tính giả buchsbaum của iđêan hóa với môđun có chiều cực đại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU CỰC ĐẠI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull vành môđun 1.2 Độ dài môđun 1.3 Hệ bội hệ tham số 1.4 Số bội 10 1.5 Môđun Buchsbaum lớp môđun liên quan 12 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa với môđun có chiều cực đại 2.1 Iđêan hóa 13 14 2.2 Vành môđun giả Buchsbaum 17 2.3 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa R M với dim M = dim R 20 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Cho R vành giao hoán, có đơn vị 1, M R−môđun Trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toán cộng nhân xác định bởi: (r1 , m1 ) + (r2 , m2 ) = (r1 + r2 , m1 + m2 ), (r1 , m1 )(r2 , m2 ) = (r1 r2 , r1 m2 + r2 m1 ) với (r1 , m1 ), (r2 , m2 ) ∈ R × M Với hai phép toán này, R × M trở thành vành giao hoán có đơn vị (1, 0) gọi iđêan hóa M vành R; vành ký hiệu R M Khái niệm iđêan hóa M Nagata [11] đưa năm 1962, công cụ quan trọng Đại số giao hoán Một cách đơn giản, hiểu iđêan hóa môđun M nghĩa đặt M vào vành giao hoán R M cho cấu trúc M R-môđun giống R M -môđun, nghĩa là, giống iđêan vành R M Mục đích ban đầu Nagata sử dụng iđêan hóa để chứng minh số kết cho môđun, biết điều cho iđêan, cách xem môđun iđêan vành iđêan hóa Kỹ thuật ông sử dụng nhiều lần [11] Chẳng hạn, ông chứng minh Bổ đề Artin Ress, Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan sau mở rộng cho môđun kỹ thuật iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêan hóa số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Các kết đạt cho thấy iđêan hóa có nhiều ứng dụng, đặc biệt toán xác định cấu trúc vành Ngoài nhiều công trình, iđêan hóa sử dụng để làm ví dụ minh họa cho vấn đề vành mà điều thực vành thông thường khó khăn Đặc biệt, N T Cường, L T Nhàn M Morales [6] sử dụng iđêan hóa công cụ hữu hiệu để trả lời cho câu hỏi mở R Y Sharp M A Hamieh tính đa thức hàm độ dài thương suy rộng Lớp vành giả Buchsbaum N T Cường N T H Loan đưa nghiên cứu [5] Việc nghiên cứu lớp vành giả Buchsbaum có ý nghĩa trước hết lớp vành thỏa mãn Giả thuyết Đơn thức M Hochster giả thuyết tiếng đặt từ năm 1973 mà đến chưa có câu trả lời Mặt khác, lớp vành giả Buchsbaum có liên quan chặt chẽ với lớp vành quen thuộc Đại số giao hoán vành Cohen-Macaulay, vành Buchsbaum, vành Cohen-Macaulay suy rộng Trong [9], N T H Loan N Q Chinh đưa điều kiện cần điều kiện đủ để vành iđêan hóa R M giả Buchsbaum trường hợp dim M = dim R Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết báo Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1, trình bày kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Nội dung Chương gồm vấn đề cụ thể sau: Chiều Krull, độ dài môđun, hệ bội hệ tham số, số bội, môđun Buchsbaum lớp môđun liên quan Chương nội dung luận văn Phần đầu Chương trình bày iđêan hóa vành giả Buchsbaum Nội dung chương nội dung luận văn nằm tiết cuối chương, trình bày chi tiết kết báo [9] N T H Loan N Q Chinh tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa R M trường hợp dim M = dim R Để hoàn thành luận văn này, nhận hướng dẫn tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan, với lòng tri thức mình, Cô giúp lớn lên nhân cách trình độ Nhân đây, xin phép bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến TS Nguyễn