên S không hầu đối xứng Hầu đối xứng điều kiện đủ không cần để t(S) ≤ Điều thấy ví dụ sau 39 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Ví dụ 2.3.3 S =< 13, 15, 17, 20 > không hầu đối xứng t(S) > Thật N \ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 21, , 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 36, 38, 42, 44} Ta lại có PF(S) = {36, 38, 42, 44} Như t(S) = Vì S không hầu đối xứng có kiểu t(S) > Ví dụ 2.3.4 S =< 7, 17, 27, 37 > không hầu đối xứng kiểu t(S) = Thật ta có PF(S) = {47, 57, 67} Áp dụng định lý 1.4.11 ta thấy 47 + 57 = 67 nên S không hầu đối xứng 40 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán Tài liệu tham khảo [BF] V Barucci, R Fr¨oberg, One-dimensional almost Gorenstein rings, J Algebra, 188 (1997), 418-442 [FGH] R Fr¨oberg, C Gottlieb, R.Haggkvist, On numerical semigroups, Semigroup Forum, 35 (1987),63-83 [GMP] S Goto, N Matsuoka, T T Phuong, Almost Gorenstein rings, J Algebra,379 (2013) 355-381 [GW] S Goto, K Watanabe, On graded rings, J Math Soc Japan 30 (1978), 172-213 [Ku] E Kunz, The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein ring, Proc Amer Math Soc 25 (1970), 748-751 [M] A Moscariello, On the type of an almost Gorenstein monomial curve, J Algebra, 456 (2016), 266–277 [N] H Nari, Symmetries on almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum, 86 (2013), 140–154 [NNW] Nari, Numata, Watanabe Almost symmetric numerical semigroups of multiplicity 5, J Algebra (2011) 41 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán [RGS] Rosales-García-Sasnchez, Numerical 20(2009) 42 Lê Thị Thảnh K39A Sư phạm Toán semigroups, Springer ... nhóm số phân chia làm ba loại: nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng nửa nhóm số hầu đối xứng 1 .4. 1 Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa 1 .4. 1 Cho S nửa nhóm số ta nói S nửa nhóm số đối xứng. .. muốn sâu tìm tòi nghiên cứu số loại nửa nhóm số, kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu nửa nhóm số, kiểu nửa nhóm số chiều nhúng 4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên... Chương KIỂU CỦA NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG CHIỀU NHÚNG Trong chương trình bày kiến thức ma trận RF liên hợp kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng chiều nhúng 2.1 Ma trận RF liên hợp Cho S nửa nhóm số hầu đối