Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t nửa nhóm

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN VINH – 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Iđêan quan hệ Grin nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm xyclic 13 Chương TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t-NỬA NHĨM 18 2.1 Tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng t – nửa nhóm 18 2.2 Tính chất mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm tách 29 33 Kết luận 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Hai khái niệm sau nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vào cuối kỷ 20 đầu kỷ 21 Một nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm T S iđêan I T có iđêan J S cho J  T  I Một nửa nhóm S gọi có tính chất thu hẹp iđêan S khơng phải nửa nhóm đơn với iđêan I S, tồn thu hẹp đồng cấu  : S  I Luận văn dựa báo “On t – semigroups” J.A.Dumesnil đăng tạp chí Semigroup Forum số 50 (1995) để tìm hiểu tính chất mở rộng thu hẹp iđêan iđêan Luận văn gồm hai chương: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị rong chương ch ng t i tr nh bày hái niệm tính chất iđêan quan hệ rin nửa nhóm yclic Chƣơng Tính chất mở rộng thu hẹp iđêan t – nửa nhóm 2.1 Tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng t – nửa nhóm 2.2 Tính chất mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm tách Luận văn hồn thành rư ng Đại d n P S S Lê uốc án ọc inh hướng Nhân d p t i in bày t l ng biết ơn sâu s c tới thầy ngư i đ nh hướng thư ng uyên gi p đ ch ng t i tr nh học tập tập dượt nghiên cứu hoa học i in bày t l ng biết ơn tới thầy c hoa toán – rư ng Đại ọc inh đ c biệt thầy c chuyên nghành đại số l thuyết số tận t nh dạy ch ng t i hai năm qua Tôi xin bày t l ng biết ơn tới hoa Sau Đai ọc - rư ng Đại học inh rư ng Đại học Sài n tạo điều iện để t i hoàn thành chương tr nh học tập c ng luận văn M c d cố g ng song luận văn h ng tránh h i nh ng thiếu sót i mong nhận iến đóng góp thầy c bạn b để luận văn hoàn thành tốt inh tháng 12 năm 2011 ác giả Ng h hanh CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 IĐÊAN VÀ CÁC QUAN H GRIN TRÊN NỬA NHÓM 1.1.1 Định nghĩa iả sử I tập h ng rỗng nửa nhóm S Khi đó: i) I gọi iđêan trái (tương ứng, phải) nửa nhóm S (tương ứng IS ii) I gọi iđêan S I vừa idêan trái vừa iđêan phải Từ đ nh nghĩa trực tiếp suy 1.1.2 Hệ Giả sử I tập khác rỗng nửa nhóm S Thế I iđêan trái (tương ứng, phải) S với i) (tương ứng, có ii) , với ) Nếu I iđêan trái S I nửa nhóm S iii) Nếu I J iđêan trái (phải) S với iđêan trái (phải) S 1.1.3 Định nghĩa Giả sử I iđêan S a đ nh nghĩa quan hệ  I ác đ nh I  I  I  is (nghĩa x  I y ho c x, ho c x = y) Khi  I tương đẳng S gọi tương đẳng Rixơ S liên kết với I Để chứng t Đ nh nghĩa 1.1.3 hợp l ta cần chứng minh  I tương đẳng điều suy trực tiếp từ đ nh nghĩa Nửa nhóm thương S  I Rixơ iđêan I S I hiệu S I gọi thương có phần tử I phần tử hác {x} với x  S Để đơn giản I phần tử hiệu ch ng ta đồng phần tử {x} = x  I với Tích phần tử Ix = I = xI với sau x.y =xy với x, y Do I phần tử h ng (zero) I 1.1.4 Định nghĩa Một iđêan I nửa nhóm S gọi iđêan tối tiểu với iđêan J S,J  I kéo theo J = I 1.1.5 Bổ đề Giả sử I iđêan tối tiểu