: Tính giả buchsbaum của iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ ANH TUẤN TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU KHÔNG CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ THỊ ANH TUẤN TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU KHÔNG CỰC ĐẠI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Vành môđun giả Buchsbaum 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Vành môđun giả Buchsbaum 15 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại 2.1 Iđêan hóa 22 23 2.2 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Với hệ tham số x = (x1 , , xd ) M, xét môđun t+1 t t QM (x) := ∪ ((xt+1 , , xd )M :M x1 xd ) t>0 Ta có bất đẳng thức e(x; M ) ≥ (M/QM (x)) liên hệ số bội độ dài Vì hiệu JM (x) := e(x; M ) − (M/QM (x)) số nguyên không âm Ba lớp môđun quen thuộc Đại số giao hoán môđun CohenMacaulay, môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng thỏa mãn tính chất sau: M môđun Cohen-Macaulay JM (x) = với hệ tham số x M ; M môđun Buchsbaum JM (x) số với hệ tham số x M ; M môđun Cohen-Macaulay suy rộng supJ(x; M ) < ∞, với sup lấy tập tất hệ tham số M Tuy x nhiên điều ngược lại tất điều nói chung không Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM (x) = (tương ứng supJ(x; M ) < ∞) với x hệ tham số x M Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn nghiên cứu [7] họ gọi môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen Macaulay suy rộng) Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM (x) số với hệ tham số x M nghiên cứu Nguyễn Tự Cường Nguyễn Thị Hồng Loan [5] họ lớp môđun môđun giả Buchsbaum Vành R gọi vành giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng) R môđun giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng) Chú ý việc nghiên cứu lớp vành giả Buchsbaum có ý nghĩa, trước hết lớp vành thỏa mãn Giả thuyết Đơn thức M Hochster giả thuyết tiếng đặt năm 1973 mà đến chưa có câu trả lời Mặt khác, lớp vành giả Buchsbaum có liên quan chặt chẽ với lớp vành quen thuộc Đại số giao hoán vành Cohen-Macaulay, vành Buchsbaum vành Cohen-Macaulay suy rộng Khái niệm iđêan hóa M Nagata đưa năm 1962 [10] Theo nghĩa đó, hiểu iđêan hóa R-môđun M nghĩa đặt M vào R để M chuyển thành iđêan vành iđêan hóa R M Mục đích M Nagata [10] sử dụng kỹ thuật iđêan hóa để chuyển số kết từ iđêan sang môđun, cách xem môđun iđêan vành iđêan hóa Kỹ thuật ông sử dụng nhiều lần [10] Về sau, khái niệm iđêan hóa số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu I Reiten (Pro AMS, 1972), Y Aoyama (J Math Kyoto Univ., 1983), J A Huckaba (1988), K Yamagishi (Math Proc Cambridge Phil Soc, 1988), S Goto, S Iai, M Kim (Proc AMS, 2001), S Goto, S Haraikawa (Tokyo J Math., 2002), D Anderson, M Winders (J Comm Algebra, 2009), B Olberding (J Algebra, 2012), N T H Loan, N Q Chinh (Bull Korean Math Soc., 2013), N T H Loan (J Algebra and Its Applications, 2014), N T H Loan (Stu Sci Math Hungarica, 2014), Các kết đạt cho thấy iđêan hóa có nhiều ứng dụng, đặc biệt toán xác định cấu trúc vành Ngoài nhiều công trình, iđêan hóa sử dụng để làm ví dụ minh họa cho vấn đề vành mà điều thực vành thông thường khó Đặc biệt, N T Cường -L T Nhàn - M Morales [6] sử dụng iđêan hóa công cụ hữu hiệu để trả lời cho câu hỏi mở R Y