Nửa nhóm số với các thương có chiều nhúng cực đại

MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước 1.2 Vị nhóm nhóm cộng số nguyên  1.3 Vị nhóm nhóm cộng số hữu tỷ  15 CHƯƠNG II NỬA NHÓM SỐ VỚI CÁC THƯƠNG CÓ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI 2.1 Nửa nhóm số bão hịa nửa nhóm số Arf 18 2.2 Nửa nhóm số với thương có chiều nhúng cực đại 21 2.3 Nửa nhóm số FMED 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI NÓI ĐẦU Tập S  gọi nửa nhóm số (numerical semigroup) S vị nhóm nửa nhóm cộng  Giả sử S nửa nhóm số S* tập hợp phần tử khác zero S Khi S có tập sinh tối tiểu Lực lượng tập sinh tối tiểu gọi chiều nhúng S ký hiệu e(S) Phần tử khác zero nhỏ S gọi số bội (multiplicity) S ký hiệu (S) Phần tử lớn  \ S gọi số Frobenius (Frobenius number) S ký hiệu F(S), theo định nghĩa F(  ) = -1 Hơn e(S)  (S), e(S) = (S) S gọi có chiều nhúng cực đại (maximal embedding dimension) hay S nửa nhóm số MED Nửa nhóm S gọi bão hịa (saturated) s, s1, s2, … , snS, cho s si với i{1, 2, …, n} z1, z2, … , zn  cho z1s1+…+ znsn  0, thì: s + z1s1 + z2s2 +… + znsn S Nửa nhóm S gọi nửa nhóm Arf thỏa mãn điều kiện: a, b, c S* cho a  b  c, ta có a + b – c  S Mục đích luận văn dựa vào báo Numerical semigroups whose fractions are of maximal embedding dimension tác giả David E Dobbs – Harold J Smith đăng tạp chí Semigroup Forum tháng 11 năm 2010, để tìm hiểu số tính chất đặc trưng nửa nhóm số MED, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ nửa nhóm số bão hịa, MED Arf Ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, luận văn gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức nửa nhóm giao hốn được, vị nhóm nhóm cộng số nguyên  vị nhóm nhóm cộng số hữu tỷ  Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm lớp nửa nhóm số Arf, nửa nhóm số MED, nửa nhóm số bão hịa chứng minh số tính chất đặc trưng chúng, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ nửa nhóm số bão hịa, MED Arf Phần cuối luận văn giới thiệu khái niệm lớp nửa nhóm số FMED bao hàm thức A  F  E liên quan đến số lớp nửa nhóm số: Arf, FMED MED Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, xin cho phép học viên bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Lê Quốc Hán Tác giả tỏ lòng biết ơn Quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Đại số Lý thuyết số khóa 18 (Đại học Sài Gòn), Ban Giám Hiệu Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh Ban quản lý lớp học nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Do trình độ có hạn, nên cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận góp ý, nhận xét quý báu Thầy Cô đồng nghiệp Nghệ An, tháng 08 năm 2012 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc khảo sát số tính chất nửa nhóm nhóm cộng số nguyên, nhóm cộng số hữu tỷ 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu Nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn phép tốn