Tính điều khiển được và ổn định hóa đối với các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

1 LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết điều khiển tốn học lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng, phát triển khoảng thập kỷ gần Cơng cụ lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Rất nhiều tốn khoa học, cơng nghệ kĩ thuật kinh tế mô tả hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển cần đến cơng cụ tốn học để tìm lời giải Một vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống toán điều khiển được, tức nghiên cứu lớp hàm điều khiển chấp nhận cho tác động hệ thống điều khiển vị trí, trạng thái mong muốn Bài tốn điều khiển có liên quan chặt chẽ đến toán khác, toán ổn định ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu Dựa vào mục đích điều khiển hệ thống người ta định nghĩa khái niệm khác toán điều khiển như: Điều khiển toàn cục, đạt hoàn toàn, điều khiển 0, điều khiển địa phương, Tính ổn định tính chất chủ yếu lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ 19 cơng trình xuất sắc nhà tốn học Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mơ hình kinh tế mơ tả hệ phương trình tốn học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển hệ động lực, toán ổn định hệ điều khiển hay thường gọi toán ổn định hóa quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng thực tiễn Dựa kết lý thuyết ổn định Lyapunov, người ta tìm lời giải cho tốn ổn định hóa Từ kết quan hệ tính ổn định điều khiển hệ điều khiển,nhiều kết thú vị có nhiều ứng dụng tốn kỹ thuật cơng nghệ cơng bố Phương trình vi phân thường nghiên cứu từ lâu, khoảng 200 năm trở lại Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, có phương trình vi phân đại số tuyến tính thực quan tâm vòng 40 năm trở lại Phương trình vi phân đại số tuyến tính có nhiều điểm đặc biệt mà ta khơng thể tìm thấy phương trình vi phân thường Ví dụ: Ma trận hệ số ma trận suy biến, không khả nghịch, làm cho việc nghiên cứu vấn đề liên quan phức tạp lại hấp dẫn Hiện nay, có nhiều cố gắng việc nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến cịn mang tính thời sự, cịn nhiều câu hỏi chưa giải đáp Trong luận văn này, chúng tơi trình bày cách có hệ thống số kết nghiên cứu năm gần Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, bachương phần tài liệu tham khảo Chương 1, trình bàykhái niệm tính điều khiển được, khái niệm tính ổn định ổn định hóa Chương 2, nghiên cứu vài tính đạt tính điều khiển được, phương trình vi phân đại số Chương 3, nghiên cứu tínhổnđịnh hố, mối liên hệ tính ổn định hóa tính chất ổn định hóa hệphương trình viphân đại số Chƣơng TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chương trình bày số kết dùng nhiều chương chương 3, khái niệm số tính chất tính điều khiển được, tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Các khái niệm tính điều khiển đƣợc Xét hệ thống điều khiển mô tả phương trình vi phân tuyến tính dạng: x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) , t ³ i (1.1) Trong x ( t ) Ỵ» n véc tơ trạng thái, u ( t ) Ỵ» m véc tơ điều khiển, n ³ m, A( t ) , B ( t ) ma trận có số chiều ( n ´ n) ,( n ´ m) tương ứng Một hàm véc tơ u ( t ) xác định 0; khả tích địa phương lấy giá trị » m gọi điều khiển chấp nhận được, thông thường ( ) hàm Lp éë0;¥) ,» m Trong báo cáo, để đơn giản cách viết ta xét p = lớp hàm ta kí hiệu U.Xét hệ điều khiển tuyến tính () 1.1 với giá trị ban đầu x = x0 cho trước Như ứng với điều khiển chấp nhận u t toán cauchy hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 ln có nghiệm x ( t, x0 ,u ) thời điểm t cho t x ( t, x0 ,u ) = F ( t,0) x0 + ò F ( t,s ) B ( s ) u ( s ) ds, t ³ (1.2) Trong t , s ma trận nghiệm hệ tuyến tính x ( t ) = A( t ) x ( t ) , t ³ i Định nghĩa 1.1.1.Cho hai trạng thái x0 , x1 λ n , cặp ( x0 , x1 ) gọi điều khiển sau thời gian t1 , tồn điều khiển chấp nhận u t cho nghiệm x ( t, x0 ,u ) hệ thỏa mãn điều kiện x ( 0,x0 ,u ) = x0 , x ( t1 ,x0 ,u ) = x1 Định nghĩa 1.1.2.Hệ điều khiển 1.1 gọi điều khiển hoàn toàn GC với hai trạng thái x0 , x1 tìm thời gian t1 cho x0 , x1 điều khiển sau thời gian t1 Trong trường hợp tồn lân cận gốc V ( 0) Ì » n cho hệ 1.1 điều khiển hồn tồn V , hệ gọi điều khiển địa phương LC Định nghĩa 1.1.3.Hệ điều khiển 1.1 gọi đạt hồn tồn GR với trạng thái x1 λ n , tồn thời gian t1 cho 0, x1 điều khiển sau thời gian t1 Định nghĩa 1.1.4.Hệ điều khiển 1.1 gọi điều khiển hoàn toàn GNC với trạng thái x0 Ỵ» n , tồn thời gian t1 cho x0 , điều khiển sau thời gian t1 Một cách hình học, ta định nghĩa tập R t x0 tập hợp tất trạng thái x Ỵ» n mà từ hệ thống đạt từ trạng thái x0 sau thời gian t1 , tức là: { R t ( x0 ) = x Ỵ» : $u ( t ) ỴU, x ( t, x0 ,u ) = x n Khi ta nói hệ 1.1 : + GC "x0 Ỵ» n : R ( x0 ) = » n ; + GR R ( 0) = » n ; + GNC "x0 Ỵ» n , ỴR x0 , R x0  t R t ( x0 ) Nhận xét1.1.1 Từ định nghĩa ta thấy quan hệ sau thỏa mãn GR GC GNC Chúng ta bắt đầu kết sở tính điều khiển cho hệ điều khiển tuyến tính dừng dạng: x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) , t ³ i (1.3) Trong x ( t ) Ỵ» n , u ( t ) Ỵ» m , A,B ma trận số có số chiều tương ứng Đối với hệ dừng 1.3 theo công thức nghiệm 1.2 , ta có ma trận nghiệm t, e At Cho nên, nghiệm x t , x0 , u hệ 1.3 cho t A t-s x ( t, x0 ,u ) = e At x0 + ò e ( ) Bu ( s )ds (1.4) Và ta mơ tả tập đạt hệ 1.2 sau thời gian t: t R t = Rt = A t-s x Ỵ» ; x = ò e ( ) Bu ( s ) ds,u (.) ỴU n Định lý 1.1.1.(Tiêu chuẩn hạng Kalman)Hệ tuyến tính dừng 1.3 điều khiển hoàn toàn rank B, AB, , An 1B n Thí dụ 1.1.1.Xét tính điều khiển hệ: ìi ï x1 = x2 + u íi ï x = x + 2x + 2u ỵ Ta có : ỉ 1ư ỉ1 ổ 2ử A=ỗ , B = , AB = çè 2÷ø çè ÷ø è 2÷ø Vì : æ1 ö rank éë B, AB ùû = rank ộở A / B ựỷ = rank ỗ =2 ố 5÷ø Nên hệ cho GC Thí dụ 1.1.2.Xét tính điều khiển phương trình cấp n ( n) x + an-1x ( n-1) + + a1 x + a0 x = u Trong (i 0,1, , n 1) , số thc cho trc Ta cú ổ ỗ ỗ0 ỗ A = ỗ ç0 0 ç çè -a0 - a1 - a2 ổ0 ữ ỗ0 ữ ữ ữ , B = ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ0 ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố ữứ - a ÷ n -1 ø phương trình điều khiển đưa hệ phương trình » n dạng 1.3 với x = ( x1 , x2 , , xn ) Ỵ» n tọa độ biến đổi sau: i i i i x1 = x2 , x2 = x3 , , x n-1 = xn , x n = -an-1xn - - a0 x1 + u Từ ta kiểm tra dễ dàng rank A / B GC 1.2 Các khái niệm lý thuyết ổn định n hệ cho Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân: x ( t ) = f ( t, x ) , t ³ 0; i (1.5) x ( t0 ) = x0 Trong x t » n véc tơ trạng thái hệ , f : » + ´ » n ® » n hàm véc tơ cho trước Giả thiết f t , x hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ với điều kiện ban đầu 1.5 x ( t0 ) = x0 ,t ³ ln có nghiệm.Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức t ( ) x ( t ) = x0 + ò f s, x ( s ) ds t0 Định nghĩa 1.2.1.Nghiệm x t hệ 1.5 gọi ổn định với số e > 0,t0 ³ tồn số nghiệm y t , y t0 (phụ thuộc vào hệ thỏa mãn y0 x0 ,t0 ) cho nghiệm bất đẳng thức y ( t ) - x ( t ) < e ,"t ³ t0 Nói cách khác, nghiệm x t ổn định nghiệm khác hệ có giả trị ban đầu đủ x t gần với giá trị ban đầu x t đủ gần suốt khoảng thời gian t t0 Định nghĩa 1.2.2.Nghiệm x t hệ 1.5 gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số cho với y0 x0 lim y ( t ) - x ( t ) = tđƠ Ngha l, nghim x t hệ gọi ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y t khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x t t tiến tới vô Nhận xét phép biến đổi hệ phương trình 1.5 đưa dạng: z = F (t , z ) i Trong F , (1.6) 0, ổn định nghiệm x t hệ 1.5 đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ 1.6 Để ngắn gọn từ ta nói hệ 1.6 ổn định thay vào nói nghiệm hệ ổn định Do đó, từ ta xét hệ 1.5 với giả thiết hệ có nghiệm , tức f ( t,0) = 0,t Ỵ» + Ta nói: - Hệ 1.5 ổn định với e > 0,t0 Ỵ» + tồn số thuộc vào ,t0 )sao cho nghiệm x t : x t0 x0 ( phụ x0 hệ thỗ mãn x ( t ) < e với t t0 - Hệ 1.5 ổn định tiệm cận hệ ổn định có số cho x0 Nếu x t lim t 0 định nghĩa khơng phụ thuộc vào thời gian ban đầu t0 tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) Định nghĩa 1.2.3.Hệ 1.5 ổn định mũ tồn số M 0, cho nghiệm hệ 1.5 với x t0 x0 thỏa mãn - d t-t x ( t ) < Me ( ) , "t ³ t0 Nghĩa là, nghiệm hệ ổn định tiệm cận mà mọinghiệm tiến tới nhanh với tốc độ theo hàm số mũ Ví dụ 1.2.1.Xét phương trình vi phân sau » i x = ax, t ³ 10 Nghiệm x t , với x t0 x0 cho công thức x ( t ) = x0eat , t ³ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) a Nếu a hệ ổn định Hơn , hệ ổn định đều( ổn định tiệm cận đều) số chọn khơng phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 Ví dụ 1.2.2.Xét phương trình vi phân x ( t ) = a ( t ) x, t ³ i Trong a ( t ) : » + ® » hàm liên tục, nghiệm x t hệ với điều kiện ban đầu x t0 x0 cho t ò a(t )dt x ( t ) = x0 et0 Do dễ kiểm tra hệ ổn định t ò a (t ) d (t ) £ m (t ) < +¥ t0 ổn định số t0 số không phụ thuộc vào t0 ổn định tiệm cận nếu: t lim ị a (t )d (t ) = -¥ tđƠ t0 Xột h tuyn tớnh x ( t ) = Ax ( t ) , t ³ i (1.8) A n n -ma trận Nghiệm hệ (1.8) xuất phát từ trạng thái ban đầu x t0 cho A t-t x ( t ) = x0e ( ) , t ³ t0 26 , » phuơng trình cónghiệm u2 t T1 , T2 , Im K K R Ta muốn xác định u t 0,T cho ìu1 ( t ) , t Ỵ éë0,T1 ùû , ïï u ( t ) = íu2 ( t ) , t ẻ ộởT1 ,T2 ựỷ , ù ùợu2 ( t ) , t Ỵ éëT2 ,T ùû , với u t khả vi k - lần Đối với điều này, ta đểýrằng » - hàm số với đạo hàm cố định ( ) éëT1 ,T2 ùû trù mật L2 T1,T2 ;» m Do đó, chúngta tìmđược u2 t thỏa mãn quan hệ cho r r r r u2( ) (T1 ) = u1( ) (T1 ) , u2( ) (T2 ) = u3( ) (T2 ) với r = 0, ,k Từ chứng minh định lý trên, ta thấy rằng, trình điều khiển K , I , B Di - điều khiển được, thời gian t định nghĩa tính điều khiển nhưđối với mọitrạng thái ban đầu y i 0,1, Ví dụ sau D1 - điều khiển không kéo theo (R- D)- đạt Cho n xét hệ 1,1,0 , D1 = D1 - điều khiển được, bởivì Bây giờ, ta có thểtóm tắt cáckết sau: a (Ri-Dj)- đạt kéo theo j ; b (R0-D0)- đạt kéo theo(R2-D0)- đạt được; 27 c (R0-D0)- đạt và(R1-D0)- đạt tương đương; d Ri -đạt ( i = 0,1,2,3) kéo theo (R-D)- đạt D0 = » n ; Hai tính chất kéo theoRi - đạt được; e D0 -điều khiển D2 - điều khiển tính chất tương đương Những tính chất tương đương với(R-D)- đạt f (R-D)- đạt kéo theo D1- điều khiển Trong mụctiếp theo, chứng minh phân tích kiểu Kalman hệđiều khiển ( K, I, B ) ta nghiên cứu tốn ổn định hố 2.3.Sự phân tích kiểu Kalman Trong mục này, ta giả sử trình điều khiển K , I , B (R-D)- đạt LấyP3 phép chiếu » n phép chiếu R D; lấyP1 phép chiếu ta giả sử R chứa thực D n Nếu x Ỵ» , đặt xi Pi x, i = 1,2,3 Ta viết: é K11 K12 K13 ù ê ú K = ê K 21 K 22 K 23 ú , êK ú ë 31 K32 K33 û é B1 ù ê ú B = ê B2 ú êB ú ë 3û Phương trình 2.1 viết thành : D ; lấyP2 R P2khác , 28 i i i i i i i i i K11 x1 + K12 x2 + K13 x3 = x1 + B1u K 21 x1 + K 22 x2 + K 23 x3 = x2 + B2u K31 x1 + K32 x2 + K33 x3 = x3 + B3u Im B Ì » Bởi nên B2 = 0, B3 = Nếu x t nghiệm hệ với x 0 , x3 t 0, x1 ( t ) ÎR, với t Ta xét phương trình thứ hai Nếu ta di chuyển dọc theo quỹ đạo không đồng x1 ( t ) tuỳ ý i x t ,với x 0 x2 t R Do ta có K 21 Bây ta xét phương trình thứ ba, phương trình có nghiệm Do » » K31 x1 K32 x2 0, mọidữ kiện ban đầu R.Như trên, ta thấy , với q n - véc tơ Vì K32 Sự xét chứng tỏrằng có hệ quy chiếu » n thỏa mãn trình điều khiển K , I , B viết thành i i i i i K11 x1 + K12 x2 + K13 x3 = x1 + B1u, K 22 x2 + K 23 x3 = x2 , i K33 x3 = x3 , K 23 ma trận luỹ linh 29 Chƣơng BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HĨA Trong chương này, nghiên cứu tốnổnđịnh hố xét sựliên hệ tính ổn định hóa với tính chất ổn định hệ phương trình vi phân đại số dạng (hay trình điều khiển K , A, B ): i K x = Ax + Bu, t ³ ; đây, x Ỵ» n ,u Ỵ» m ; B ma trận n m chiều; K, A ma trận n n chiều det K Trường hợp A = I ta cịn gọi q trình điều khiển K , I , B 3.1 Bài toán ổn định hố q trình điều khiển dạng K , I , B Trong mục này, ta xét phương trình i K x = x (3.1) Hệ phương trình 2.1 khơng có tác động biến điều khiển Ta nói hệphương trình ổn định mũ ta tìm đượccác số dương , M cho: x ( t ) £ Me-at x ( 0) 30 Chúng ta có đặc trưng phương trình ổn định Định lý 3.1.1.Phương trình 3.1 ổn định mũ giá trị riêng K có phần thực âm Chứng minh Từ 2.5 ta có : , nghiệm phương trình 3.1 thỏa mãn Nếu K viết hình thức đường chéo : sẽphân rã dạngmũ , điều kéo theo Re Bởi giá trị riêng C giá trị riêng K mà , nên ta có điều phải chứng minh Hệ 3.1.1.Phương trình 3.1 khơng có nghiệm bị chặn mà khơng hội tụ khơng có nghiệm khơng bị chặn với đa thức tăng trưởng Định lý 3.1.2.Lấy IM ma trậnbiểu diễn tốn tử » n , nólà đồng thức Mvà toán tử trênN Khi hệ 3.1 ổn định tồn ma trận P cấp n n nghiệm phương trình matrận K * P + PK = -I M(3.2) với tính chất sau