Sharp M A Hamieh Trong [8], N T H Loan đưa điều kiện cần đủ để vành iđêan hóa R M giả Buchsbaum trường hợp dim M < dim R Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết báo Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Vành môđun giả Buchsbaum Trong chương này, chủ yếu trình bày định nghĩa số tính chất vành môđun giả Buchsbaum Ngoài ra, trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Chương 2: Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại Trong chương trình bày chi tiết kết báo [8] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại Số, thầy cô giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại Số lý thuyết số K21 Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, thầy cô giáo Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiêu tổ Toán toàn thể giáo viên trường THPT Quỳnh Lưu lớp cao học Toán khóa 21 động viên, tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng 06 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG VÀNH VÀ MÔĐUN GIẢ BUCHSBAUM Trong toàn luận văn, vành R giả thiết vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh Trong chương này, chủ yếu trình bày định nghĩa số tính chất vành môđun giả Buchsbaum Phần đầu chương, trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Độ dài môđun Môđun M = gọi môđun đơn M có hai môđun Môđun M gọi môđun có dãy hợp thành có dãy giảm ngặt gồm số hữu hạn môđun M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = cho Mi−1 /Mi môđun đơn, với i = 1, , n Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành Chú ý M có dãy hợp thành M có nhiều dãy hợp thành tất dãy hợp thành M có độ dài độ dài chung gọi độ dài môđun M , kí hiệu R (M ) (M ) vành R rõ Nếu M dãy hợp thành ta qui ước độ dài (M ) = ∞ gọi môđun có độ dài vô hạn Sau số tính chất độ dài (1) Môđun M có độ dài hữu hạn M vừa môđun Noether vừa môđun Artin (2) Tính cộng tính độ dài: Cho dãy khớp ngắn R− môđun → M → M → M ” → Khi M có độ dài hữu hạn M M ” có độ dài hữu hạn Hơn nữa, (M ) = (M ) + (M ”) Từ suy ra, M môđun có độ dài hữu hạn N môđun M (M ) = (N ) + (M/N ) 1.1.2 Độ cao chiều Krull Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R: p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Kí hiệu SpecR tập iđêan nguyên tố R Cho p ∈ SpecR, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Cho I iđêan R Khi độ cao I xác định ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR, p ⊇ I} Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Cho M R - môđun Tập hợp AnnR M = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M } iđêan vành R, AnnR (M ) gọi linh hóa tử môđun M Chiều vành thương dim(R/AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M , kí hiệu dimR M dim M vành R rõ 1.1.3 Hệ tham số Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh Từ sau ta kí hiệu chiều Krull dim M = d Khi d số nguyên nhỏ cho tồn hệ gồm d phần tử x = (x1 , , xd ) m cho (M/(x1 , xd )M ) < +∞ Hệ phần tử x1 , , xd ∈ m gọi hệ tham số môđun M Cũng vậy, hệ gồm r = dim R phần tử x1 , , xr ∈ m cho (R/(x1 , , xr )R) < +∞ gọi hệ tham số vành R Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M hệ phần tử (x1 , , xi ) gọi phần hệ tham số với i = 1, , d Sau số tính chất hệ tham số (1) dim(M/x1 , , xi )M ) = d − i với