Thị Hồng Loan, thầy giáo, cô giáo thuộc môn Đại Số, thầy giáo, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Vinh giúp đỡ mặt suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, tổ Toán toàn thể giáo viên trường THPT Nam Đàn lớp cao học khóa 21 Toán động viên, tạo điều kiện để hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng 06 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày (không chứng minh) số kiến thức Đại số giao hoán như: chiều Krull, độ dài môđun, hệ bội hệ tham số, số bội, môđun Buchsbaum lớp môđun liên quan nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Trong toàn luận văn vành R giả thiết vành Noether giao hoán có đơn vị; M R-môđun hữu hạn sinh 1.1 Chiều Krull vành môđun Một dãy giảm ngặt iđêan nguyên tố vành R: p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Cho M R - môđun Tập hợp AnnR M = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M } iđêan vành R, AnnR (M ) gọi linh hóa tử môđun M Chiều vành thương dim(R/AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M , kí hiệu dimR M dim M vành R rõ 1.2 Độ dài môđun 1.2.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ⊃ Mn = cho Mi môđun cực đại Mi−1 với i = 1, , n Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành Môđun M có dãy hợp thành gọi môđun có dãy hợp thành Chú ý môđun có dãy hợp thành Tuy nhiên trường hợp môđun có dãy hợp thành Định lí Jordan- Holder phát biểu rằng: 1.2.2 Định lí Nếu môđun M có dãy hợp thành với độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng giảm thực môđun M có độ dài không vượt độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành Định lý dẫn đến định nghĩa sau 1.2.3 Định nghĩa Nếu R-môđun M có dãy hợp thành, tất dãy hợp thành M có độ dài Độ dài chung dãy hợp thành gọi độ dài môđun M kí hiệu R (M ) (hoặc (M ) ta không cần nhấn mạnh đến vành R) Nếu M dãy hợp thành ta quy ước R (M ) = ∞ gọi môđun có độ dài vô hạn Sau số tính chất độ dài 1.2.4 Mệnh đề Một môđun M có độ dài hữu hạn M vừa Noether vừa Artin Tính chất sau gọi tính chất cộng tính hàm độ dài 1.2.5 Mệnh đề Cho dãy khớp ngắn R-môđun → N → M → P → Khi M có độ dài hữu hạn N P có độ dài hữu hạn ta có R (M ) = R (N ) + R (P ) Từ mệnh đề ta suy ra, N môđun M R (M ) = R (N ) + R (M/N ) Hơn nữa, K N môđun M cho K ⊆ N R (M/K) 1.3 = R (M/N ) + R N/K) Hệ bội hệ tham số 1.3.1 Định nghĩa Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Một hệ phần tử x1 , , xt ∈ m cho R (M/(x1 , , xt )M ) < +∞ gọi hệ bội môđun M Ở đây, t = ta hiểu điều kiện có nghĩa R (M ) < +∞ Chú ý t ≥ d = dim M d số nguyên nhỏ cho tồn hệ bội M gồm d phần tử 1.3.2 Định nghĩa Một hệ bội M có số phần tử dim M gọi hệ tham số M Như vậy, hệ gồm d = dim M phần tử x1 , , xd ∈ m cho (M/(x1 , , xd )M ) < ∞ gọi hệ tham số môđun M Cũng vậy, hệ gồm r = dim R phần tử x1 , , xr ∈ m cho (R/(x1 , , xr )R) < ∞ gọi hệ tham số vành R Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số 10 1.4 Số bội 1.4.1 Định nghĩa Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M Khi kí hiệu bội e(x1 , , xt | M ) môđun M hệ bội x = (x1 , , xt ) (viết gọn e(x | M )) định nghĩa qui nạp theo t sau: Giả sử t = tức (M ) < ∞ Khi đặt e(∅ | M ) = (M ) Với t > 0, đặt : x1 = {m ∈ M | mx1 = 0} Khi : x1 môđun M Vì (M/(x1 , , xt )M ) < ∞ ta dễ dàng suy ((0 : x1 )/(x2 , , xt )(0 : x1 )) < ∞, tức (x2 , , xt ) hệ bội môđun : x1 Vậy theo giả thiết quy nạp e(x2 , , xt | M/x1 M ) e(x2 , , xt | : x1 ) xác định Khi ký hiệu bội e(x1 , , xt | M ) định nghĩa sau: e(x1 , , xt | M ) = e(x2 , , xt | M/x1 M ) − e(x2 , , xt | : x1 ) Sau số tính chất ký hiệu bội e(x | M ) 1.4.2 Mệnh đề ≤ e(x1 , , xt | M ) ≤ (M/(x1 , , xt )M Đặc biệt, tồn i cho xni M = với n số tự nhiên e(x1 , , xt | M ) = 1.4.3 Mệnh đề e(x1 , , xt | M ) = t > d = dim M 1.4.4 Mệnh đề e(xn1 , , xnt t | M ) = n1 nt e(x1 , , xt | M ) 1.4.5 Mệnh đề (Tính cộng tính) Cho dãy khớp ngắn R− môđun → M → M → M ” → Khi x hệ bội M x hệ bội M M ” Hơn nữa, e(x | M ) = e(x | M ) + e(x | M ”) 15 2.1.3 Mệnh đề Cho R vành giao hoán M R-môđun (i) Tập phần tử khả nghịch vành R M U (R M ) = U (R)×M, U (R) tập phần tử khả nghịch vành R (ii) Tập phần tử lũy đẳng vành R M Id(R M ) = Id(R) × 0, Id(R) tập phần tử lũy đẳng vành R 2.1.4 Nhận xét Theo mệnh đề tập phần tử khả nghịch vành R M U (R M ) = U (R) × M nên tập phần tử không khả nghịch R M (R \ U (R)) × M ⊇ × M Suy M = 0, tồn phần tử khác không mà không khả nghịch Vì vành iđêan hóa R M , trường hợp M = không trường Định lý sau mô tả iđêan vành iđêan hóa 2.1.5 Định lí Cho I iđêan vành R N môđun M (i) I × N iđêan vành R M IM ⊆ N (ii) Giả sử I × N iđêan vành R M Khi M/N R/I−môđun (R M )/(I × N ) ∼ = (R/I) (M/N ) Đặc biệt (R M )/(0 × N ) ∼ = R (M/N ) (R M )/(0 × M ) ∼ = R Vì iđêan R M chứa × M có dạng J × M với J iđêan R Định lý 2.1.5 cho thấy, I iđêan vành R N môđun M I × N iđêan vành R M IM ⊆ N Một câu hỏi đặt có phải iđêan vành R M có dạng I × N hay không? Ví dụ sau cho thấy iđêan R M có dạng I × N 16 2.1.6 Ví dụ Xét vành Z4 Z2 Gọi J iđêan sinh phần tử (2, 1) Ta có J = {(2, 1)(a, x) | a ∈ Z4 , x ∈ Z2 } = {(2a, 2x + 1a) | a ∈ Z4 , x ∈ Z2 } = {(2a, 2x + a) | a ∈ Z4 , x ∈ Z2 } = {(0, 0), (2, 1)} J dạng I × N Định lý sau mô tả iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan vành R M Định lý cho thấy iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan có dạng I × N 2.1.7 Định lí (i) Mỗi iđêan cực đại vành R M có dạng m × M, m iđêan cực đại vành R (ii) Mỗi iđêan nguyên tố vành R M có dạng p × M, p iđêan nguyên tố vành R (iii) Mỗi iđêan R M có dạng I × M, I iđêan R (iv) Nếu J iđêan R M √ J= √ I × M, I = {r ∈ R | ∃b ∈ M, (r, b) ∈ J} iđêan R Đặc biệt, I iđêan R, N môđun √ √ M I × N = I × M Một vành gọi địa phương có iđêan cực đại Từ định lý ta có hệ sau 2.1.8 Hệ Các phát biểu sau (i) R M vành địa phương R vành địa phương Khi R R M có trường thặng dư (ii) Căn Jacobson vành R M J(R M ) = J(R) × M 17 (iii) Căn lũy linh vành R M n(R M ) = n(R) × M (iv) Do p iđêan nguyên tố vành R ht(p × M ) = htp (v) dim(R M ) = dim R 2.1.9 Chú ý Phép chiếu tắc ρ : R M → R xác định ρ((a, x)) = a phép nhúng tắc σ : R → R M xác định σ(a) = (a, 0) đồng cấu địa phương Do R-môđun xem R M môđun ngược lại R M -môđun xem R-môđun đồng cấu ρ σ Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh đồng cấu hợp thành ρσ cấu trúc ban đầu 2.2 Vành môđun giả Buchsbaum Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m; M R− môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0; x = (x1 , , xd ) hệ tham số M Với số nguyên dương t, ký hiệu t+1 t t t t t+1 t+1 (xt+1 , , xd )M :M x1 xd := {u ∈ M | ux1 xd ∈ (x1 , , xd )M } t+1 t t Đặt Mt = (xt+1 , , xd )M :M x1 xd Rõ ràng Mt môđun