S có tính chất giao hốn, nghĩa a  b  b  a với a, b  S Ở đây, phép toán viết theo lối cộng Nếu S vị nhóm, nghĩa S có đơn vị đơn vị S gọi phần tử không S, ký hiệu Giả sử S nửa nhóm khơng có đơn vị, S nhúng vào vị nhóm S  S  t  , t ký hiệu không thuộc S thỏa mãn điều kiện t  x  x  t  x , với x  S Khi t trở thành phần tử đơn vị S Giả sử S nửa nhóm A B tập khác rỗng S Ký hiệu A  B : a  b | a  A, b  B Tập khác rỗng T nửa nhóm S gọi nửa nhóm S thân T nửa nhóm với phép tốn S cảm sinh T, nghĩa là: a , b  T  a  b  T Giả sử {S |   I} họ nửa nhóm nửa nhóm S cho  { S  |   I}   Khi T =  {S |   I} nửa nhóm S nửa nhóm nhỏ S chứa S,   I Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Khi giao tất nửa nhóm S chứa B nửa nhóm nhỏ S chứa B Nó gọi nửa nhóm sinh B ký hiệu < B > Rõ n ràng, < B > chứa tất phần tử dạng  bi = b1 + b2 + …+ bn , i 1 bi  B, i = 1, 2, … , n Tập khác rỗng I nửa nhóm S gọi iđêan S s + I  I, với s  S, s + I := {s + x | x  I} Giao họ tùy ý iđêan nửa nhóm S iđêan S giao khác rỗng Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S, B  (B + S) iđêan S iđêan nhỏ chứa B Nó gọi iđêan sinh B (của S) Nếu S vị nhóm B  B + S, nên B + S iđêan S sinh B Giả sử I iđêan thực nửa nhóm S ( nghĩa I  S ), I gọi iđêan nguyên tố S x + y  I kéo theo xI yI với x, y thuộc S Như vậy, iđêan thực I nửa nhóm S iđêan nguyên tố phần bù S \ I I S nửa nhóm S Giả sử I iđêan nửa nhóm S   tập hợp tất số nguyên dương Khi đó, tập {s S | tồn n   cho ns  I} iđêan S gọi iđêan I, ký hiệu rad(I) hay I Trong phần sau đây, hệ thống lại số kết biết lý thuyết nửa nhóm iđêan nửa nhóm 1.1.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm (!) S nhóm S có iđêan S (2) Nếu I iđêan S T nửa nhóm S cho I  T = , tồn iđêan nguyên tố P S cho P chứa I P  T =  (3) Nếu I iđêan S, rad(I) giao họ iđêan nguyên tố chứa I S Chứng minh (1) Giả sử S nhóm I iđêan S Khi I   nên tồn a  I Vì S nhóm nên tồn bS cho a + b = 0, phần tử đơn vị S, I iđêan S, a I nên = a + b I Khi đó, với xS: x = + x I nên S  I Hiển nhiên I  S nên I = S Giả sử a, b S Khi a + S iđêan S theo giả thiết (S iđêan S) ta có a + S = S Vì b S nên b a + S, suy tồn c  S cho a + c = b, phương trình a + x = b có nghiệm S Vậy S nhóm (2) Theo Bổ đề Zorn, ta cần chứng minh I iđêan nguyên tố I tối đại iđêan không giao với T Thật vậy, giả sử a, b  I, I  {a}  ( a + S ) I  {b}  ( b + S ) iđêan S chứa I nên có giao với T Suy tồn s1, s2 S cho a + s1  T b + s2 T, từ a + s1 + b + s2 T hay a + b+ s  T với s = s1 + s2 S Vì I  T =  nên a + b T Vậy I iđêan nguyên tố (3) Suy trực tiếp từ định nghĩa rad(I) kết (2)  1.1.3 Định nghĩa ký hiệu Giả sử S vị nhóm giao hốn (cộng tính) với đơn vị (phần tử khơng) 0, phần tử s S gọi khả nghịch tồn x  S cho s + x = Tập hợp G tất phần tử khả nghịch tạo thành nhóm n S nhóm lớn S chứa Một tổng hữu hạn  si phần i 1 tử thuộc S khả nghịch phần tử si khả nghịch Như vậy, S \ G iđêan nguyên tố S G  S