J iđêan tùy ý S Thế I  J Chứng minh rước hết hật v I J nh ng iđêan ơn n a S, nên M t hác I, suy Do iđêan S nên từ tính tối tiểu bổ đề 1.1.5 trực tiếp suy 1.1.6 Hệ Nếu nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, iđêan tối tiểu S Chú ý nửa nhóm có ho c h ng có iđêan tối tiểu Xét nửa nhóm ( , +) Các iđêan nhóm ( n+ = ơn n a +) thực chất tập m ≥ n Do ( , +) khơng có iđêan tối tiểu uy nhiên nửa nhóm h u hạn S có iđêan tối tiểu iđêan có số phần tử (iđêan tồn v S iđêan S S có h u hạn phần tử) 1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn khơng có iđêan khác S 1.1.8 Bổ đề Nửa nhóm đơn S = SxS, với x S Chứng minh Rõ ràng rằng, với x có SxS = S iđêan S S đơn th SxS = S Đảo lại giả thiết với x có SxS = S Khi I đêan S x th S = SxS I nên I = S ậy S đơn 1.1.9 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a đ nh nghĩa quan hệ L, , sau S L S1a, aS1và S1aS1là iđêan trái phải iđêan S sinh a heo đ nh nghĩa aL Từ đ nh nghĩa trực tiếp suy quan hệ L, tương đương S hực quan hệ tương đẳng phải tương đẳng trái S ới x ta x hiệu Lx L - lớp tương đương chứa x: ={y ương tự Rx Jx S / xL y} hiệu lớp tương đương theo tương ứng chứa x 1.1.10 Ví d (1) Xét nửa nhóm S ={a, b, c} với phép nhân ác đ nh bảng hế th S1a = {a, b, c}, S1b = {b,a}, S1c = {c}, aS1 ={a, b, c}, bS1 = {a, b, c}, cS1 = {b, c} Từ a a b c lớp tương đương theo quan a a b c hệ L La = {a}, Lb = {b}, Lc = {c}, theo b b a c quan hệ c c b c Ra = {a},{ b} = Rb, Rc = {c} (2) iả sử TX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập X hế th α, β TX:  Do đ nh éo theo α(X) = β(X) M t hác α(X) = β(X) xác bởi: hế th hiệu có nên α 1.1.11 Định lý Các quan hệ L Chứng minh iả sử (x,y)L o giao hoán : L o = oL hế th có phần tử z S cho xL z, z y Do tồn phần tử s, s’, r, r’ S cho x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’ K hiệu t = szr’ hế th t = szr’ = xr’, x =sz = syr =szr’r =tr nên x t a lại có: t = szr’ = sy, y = zr’ = s’szr’ = s’t nên Lt Suy (x, y) Tương tự có L o 1.1.12 Định nghĩa oL nên oL  Lo L o nên L o = iả sử L oL. quan hệ tương đương ác đ nh theo Đ nh nghĩa 1.1.9 a ác đ nh quan hệ S bởi: 10 D =Lo = oL H = L Khi H quan hệ tương đương lớn S chứa L theo lý thuyết tập hợp a chứng minh D quan hệ tương đương bé chứa L Thật vậy, L quan hệ tương đương quan hệ tương đương nên D = Lo c ng ơn n a, xLx x x với xS1 nên L D  L Nếu T quan hệ tương đương S chứa L, D quan hệ tương đương bé chứa L D  T, nên an hệ L, , D, H ác đ nh đươc gọi quan hệ Grin nửa nhóm S Biểu đồ bao hàm quan hệ Grin cho h nh với ý D  T T D R L H Ký hiệu Dx Hx D – lớp H – Lớp tương ứng chứa x  S Khi với x có Lx  x = Hx 1.1.13 Bổ đề Đối với nửa nhóm S, ta có xD y  Lx  Ry    Ly  Rx   26 nhóm M, trư ng hợp này, T = {a2} ho c T = {a2}  M Phần lại cần chứng minh khẳng đ nh: Nếu T nhóm M, tương đẳng T mở rộng thành tương đẳng a Thật vậy, giả sử  tương đẳng T với T nửa nhóm M hi tồn tương đẳng  M mở rộng  * Giả sử  :  *   a Thế  mở rộng  lên a Thật vậy, trực tiếp iểm tra để  mở rộng  lên a , cần chứng t (x, y)   z  a (xz, yz)   Nếu z  M th điều hiển nhiên Nếu z = a ho c z = a2  * ác đ nh nhóm chuẩn t c K M cho (x, y)   xy 1  K Khi (xa)(ya)–1 = xy–1 (x2a)(y2a)–1 = xy–1 nên (xa, ya)     * (xa2,ya2)     (x,y)   ơn n a *   (T  T )  ( *  a )  (T  T )   *  (T  T )   2.1.12 Hệ Giả sử S nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng, index(S)  2.1.13 Định nghĩa Một phần tử a nửa nhóm S gọi nhiễu xạ (disruptive element) tồn iđêan T S cho a  T 1 JT(a)  JS(a)  T (chứa thực sự) J T (a)  T aT J S ( a )  S 1aS iđêan T S tương ứng sinh a Năm 1991 J I Garcia chứng minh ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương : 27 (1) S có tính chất mở rộng iđêan (2) S có tính chất mở rộng iđêan (3) S khơng có phần tử nhiễu xạ (Xem [9]) Từ đó, ta nhận kết sau 2.1.14 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn T nửa nhóm S.Thế khơng có phần tử quy T nhiễu xạ T Chứng minh Giả sử r phần tử quy T, hi tồn phần tử t  T cho rtr = r Giả sử p  JS(r)  T p = sr với s  S1  T Do đó, ptr = srtr = sr = p Vì p, t  T nên p  JT(r), từ JT = Js(r)  T Vậy r khơng phải phần tử nhiễu xạ T p 2.1.15 Hệ Giả sử e phần tử lũy đẳng nửa nhóm giao hốn S Khi e phần tử nhiễu xạ S Chứng minh Vì e l y đẳng S nên e2 = e, từ e.e.e = e nên e quy S Áp dụng Mệnh đề 2.1.14 với T = S, ta suy e phần tử nhiễu xạ S 2.1.16 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng tương đẳng Khi S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả thiết S tính chất mở rộng iđêan hế S chứa phần tử nhiễu xạ a theo Hệ 2.1.15, tồn a  T cho J T a   J S a   T (chứa thực sự)  T1 Vì a phần tử nhiễu xạ nên a l y đẳng (a, a2)  T×T Khi sa  T sa2 = (sa)a  T, từ (sa, sa2)  S(a, a2)  (T×T) S(a, a2) Giả sử s  S cho sa  T sa ≠ ta với t 28 tương đẳng S sinh c p (a, a2) Do đ c trưng T(a, a2) theo điều kiện sa ≠ ta với t  T1 sa ≠ sa2, nên khơng có chuyển tiếp vào T nối sa với sa2 Suy (sa, sa2)  T(a, a2) từ S(a, a2)  (T×T ) ≠ T (a, a2) Điều mâu thu n với giả thiết S có tính chất mở rộng tương đẳng 2.1.17 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic Khi điều kiện sau tương đương: (1) S t – nửa nhóm; (2) S có số nhỏ 3; (3) S có tính chất mở rộng tương đẳng; (4) S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả sử S nửa nhóm xyclic, cách áp dụng Bổ đề 2.1.9 Đ nh lý 2.1.11, Đ nh lý 2.1.17 Mệnh đề 2.1.16 ta nhận (1)  (2)  (3)  (4)  (1) 2.1.18 Mệnh đề Giả sử r phần tử quy nửa nhóm S I iđêan S chứa r Khi r khơng phải phần tử nhiễu xạ I Chứng minh Vì r phần tử quy S nên tồn t  S cho rtr = r, trt = t Do t  I I iđêan S Giả sử p  JS (r) ∩ I Thế p = urv với u, v  S1 Khi p = urv = u(rtr)v = ur(trt)rv = (urt)(trv)  I1rI1 = Jr(r) Từ JI(r) = JS(r) ∩ I nên r phần tử nhiễu xạ I 2.1.19 Hệ Giả sử S nửa nhóm quy Khi S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm quy, I iđêan S K iđêan I Thế 29 JI  x  K xK    J S  x   I    J S  x    I xk  xk  J S  x  iđêan S I c ng iđêan S nên K iđêan Vì xk S Vậy S t – nửa nhóm  S gọi phần tử quy tồn s  S cho asa = a Khi tồn s  S cho asa = a, sas = s Nửa nhóm S (chú ý phần tử a gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy) Ta nh c lại nửa nhóm S gọi băng (band) phần tử S phần tử l y đẳng (nghĩa s2 = s với s S) 2.1.20 Hệ Mỗi băng t – nửa nhóm Chứng minh Vì băng nửa nhóm quy (các l y đẳng phần tử quy) Chú ý S khơng phải t – nửa nhóm S1 = S  {1} nửa nhóm thu cách ghép thêm đơn v (nếu S chưa có đơn v ) n a E tập hợp