M Mt ⊆ Mt+1 với t > Xét môđun QM (x) := ∪ Mt t>0 Chú ý rằng, {Mt }t>0 dãy môđun lồng M môđun Noether nên tồn số tự nhiên t0 cho QM (x) = Mt0 , tức QM (x) = (xt10 +1 , , xtd0 +1 )M :M xt10 xtd0 Với hệ tham số x, dễ thấy xM ⊆ QM (x) Do đó, (M/QM (x)) ≤ (M/xM ) < +∞ 18 Hơn nữa, ta có bất đẳng thức liên hệ số bội độ dài sau: e(x; M ) ≥ (M/QM (x)) Vì hiệu JM (x) := e(x; M ) − (M/QM (x)) số nguyên không âm Nếu M môđun Cohen-Macaulay JM (x) = với hệ tham số x M Nếu M môđun Buchsbaum tồn số K cho JM (x) = K với hệ tham số x M Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng supJ(x; M ) < ∞, với sup lấy tập x tất hệ tham số x M Tuy nhiên điều ngược lại tất điều nói chung không Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM (x) = với hệ tham số x M (tương ứng supJ(x; M ) < ∞) Nguyễn x Tự Cường Lê Thanh Nhàn nghiên cứu [7] vào năm 2003 họ gọi môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng) Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM (x) = K với hệ tham số x M K số nghiên cứu Nguyễn Tự Cường Nguyễn Thị Hồng Loan [5] họ lớp môđun môđun giả Buchsbaum 2.2.1 Định nghĩa (i) M gọi môđun giả Cohen-Macaulay JM (x) = với hệ tham số x M (ii) M gọi môđun giả Buchsbaum tồn số K cho JM (x) = K với hệ tham số x M (iii) M gọi môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng supJM (x) < x ∞ với hệ tham số x M Vành R gọi vành giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng) R môđun giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng) 19 2.2.2 Nhận xét (1) Mọi môđun Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay (2) Mọi môđun Buchsbaum giả Buchsbaum (3) Mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng giả Cohen-Macaulay suy rộng (4) Lớp môđun giả Buchsbaum chứa lớp môđun giả Cohen-Macaulay nằm lớp môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng Kí hiệu M bao đầy đủ m− adic M ; UM (0) môđun lớn M có chiều bé dim M ; M = M /UM (0); M = M /UM (0) Định lý sau kết [5], đưa đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua tính Buchsbaum kiểu môđun thương 2.2.3 Định lí (i) M R-môđun giả Buchsbaum M Rmôđun Buchsbaum (ii) Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi đó, M R-môđun giả Buchsbaum M R-môđun Buchsbaum Giả thuyết đơn thức M Hochster phát biểu rằng: vành địa phương R (R/QR (x)) = với hệ tham số x R Các kết nghiên cứu nhà toán học trước cho thấy lớp vành Buchsbaum thoả mãn Giả thuyết đơn thức Định lý 2.2.3 cho ta hệ thú vị có lớp vành rộng thoả mãn Giả thuyết đơn thức, lớp vành giả Buchsbaum 2.2.4 Hệ Mọi vành giả Buchsbaum thỏa mãn Giả thuyết đơn thức Định lý sau kết [7], đưa đặc trưng môđun giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng thông qua tính CohenMacaulay tính Cohen-Macaulay suy rộng kiểu môđun thương 2.2.5 Định lí (i) M R-môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả CohenMacaulay suy rộng) M R-môđun Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) 20 (ii) Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi đó, M R-môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng) M R-môđun Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) 2.3 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa R M với dim M = dim R Trong mục trình bày lại kết báo [9] Định lý sau kết [9] điều kiện cần điều kiện đủ để vành iđêan hóa R M giả