Nếu H nhóm tùy ý S chứa 0, trường hợp nhóm, H cảm sinh phân hoạch S thành lớp ghép rời s + H H Thực tế, quan hệ  S xác định a  b a = b + h với h  H,  quan hệ tương đương S s + H lớp tương đương chứa sS Một phần tử s  S gọi giản ước s + a = s + b kéo theo a = b, với a, b thuộc S Giả sử C tập hợp phần tử giản ước nửa nhóm S C   Thế C nửa nhóm S Khi n tổng hữu hạn  si C si  C, từ S \ C iđêan i 1 nguyên tố S S  C Trong trường hợp S = C, ta nói S nửa nhóm giản ước Một kết lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu nửa nhóm giản ước hữu hạn nhóm Hiển nhiên, nửa nhóm nhóm giản ước Định lý 1.1.4 sau khẳng định kết ngược lại 1.1.4 Định lý Nếu S nửa nhóm cộng tính ( giao hốn ) C nửa nhóm S cho phần tử thuộc C giản ước S, tồn phép nhúng f từ S vào vị nhóm T cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) Với cC, f(c) có nghịch đảo T ( mà ta ký hiệu –f(c)) (2) T = { f(s) – f(c) | s  S , c  C} Vị nhóm T xác định (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Nếu S nửa nhóm giản ước S = C T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu cách xây dựng vị nhóm T tương tự cách xây dựng vành số nguyên từ tập hợp số nguyên không âm Giả sử A = S x C  quan hệ A xác định (s1, c1)  (s2, c2) s1 + c2 = s2 + c Vì C giản ước nên  quan hệ tương đương A Ký hiệu [s,c] lớp tương đương chứa (s,c) T tập hợp tất lớp tương đương [s,c] với s  S c  C T với phép toán cho bởi: [s1,c1] + [s2,c2] = [s1 + s2, c1 + c2] vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị (phần tử không) [c,c], với cC Hơn nữa, ánh xạ f: S  T xác định f(s) = [s + c, c] phép nhúng từ S vào T Nếu c  C f(s) = [2c,c] có nghịch đảo [c,2c] T, phần tử tùy ý [s,c] T viết dạng [s +c,c] +[c,2c] = f(s) – f(c) Rõ ràng T xác định tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa g: S  T’ phép nhúng từ S vào vị nhóm T’ cho điều kiện (1) vá (2) thỏa mãn tồn đẳng cấu nửa nhóm : T  T’ cho   f = g, nghĩa biểu đồ sau giao hoán : S T f g  T’ Hơn nữa, S = C phần tử tùy ý [s, c] T có nghịch đảo [c, s] T nên T nhóm Điều kết thúc phép chứng minh Định lí 1.1.4  1.1.5 Định nghĩa Vị nhóm thương xây dựng phép chứng minh Định lý 1.1.4 gọi vị nhóm thương S theo C Vì f đơn cấu nên ta đồng f(s) với s phần tử T viết dạng s – c thay cho f(s) – f(c) Nếu S giản ước được, nhóm T Định lý 1.1.4 gọi nhóm thương S, khơng kể sai khác đẳng cấu T nhóm Abel nhỏ mà S nhúng vào 1.1.6 Chú ý Từ Định nghĩa 1.1.5 Định lý 1.1.4, ta phân lớp nửa nhóm (giao hốn) giản ước theo thuật ngữ nhóm thương (Abel) chúng Ta nhắc lại nhóm Abel G dược gọi nhóm Abel phi xoắn phần tử G có cấp hữu hạn, G gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Thế từ Định lý 1.1.14 suy ra: Nhóm thương G nửa nhóm S (giao hốn, giản ước được) nhóm phi xoắn S thỏa mãn điều kiện: (*) Đối với số nguyên dương n x , y  S, đẳng thức n.x = n.y kéo theo x = y Từ đưa đến định nghĩa: Nửa nhóm S gọi nhóm phi xoắn điều kiện (*) thỏa mãn 1.2 Vị nhóm nhóm cộng số nguyên Trước hết ta nhắc lại số khái niệm tính chất nửa nhóm xyclic, với phép tốn nửa nhóm ký hiệu theo lối cộng Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm xyclic tồn phần tử aS cho S  a  1,2a,3a, , na Có hai trường hợp xảy ra: Thứ nhất, với hai số nguyên m, n khác ma  na, S đẳng cấu với nửa nhóm cộng số nguyên dương   S có cấp vơ hạn Thứ hai, tồn m  n, ma  na, ta nhận kết sau: 1.2.1 Định lý Giả thiết S = < a > nửa nhóm xyclic cho ma = na với số nguyên dương m, n khác Giả sử k số nguyên dương nhỏ cho ka = với k > r, giả sử m=k–r 10 (1) Đối với u v  r , đẳng thức ua = va m chia hết cho u – v (2) S = { a, 2a, … , (k – 1)a} có lực lượng k – (3) G = {ra, (r + 1)a, …, (k – 1)a} nhóm S, đơn vị G ha, h số nguyên thỏa mãn r < h < m + r – h chia hết cho m Phần tử a gọi phần tử sinh nửa nhóm S = < a >; r gọi số m gọi chu kỳ a (và r gọi số m gọi chu kỳ S); số nguyên r + m – gọi cấp a (và gọi cấp S) Nếu < a > hữu hạn phần tử a gọi tuần hồn Nửa nhóm S gọi nửa nhóm tuần hồn phần tử S tuần hồn Nếu a vơ hạn phần tử a gọi khơng tuần hồn Nửa nhóm S gọi nửa nhóm khơng tuần hồn phần tử, khác đơn vị, S khơng tuần hồn Chỉ số chu kỳ nửa nhóm xyclic S xác định sai khác đẳng cấu Hơn nữa, hai số nguyên dương r m, tồn nửa nhóm xyclic C(r, m) có số r chu kỳ m Một nửa nhóm nửa nhóm sinh lớp X  [X] / (X r+m – X r ) Chúng ta ý C(r, m) nhóm r = 1, nửa C(1, m) nhóm xyclic cấp m Mặt khác, nửa nhóm xyclic C(r,m) chứa lũy đẳng (chú ý S nửa nhóm, mà phép tốn ký hiệu theo lối cộng, phần tử e S gọi phần tử lũy đẳng thỏa mãn điều kiện e + e = e) Nửa nhóm cộng   tất số nguyên dương nửa nhóm xyclic vơ hạn nửa nhóm cộng số ngun khơng âm  vị nhóm nhận từ   cách bổ sung thêm phần tử không Mặt khác, Định lý số 22 2.2.1 Bổ đề Một nửa nhóm số S nửa nhóm MED iđêan S*= S\{0} iđêan ổn định Như chứng minh Mệnh đề 2.1.3, (S* - S*)  S* - (S) tiêu chuẩn tương đương với S* - (S)  (S* - S*), nghĩa a, b  S  a  b   ( S )  S 2.2.2 Mệnh đề Nếu T nửa nhóm số MED k ước nguyên dương tùy ý (T) Chứng minh Giả sử S  T k nửa nhóm số MED T m   (T ) Đối với số nguyên khơng âm tùy k k ý x, ta có x  S kx  T Từ đó, (S) = min(S*) = min{x   | < kx  T} = m Giả sử a, b  S * Vì S T nên ka, kb  T * Vì T nửa nhóm MED nên từ tiêu chuẩn nhận k ka  kb   (T )  T Chú ý ka  kb   (T )  ka  kb  km  k ( a  b  m) Thế a  b  m  T  S , S nửa nhóm MEDtheo tiêu chuẩn  k 2.2.3 Chú ý a) Ví dụ 2.1.7 chứng tỏ giả thiết k ước (T) làm yếu đến “k  (T)” b) Phần đảo lại Mệnh đề 2.2.2 không Thật vậy, xảy trường hợp S T nửa nhóm MED T khơng phải nửa nhóm MED hay k (T)  k(S) 23 Ví dụ thứ nhất, kết luận đó, với k = 2, lấy S  2,3  0,2,  , T  4,5,6  0,4,5,6,8,  Khi S nửa nhóm MED, S  T (T) = 2(S) T khơng phải nửa nhóm MED Ví dụ thứ hai, lấy S  2,3  0,2,  , T  3,4,5  0,3,  Trong ví dụ này, S T nửa nhóm MED S  T , (T) < 2(S) 2.2.4 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số, k số tự nhiên lớn 1và n thuộc S \ k cho n > k.F(S) Định nghĩa Tn  kS  n  1,  Thế thì: (i) Tn nửa nhóm số Tn  S k (ii) Nếu S nửa nhóm MED Tn nửa nhóm MED (iii) Nếu S nửa nhóm Arf Tn nửa nhóm Arf (iv) Nếu S nửa nhóm bão hịa Tn nửa nhóm bão hịa Chứng minh Trong trường hợp S =  khẳng định kiểm tra trực tiếp nên ta giả thiết S   (i) Kiểm tra trực định nghĩa Đối với khẳng định lại, ý (T n) n + k.