a P P; b Pq 0, q N c q Pq q ¹ 0,q ỴM 31 Chứng minh Nếu phương trình 3.2 có nghiệm P trên, K khơng có giá trị riêng với phần thực dương Do hệphương trình 3.1 ổn định Ngược lại, Giả sử hệphương trình 3.1 ổn định Lấy P xác định : Tích phân bằng0 q ỴN số hữu hạn q ỴM Rõ ràng P nghiệm phương trình 3.2 thỏa mãncác tính chất ( a ) , ( b) , ( c ) Nhận xét 3.1.1.Dễ thấy hệphương trình 3.2 thay phương trình M 3.3 Ta gọi phương trình 3.2 vàphương trình 3.3 phương trình liên kết Liapunov với phương trình 3.1 Bây ta giả sử phương trình 3.1 khơng ổn định Lấy F ma trân cấp m n Ta nói F ổn định hố ngược(hay q trình K , I , B ổn định hoá được) cặp K, I BF quy phương trình K x = ( I + BF ) x i ổn định mũ Ta chứng minh kết Định lý 3.1.3.Qúa trình điều khiển K , I , B ổn định hoá phương trình Riccati: 32 M= 3.4 có nghiệm P với tính chất a , b , c định lý trước Chứng minh.Ta chọn h quy chiu phự hp : ổ C K =ỗ è 0 N ÷ø Như mục 2.1 ly ổ B BB = ỗ ỗố B3 * B2 ÷ B4 ÷ø mộtma trận khốicó kích thước tương thích với kích cỡ của K Trong trường hợpđặc biệt, nhận thấy B1 đối xứng xác định dương, B1 SS Trong hệ toạ độ này, ma trận P định lý s cú dng ổ P P=ỗ ÷ è 0 ø P1 P1 xác định dương Lấy P nghiệm 3.4 Thìcặp quy Thật vậy, , khơng đồng thời , det C Ngược lại:điều khiển ngược Ta xét phương trình: (3.5) ổn định hốngược 33 Lấy Ta tìm phép chiếu phương trình 3.5 N Khi đó, thuđược i W x2 = x2 + Rx1 ma trận R , vì: Px2 k-1 x2 ( t ) = å r ( -1) W r Rx1r ( t ) , r W luỹ linh Do x2 t phân rã mũ x1( r ) ( t ) phân rã mũ với £ r £ k -1 Bây ta chiếu phương trình 3.4 M Ta có 3.6 Chúng ta chứng minh hệphương trình 3.6 ổn định Ta viết phương trình 3.4 việc sử dụng dạng khối P, BB , K Thì ta có phương trình: C * P1 + P1C - C * P1C -1 B1C *-1 P1C + C *C = Phương trình viết thành ( ) * = P1C -1 + C -1 P1 - P1C -1 B1C *-1 + I é ù é ù 1 = P1C -1 ê I - B1C *-1 P1 ú + ê I - P1C -1 B1 ú C * 2 ë û ë û ( ) -1 P1 + I 3.7 Chỉ cầntìm thànhphần khác x1 , phương trình 3.5 có dạng i ổ C y = ỗ I - B1C *-1 P1 ÷ y 3.8 è ø Phương trình 3.7 phương trình Liapunov liên kết với phương trình 3.8 Do y ( t ) = e At y0 , 34 ma trận ổn định A Vậy y r t phân rã mũ r Điều chứng tỏ điều kiện đủ định lý thỏa mãn Bây ta giả sử trình điều khiển K , I , B ổn định hoá Trong trường hợp này, phương trình: i C y = y - Su , 3.9 ổn định hoá Thực vậy, hệ khơng ổn định hố ta tìm véc tơ , Re thỏa mãn v* éë l I - C -1 ,C -1S ùû = Nếu é yù u = F ê ú, ëz û y z với x hệ quy chiếu chọn, y t nghiệm phương i ỉ trỡnh: y = C -1 y + C -1SF ỗ ÷ èzø khiđó: ( ) = l ( v y ), dt d v* y * y t không phân rã mũ v y 0 Do đó, phương trình: K x = ( I + BF ) x , i khơng ổn định Khi đó, hệphương trình 3.9 phải ổn định hố Điều có nghĩa tồn tạima trận đối xứng, xác định dương P1 nghiệm phương trình: ( C ) P + PC -1 * 1 -1 - P1C -1 B1C -1* P1 = -I Bằng phép toánđơn gin, d thy rng: 35 ổ P P=ỗ ÷, 0 è ø nghiệm phương trình 3.4 Do đó, ta có điều phải chứng minh 3.2 Bài toán ổn định hoá trình ( K, A, B ) Trong mụcnày, ta xét trình điều khiển ( K, A, B ) Tồn m số thỏa mãn det ( m K + A) ¹ Điều ln tồn bởivìdo giả sử K , A quy, x t nghiệm phương trình 3.1 nghiệm phương trình: K