i = 1, , d (2) xi+1 ∈ / p với p thỏa mãn dim R/p = d − i, với p∈Ass(M/(x1 , ,xi )M ) i = 1, , d − (3) Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M n = (n1 , , nd ) gồm d số nguyên dương x(n) = (xn1 , , xnd d ) hệ tham số M (4) Nếu x1 , , xd hệ tham số M x1 , , xd tương ứng ảnh x1 , , xd S = R/AnnM Khi đó, dim M = dim S = d iđêan (x1 , , xd ) mS -nguyên sơ nên x1 , , xd hệ tham số S 1.1.4 Số bội Một hệ phần tử x = (x1 , , xt ) m cho (M/(x1 , , xt )M ) < +∞ đươc gọi hệ bội M ; t = ta hiểu điều kiện có nghĩa (M ) < ∞ Chú ý hệ tham số hệ bội điều ngược lại nói chung không (ta có t ≥ d = dim M ) Khi kí hiệu bội e(x1 , , xt | M ) môđun M hệ bội x = (x1 , , xt ) (viết gọn e(x | M )) định nghĩa qui nạp theo t sau: 10 Giả sử t = tức (M ) < ∞ Khi đặt e(∅ | M ) = (M ) Với t > 0, đặt : x1 = {m ∈ M | mx1 = 0} Khi : x1 môđun M Vì (M/(x1 , , xt )M ) < ∞ ta dễ dàng suy ((0 : x1 )/(x2 , , xt )(0 : x1 )) < ∞, tức (x2 , , xt ) hệ bội môđun : x1 Vậy theo giả thiết quy nạp e(x2 , , xt | M/x1 M ) e(x2 , , xt | : x1 ) xác định Khi ký hiệu bội e(x1 , , xt | M ) định nghĩa sau: e(x1 , , xt | M ) = e(x2 , , xt | M/x1 M ) − e(x2 , , xt | : x1 ) Sau số tính chất ký hiệu bội e(x | M ) (1) ≤ e(x1 , , xt | M ) ≤ (M/(x1 , , xt )M Đặc biệt, tồn i cho xni M = với n số tự nhiên e(x1 , , xt | M ) = (2) e(x1 , , xt | M ) = t > d = dim M (3) e(xn1 , , xnt t | M ) = n1 nt e(x1 , , xt | M ) (4) Tính cộng tính: Cho dãy khớp ngắn R− môđun → M → M → M ” → Khi x hệ bội M x hệ bội M M ” Hơn nữa, e(x | M ) = e(x | M ) + e(x | M ”) Giả sử q = (x1 , , xt )R iđêan sinh hệ bội x = (x1 , , xt ) M Khi Pq (n) = R (M/q n+1 M) hàm số theo biến n gọi hàm Hilbert-Samuel Định lý Đa thức Hilbert (Hilbert Polynomial Theorem) phát biểu rằng: tồn đa thức pq (n) bậc d = dim M cho với n đủ lớn (viết tắt n 0) ta có Pq (n) = 20 iđêan có chiều cao chiều không Nhưng Ass N chứa thành phần nhúng với chiều Xuất phát từ môđun Buchsbaum, nhờ Định lý 1.2.9 Hệ 1.2.10, ta xây dựng vô hạn môđun giả Buchsbaum cách “thêm" vào số thành phần nguyên sơ có chiều nhúng Ví dụ vừa trình bày trường hợp cụ thể số môđun giả Buchsbaum xây dựng cách 1.2.12 Ví dụ Tồn môđun Cohen-Macaulay suy rộng không môđun giả Buchsbaum Thật vậy, cho R = k[[X1 , , Xn ]], vành chuỗi luỹ thừa hình thức n biến (n ≥ 2) trường k Đặt M = (X12 , X2 , , Xn )A Khi M A−môđun với dim M = dim R = n Ta có dãy khớp ngắn → M → R → R/M → Từ ta nhận dãy khớp dài · · · → Hmi (R/M ) → Hmi+1 (M ) → Hmi+1 (R) → · · · với i ≥ Vì R/M = k[[X1 , , Xn ]]/(X12 , X2 , , Xn )R nên (R/M ) < ∞ Suy Hmi (R/M ) = với i > Hm0 (R/M ) = R/M Mặt khác, R vành Cohen-Macaulay nên Hmi (R) = với i = n Do đó, từ dãy khớp dài ta suy H i (M ) = với i = 1, n H (M ) ∼ = m m Hm0 (R/M ) ∼ = R/(X12 , X2 , , Xn )R Vậy M R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng Vì mHm1 (M ) = nên M môđun Buchsbaum Mặt khác UM (0) = Hm0 (M ) = nên M = M không môđun Buchsbaum Do theo Định lý 1.2.10, M không môđun giả Buchsbaum 21 Giả thuyết đơn thức M Hochster phát biểu rằng: vành địa phương R (R/QR (x)) = với hệ tham số x R Các kết nghiên cứu nhà toán học trước cho thấy lớp vành Buchsbaum thoả mãn Giả thuyết đơn thức Định lý 1.2.9 cho ta hệ thú vị có lớp vành rộng thoả mãn Giả thuyết đơn thức, lớp vành giả Buchsbaum 