(S) Trường hợp (Tn) = n + xảy (chẳng hạn xét k = 3, n = S = 2,3 ) Hơn nữa, nửa nhóm số tùy ý có dạng {0, n + 1,} dễ thấy nửa nhóm MED, Arf hay bão hịa Như chứng minh (ii) – (iv), không tổng quát giả thiết (T n) = k.(S) (ii) Chúng ta chứng tỏ a, b  Tn* a  b   (Tn )  Tn Nếu a  n  a  b   (Tn )  a   (Tn )   (Tn )  a  n   F (Tn ), a  b   (Tn )  Tn Từ giả thiết a, b  n  Khi a, b  kS , 24 với a  ksa , b  ksb sa , sb S Vì S nửa nhóm MED nên sa  sb   ( S )  S Do đó, S  Tn nên k k ( sa  sb   ( S ))  ksa  ksb  k  ( S )  a  b   (Tn )  Tn (iii) Chúng ta cần chứng minh a, b, c  Tn* với a  b  c a  b  c  Tn Nếu a  n  a  b  c  a  b  b  a  n   F (Tn ) nên a  b  c  Tn Từ giả thiết a  n  Khi a, b, c  kS nên a  ksa , b  ksb , c  ksc với sa , sb , sc  S * sa  sb  sc Vì S nửa nhóm Arf nên sa  sb  sc  S Vì S  Tn nên từ k ( sa  sb  sc )  Tn Nhưng k k ( sa  sb  sc )  ksa  ksb  ksc  a  b  c nên a  b  c  Tn (iv) Giả sử t, t1, … , tr T n cho t  ti, i  1, r z1, … , zr   cho z1t1  z2t2   zr tr  Ta cần chứng minh t  z1t1  z2t2   zr tr  Tn Nếu t  n + t  z1t1  z2t2   zr tr  t  n   F (Tn ) theo định nghĩa F(T n) Nếu t < n + t, t1, … , tr kS nên t = ks, ti = ksi, i  1, r Trong s, s1, …, sr S đó, s  si, i  1, r Vì z1t1  z2t2   zr tr  z1ks1  z2 ks2   z r ksr  k ( z1s1  z2 s2   zr sr )  nên z1s1   zr sr  Vì S nửa nhóm số bão hịa nên s  z1s1   zr sr  S Thế k ( s  z1s1  z2 s2   zr sr )  Tn S  Nhưng Tn k k ( s  z1s1   zr sr )   ks  z1ks1   zr ksr  t  z1t1   zrt r t  z1t1   zr tr  Tn Vậy Tn nửa nhóm bão hịa nên  2.2.5 Hệ Giả sử S nửa nhóm số Thế S nửa nhóm MED (tương ứng, nửa nhóm Arf hay nửa nhóm bão hịa) số tự 25 nhiên k  2, S  T nửa nhóm MED (tương ứng, nửa nhóm Arf hay nửa k nhóm bão hịa) Chứng minh Phép chứng minh khẳng định thứ (nghĩa là, đặc trưng S với MED) xuất [7, Định lý 3.6] Đối với phép chứng minh phần “chỉ nếu”của khẳng định (nghĩa là, giả thiết S nửa nhóm MED) áp dụng Mệnh đề 2.2.4.(i), cách sử dụng ký hiệu mệnh đề dễ dàng thấy có vơ hạn nửa nhóm số khác có dạng Tn Khẳng định “Arf” hay “bão hòa” suy từ Mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề 2.2.4(iii),  (iv) 2.2.6 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm số Arf (tương ứng, nửa nhóm bão hịa hay nửa nhóm Ký hiệu MED) k số tự nhiên lớn τk = τk, S tập hợp nửa nhóm số T cho S  Tk Thế T nửa nhóm số Arf (tương ứng, nửa nhóm bão hịa hay nửa nhóm MED) tất T  τk S =  k = Chứng minh () Nếu T   T có dạng T =   a,  a   Kiểm tra trực tiếp T nửa nhóm bão hịa (từ đó, T nửa nhóm Arf hay