l y đẳng S1 ES1 = S1E = S1 S1 chưa phải t – nửa nhóm 2.1.21 Định lý Giả sử S nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng Khi S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng Giả thiết phản chứng S t – nửa nhóm Thế tồn iđêan I S iđêan K I cho K khơng phải iđêan S Khi tồn a  K cho J S  a   K Giả sử s, t Thế sat  I sat ≠ uav với u, v  I1  S1 cho sat  K 30 Khi K iđêan I nên J I a   K I iđêan S nên J S a   I Như vậy, J S a   K , J I a   K J S a   I nên J S  a   J I  a  Do a h ng phải phần tử nhiễu xạ I Theo Mệnh đề 2.1.18, a phần tử quy, nói riêng, a2 ≠ a Giả sử  tương đẳng Rees cách cho K thành phần tử zero Vì a, a3  K nên I(a, a3)   ơn n a, sat  K nên (sat, sa3t)   (sat, sa3t)  I(a, a3) Do S(a, a3) ∩ (IxI) ≠ I(a, a3) mâu thu n với S có tính chất mở rộng tương đẳng Vậy S t – nửa nhóm Ta kết thúc tiết ví dụ chứng t chiều ngược lại Đ nh l 2.1.21 h ng đ ng 2.1.22 Ví d Giả sử S = {1,2,3,4} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 1 1 1 1 Thế S t – nửa nhóm giao hốn khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Các iđêan S {1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}, {1,3,4} {1,2,3,4} Suy S t – nửa nhóm Để chứng t S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng, ta xét nửa nhóm T = {1,2,3} S tương đẳng  = {(2 3) (3 2)}∩ΔT T 31 Thế ta có s = {(2,3), (3,2), (1,3), (3,1), (1,2), (2,1)}  ΔS rõ ràng mở rộng  Như vậy, khơng có mở rộng  làm S tồn tại, từ S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng 2.2 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHĨM 2.2.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi có tính chất thu hẹp iđêan (IRP) th a mãn hai điều kiện: (i) S nửa nhóm đơn nghĩa S có iđêan thực (ii) Với iđêan I S, tồn thu hẹp đồng cấu  : SI, nghĩa  đồng cấu nửa nhóm  I  1I 1I đồng I 2.2.2 Ví d Giả sử S = {1,2,3,4} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 1 1 1 1 4 4 a có iđêan S S, E = {1,4}, {1,3,4} {1,2,4} Kiểm tra trực tiếp với iđêan I S, ánh xạ  : SI cho x   x   1 x  I x  I 32 đồng cấu nửa nhóm  I  1I Vì vậy, S nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.2.3 Ví d Ví dụ sau chứng t tính chất thu hẹp iđêan h ng di truyền Giả sử S = {1,2,3,4,5,6} nửa nhóm với bảng nhân : 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 6 1 1 Khi S có tính chất thu hẹp iđêan T = {1,5,6} nửa nhóm S ơn n a, T khơng có tính chất thu hẹp iđêan v I = {1,6} iđêan T không tồn thu hẹp đồng cấu từ T lên I 2.2.4 Ví d a đưa ví dụ nửa nhóm h u hạn có tính chất mở rộng tương đẳng mở rộng iđêan S khơng có tính chất thu hẹp iđêan Xét nửa nhóm S = {1,2,3} với bảng nhân sau: 1 1 1 3 33 a có I ={1,2} iđêan S khơng có thu hẹp đồng cấu từ S lên I S khơng có tính chất thu hẹp iđêan rực tiếp thử S có tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng Nh ng ví dụ chứng t lớp nửa nhóm (IEP), (CEP) (IRP) thực khác Bây gi ta xét tính chất thu hẹp iđêan t – nửa nhóm 2.2.5 Ví d Xét nửa nhóm S = {1,2,3} với phép nhân cho bảng Cayley: 1 1 1 1 a có S t – nửa nhóm, S = {1,2,3} iđêan S Tuy nhiên khơng có thu hẹp đồng cấu từ S lên J, khơng có ảnh Như tồn nh ng t – nửa nhóm h ng có tính chất thu hẹp iđêan Tuy nhiên ta có: 2.2.6 Định lý Nếu