Vành và môđun phân bậc định lý Artin - Rees

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ XUÂN TUẤN VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ XUÂN TUẤN VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SÔ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường THÁI NGUYÊN – 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Vành và môđun Noether, Artin 3 1.1 Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định lý cơ sở Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Vành và môđun phân bậc - Định lý Artin-Rees 13 2.1 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Định lý Artin-Rees và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Đa thức Hilbert 24 3.1 Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Đa thức Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 43 i Tài li Tài liệu tham khảo 44 ii Lời mở đầu Cho R là giao hoán, M là R-môđun, I là một iđêan của R. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin- Rees. Đặc biệt, tôi xem xét trong trường hợp vành R là vành Noether. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên cuốn bài giảng của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường và các cuốn tài liệu tham khảo chính : Introduction to commutative (M.F. Atiyah and I.G. Macdonal), Step in commutative algebra (R.Y. Sharp), Commutative algebra , Commutative ring theory (H. Matsumura). Với mục đích tìm hiểu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin- Rees và các hệ quả của nó. Tôi đã lựa chọn đề tài " Vành và môđun phân bậc, định lý Artin-Rees" làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ. Luận văn gồm 3 chương. Trong chương 1, tôi trình bày về các kiến thức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun Noether, Artin; đặc biệt, trong chương này là Định lý cơ sở Hilbert và các hệ quả của nó. Đây là những công cụ quan trọng nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, tôi nghiên cứu về vành và môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa và tính chất vành môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết và vành Rees; định nghĩa và các tính chất về lọc môđun; Định lý Artin-Rees và các hệ quả. Chương 3 là chương trình bày về đa thức Hilbert bao gồm: độ dài của môđun, Định lý đa thức Hilbert và Đa thức Hilbert-Samuel. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của 1 GS.TSKH Nguyễn Tự Cường. Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn. Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên em vượt qua những khó khăn trong học tập. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ tôi cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể hoàn thành luận văn và khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày 1 tháng 4 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Xuân Tuấn Xác nhận của khoa Xác nhận của giáo viên hướng dẫn 2 Chương 1 Vành và môđun Noether, Artin Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét vành là giao hoán có đơn vị. 1.1 Vành và môđun Noether Trước hết ta chứng minh định lý. Định lý 1.1.1. Cho M là một R−môđun. Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực đại. (ii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. (iii) Mọi dãy tăng các môđun con của M M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M k = M m , ∀k ≥ m. Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Ta cần chứng minh rằng mỗi R−môđun con N tùy ý của M là hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử N là vô hạn sinh. Xét  3 là tập hợp tất cả các R−môđun con hữu hạn sinh của N. Vì 0 ∈  nên  = ∅. Theo giả thiết, tồn tại trong  một phần tử cực đại N  . Vì N  hữu hạn sinh, nên tồn tại x ∈ N\N  . Từ đây suy ra R−môđun con hữu hạn sinh N  + xR ∈  , điều này trái với tính cực đại của N  trong  vì N  ⊂ N  + xR. Vậy N là hữu hạn sinh. (ii) =⇒ (iii) Giả sử M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ là một xích tăng tùy ý các R−môđun con của M (*). Đặt N = ∪ ∞ i=1 M i . Khi đó, N là môđun con của M suy ra N hữu hạn sinh, sinh bởi các phần tử x 1 , , x k , x i ∈ N, ∀i = 1, , k. Suy ra tồn tại n 0 sao cho x 1 , , x k ∈ M n 0 , do đó N ⊆ M n 0 và M t = M n 0 , ∀t ≥ n 0 , từ đó suy ra (*) dừng. (iii) =⇒ (i) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một tập hợp  = ∅ gồm các môđun con của M mà trong  không có phần tử cực đại. Chọn M 1 ∈  một phần tử tùy ý, vì  không có phần tử cực đại nào nên tồn tại M 2 ∈  và M 1 ⊂ M 2 . Tiếp tục quá trình này với chú ý rằng trong  không có phần tử cực đại ta chọn được một xích tăng không dừng các môđun con của M M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M n ⊂ điều này trái với giả thiết. Vậy mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại. Định nghĩa 1.1.2. Một R−môđun M được gọi là môđun Noether nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương trong Định lý 1.1.1. Vành R là một vành Noether nếu nó là một R−môđun Noether. Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau. Nhận xét 1.1.3. Một tập con khác rỗng của R là một R−môđun con của R−môđun R nếu và chỉ nếu nó là một iđêan của R, nên R là một 4 vành Noether khi và chỉ khi R thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây. (i) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R I 1 ⊆ I 2 ⊆ ⊆ I n đều dừng, nghĩa là ∃m để I k = I m , ∀k ≥ m. (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Ví dụ 1.1.4. (a) Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của nó đều là iđêan chính nên nó hữu hạn sinh. Tổng quát, mọi vành chính đều là vành Noether. (b) Một trường là vành Noether. (c) Một không gian vectơ là một môđun Noether nếu và chỉ nếu nó hữu hạn chiều. (d) Vành đa thức vô hạn biến trên vành giao hoán R khác không không phải vành Noether, vì R[x 1 , x 2 , ] có dãy tăng thực sự vô hạn các iđêan của R[x 1 , x 2 , ] là (x 1 ) ⊂ (x 1 , x 2 ) ⊂ ⊂ (x 1 , x 2 , , x n ) ⊂ 1.2 Định lý cơ sở Hilbert Trước hết ta chứng minh định lý. 5 Định lý 1.2.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→ M  −→ M −→ M  −→ 0. Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu M  và M  là các môđun Noether. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng M  là một R−môđun con của M và M  = M/M  . Giả sử M là môđun Noether. Vì mọi xích tăng các môđun con của M  cũng là xích tăng trong M nên M  là Noether. Cho N 1 ⊆ N 2 ⊆ ⊆ N n ⊆ là một dãy tăng các môđun con của M  . Khi đó tồn tại dãy tăng các môđun con M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ của M sao cho N n = M n /M  , ∀n. Suy ra tồn tại số tự nhiên k để M n = M k , ∀n ≥ k, tức là N n = N k , ∀n ≥ k và do đó M  là Noether. Ngược lại, cho M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ là một xích tăng tùy ý các môđun con của M, khi đó ta nhận được xích tăng các môđun con sau M 1 ∩ M  ⊆ M 2 ∩ M  ⊆ ⊆ M n ∩ M  ⊆ của M  và (M 1 + M  )/M  ⊆ (M 2 + M  )/M  ⊆ ⊆ (M n + M  )/M  ⊆ 6 [...]... Mk , ∀n ≥ k, tức là M là Artin Hệ quả 1.3.4 Cho một họ hữu hạn các R môđun Khi đó, tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R môđun Artin cũng là một R môđun Artin 12 Chương 2 Vành và môđun phân bậc - Định lý Artin- Rees 2.1 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị (i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích thành tổng trực tiếp các nhóm Abel R = ⊕n≥0 Rn , trong đó... cấu vành ϕ : R0 [x1 , , xn ] −→ R0 [a1 , , an ] với ϕ(f (x1 , , xn )) = f (a1 , , an ) Theo định lý cơ sở Hilbert thì R0 [x1 , , xn ] là vành Noether (do R0 là vành Noether) Mà R0 [a1 , , an ] ∼ R0 [x1 , , xn ]/Kerϕ là vành Noether = suy ra R0 [a1 , , an ] là vành Noether Vậy R là vành Noether 2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees Định nghĩa 2.2.1 Cho I là iđêan của vành R Khi đó ta định nghĩa các vành. .. n M )n≥0 là một I−lọc tốt Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau Chú ý 2.3.2 Cho (In )n≥0 là một lọc iđêan của vành R Khi đó ta có T = ⊕n≥0 In và G = ⊕n≥0 In /In+1 là một vành phân bậc Hơn nữa, nếu (Mn )n≥0 là một lọc các môđun con của M và là I−lọc tốt Thì ta có ⊕n≥0 Mn là môđun phân bậc trên vành phân bậc R(I) = ⊕n≥0 I n và ⊕n≥0 Mn /Mn+1 là môđun phân bậc trên vành phân bậc GR (I) = ⊕n≥0 I n /I n+1 ... một vành bất kì (không phân bậc) , I là iđêan của R Khi đó ta luôn có thể có vành phân bậc R∗ = ⊕n≥0 I n (Vành Rees) Tương tự, nếu M là một R môđun và (Mn )n≥0 là I−lọc tốt của M thì M ∗ = ⊕n≥0 Mn là một R∗ môđun phân bậc, vì I n Mn ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ 0 Và ta đã có, nếu R là vành Noether và I = (a1 , , an ) là iđêan của R thì R∗ = R(I) = ⊕n≥0 I n T n = R[a1 T, , an T ] cũng là một vành Noether Định lý. .. 2.1.2 (a) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕n≥0 Rn , R0 = R, Rn = 0, ∀n > 0 (b) Một R môđun M luôn là R môđun phân bậc với phân bậc tầm thường M = ⊕n≥0 Mn , M0 = M, Mn = 0, ∀n > 0 (R là vành phân bậc tầm thường) (c) Xét vành đa thức R = k[x1 , , xn ], k là một trường Khi đó R có phân bậc R = ⊕n≥0 Rn , với R0 = k, Rn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n của R... ảnh đồng cấu của R môđun tự do Rn Bây giờ, theo Hệ quả 1.2.4 Rn là Noether, suy ra M cũng là R môđun Noether theo Định lý 1.2.1 Sau đây là một kết quả quan trọng của Hilbert về vành Noether 7 Định lý 1.2.5 (Định lý cơ sở Hilbert) Vành đa thức một biến R[x] có hệ số trên vành Noether R là một vành Noether Chứng minh Cho R là vành Noether, để chứng minh vành đa thức một biến R[x] là vành Noether ta sẽ... sau 9 Hệ quả 1.2.6 Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R[x1 , , xn ] cũng là một vành Noether Đặc biệt, vành đa thức k[x1 , , xn ] trên trường k cũng là một vành Noether Hệ quả 1.2.7 Giả sử R là vành Noether và A là một R−đại số hữu hạn sinh Khi đó, A là R môđun Noether 1.3 Môđun Artin Định nghĩa 1.3.1 Một R môđun M được gọi là môđun Artin, nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít... I n+1 và b = β + I m+1 Dễ dàng kiểm tra được rằng lớp ghép αβ + I n+m+1 không phụ thuộc vào cách chọn α, β và ta đặt ab = αβ + I n+m+1 ∈ I n+m /I n+m+1 (iii) Cho M là R môđun Ta có RM (I) = ⊕n≥0 I n M là R(I) môđun phân bậc, gọi là môđun Rees của M đối với I GM (I) = ⊕n≥0 I n M/I n+1 M là GR (I)− môđun phân bậc, gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với I Định lý 2.2.2 R là vành Noether và I là... Định lý 2.3.5 (Định lý Artin - Rees) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R Cho M là R môđun hữu hạn sinh và M là một môđun con của M Khi đó tồn tại một số nguyên dương k, sao cho I n M ∩ M = I n−k (I k M ∩ M ), ∀n ≥ k.(∗) Chứng minh Ta có ⊕n≥0 (I n M ∩ M ) là môđun con của môđun ⊕n≥0 I n M = RM (I), RM (I) là R(I) môđun phân bậc Noether, nên theo Định lý 2.3.4 ⊕n≥0 (I n M ∩ M ) là R(I) môđun. .. R(I) môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ 21 khi lọc (I n M ∩M )n≥0 là I−lọc tốt Từ đó suy ra tồn tại số nguyên dương k sao cho I n M ∩ M = I n−k (I k M ∩ M ), ∀n ≥ k Từ định lý Artin- Rees ta có các hệ quả sau Hệ quả 2.3.6 (Định lý giao) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R và M là R môđun hữu hạn sinh Đặt N = ∩n≥0 I n M Khi đó IN = N Chứng minh Theo định lý Artin- Rees, tồn tại r > 0 và với . nghiên cứu về vành và môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa và tính chất vành môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết và vành Rees; định nghĩa và các tính chất về lọc môđun; Định lý Artin- Rees và các hệ. 10 2 Vành và môđun phân bậc - Định lý Artin- Rees 13 2.1 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Định lý. Matsumura). Với mục đích tìm hiểu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin- Rees và các hệ quả của nó. Tôi đã lựa chọn đề tài " Vành và môđun phân bậc, định lý Artin- Rees& quot; làm luận văn tốt nghiệp