nửa nhóm MED) () Chúng ta chứng minh khẳng định “bão hòa” “Arf” trước Giả thiết S   Ta tìm T τk cho T khơng phải nhóm Arf (và từ T khơng phải nửa nhóm bão hịa) Để thuận tiện, ta đặt c = F(S) + Khi c  Nếu k > 2, giả sử T = kS {kc + k, kc + k + 1,…}, T nửa nhóm số S T , k nghĩa T τk 26 Chú ý kc + k +  kc + k 2(kc + k + 1) – (kc + k) T T  khơng phải nửa nhóm Arf Giả thiết k > S =  Chúng ta tìm T τk cho T khơng phải nửa nhóm MED (và từ T khơng phải nửa nhóm bão hịa hay nửa nhóm Arf) Chỉ cần tìm nửa nhóm T khơng có tính chất MED thỏa mãn (T) = k Từ cách lấy T  k , k  đủ Điều hoàn thành cho phép chứng minh khẳng định “bão hòa” hay “Arf” Chúng ta cần phải chứng minh k  S   S nửa nhóm MED, tồn T τk cho T khơng phải nửa nhóm MED Già sử {s1,…, sm} tập sinh tối tiểu S s1< …< sm Chọn n S cho n > ksm ƯCLN(n, ks1, …, ksm) = 1, nghĩa ƯCLN(n, k) = Xét nửa nhóm số T  ks1, , ksm , n Vì k  S   nên (T) = ks1 > s1 + s1 > s1 + = e(T), bước cuối dựa tính chất MED S s + = (S) + = e(S) + = m + = e(T), T khơng phải nửa nhóm MED Mặt khác, S  hàm thức ngược lại, xét   T T Thật vậy, rõ ràng S  Để thấy bao k k T tùy ý Vì k T = kS + n  nên tồn k s S v   cho k = ks + nv Vì ƯCLN(n, k) = nên ta có k \ v, v = k với    Bằng cách giản ước k nhận  = s + n  S + S = S  27 2.3 Nửa nhóm số FMED 2.3.1 Định nghĩa ký hiệu Ký hiệu C lớp nửa nhóm số thỏa mãn điều kiện: S C k S  C số nguyên dương k, A lớp nửa nhóm Arf E lớp nửa nhóm MED, F lớp nửa nhóm số thỏa mãn điều kiện: nửa nhóm số S  F S nửa nhóm MED với số nguyên k dương k Trong tiết chứng minh A  F  E 2.3.2 Định nghĩa Giả sử T nửa nhóm số Khi T gọi nửa nhóm với chiều nhúng cực đại phân (fractionally MED), viết tắt FMED, điều kiện sau thỏa mãn: Đối với số nguyên dương k, nửa nhóm số T k nửa nhóm MED Chú ý từ Mệnh đề 2.1.5 Mệnh đề 2.1.6 trực tiếp suy ra: tất nửa nhóm Arf nửa nhóm bão hịa nửa nhóm FMED, nghĩa A  F Lấy k = nhận được: nửa nhóm FMED nửa nhóm MED, nghĩa F  E Hơn nữa, theo Ví dụ 2.1.7 ta có F  E Vậy F  E 2.3.3 Định nghĩa Giả sử T nửa nhóm số k số nguyên dương Khi k(T) = min( k   T * ) gọi k – bội (k – multiplicity) T T k nửa nhóm MED a  b   k (T )  T tất a  b nằm 2.3.4 Mệnh đề Giả sử T nửa nhóm số k số nguyên dương Thế k   T * 28 Chứng minh () Đặt S : nên a b k k T T , giả sử a  b nằm k   T * Vì S  k k S* Nhưng S T k nửa nhóm MED nên * a b    ( S )  S Chú ý (S) = min( k   T )  k (T ) nên từ k k k a b mk (T )    S k k k ()Giả sử S  Suy  a b m (T )  a  b  k (T )  k    k   kS  T k  k k T Để chứng minh S nửa nhóm MED, cần chứng tỏ k a  b   ( S )  S với a  b tùy ý nằm S* Vì S  T nên ka  kb k T* Theo giả thiết ka  kb   k (T )  T Hơn (S) = min( k   T * ) k ka  kb  k  ( S )  T S  nên k  ( S )   k (T ) T nên a  b   ( S )  S k Từ  2.3.5 Hệ Một nửa nhóm số T nửa nhóm FMED a  b   k (T )  T số nguyên dương k tất a  b nằm k   T * Các ví dụ sau chứng tỏ “FMED” khái niệm hồn tồn khác khái niệm “MED”, “Arf” 2.3.6 Ví