1.2.13 Hệ Mọi vành giả Buchsbaum thỏa mãn Giả thuyết đơn thức 22 CHƯƠNG TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU KHÔNG CỰC ĐẠI Khái niệm iđêan hóa M Nagata đưa năm 1962 [10] Theo nghĩa đó, hiểu iđêan hóa R-môđun M nghĩa đặt M vào R để M chuyển thành iđêan vành iđêan hóa R M Mục đích M Nagata [10] sử dụng kỹ thuật iđêan hóa để chuyển số kết từ iđêan sang môđun, cách xem môđun iđêan vành iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêan hóa số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Các kết đạt cho thấy iđêan hóa có nhiều ứng dụng, đặc biệt toán xác định cấu trúc vành Ngoài nhiều công trình, iđêan hóa sử dụng để làm ví dụ minh họa cho vấn đề vành mà điều thực vành thông thường khó khăn Đặc biệt, N T Cường -L T Nhàn - M Morales [6] sử dụng iđêan hóa công cụ hữu hiệu để trả lời cho câu hỏi mở R Y Sharp M A Hamieh Trong [8], N T H Loan đưa điều kiện cần đủ để vành iđêan hóa R M giả Buchsbaum trường hợp dim M < dim R Nội dung chương mục đích luận văn trình bày lại cách chi tiết kết [8] Trước hết cần trình bày iđêan hóa 23 2.1 Iđêan hóa 2.1.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, có đơn vị M R−môđun Trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toán cộng nhân sau: (r1 , m1 ) + (r2 , m2 ) = (r1 + r2 , m1 + m2 ), (r1 , m1 )(r2 , m2 ) = (r1 r2 , r1 m2 + r2 m1 ) với (r1 , m1 ), (r2 , m2 ) ∈ R × M Khi R × M với hai phép toán nói vành giao hoán có đơn vị (1, 0) Vành R × M gọi iđêan hóa M mở rộng tầm thường R M ký hiệu R M 2.1.2 Chú ý (1) Chú ý R M R−đại số Giả sử R vành giao hoán cố định Khi iđêan hóa cảm sinh hàm tử IR : R − mod →R Alg từ phạm trù R-môđun R − mod đến phạm trù R-đại số R Alg, với IR (M ) = R M f : M → N R-đồng cấu IR (f ) : IR (M ) → IR (N ) đồng cấu R- đại số xác định IR (f )(r, m) = (r, f (m)) (2) Cho T = r m r | r ∈ R, m ∈ M Khi T với phép cộng nhân ma trận vành giao hoán có đơn vị m M∗ = { 0 | m ∈ M } iđêan T Ánh xạ i:R → T, r → r 0 r nhúng R vào T Dễ thấy ánh xạ f : R M → T, xác định (r, m) → r m đẳng cấu vành chuyển × M thành M ∗ Như vậy, vành r 24 iđêan hóa R M đẳng cấu với vành ma trận T xem M iđêan R M Định lý sau mô tả iđêan vành iđêan hóa 2.1.3 Định lí Cho I iđêan vành R N môđun M (i) I × N iđêan vành R M IM ⊆ N (ii) Giả sử I × N iđêan vành R M Khi M/N R/I−môđun (R M )/(I × N ) ∼ = (R/I) (M/N ) Đặc biệt (R M )/(0 × N ) ∼ = R (M/N ) (R M )/(0 × M ) ∼ = R Vì iđêan R M chứa × M có dạng J × M với J iđêan R Chứng minh (i) (⇒:) Giả sử I × N iđêan vành R M Ta có I × N = (R M )(I × N ) = I × (IM + N ) Suy IM ⊆ N (⇐:) Giả sử IM ⊆ N Chú ý M R−môđun K iđêan R cho K ⊆ Ann(M ) M có cấu trúc R/K−môđun với phép nhân với vô hướng rx := rx Vì IM ⊆ N nên I(M/N ) = (IM + N )/N = N/N = Do I ⊆ Ann(M/N ) Ta có M/N R-môđun, M/N có cấu trúc R/I−môđun Xét ánh xạ f : R M → (R/I) (M/N ) (r, m) → (r + I, m + N ) Dễ thấy f toàn cấu Kerf = {(r, m) | (r + I, m + N ) = 0} = {(r, m) | r ∈ I, m ∈ N } = I × N 25 Do I × N iđêan vành R M (ii) Mặt khác, theo Định lý đồng cấu vành ta có (R M )/(I × N ) ∼ = (R/I) (M/N ) Đặc biệt I = 0, ta có (R M )/(0 × N ) ∼ = R (M/N ); Khi N = M, ta có (R M )/(0 × M ) ∼ = R Từ ta suy iđêan R M chứa × M có dạng J × M với J iđêan R 2.2 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa 2.2.1 Chú ý Phép