2.2.1 Chú ý. Phép chiếu chính tắcρ : RnM → Rxác định bởiρ((r, m)) = r và phép nhúng chính tắc σ : R → RnM xác định bởi σ(r) = (r,0) là các đồng cấu địa phương. Do đó chúng ta có thể xem mỗi R-môđun như một RnM-môđun và mỗi RnM-môđun như một R-môđun bởi các đồng cấu σ và ρ. Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là cấu trúc ban đầu.
Cho : M → RnM là phép nhúng chính tắc xác định bởi (x) = (0, x). Khi đó ta có dãy khớp các RnM-môđun:
0 → M → RnM →R → 0.
Từ bây giờ, xét (R,m) là một vành địa phương Noether với dimR = d và M là một R-môđun với dimM < d. Để thuận tiện, ta đặt S = RnM là vành iđêan hóa củaM trên R. Chú ý rằngS là một vành địa phương Noether chiều d và iđêan cực đại n = m×M.
2.2.2 Bổ đề. Cho u = (u1, . . . , ud) là một hệ tham số của S với ui = (ai, xi)(1 6 i 6 d). Đặt Q = (u1, . . . , ud)S và q = (a1, . . . , ad)R. Khi đó q
iđêan tham số của R. Trong trường hợp này, ta có
e(Q;S) = e(q;R).
Chứng minh. Dou = (u1, . . . , ud)là một hệ tham số củaS nênq = (a1, . . . , ad)R là iđêan tham số của R. Điều này đã được chứng minh trong luận văn của học viên Hoàng Đức Hạnh, vì thế chúng tôi không trình bày chứng minh này ở đây.
Chúng tôi sẽ chứng minh khẳng định thứ hai. Vì (M) = 0×M với ánh xạ được định nghĩa trong Chú ý 2.2.1 nên
dim(0×M) = dimM < d.
Từ dãy khớp ngắn
0 →0×M → S → S/0×M →0
và tính chất cộng tính của số bội (xem 1.1.4) ta có
e(Q;S) = e(Q;S/0×M) +e(Q; 0×M).
Vì dim(0×M) < d nên e(Q; 0×M) = 0. Từ đó suy ra e(Q;S) = e(Q;S/0×M).
Theo Định lý 2.1.3, ta có S/0×M ∼= R. Do đó ta có e(Q;S) = e(q;R).
2.2.3 Bổ đề. Cho u = (u1, . . . , ud) là một hệ tham số của S với ui = (ai, xi)(1 6 i 6 d). Đặt a = (a1, . . . , ad). Khi đó chúng ta có
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.2, a là một hệ tham số của R. Đặt N = 0×M và
QN(u) = ∪
t>0((ut1+1, . . . , utd+1)N :ut1...utd). Với mỗi số nguyên dương n, đặt u(n) = (un1, . . . , und) và do đó
QN(u(n)) = ∪
t>0((un1(t+1), . . . , udn(t+1))N :unt1 ...und).