dụ FMED Arf Thật vậy, T  5,9,13,16,17  0,5,9,10,13,  nửa nhóm FMED khơng phải nửa nhóm Arf Để chứng minh T khơng phải nửa nhóm Arf, cần nhận xét 10 + 10 – = 11 T Bây ta chứng minh T nửa nhóm FMED 29 Giả sử k số tự nhiên k  Nvu k T MED Do cần chứng tỏ T   nửa nhóm k T nửa nhóm MED với k k {1,2,3,4,6,7,8,11,12} Một tính tốn đơn giản chứng tỏ T  3,5,7 , T T T T T T T T     2,3 ,  5,7,8,9,11 ,  4,5,6,7 ,  3,4,5 ,  T 11 12 Từ T nửa nhóm FMED Sáu nửa nhóm T với k = 4,6,7,8,11,12 ví dụ có dạng k {0, n+1,} Chú ý nửa nhóm có dạng nửa nhóm MED 2.3.7 Chú ý Giả sử S nửa nhóm số a  S * S nửa nhóm MED [5, Mệnh đề 1.2.9] chứng tỏ ( S  a)  0 nửa nhóm MED, S nửa nhóm Arf ( S  a)  0 nửa nhóm Arf Tuy nhiên kết luận tương tự khơng lớp nửa nhóm FMED Chẳng hạn, S  6,13,20,27,28,35 Thế S nửa nhóm FMED, ( S  6)  0 ( S  a )  0 nửa nhóm FMED  5,6,8,9 khơng phải nửa nhóm MED Ví dụ sau làm sắc nét thêm ấn tượng mà Ví dụ 2.3.5 tạo 2.3.8  Ví dụ Đối với số nguyên n  2, đặt  Sn  0,2n ,2.2n ,9.2n  ,3.2n ,  Thế nửa nhóm Sn nửa nhóm FMED khơng phải nửa nhóm Arf Hơn nữa, với số nguyên n  Sn+1  S Từ 30 S2  S3  S4  S5  chuỗi giảm ngặt vơ hạn nửa nhóm số FMED, khơng thành phần chúng nửa nhóm Arf Để chứng minh nhận xét trên, trước hết ta thấy Sn nửa nhóm số Hơn nữa, m > n   Sm  S n Thật vậy, bao hàm thức Sm  S n dễ dàng kiểm tra trực tiếp Hơn 2n S n\ Sm nên bao hàm thức thực Cịn lại cần chứng minh Sn nửa nhóm FMED khơng phải nửa nhóm Arf Để chứng minh Sn khơng phải nửa nhóm Arf, ý a  b  9.2n  c  2n 1 phần tử thuộc S thỏa mãn a  b  c , a  b  c  9.2n   9.2n   2n 1  10.2n   Sn , 9.2n-2 < 10 n-2 < 2n 9.2n-2 + 2n > 8.2n-2 + n = 3.2n Cuối cùng, chứng tỏ Sn nửa nhóm FMED, nghiã Sn nửa nhóm MED với số nguyên dương k Theo tiêu chuẩn k Mệnh đề 2.3.4, phải chứng minh a  b  k   S a  b  k ( S )  Sn Nếu k(S)  3.2n tiêu chuẩn rõ ràng thỏa mãn b  k(S) {3.2n, } Như không tổng qt giả thiết k khơng chia hết cho số nguyên Trước hết xét trường hợp k = Vì Sn  S n nên ta phải chứng tỏ a  b  2n  a  b   ( Sn )  Sn a  b  S n Vì bỏ qua trường hợp tầm thường b = 2n {2.2 n, }, ta đủ để nhận thấy a  b  2n  2n 1  2n 1  2n  3.2n  Sn Lập luận áp dụng k(S n) = 2n Nói riêng, tiêu chuẩn từ Mệnh đề 2.3.4 thỏa mãn k = 2v, v số nguyên dương tùy ý cho v  n Vì k(S)  k trường hợp tổng quát thấy tiếu 31 chuẩn thỏa mãn k(Sn)  3.2 n nên suy lại bội cần phải kiểm tra với k = n+1 Trong trường hợp này, k(Sn) = n+1 nhiệm vụ phải chứng minh a  b  c 2n 1   S a  b  2n 1  S n Không tổng quát, gỉa thiết b  n 1 Thế a  b  n 1  2n   2n   n 1  3.2n 1 a  b  2n 1  Sn Chỉ lại giá trị cần kiểm tra k Đối với giá trị k rõ ràng k(S) = 9.2n-2 (vì 9.2 n-2 < 3.2n) Dễ thấy a  b  3  Sn a  b  9.2n   Sn Không tổng quát, giả thiết b > 9.2n-2 Thế b  3.2 n khẳng định rõ ràng: a  b  9.2 n   a  3.2 n Điều  hoàn thành phép chứng minh 2.3.9 Hệ Tồn chuỗi tăng ngặt vô hạn A = C1  C2  … F, A F, Cn đóng (nghĩa ổn định phép tạo thành phân