S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan, S t – nửa nhóm Chứng minh Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan J iđêan S I iđêan J Khi tồn thu hẹp đồng cấu  : S  I Giả sử p  I s  S p  I  J J iđêan S Thế rước hết ta ý ps  J 34 ps =  ( ps) =  (p)  (s) = p  (s)  I, p  I,  (s)  J I iđêan J Như I iđêan S S t – nửa nhóm Ta nêu lên kết tương tự Đ nh lý 2.1.17 tính chất thu hẹp iđêan với nửa nhóm xyclic 2.2.7 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic với phần tử sinh a Khi S có tính chất thu hẹp iđêan a có số Chứng minh rước S nửa nhóm giao hốn Nếu S có số 1, S nhóm S nửa nhóm đơn nên S khơng phải nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan Giả thiết a có số Thế G = {an / n ≥ 2} nhóm iđêan S Giả sử e đơn v G Thế ánh xạ  : S  G ác đ nh  (x) = ex,  x  S thu hẹp đồng cấu từ S lên S nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan Cuối cùng, giả thiết S có tính chất thu hẹp iđêan a có số lớn ho c Thế I = {an / n ≥ 2} iđêan thực S Giả sử  : S  I thu hẹp đồng cấu từ S lên I Khi  (a) = an với n ≥ Suy a2 =  (a2) = [  (a)]2 = a2p 2p > (vì p ≥ 2) Như a có số 2, mâu thu n d n tới phép chứng minh Đ nh lý 2.2.7 hồn thành 35 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM 2.3 TÁCH ĐƢ C 2.3.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi tách (separative) th a mãn điều kiện: từ a, b  S, a2  b2 =ab =ba kéo theo a = b Ta nh c lại nửa nhóm S gọi rút gọn yếu (weakly reductive) a, b  S cho at = bt tb = ta với t  S kéo theo a = b 2.3.2 Bổ đề Nếu I iđêan nửa nhóm tách S I rút gọn yếu Chứng minh Xem 8 2.3.3 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T, I iđêan rút gọn yếu T Thế tồn thu hẹp đồng  : TI cho     ,  : S   1  I  đồng cấu thu hẹp  :  1  I   I thu hẹp  1 ( I ) Chứng minh Giả sử t   u, v  S cho  (u)   (v) Thế    u       v   Thật vậy, giả sử p  I Thế p    q  với q  1  I  Như p      q    u      q  u       q   u       qu    qu    q   u     q   v     qv      qv       q  v      q  v      q   v   p  v  tương tự   u  p    v  p Vì I rút gọn yếu nên    u       v   36 1 Xác đ nh  : T  I   t      u   với u   t  Thế thì, từ lập luận trên,  hồn tồn ác đ nh Để chứng minh  đồng cấu, giả sử a, b  T x, y  S cho   x   a,   y   b Thế  x    y  thuộc  1  I  ,   x     a  ,  y     b  Từ suy   xy     x   y   ab   ab     xy     xy     x   y     a    b  ,  đồng cấu Để chứng t thu hẹp  I ánh xạ đồng nhất, giả sử 1 c  I d  S cho   d   c d   I  1 Như   c     d     d   c d   I   thu hẹp I ánh xạ đồng Vậy :  : T   thu hẹp đồng cấu trực tiếp thử thấy   =   Từ Bổ đề 2.3.2 Mệnh đề 2.3.3, suy 2.3.4 Hệ Nếu S có tính chất thu hẹp iđêan  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm tách khơng đơn T, T có tính chất thu hẹp iđêan 2.3.5 Định nghĩa Giả sử k số nguyên, k  2, S nửa nhóm Khi S gọi rút gọn k mũ (k-power cancel lative) từ a, b  S, ak = bk kéo theo a = b 2.3.6 Mệnh đề Nếu S nửa nhóm rút gọn k mũ, S tách Chứng minh Giả thiết k  a2 = b2 = ab = ba với a,b  S Nếu k chẵn, k = 2p với p  = bk nên a = b , p  từ ak = a2p = (a2)p = (b2)p = b2p 37 Nếu k lẻ, k = 2p +1 với p  , p  ak = a2p+1 = a.a2p = a.(a2)p = a.(b2)p = a.b2p = ab: b2p+1 = bk =b.b2p= b.