chiếu tắc ρ : R M → R xác định ρ((r, m)) = r phép nhúng tắc σ : R → R M xác định σ(r) = (r, 0) đồng cấu địa phương Do xem R-môđun R M -môđun R M -môđun R-môđun đồng cấu σ ρ Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh đồng cấu hợp thành ρσ cấu trúc ban đầu Cho : M → R M phép nhúng tắc xác định (x) = (0, x) Khi ta có dãy khớp R M -môđun: → M → R M → R → Từ bây giờ, xét (R, m) vành địa phương Noether với dim R = d M R-môđun với dim M < d Để thuận tiện, ta đặt S = R M vành iđêan hóa M R Chú ý S vành địa phương Noether chiều d iđêan cực đại n = m × M 26 2.2.2 Bổ đề Cho u = (u1 , , ud ) hệ tham số S với ui = (ai , xi )(1 i d) Đặt Q = (u1 , , ud )S q = (a1 , , ad )R Khi q iđêan tham số R Trong trường hợp này, ta có e(Q; S) = e(q; R) Chứng minh Do u = (u1 , , ud ) hệ tham số S nên q = (a1 , , ad )R iđêan tham số R Điều chứng minh luận văn học viên Hoàng Đức Hạnh, không trình bày chứng minh Chúng chứng minh khẳng định thứ hai Vì (M ) = × M với ánh xạ định nghĩa Chú ý 2.2.1 nên dim(0 × M ) = dim M < d Từ dãy khớp ngắn → × M → S → S/0 × M → tính chất cộng tính số bội (xem 1.1.4) ta có e(Q; S) = e(Q; S/0 × M ) + e(Q; × M ) Vì dim(0 × M ) < d nên e(Q; × M ) = Từ suy e(Q; S) = e(Q; S/0 × M ) Theo Định lý 2.1.3, ta có S/0 × M ∼ = R Do ta có e(Q; S) = e(q; R) 2.2.3 Bổ đề Cho u = (u1 , , ud ) hệ tham số S với ui = (ai , xi )(1 i d) Đặt a = (a1 , , ad ) Khi có (S/QS (u)) = (R/QR (a)) 27 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2, a hệ tham số R Đặt N = × M t+1 t t QN (u) = ∪ ((ut+1 , , ud )N : u1 ud ) t>0 Với số nguyên dương n, đặt u(n) = (un1 , , und ) n(t+1) QN (u(n)) = ∪ ((u1 t>0 n(t+1) , , ud n )N : unt ud ) Ta có hệ thuận (xem 1.1.8) {N/QN (u(n)), θn }n≥1 với đơn cấu θn : N/QN (u(n − 1)) → N/QN (u(n)) d (N ), limN/QN (u(n)) ∼ = H(u) → d H(u) (N ) môđun đối đồng điều địa phương thứ d N iđêan uS Do ta xem N/QN (u(n)) môđun d d (N ), với n > Vì dim N = dim M < d nên H(u) (N ) = Do H(u) N = QN (u(n)), với n > Hơn nữa, dễ dàng thấy QN (u(n)) ⊆ QS (u(n)) Do N ⊆ QS (u(n)), ∀n > (1) Đặt S = S/N Bây giờ, ta khẳng định QS (u) = QS (u)/N (2) Để chứng minh điều ta chứng minh t+1 t t QS (u) = ∪ (((ut+1 , , ud )S + N ) :S u1 ud ) (3) t>0 Thật vậy, ta có t+1 t t QS (u) ⊆ ∪ (((ut+1 , , ud )S + N ) :S u1 ud ) t>0 28 Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, trước hết ta dễ dàng kiểm tra thấy t+1 t t t +1 t +1 t t ((ut+1 , , ud )S + N ) :S u1 ud ⊆ ((u1 , , ud )S + N ) :S u1 ud với t t Khi tồn số dương m thỏa mãn t+1 t t m+1 m ∪ (((ut+1 , , um+1 )S+N ) :S um ud , , ud )S+N ) :S u1 ud ) = ((u1 d t>0 Từ (1), ta có N ⊆ QS (u(m + 1)) Khi tồn số nguyên dương k cho (k+1)(m+1) N ⊆ (u1 (k+1)(m+1) , , ud k(m+1) )S :S u1 k(m+1) .ud Do đó, (k+1)(m+1) (um+1 , , um+1 )S+N ⊆ (u1 d (k+1)(m+1) , , ud k(m+1) )S :S u1 k(m+1) .ud Vậy (k+1)(m+1) QS (u) ⊇ (u1 (k+1)(m+1) = ((u1 (k+1)(m+1) , , ud (k+1)(m+1) , , ud k(m+1)+m )S :S u1 k(m+1) )S :S u1 k(m+1)+m .ud k(m+1) .ud m ) :S um ud m ⊇ ((um+1 , , um+1 )S + N ) :S um ud d t+1 t t = ∪ (((ut+1 , , ud )S + N ) :S u1 ud ) t>0 Vậy đẳng thức (3) chứng minh điều khẳng định (2) chứng minh Vì S/0 × M ∼ = R QS (u) ∼ = QR (a), nên ta có (S/QS (u)) = (R/QR (a)) Bổ đề chứng minh Định lý sau đặc trưng tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa R M thông qua tính giả Buchsbaum vành R Đây kết [8] 29 2.2.4 Định lí Giả sử (R, m) vành địa phương Noether với dim R = d M R-môđun với dim M < d Khi vành iđêan hóa S = R M giả Buchsbaum vành R giả Buchsbaum Chứng minh Giả sử S vành giả Buchsbaum a = (a1 , , ad ) hệ tham số tùy ý vành R Ta đặt u = (u1 , , ud ), ui = (ai , 0) với i d Rõ ràng u hệ tham số S Như theo Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 ta có e(a, R) − (R/QR (a)) = e(u; S) − (S/QS (u)) Do JR (a) = JS (u) Vì S vành giả Buchsbaum nên JS (u) số với hệ tham số u Suy JR (a) số với hệ tham số a vành R Do R vành giả Buchsbaum Ngược lại, giả sử R vành giả Buchsbaum u = (u1 , , ud ) hệ tham số S , với ui = (ai , xi ) Ta đặt a = (a1 , , ad ) Theo Bổ đề 2.2.2, a hệ tham số R Khi từ Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 ta có JS (u) = e(u; S) − (S/QS (u)) = e(a; R) − (R/QR (a)) Cũng tương tự R vành giả Buchsbaum nên suy S vành giả Buchsbaum Theo Định nghĩa 1.2.1, M môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng) JM (x) = 0, với hệ tham số x M (tương ứng supJM (x) < ∞) Do từ Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 ta x có hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử (R, m) vành địa phương Noether với dim R = d M R-môđun với dim M < d Khi vành iđêan hóa S = R M 30 giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng) vành R giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng) 2.2.6 Chú ý (1) Định lý 2.2.4 Hệ 2.2.5 cho thấy trường hợp dim M < dim R tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) vành iđêan hóa R M tương đương với tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) vành R mà không phụ thuộc vào môđun M (2) Điều kiện dim M < dim R nêu Định lý 2.2.4 cần thiết, bỏ Thật vậy, dim M = dim R x = (x1 , , xd ) hệ tham số R x hệ tham số M (x, 0) = ((x1 , 0), , (xd , 0)) hệ tham số R M Từ dãy khớp R M môđun → M → R M → R → 0, ta có e((x, 0); R M ) = e(x; R) + e(x; M ) Vì (x1 , 0)t (xd , 0)t (r, m) = (xt1 xtd r, xt1 xtd m) t+1 t+1 t+1 ((x1 , 0)t+1 (xd , 0)t+1 )R M = (xt+1 , xd )R × (x1 , xd )M với (r, m) ∈ R M số nguyên dương t nên QR M ((x, 0)) = QR (x) × QM (x) Do ta kiểm tra dãy R M -môđun → M/QM (x) → R M/QR M ((x, 0)) ρ → R/QR (x) → 31 (tương ứng ρ ) đồng cấu cảm sinh phép khớp, chiếu (tương ứng ρ) định nghĩa Chú ý 2.2.1 Khi ta có (R M/QR M ((x, 0)) = (R/QR (x)) + (M/QM (x)) Kết hợp điều kiện trên, ta có JR M ((x, 0)) = JR (x) + JM (x) (4) Do đó, ta chọn vành R R−môđun M cho R vành giả Buchsbaum M không môđun giả Buchsbaum vành R M không giả Buchsbaum Ví dụ sau minh họa cụ thể cho điều 2.2.7 Ví dụ Cho k trường R = k[[x, y]] vành chuỗi lũy thừa hình thức hai biến trường k Ta xét M = (x2 , y)R R-môđun Khi dim M = dim R = Vì R vành Cohen-Macaulay nên R vành giả Buchsbaum Rõ ràng u = (x, y) v = (x2 , y) hai hệ tham số M Từ dãy khớp → M → R → R/(x2 , y)R → với R (R/(x , y)R) < ∞, ta có e(X; M ) = e(X; R) với hệ tham số X M Như e(u; M ) = e(u; R) = R (R/vR) R (R/uR) = e(v; M ) = e(v; R) = = Ta dễ dàng ta kiểm tra QM (u) = M = QM (v) Do JM (u) = e(u; M ) − R (M/QM (u)) =1−0=1 JM (v) = e(v; M ) − R (M/QM (v)) = − = Từ suy M không môđun giả Buchsbaum JM (X) số với hệ tham số X M Do từ hệ thức (4) Chú ý 2.2.6 (2) ta suy R M là