Buchsbaum trường hợp dim M = dim R 2.3.1 Định lí Cho R vành giả Buchsbaum M R-môđun với dim M = dim R = d Khi khẳng định sau (i) Nếu R M vành giả Buchsbaum AnnR M = M môđun giả Buchsbaum (ii) Nếu M môđun giả Buchsbaum thỏa mãn d t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M :M = (a1 , , ad )M i=1 với hệ tham số a = (a1 , , ad ) R với số nguyên t R M vành giả Buchsbaum Sau trình bày chứng minh Định lý 2.3.1 Các kết sau phát biểu chứng minh trường hợp dim M = dim R = d Ta có phép nhúng tắc : M → R M xác định (x) = (0, x), ∀x ∈ M Theo Chú ý 2.1.9, M R xem R M -môđun ta có dãy khớp ngắn R M -môđun → M → R M → R → Bổ đề sau cần cho chứng minh Định lý 2.3.1, chứng minh trình bày luận văn học viên Hoàng Đức Hạnh, không trình bày chứng minh 21 2.3.2 Bổ đề Cho Q iđêan vành R M Đặt q := ρ(Q), ρ : R M → R đồng cấu định nghĩa Chú ý 2.1.9 Khi Q iđêan m × M -nguyên sơ q iđêan m-nguyên sơ Trong trường hợp này, ta có e(Q; R M ) = e(q; R) + e(q; M ) 2.3.3 Bổ đề Cho s = ((a1 , x1 ), , (ad , xd )) hệ tham số vành iđêan hóa R M Khi a = (a1 , , ad ) hệ tham số vành R môđun M Hơn nữa, ta có dãy khớp R M -môđun M/QM (a) → R M/QR ρ cảm sinh ρ M (s) ρ → R/QR (a) → 0, đồng cấu xác định Chú ý 2.1.9 Chứng minh Đặt Q := s(R M ) iđêan vành R M sinh hệ tham số s q := aR iđêan vành R sinh hệ tham số a Khi dễ thấy q = ρ(Q) Q iđêan m × M -nguyên sơ nên theo Bổ đề 2.3.2 q iđêan m-nguyên sơ Từ suy a = (a1 , , ad ) hệ tham số vành R Do dim M = dim R nên a hệ tham số môđun M Mặt khác ta có ρ(QR M (s)) ⊆ QR (a) (QR (a)) ⊆ QR M (s) Do đồng cấu ρ : R M → R σ : R → R M cảm sinh đồng cấu : M/QM (a) → R M/QR M (s) ρ : R M/QR M (s) → R/QR (a) Do ρ toàn cấu nên đồng cấu cảm sinh ρ toàn cấu Ngoài ta dễ kiểm tra thấy Im = Kerρ Do ta có dãy khớp M/QM (a) → R M/QR M (s) ρ → R/QR (a) → 22 2.3.4 Bổ đề Cho s = ((a1 , x1 ), , (ad , xd )) hệ tham số R M Giả sử d t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M :M = (a1 , , ad )M i=1 với số nguyên t (t 0) Khi (0 × M ) ∩ QR M (s) = × QM (a) Chứng minh Đặt (0, m) ∈ × QM (a) Vì m ∈ QM (a) nên tồn số nguyên t+1 t > cho mat1 atd ∈ (at+1 , , ad )M Vì viết t+1 mat1 atd = at+1 y + + ad y d với y1 , , yd ∈ M Rõ ràng (a, x)t = (at , tat−1 x) với (a, x) ∈ R M Vì ta có t+1 (0, m)(a1 , x1 )t (ad , xd )t = (0, mat1 atd ) = (0, at+1 y1 + + ad yd ) Do (0, m)(a1 , x1 )t (ad , xd )t = (a1 , x1 )t+1 (0, y1 ) + + (ad , xd )t+1 (0, yd ) (0, m)(a1 , x1 )t (ad , xd )t ∈ ((a1 , x1 )t+1 , , (ad , xd )t+1 )(R M ) Vì (0, m) ∈ QR M (s) Như × QM (a) ⊆ (0 × M ) ∩ QR Ngoài ra, cho (0, m) ∈ (0 × M ) ∩ QR M (s) M (s) Đặt B = R M Ta có (0, mat1 atd ) = (0, m)(a1 , x1 )t (ad , xd )t ) ∈ ((a1 , x1 )t+1 , , (ad , xd )t+1 )B, với số nguyên t Do tồn (b1 , y1 ), , (bd , yd ) ∈ B cho (0, mat1 atd ) = (a1 , x1 )t+1 (b1 , y1 ) + + (ad , xd )t+1 (bd , yd ) 23 t+1 Suy at+1 b1 + + ad bd = t+1 t t mat1 atd = (at+1 y1 + + ad yd ) + t(a1 b1 x1 + + ad bd xd ) Với i = 1, , d, từ đẳng thức đầu ta có t+1 t+1 t+1 t+1 at+1 i bi ∈ (a1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )R t+1 t+1 t+1 t+1 Như bi ∈ (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )R : t+1 t+1 t+1 t+1 bi xi ∈ (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M : với i = 1, , d Vì t+1 t+1 t+1 ati bi xi ∈ (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )R : Từ ta có d d ati bi xi i=1 