Vành và môđun phân bậc

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ ÁNH TUYẾT VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC Mục lục Trang Mở đầu Chƣơng Vành môđun phân bậc 1.1 Vành phân bậc 1.2 Môđun phân bậc 13 1.3 Vành môđun Rees 15 1.4 Vành môđun phân bậc liên kết 19 Chƣơng Sự phân tích ngun sơ mơđun phân bậc 24 2.1 Sự phân tích ngun sơ mơđun .24 2.2 Sự phân tích ngun sơ mơđun phân bậc 26 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Trong toàn Luận văn, vành nhắc đến vành giao hốn có đơn vị  Cho G vị nhóm cộng giao hốn với phần tử trung hịa Một vành giao hốn có đơn vị R gọi vành G-phân bậc, tồn họ nhóm cộng giao hốn R G R thỏa mãn điều kiện sau: i) R   R ; G ii) R R  R   với  ,   G Cho R   R vành G - phân bậc Người ta thường gọi R G thành phần bậc  R kí hiệu  R  Mỗi phần tử x  R gọi phần tử bậc  Một iđêan I R gọi iđêan hay iđêan phân bậc I  ( I  R ) G Cho G vị nhóm vị nhóm cộng giao hốn G*, R   R G vành G - phân bậc Một R – môđun M gọi R – môđun G* phân bậc tồn họ M  G* nhóm cộng M thỏa mãn điều kiện sau: (i) M  M ;   G* (ii) R M   M  , với  G,   G* Cho R   R vành phân bậc M  G M   G R-môđun phân * bậc Người ta thường gọi M  thành phần bậc  M kí hiệu  M  Chú ý M họ M  G* R0 – môđun Mỗi phần tử x  M  gọi phần tử bậc  Một môđun N M gọi môđun hay môđun phân bậc N   G (N  M  ) * Cho K trường, vành đa thức R = K[X1, …, Xd] ví dụ điển hình vành phân bậc Vành phân bậc sau: 1) Gọi Rn tập tất đa thức bậc n (là đa thức mà đơn thức bậc n), tính đa thức Khi R   Rn trở n0 thành vành  phân bậc Kiểu phân bậc vành đa thức gọi phân bậc chuẩn hay phân bậc tự nhiên d 2) vị nhóm giao hoán với phép cộng Với   (1, , d )  vành d d , đặt R  KX11 X 22 X dd Khi R   R N d -phân bậc Như vậy, ta thấy vành có nhiều cách phân bậc khác Vành Rees, mơđun Rees, vành phân bậc liên kết môđun phân bậc liên kết trường hợp đặc biệt vành môđun phân bậc Chúng vừa đối tượng vừa cơng cụ quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để trình bày cách có hệ thống số vấn đề vành mơđun phân bậc, phân tích ngun sơ môđun phân bậc Luận văn chia làm hai chương Chương 1: Vành môđun phân bậc Trong chương này, chúng tơi trình bày mơđun phân bậc, vành phân bậc, vành môđun Rees, vành môđun phân bậc liên kết Chương 2: Sự phân tích ngun sơ mơđun phân bậc Trong chương này, chúng tơi trình bày phân tích ngun sơ mơđun phân bậc tìm hiểu tập iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo khoa Tốn tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THCS An Lạc Quận Bình Tân tập thể đồng nghiệp tạo điều kiện cho suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học 17 – Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Vinh Đại học Sài Gòn cộng tác, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Do điều kiện hạn chế mặt thời gian kiến thức nên dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Kính mong nhận góp ý q thầy, giáo, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC 1.1 Vành phân bậc 1.1.1 Định nghĩa Cho (G,+) vị nhóm cộng giao hốn với phần tử trung hịa Một vành giao hốn có đơn vị R gọi vành G - phân bậc, tồn họ nhóm cộng giao hốn R G R thỏa mãn điều kiện sau: i) R  R ; G ii) R R  R   với  ,   G 1.1.2 Mệnh đề Nếu R  R vành G-phân bậc R0 vành G R chứa đơn vị 1, R R0-môđun với   G Chứng minh Bởi R0 R0  R0 nên R0 đóng với phép nhân, R0 vành R Giả sử   x x  hầu hết trừ số hữu hạn Khi G với   G ta có x  1x   x x Do biểu diễn tổng nên G x  x0 x với   G Điều dẫn đến x = x0x với x  R , x0 = 1 R0 Cuối từ R0 R  R với   G , nên R R0 - môđun với   G W 1.1.3 Định nghĩa Cho vành G - phân bậc: R  R G i) Mỗi phần tử x  R gọi phần tử bậc  kí hiệu bậc x deg x   Quy ước: Phần tử coi phần tử bậc tùy ý ii) Vành S R gọi vành phân bậc hay vành S  ( S  R ) G iii) Một iđêan I R gọi iđêan phân bậc hay iđêan I  ( I  R ) G iv) Một iđêan I R gọi thừa nhận tập hữu hạn J R, từ  x  I J với x  R , kéo theo thành phần x thuộc I 1.1.4 Định lý Cho I iđêan vành phân bậc R Khi ba mệnh đề sau tương đương: i) Iđêan I thừa nhận được; ii) Iđêan I nhất; iii) Iđêan I sinh phần tử R Chứng minh i)  ii) : Giả sử x   x  I , x  R Vì I iđêan thừa J nhận được, nên tất x  I Do x  I  R Vậy I   ( I  R ) Bao G hàm thức ngược lại điều hiển nhiên ii)  iii) : Hiển nhiên iii)  i) : Giả sử I sinh tập S phần tử R Lấy x n tùy ý thuộc I, x   i si với i  R, si  S Gọi x tổng tất hạng i 1 tử bậc  tổng biểu diễn x, x   deg( i , si )  i si x   x J Bởi S hệ sinh I, nên x  I Do I iđêan thừa nhận Cho I, J iđêan R I : J  x  R | xJ  I   x  R | xy  I , y  J  Khi I : J iđêan R gọi iđêan thương I J W 1.1.5 Mệnh đề Nếu I, J iđêan vành phân bậc R, I + J; IJ; I  J iđêan Và R  Rn n vành -phân bậc, I ;  I : J  iđêan Chứng minh Do Định lý 1.1.4 nên I + J; IJ; I  J iđêan Xét trường hợp R vành -phân bậc, I J iđêan R  Rn Giả sử r phần tử thuộc I , r ln phân n tích dạng r  rd1   rdm , rd1  Rd1 , d1 < … < dm rd1  Vì r  I nên tồn n  để r n  (rd1   rdm )n  rdn1   I Do I nhất, nên rdn1  I , dẫn đến rdn1  I Lập luận tương tự, thay r r  rd1 , ta rd2  I , Sau hữu hạn bước, ta thu thành phần r thuộc I Vậy I iđêan Tiếp theo, ta chứng minh  I : J  iđêan Thật vậy, giả sử r phần tử thuộc  I : J  Khi r  rd1   rdm , rd1  Rd1 , d1 < … < dm rd1  Lấy x thuộc J Do J iđêan phân bậc nên x  xe1   xen với xei  Rei  J , e1