vành giả Buchsbaum 32 KẾT LUẬN Với mục đích trình bày kết [8] tính giả Buchsbaum vành R M trường hợp dim M < dim R, luận văn hoàn thành việc trình bày nội dung sau Một số kiến thức Đại số giao hoán liên quan đến nội dung luận văn nhằm giúp người đọc dễ theo dõi nội dung của luận văn (Mục 1.1) Khái niệm số tính chất (không chứng minh) vành môđun giả Buchsbaum dựa theo [5] (Mục 1.2) Khái niệm vành iđêan hóa dựa theo [1] [2] (Mục 2.1) Nội dung báo [8] tính giả Buchsbaum vành R M trường hợp dim M < dim R (Mục 2.2) 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Như Hảo (2014), Một số tính chất vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh [2] Hoàng Văn Thông (2014), Iđêan vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh Tiếng Anh [3] D D Anderson and M Winders (2009), Idealization of a module, J Commut Algebra, 1: 3-56 [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [5] N T Cuong and N T H Loan (2004), A characterization for pseudo Buchsbaum module, Japan J Math., 30, 165-181 [6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions, J Pure Appl Algebra, 189: 109-121 [7] N T Cuong and L T Nhan (2003), Pseudo Cohen Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules, J Algebra, 267, 156-177 34 [8] N T H Loan (2014), Pseudo Buchsbaumness for idealizations of Noetherian modules over local rings, Journal of Algebra and Its Applications Vol 13, No 2: 1350084 pp 1-8 [9] H Matsumura (1980), Commutative algebra (second edition), Benjamin/ Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass [10] Nagata (1962), Local rings, Tracts in Pure and Appl Math., No 13 (Interscience) [...]... đúng (i) M là môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M/Hm0 (M ) là môđun giả Buchsbaum (ii) Cho M là môđun giả Buchsbaum Giả sử x là phần tử tham số của M sao cho dim(0 :M x) < d − 1 Khi đó M/xM là môđun giả Buchsbaum 1.2.4 Mệnh đề Tổng trực tiếp của các môđun giả Buchsbaum cùng chiều là một môđun giả Buchsbaum 1.2.5 Mệnh đề Nếu M là môđun giả Buchsbaum thì JM (x) = J(M ) với mọi hệ tham số x của M 18 Đặc... 1.2.2 Ví dụ (1) Mọi môđun có chiều bằng 1 hoặc là môđun giả CohenMacaulay đều là giả Buchsbaum với hằng số K = 0 (2) Mọi môđun Buchsbaum đều là giả Buchsbaum với hằng số K = J(M ) Theo định nghĩa, mọi môđun giả Buchsbaum đều là môđun giả CohenMacaulay suy rộng Mệnh đề sau đây nói lên sự liên quan giữa tính giả Buchsbaum của một môđun M và tính giả Buchsbaum của một môđun có độ sâu dương Đặc biệt, phát... và là môđun giả Buchsbaum Định lý sau đây là một đặc trưng của môđun giả Buchsbaum thông qua tính Buchsbaum của một môđun thương 1.2.9 Định lí M là R -môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M là R -môđun Buchsbaum Hơn nữa, trong trường hợp này ta có JM (x) = J(M ) với mọi hệ tham số x = (x1 , , xd ) của M Định lý trên cho thấy lớp môđun giả Buchsbaum chứa thực sự lớp môđun Buchsbaum và vẫn có nhiều tính. .. cho ta một hệ quả thú vị là có một lớp vành rộng hơn cũng thoả mãn Giả thuyết đơn thức, đó là lớp vành giả Buchsbaum 1.2.13 Hệ quả Mọi vành giả Buchsbaum đều thỏa mãn Giả thuyết đơn thức 22 CHƯƠNG 2 TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU KHÔNG CỰC ĐẠI Khái niệm iđêan hóa được M Nagata đưa ra năm 1962 trong [10] Theo một nghĩa nào đó, có thể hiểu iđêan hóa R -môđun M nghĩa là đặt M vào... ta nhận biết một môđun có phải là giả Buchsbaum hay không Những định lý này cũng cho ta thấy rằng mọi môđun Buchsbaum đều là môđun giả Buchsbaum, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng Điều đó có nghĩa là tồn tại những môđun giả Buchsbaum nhưng không là môđun Buchsbaum, thậm chí cũng không phải là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Tuy nhiên lớp môđun giả Buchsbaum cũng không chứa lớp môđun Cohen-Macaulay... )/(0 × M ) ∼ = R Vì vậy mỗi iđêan của R M chứa 0 × M có dạng J × M với J là một iđêan nào đó của R Chứng minh (i) ( :) Giả sử I × N là iđêan của vành R M Ta có I × N = (R M )(I × N ) = I × (IM + N ) Suy ra IM ⊆ N ( :) Giả sử IM ⊆ N Chú ý rằng nếu M là một R môđun và K là một iđêan của R sao cho K ⊆ Ann(M ) thì M có cấu trúc là một R/K môđun với phép nhân với vô hướng rx := rx Vì IM ⊆ N nên I(M/N )... thêm giả thiết vành R có phức đối ngẫu thì JM (x) = J(M ) với mọi hệ tham số x của M 1.2.6 Mệnh đề M là R môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M là R môđun giả Buchsbaum 1.2.7 Mệnh đề Cho M là môđun giả Buchsbaum Giả sử rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi đó mHmi (M ) = 0 với mọi i = 1, , d − 1 1.2.8 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương: (i) M/Hm0 (M ) là môđun Buchsbaum (ii) M là môđun. .. trường hợp dim M < dim R thì tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay và tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) của vành iđêan hóa R M tương đương với tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay và tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) của vành R mà không phụ thuộc gì vào môđun M (2) Điều kiện dim M < dim R đã nêu trong Định lý 2.2.4 là cần thiết, không thể bỏ đi được Thật vậy, khi dim... chuyển 0 × M thành M ∗ Như vậy, vành 0 r 24 iđêan hóa R M đẳng cấu với vành ma trận T và có thể xem M như là một iđêan của R M Định lý sau đây mô tả iđêan trong vành iđêan hóa 2.1.3 Định lí Cho I là một iđêan của vành R và N là một môđun con của M (i) I × N là iđêan của vành R M khi và chỉ khi IM ⊆ N (ii) Giả sử I × N là iđêan của vành R M Khi đó M/N là R/I môđun và (R M )/(I × N ) ∼ = (R/I) (M/N )... tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá I Với mỗi R - môđun M , HIi (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M với giá là I dim(M ) Chú ý rằng Hmi (M ) là môđun Artin với mọi i ≥ 0 và HI (M ) là môđun Artin với mọi iđêan I của R 1.1.7 Môđun Cohen Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen Macaulay-suy rộng Theo 1.1.4 (1), với mỗi hệ tham số x của M thì (M/xM ) ≥ e(x; M ) Đặt ... Vành môđun giả Buchsbaum 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Vành môđun giả Buchsbaum 15 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại 2.1 Iđêan. .. mãn Giả thuyết đơn thức, lớp vành giả Buchsbaum 1.2.13 Hệ Mọi vành giả Buchsbaum thỏa mãn Giả thuyết đơn thức 22 CHƯƠNG TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU KHÔNG CỰC ĐẠI... môđun giả Buchsbaum (ii) Cho M môđun giả Buchsbaum Giả sử x phần tử tham số M cho dim(0 :M x) < d − Khi M/xM môđun giả Buchsbaum 1.2.4 Mệnh đề Tổng trực tiếp môđun giả Buchsbaum chiều môđun giả