Ta có một hệ thuận (xem 1.1.8) {N/QN(u(n)), θn}n≥1 với các đơn cấu θn : N/QN(u(n−1)) → N/QN(u(n))
và
lim
→ N/QN(u(n)) ∼= Hd
(u)(N),
trong đó H(du)(N) là môđun đối đồng điều địa phương thứ d của N đối với iđêan uS. Do đó ta có thể xem N/QN(u(n)) như là một môđun con của H(du)(N), với mọi n > 0. Vì dimN = dimM < d nên H(du)(N) = 0. Do đó N = QN(u(n)), với mọi n > 0. Hơn nữa, dễ dàng thấy rằng QN(u(n)) ⊆ QS(u(n)). Do đó
N ⊆ QS(u(n)),∀n > 0. (1)
Đặt S = S/N. Bây giờ, ta khẳng định rằng
QS(u) = QS(u)/N. (2)
Để chứng minh điều này ta chứng minh rằng QS(u) = ∪
t>0(((ut1+1, . . . , utd+1)S + N) :S ut1...utd). (3)
Thật vậy, ta luôn có QS(u) ⊆ ∪
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, trước hết ta dễ dàng kiểm tra thấy rằng
((ut1+1, . . . , utd+1)S +N) :S ut1...utd ⊆ ((ut10+1, . . . , utd0+1)S +N) :S ut10...utd0
với mọi t6 t0. Khi đó tồn tại một số dương m thỏa mãn ∪
t>0(((ut1+1, . . . , udt+1)S+N) :S ut1...udt) = ((um1 +1, . . . , umd+1)S+N) :S um1 ...umd . Từ (1), ta có N ⊆ QS(u(m + 1)). Khi đó luôn tồn tại một số nguyên dương k sao cho N ⊆ (u1(k+1)(m+1), . . . , u(dk+1)(m+1))S :S uk1(m+1)...ukd(m+1). Do đó, (um1 +1, . . . , umd+1)S+N ⊆(u(1k+1)(m+1), . . . , ud(k+1)(m+1))S :S u1k(m+1)...ukd(m+1). Vậy QS(u) ⊇ (u(1k+1)(m+1), . . . , ud(k+1)(m+1))S :S u1k(m+1)+m...ukd(m+1)+m = ((u(1k+1)(m+1), . . . , ud(k+1)(m+1))S :S uk1(m+1)...udk(m+1)) :S um1 ...umd ⊇ ((um1 +1, . . . , umd+1)S + N) :S um1 ...umd = ∪ t>0(((ut1+1, . . . , utd+1)S +N) :S ut1...utd).
Vậy đẳng thức (3) được chứng minh và do đó điều khẳng định (2) cũng được chứng minh. Vì S/0×M ∼= R và Q S(u) ∼= Q R(a), nên ta có `(S/QS(u)) =`(R/QR(a)). Bổ đề được chứng minh.
Định lý sau đây là đặc trưng tính giả Buchsbaum của vành iđêan hóa RnM thông qua tính giả Buchsbaum của vành R. Đây là kết quả chính trong [8].
2.2.4 Định lí. Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether với dimR = d và
M là một R-môđun với dimM < d. Khi đó vành iđêan hóa S = RnM là giả Buchsbaum khi và chỉ khi vành R là giả Buchsbaum.
Chứng minh. Giả sử S là vành giả Buchsbaum và a = (a1, . . . , ad) là hệ tham số tùy ý của vành R. Ta đặt u = (u1, . . . , ud), trong đó ui = (ai,0) với mọi
1 6 i 6 d. Rõ ràng u là hệ tham số của S. Như vậy theo Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3 ta có
e(a, R)−`(R/QR(a)) = e(u;S)−`(S/QS(u)).
Do đó
JR(a) =JS(u).
Vì S là vành giả Buchsbaum nên JS(u) là hằng số với mọi hệ tham số u. Suy ra JR(a) là một hằng số với mọi hệ tham số a của vành R. Do đó R là vành giả Buchsbaum.
Ngược lại, giả sử R là vành giả Buchsbaum và u = (u1, . . . , ud) là một hệ tham số của S, với ui = (ai, xi). Ta đặt a = (a1, . . . , ad). Theo Bổ đề 2.2.2, a là một hệ tham số của R. Khi đó từ Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3 ta có được
JS(u) =e(u;S)−`(S/QS(u)) =e(a;R)−`(R/QR(a)).
Cũng tương tự như trên do R là vành giả Buchsbaum nên suy ra S cũng là vành giả Buchsbaum.
Theo Định nghĩa 1.2.1, M là một môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng) nếu JM(x) = 0, với mọi hệ tham số x của M (tương ứng sup
x
JM(x) < ∞). Do đó từ Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3 ta
có ngay hệ quả sau đây.
2.2.5 Hệ quả. Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether với dimR = d và
giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng) khi và chỉ khi vành R là giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen-Macaulay suy rộng).
2.2.6 Chú ý. (1). Định lý 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5 cho thấy trong trường hợp
dimM <dimRthì tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay và tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) của vành iđêan hóaRnM tương đương với tính giả Buchsbaum (tương ứng tính giả Cohen-Macaulay và tính giả Cohen-Macaulay suy rộng) của vành R mà không phụ thuộc gì vào môđun M.