số) Chứng minh Đặt C1 = A Xét liệu từ Ví dụ 2.3.8 Đối với số nguyên n  2, giả sử Cn = A  {T F |T = Sm với số nguyên dương m  n, k} Mặt k khác, n  Cn hợp A với tập tất phân số nửa nhóm S1, S2, … , Sn Theo Mệnh đề 2.1.6, Ví dụ 2.3.8 Bổ đề “ a b” [6, Bổ đề 11], Cn đóng FMED, nói riêng C n F Lại thấy, n  C n  A Sn khơng phải nửa nhóm Arf Rõ ràng Cn  Cn+1 n Bao hàm thức thức Sn+1  Cn+1 \ Cn n  32 Nếu ngược lại, Sn+1 = Sm S với  m  n Sn  Sn+1 = m Sm  Sn k k (mâu thuẫn) Hơn nữa, Cn  Cn+1  F nên Cn  F với n  Cn  F Thật Chú ý với liệu Hệ 2.3.9, có n cần chứng tỏ 4,25,30,31 F \ Cn n KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ước được, vị nhóm cộng số nguyên  nửa nhóm cộng số hữu tỷ  Trình bày khái niệm số lớp nửa nhóm số: nửa nhóm Arf, nửa nhóm bão hịa chứng minh chi tiết số tính chất đặc trưng chúng [Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6] Chứng minh chi tiết tính chất nửa nhóm số với thương có chiều nhúng cực đại [Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.4, Hệ 2.2.5] Giới thiệu lớp nửa nhóm số FMED bao hàm thức A  F  E liên quan đến số lớp nửa nhóm số: Arf, FMED MED TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [4] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [5] V Barucci, D E Dobbs, M Fontana (1997), Maximality properties in numerical semigroups and applications to one – dimensional analytically irreducible local domain, Mem Am Math Soc 125(598) [6] M Bras – Amoro’s, P A Gacía – Sánchez (2006), Patterns on numerical semigroups, Linear Algebra Appl 414, 652 – 669 [7] D E Dobbs, H J Smith (2010), Numerical semigroups whose fractions are of maximal embedding dimension, Semigroup Forum, Published online: 10 November 2010, Springer [8] R Gilmer, (1984), Commutative semigroup rings, The University of Chicago Press [9] H J Smith (2010), Numerical semigroups that are fractions of numerical semigroup of maximal embedding dimension, JP J Algebra Numer theory Appl 17, 69 – 96 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM HỒ ANH TRUNG NỬA NHÓM SỐ VỚI CÁC THƯƠNG CÓ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM HỒ ANH TRUNG NỬA NHÓM SỐ VỚI CÁC THƯƠNG CÓ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2012 ... cho nửa nhóm số MED, ta cần bổ sung thêm số giả thiết Vấn đề xét tiết sau 2.2 Nửa nhóm số với thương có chiều nhúng cực đại Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng nửa nhóm số có chiều nhúng cực đại. ..  S)  Chương NỬA NHÓM SỐ VỚI CÁC THƯƠNG CĨ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI 2.1 Nửa nhóm số bão hịa nửa nhóm số Arf 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu (i) Tập S tập số nguyên không âm  gọi nửa nhóm số ( numerical... sau: Nếu T nửa nhóm số bão hịa T có phải nửa nhóm số bão hịa khơng? k 2.1.5 Mệnh đề Nếu T nửa nhóm số bão hịa k số ngun dương tùy ý T nửa nhóm số bão hịa k Chứng minh Giả thiết T nửa nhóm số bão