t+1 t+1 t+1 (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )R : ∈ i=1 với i = 1, , d Mặt khác, theo giả thiết d t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 (at+1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M :M = (a1 , , ad )M i=1 d nên ta suy t+1 ati bi xi ∈ (at+1 , , ad )M Kết hợp kết ta i=1 t+1 có mat1 · · · atd ∈ (at+1 , , ad )M với số nguyên t m ∈ QM (a) Do (0, m) ∈ × QM (a) Vì (0 × M ) ∩ QR M (s) ⊆ × QM (a) M (s) = × QM (a) Như ta chứng minh (0 × M ) ∩ QR Có nghĩa 24 Bây giờ, sẵn sàng cho việc chứng minh Định lý 2.3.1 Chứng minh Định lý 2.3.1 (i) Đặt B = R M Giả sử a = (a1 , , ad ) hệ tham số M Do AnnR M = nên (a1 , , ad )R iđêan m-nguyên sơ Vì a hệ tham số R Theo Bổ đề 2.3.2, s = ((a1 , 0), , (ad , 0)) hệ tham số B Vì vậy, theo Bổ đề 2.3.3 ta có dãy khớp B -môđun ρ M/QM (a) → B/QB (s) → R/QR (a) → Với phần tử (r, m) ∈ B với số nguyên t > 0, ta có (a1 , 0)t (ad , 0)t (r, m) = (at1 atd r, at1 atd m) Ngoài ra, t+1 t+1 t+1 ((a1 , 0)t+1 , , (ad , 0)t+1 )B = (at+1 , , ad )R × (a1 , , ad )M, với số nguyên t > Do QB (s) = QR (a) × QM (a) Từ ta có Ker = {m + QM (a) | m ∈ M, (0, m) ∈ QB (s)} = {m + QM (a) | m ∈ M, (0, m) ∈ QR (a) × QM (a)} = {m + QM (a) | m ∈ QM (a)} = Suy đơn cấu ta có dãy khớp ngắn ρ → M/QM (a) → B/QB (s) → R/QR (a) → Vì B (B/QB (s)) = R (M/QM (a)) + R (R/QR (a)) 25 Theo Bổ đề 2.3.2 ta có e(s; B) = e(a; M ) + e(a; R) Từ hai đẳng thức suy e(a; M )− R (M/QM (a)) = (e(s; B)− B (B/QB (s)))−(e(a; R)− R (R/QR (a))) hay JM (a) = JB (s) − JR (a) Do R B giả Buchsbaum nên JB (s) JR (a) số với hệ tham số a Suy JM (a) số với hệ tham số a Nói cách khác M môđun giả Buchsbaum (ii) Giả sử s = ((a1 , x1 ) , (ad , xd )) hệ tham số B Khi theo Bổ đề 2.3.3 a = (a1 , , ad ) hệ tham số R M ta có dãy khớp B -môđun ρ M/QM (a) → B/QB (s) → R/QR (a) → Theo Bổ đề 2.3.4, ta có (0 × M ) ∩ QB (s) = × QM (a) Vì Ker = {m + QM (a) | m ∈ M, (0, m) ∈ QB (s)} = {m + QM (a) | m ∈ QM (a)} = Do đồng cấu đơn cấu Vì ta có dãy khớp ngắn ρ → M/QM (a) → B/QB (s) → R/QR (a) → Tương tự chứng minh Mệnh đề (i) ta có JB (s) = JM (a) + JR (a) Vì R M giả Buchsbaum nên JM (a) JR (a) số với hệ tham số a Suy JB (s) số với hệ tham số s B = R M vành giả Buchsbaum 26 Sau hệ Định lý 2.3.1 2.3.5 Hệ Giả sử R vành giả Buchsbaum có phức đối ngẫu M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = dim R Nếu M môđun giả Cohen-Macaulay R M vành giả Buchsbaum Chứng minh Giả sử a = (a1 , , ad ) hệ tham số R Khi dim M = dim R nên a hệ tham số M Gọi UM (0) môđun lớn M có chiều nhỏ dim M Do M môđun giả Cohen-Macaulay nên theo Định lý 2.2.5 ta có M := M/UM (0) môđun Cohen-Macaulay Vì vậy, theo chứng minh [5, Bổ đề 4.4] ta có [(a1 t+1 , , ad t+1 )M + UM (0)] : at1 atd = (a1 , , ad )M + UM (0), với số nguyên t Theo [8, Định lý 2.3], môđun [(a1 t+1 , , ad t+1 )M + UM (0)] : at1 atd môđun d [(a1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M + UM (0)] : i=1 với số nguyên t ≥ Vì d [(a1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M + UM (0)] : = (a1 , , ad )M + UM (0) i=1 Từ suy d (a1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M : = (a1 , , ad )M i=1 với hệ tham số a M Do theo Định lý 2.3.1 (ii) R M vành giả Buchsbaum 27 KẾT LUẬN Với mục đích trình bày kết [9] tính giả Buchsbaum vành R M trường hợp dim M = dim R, luận văn hoàn thành việc