Chú ý A K A Kx K K A K Ax A K A Bu t 3.10 A giao hoán.Do đó, ta giả sử K , A giao hoán » giao hoán với ma trận mà ma trận giao Ta nhớ lại K hốn với K K , A giao hốn thì: Ta nóiằng q trình điều khiển ( K, A, B ) (R-D)- đạt } { k-1 span x ( t;0,u ) ,u ỴU ,u ( 0) = u( ) ( 0) = = u( ) ( 0) , chứa tất điểm ban đầu đốivới K , A, B Chúng cho phương (( m K + A) -1 trình (2.3).Rõ ) ràngđiều xảy K, I,( m K + A) B (R-D)-đạt tính chất không phụ thuộc vào -1 36 Định lý 3.2.1.Giả sử KA AK Khi đó, trình điều khiển R D)- đạt K , A, B là( - 3.11 Chứng minh Quá trình điều khiển K , A, B (R-D)- đạt khi: giá trị thỏa mãn det ( m K + A) ¹ Nhân K K A thuđược điều kiện đơn giản hơn, A khả nghịch Bây giờ, quan sát phương trình (2.4) phương trình i K x = Ax 3.12 ta thấy dáng điệu mũ nghiệm phương trình 3.12 phụ thuộc » A Cụ thể nghiệm phương trình vào giá trị riêng K 3.12 phân rã mũ kéo theo: Re Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình 3.12 ổn định mũ Rõ ràng phương trình (3.12) ổn định mũ phương trình M , 3.13 có nghiệm P thỏa mãn tính chất Định lý 3.2.2 37 Định lý 3.2.2.Quá trình điều khiển K , A, B ổn định hố mạnh là(R-D)- đạt Chứng minh Xét hệ phương trình: i K x = Ax + Bu K y = ( m K + A) y + Bv i Nếu x t nghiệm phương trình thứ nhất, y t x t e t nghiệm phương trình thứ hai với v ( t ) = u ( t ) emt Do đó, K , A, B ổn định hố mạnh q trìnhđiều khiển (( m K + A) -1 ) K, I,( m K + A) B ổn định hoáđối với -1 tuỳ ý đủ lớn 38 KẾT LUẬN Luận văn “Tính điều khiển ổn định hóa hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính ” tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: 1)Trình bày khái niệm số tính chất tính điều khiển được, tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính 2) Nghiên cứu vài tính đạt tính điều khiển được, định nghĩa cho phương trình vi phân đại số 3) Nghiên cứu toán ổn định hố xét liên hệ tính ổn định hóa với tính chất ổn định hệ phương trình vi phân đại sốdạng (hay trình điều khiển K , A, B ): i K x = Ax + Bu, t ³ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [ ] Hoàng Văn Thi ( 2006 ) , Lý thuyết ổn định [ ] Vũ Ngọc Phát ( 2001 ) , Nhập mơn lý thyết điều khiển tốn học Tiếng Anh [ ] FAVINI, A., Controllability Conditions ò Linear Degenerate Evolution Sýtems, Applied Mathematics and Optimization ( to appear ) [ ] O’MALLEY , R.E.,JR., Singular Perturbation and Optimal Control, Mathematical Control Theory, Edited by W A Coppel, Springer – Verlag, Berlin, Germany, 1978 [5] CAMPBELL, S L., MEYER, C D., and ROSE, N J., Application of Differential Equations with Singular Constant Coefficients, SLAM Journal on Applied Mathematics, Vol 31,pp 448-425, 1976 [6] HAUTUS, M L J., Stabilization, Controllability and Observability of Linear Autonomous Systems, Indagationes Mathematicae, Vol 32,pp 448-455, 1970 [7] CONTI, R., Linear Differential Equations and control, Academic Press, New York, 1976 [8] WONHAM, W M., Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, Springer- Verlag, Berlin, Germany, 1974 40 [9] KALYUTHNAYA, T S., Controllability of General Differential Systems, Differential Equations, Vol 14, pp, 314 – 320, 1978