(b2)p = b(a2)p = b.a2p = ba từ a = b Vậy S tách 2.3.7 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm k số nguyên, k  Khi S gọi k-chia (duy nhất) (k-divisible (uniquely)) a  S, tồn (duy b) cho bk = a Rõ ràng S nửa nhóm k – chia rút gọn k – m được, S nửa nhóm chia Trong 8 chứng t rằng: 2.3.8 Mệnh đề Giả sử k số nguyên dương S nửa nhóm hữu hạn Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) S k- chia được; (ii) S k – chia nhất; (iii) S =    e , He nhóm hữu hạn cấp nguyên tố với k e  E (E tập hợp tất lũy đẳng S) 2.3.9 Hệ Mỗi nửa nhóm k – chia hữu hạn nửa nhóm tách Chứng minh Giả sử S nửa nhóm k – chia h u hạn Theo Mệnh đề 2.3.8, S k – chia từ S nửa nhóm rút gọn k – m Theo Mệnh đề 2.3.6 S tách 2.3.10 Hệ Nếu S nửa nhóm k-chia với tính chất thu hẹp iđêan  : S T đồng cấu từ S lên nửa nhóm hữu hạn T Thế T có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Trực tiếp chứng minh ảnh đồng cấu nửa nhóm k – chia nửa nhóm k – chia Do từ Hệ 2.3.9 Hệ 2.3.4 suy T có tính chất thu hẹp iđêan 38 Luận văn hoàn thành nh ng vấn đề sau: ệ thống hái niệm tính chất iđêan nửa nhóm quan hệ rin nửa nhóm nửa nhóm yclic 2.Chứng minh số tính chất t – nửa nhóm (Mênh đề 2 Đ nhl 2.1.6) Chứng minh điều iện cần đủ để nửa nhóm yclic có tính chất mở rộng tương đẳng (Đ nh l 2.1.11) mối liên hệ gi a t – nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan mở rộng tương đẳng (Đ nh l 2.1.17, Đ nh l 2.1.21) Chứng minh tính chất thu hẹp iđêan cửa t – nửa nhóm nửa nhóm yclic (Đ nh l 2.2.6, Đ nh l 2.2.7) m hiểu số tính chất đ c trưng cửa nửa nhóm tách (Mệnh đề 2.3.6 ệ 2.3.9) 39 TÀI LI U THAM KH O Tiếng Việt [1] A H Cliphớt – B Prestơn (1976) Lý thuyết nửa nhóm, d ch tiếng Việt Trần ăn ạo Hoàng Kỳ NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, rư ng Đại Học Vinh [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm rư ng Đại học Vinh Tiếng Anh [4] K D Aucoin, J A Dumensnil and J A Hidebrrant (2003), Semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 66, 416432 [5] B Biro, E Wkiss and P R Palfy (1977), On the congruence extention property, Colloq Math 29, 129-151 [6] D R Brown and J A Hildebrant (1990), Embedding compact t – semigroups into compact uniquely divisible semigroups, Semigroup Forum 41, 61 – 82 [7] J H Carruth, J A Hildebrant, R J Koch (1983), The Theory of topological semigroups I, Pure and Applied Mathematics series, Marcel Dekker, Inc., New York [8] J Garcia (1991), The congruences extension preperty for algebraic semigroups, Semigroup Forum 43, 1- 18 40 ... T? ?nh ch? ?t mở rộng iđêan mở rộng t? ?ơng đẳng t – nửa nhóm 18 2.2 T? ?nh ch? ?t mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 T? ?nh ch? ?t thu hẹp iđêan nửa nhóm t? ?ch 29 33 K? ?t luận 36 T? ?I LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ... – nửa nhóm 2.1 T? ?nh ch? ?t mở rộng iđêan mở rộng t? ?ơng đẳng t – nửa nhóm 2.2 T? ?nh ch? ?t mở rộng thu hẹp Iđêan t – nửa nhóm 2.3 T? ?nh ch? ?t thu hẹp iđêan nửa nhóm t? ?ch Luận văn hồn thành rư ng Đại... mở rộng  làm S t? ??n t? ??i, t? ?? S khơng có t? ?nh ch? ?t mở rộng t? ?ơng đẳng 2.2 T? ?NH CH? ?T THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM 2.2.1 Định nghĩa M? ?t nửa nhóm S gọi có t? ?nh ch? ?t thu hẹp iđêan (IRP) th