trình bày nội dung sau Một số kiến thức Đại số giao hoán liên quan đến nội dung luận văn nhằm giúp người đọc dễ theo dõi nội dung của luận văn (Chương 1) Khái niệm vành iđêan hóa số tính chất (không chứng minh) iđêan vành iđêan hóa dựa theo [2] (Mục 2.1) Khái niệm số tính chất (không chứng minh) vành môđun giả Buchsbaum dựa theo [5] (Mục 2.2) Nội dung báo [9] tính giả Buchsbaum vành R M trường hợp dim M = dim R (Mục 2.3) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Như Hảo (2014), Một số tính chất vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh [2] Hoàng Văn Thông (2014), Iđêan vành iđêan hóa, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh Tiếng Anh [3] D D Anderson and M Winders (2009), Idealization of a module, J Commut Algebra, 1: 3-56 [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [5] N T Cuong and N T H Loan (2004), A characterization for pseudo Buchsbaum module, Japan J Math., 30, 165-181 [6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions, J Pure Appl Algebra, 189: 109-121 [7] N T Cuong and L T Nhan (2003), Pseudo Cohen Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules, J Algebra, 267, 156-177 [8] S Goto and K Yamagshi, The theory of unconditioned strong dsequences and modules of finite local cohomology (Preprint, 1986) 29 [9] Nguyen Thi Hong Loan and Nong Quoc Chinh (2013), Idealizations of pseudo Buchsbaum modules over a pseudo Buchsbaum, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 50 (5), 1523–1530 [10] H Matsumura (1980), Commutative algebra (second edition), Benjamin/ Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass [11] Nagata (1962), Local rings, Tracts in Pure and Appl Math., No 13 (Interscience) [...]... tố, iđêan cực đại và iđêan căn trong vành R M Định lý này cũng cho thấy các iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan căn đều có dạng I × N 2.1.7 Định lí (i) Mỗi iđêan cực đại của vành R M có dạng m × M, trong đó m là iđêan cực đại của vành R (ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành R M có dạng p × M, trong đó p là iđêan nguyên tố của vành R (iii) Mỗi iđêan căn của R M có dạng I × M, trong đó I là iđêan căn của. .. cứu lớp môđun M thỏa mãn I(M ) < +∞ và họ gọi là môđun Cohen Macaulay suy rộng 13 CHƯƠNG 2 TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU CỰC ĐẠI Khái niệm vành và môđun giả Buchsbaum được đưa ra nghiên cứu bởi Nguyễn Tự Cường và Nguyễn Thị Hồng Loan trong [5] Lớp môđun giả Buchsbaum là một mở rộng thực sự của lớp môđun Buchsbaum quen thuộc trong Đại số giao hoán Khái niệm vành iđêan hóa được... đó, có thể hiểu iđêan hóa R -môđun M nghĩa là đặt M vào R để M được chuyển thành một iđêan của vành iđêan hóa R M Mục đích của M Nagata trong [11] sử dụng kỹ thuật iđêan hóa để chuyển một số kết quả từ iđêan sang môđun, bằng cách xem mỗi môđun là một iđêan của vành iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêan hóa đã được một số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Các kết quả đạt được cho thấy iđêan hóa cũng có nhiều... đủ m− adic của M ; UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn dim M ; M = M /UM (0); M = M /UM (0) Định lý sau đây là kết quả chính trong [5], đưa ra một đặc trưng của môđun giả Buchsbaum thông qua tính Buchsbaum của một kiểu môđun thương 2.2.3 Định lí (i) M là