(2). Điều kiện dimM < dimR đã nêu trong Định lý 2.2.4 là cần thiết, không thể bỏ đi được. Thật vậy, khi dimM = dimR và x = (x1, . . . , xd)
là một hệ tham số của R thì x là một hệ tham số của M và (x,0) = ((x1,0), . . . ,(xd,0)) là một hệ tham số của RnM. Từ dãy khớp các RnM- môđun 0 → M → RnM →R → 0, ta có e((x,0);RnM) = e(x;R) +e(x;M). Vì (x1,0)t. . .(xd,0)t(r, m) = (xt1. . . xtdr, xt1. . . xtdm) và ((x1,0)t+1. . .(xd,0)t+1)RnM = (x1t+1, . . . xtd+1)R×(xt1+1, . . . xtd+1)M
với mọi (r, m) ∈ RnM và mọi số nguyên dương t nên QRnM((x,0)) = QR(x)×QM(x).
Do đó ta có thể kiểm tra rằng dãy các RnM-môđun
0→ M/QM(x) →0 RnM/QRnM((x,0)) ρ
0
là khớp, trong đó 0 (tương ứng ρ0) là các đồng cấu cảm sinh của các phép chiếu (tương ứng ρ) được định nghĩa trong Chú ý 2.2.1. Khi đó ta có
`(RnM/QRnM((x,0)) = `(R/QR(x)) +`(M/QM(x)).
Kết hợp các điều kiện trên, ta có
JRnM((x,0)) = JR(x) +JM(x). (4)
Do đó, nếu ta chọn một vành R và một R−môđun M sao cho R là vành giả Buchsbaum nhưng M không là môđun giả Buchsbaum thì vành RnM không là giả Buchsbaum. Ví dụ sau đây sẽ minh họa cụ thể cho điều này.
2.2.7 Ví dụ. Chok là một trường vàR = k[[x, y]]là vành các chuỗi lũy thừa hình thức hai biến trên trường k. Ta xétM = (x2, y)R là một R-môđun. Khi đó dimM = dimR = 2. Vì R là vành Cohen-Macaulay nên R là vành giả Buchsbaum. Rõ ràng u = (x, y) và v = (x2, y) là hai hệ tham số của M. Từ dãy khớp
0→ M →R → R/(x2, y)R →0
với`R(R/(x2, y)R) < ∞, ta có e(X;M) = e(X;R)với mọi hệ tham sốX của M. Như vậy e(u;M) = e(u;R) = `R(R/uR) = 1 và e(v;M) = e(v;R) =
`R(R/vR) = 2. Ta dễ dàng ta kiểm tra được rằng QM(u) = M = QM(v). Do đó
JM(u) =e(u;M)−`R(M/QM(u)) = 1−0 = 1
và
JM(v) = e(v;M)−`R(M/QM(v)) = 2−0 = 2.
Từ đó suy ra M là không là môđun giả Buchsbaum do JM(X) không phải là hằng số với mọi hệ tham số X của M. Do đó từ hệ thức (4) trong Chú ý 2.2.6 (2) ta suy ra RnM là không phải là vành giả Buchsbaum.
KẾT LUẬN
Với mục đích là trình bày kết quả của [8] về tính giả Buchsbaum của vành RnM trong trường hợp dimM < dimR, luận văn đã hoàn thành việc trình bày các nội dung sau đây.
1. Một số kiến thức của Đại số giao hoán liên quan đến nội dung luận văn nhằm giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của của luận văn (Mục 1.1).
2. Khái niệm và một số tính chất (không chứng minh) của vành và môđun giả Buchsbaum dựa theo [5] (Mục 1.2).
3. Khái niệm vành iđêan hóa dựa theo [1] và [2] (Mục 2.1).
4. Nội dung bài báo [8] về tính giả Buchsbaum của vànhRnM trong trường hợp dimM < dimR (Mục 2.2).
TÀI LIỆU THAM KHẢO