R -môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M là Rmôđun Buchsbaum (ii) Giả sử R là vành có phức đối ngẫu Khi đó, M là R -môđun giả Buchsbaum. .. vành iđêan hóa và một số tính chất (không chứng minh) của iđêan trong vành iđêan hóa dựa theo [2] (Mục 2.1) 3 Khái niệm và một số tính chất (không chứng minh) của vành và môđun giả Buchsbaum dựa theo [5] (Mục 2.2) 4 Nội dung bài báo [9] về tính giả Buchsbaum của vành R M trong trường hợp dim M = dim R (Mục 2.3) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Như Hảo (2014), Một số tính chất của vành iđêan hóa, ... môđun giả Cohen-Macaulay nếu JM (x) = 0 với mọi hệ tham số x của M (ii) M được gọi là môđun giả Buchsbaum nếu tồn tại một hằng số K sao cho JM (x) = K với mọi hệ tham số x của M (iii) M được gọi là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng nếu supJM (x) < x ∞ với mọi hệ tham số x của M Vành R được gọi là vành giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay hoặc giả Cohen-Macaulay suy rộng) nếu R là một môđun giả. .. R là một môđun giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay hoặc giả Cohen-Macaulay suy rộng) trên chính nó 19 2.2.2 Nhận xét (1) Mọi môđun Cohen-Macaulay đều là giả Cohen-Macaulay (2) Mọi môđun Buchsbaum đều là giả Buchsbaum (3) Mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng đều là giả Cohen-Macaulay suy rộng (4) Lớp môđun giả Buchsbaum chứa lớp môđun giả Cohen-Macaulay và nằm trong lớp môđun giả Cohen-Macaulay... vành iđêan hóa R M là giả Buchsbaum trong trường hợp dim M = dim R 2.3.1 Định lí Cho R là một vành giả Buchsbaum và M là một R -môđun với dim M = dim R = d Khi đó các khẳng định sau là đúng (i) Nếu R M là vành giả Buchsbaum và AnnR M = 0 thì M là môđun giả Buchsbaum (ii) Nếu M là môđun giả Buchsbaum thỏa mãn d t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 (at+1 1 , , ai−1 , ai+1 , , ad )M :M ai = (a1 , , ad )M i=1 với. .. đối ngẫu và M là một R -môđun hữu hạn sinh với dim M = dim R Nếu M là môđun giả Cohen-Macaulay thì R M là vành giả Buchsbaum Chứng minh Giả sử a = (a1 , , ad ) là một hệ tham số của R Khi đó do dim M = dim R nên a là một hệ tham số của M Gọi UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim M Do M là môđun giả Cohen-Macaulay nên theo Định lý 2.2.5 ta có M := M/UM (0) là môđun Cohen-Macaulay... ngược lại mỗi R M -môđun đều có thể xem là một R -môđun bởi các đồng cấu ρ và σ Ngoài ra, cấu trúc của R -môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là cấu trúc ban đầu 2.2 Vành và môđun giả Buchsbaum Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là một R− môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0; x = (x1 , , xd ) là một hệ tham số của M Với mỗi số nguyên ... môđun liên quan 12 Tính giả Buchsbaum vành iđêan hóa với môđun có chiều cực đại 2.1 Iđêan hóa 13 14 2.2 Vành môđun giả Buchsbaum 17 2.3 Tính. .. 13 CHƯƠNG TÍNH GIẢ BUCHSBAUM CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA VỚI MÔĐUN CÓ CHIỀU CỰC ĐẠI Khái niệm vành môđun giả Buchsbaum đưa nghiên cứu Nguyễn Tự Cường Nguyễn Thị Hồng Loan [5] Lớp môđun giả Buchsbaum mở... iđêan cực đại iđêan vành R M Định lý cho thấy iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan có dạng I × N 2.1.7 Định lí (i) Mỗi iđêan cực đại vành R M có dạng m × M, m iđêan cực đại vành R (ii) Mỗi iđêan