Các định lý phân tích vành và môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐÀO THỊ ANH THƯ CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐÀO THỊ ANH THƯ CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA VÀNH VÀ MƠĐUN Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn ĐÀO THỊ ANH THƯ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nội dung nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ .5 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ 1.2 MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU 23 1.3 CÁC ĐỊNH LÝ ĐẲNG CẤU CỔ ĐIỂN 28 1.4 TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP 31 1.5 MÔĐUN TỰ DO VÀ HỮU HẠN SINH 36 CHƯƠNG CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH 40 2.1 PHÂN TÍCH PIERE HAI PHÍA CỦA MỘT VÀNH 40 2.2 ĐỊNH LÍ WEDDERBURN-ARTIN 44 2.3 DÀN, ĐẠI SỐ BOOLE VÀ VÀNH 49 2.4 VÀNH KHẢ PHÂN HỮU HẠN 65 CHƯƠNG VÀNH ARTIN VÀ NOETHER 77 3.1 MÔĐUN VÀ VÀNH ARTIN, NOETHER 77 3.2 ĐỊNH LÍ JORDAN - H ̈LDER 84 3.3 ĐỊNH LÍ CƠ SỞ HILBERT 88 3.4 CĂN CỦA MỘT MÔĐUN VÀ MỘT VÀNH 89 3.5 CĂN CỦA VÀNH ARTIN 94 3.6 MỘT TIÊU CHUẨN CỦA VÀNH LÀ ARTIN HOẶC NOETHER 97 KẾT LUẬN 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vành đại số kết hợp cấu trúc đại số thú vị Theo nghĩa chặt chẽ, lý thuyết đại số (đặc biệt đại số khơng giao hốn) bắt nguồn từ ví dụ, cụ thể số quaternion tạo William R Hamilton vào năm 1843 Đây ví dụ “hệ thống số” khơng giao hốn Trong suốt 40 năm kế tiếp, nhà toán học giới thiệu ví dụ khác đại số khơng giao hốn để kiểu đại số cho ý đặc biệt Vì vậy, đại số có số chiều thấp, đại số chia đại số giao hoán phân loại đặc trưng Kết đầy đủ lý thuyết cấu trúc đại số kết hợp trường thực phức có T Molien, E Cartan G Frobenius Lý thuyết vành chủ đề quan trọng đại số Về mặt lịch sử, nhiều khám phá lý thuyết vành làm cho đại số trừu tượng đại phát triển Ngày nay, lý thuyết vành mảnh đất màu mỡ lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn, giải tích hàm, lý thuyết Lie, hình học đại số, số học, đại số phổ dụng đại số đồng điều Lý thuyết vành đại bắt đầu J.H.M Wedderburn chứng minh định lý phân loại tiếng đại số nửa đơn hữu hạn chiều trường Hai mươi năm sau đó, E Noether E Artin giới thiệu điều kiện dây chuyền tăng (ACC) điều kiện dây chuyền giảm (DCC) để thay tính hữu hạn chiều Artin chứng minh tương tự Định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát Từ lý thuyết Wedderburn-Artin trở thành tảng cho lý thuyết vành không giao hốn Trong vành, ta cộng, trừ nhân, ta “chia” phần tử cho phần tử khác Theo nghĩa tự nhiên, đối tượng “hoàn hảo” lý thuyết vành khơng giao hốn thể (vành chia), nghĩa vành có đơn vị khác khơng, phần tử khác không khả nghịch Từ thể, ta xây dựng vành ma trận tạo thành tích trực tiếp hữu hạn vành ma trận Theo Định lý phân tích Wedderburn-Artin, vành có theo cách bao gồm tất lớp vành nửa đơn quan trọng Đây định lý phân loại đầy đủ sớm đẹp đại số trừu tượng Có nhiều cách định nghĩa tính nửa đơn Wedderburn quan tâm chủ yếu đến đại số hữu hạn chiều trường, định nghĩa đại số R iđêan lũy linh lớn R, định nghĩa R nửa đơn khơng Vì quan tâm đến vành nói chung, không đại số hữu hạn chiều, theo cách tiếp cận khác Ở đây, vành nửa đơn định nghĩa vành mà tất mơđun nửa đơn, nghĩa tổng trực tiếp môđun đơn Định nghĩa vành nửa đơn theo lý thuyết môđun dễ làm việc mà kéo theo Định lý Wedderburn-Artin cách nhanh chóng tự nhiên Việc xem xét đóng vai trị quan trọng lý thuyết vành, Wedderburn đại số hữu hạn chiều suy rộng đến Jacobson vành Với khái niệm tổng quát này, thấy vành nửa đơn vành Artin với Jacobson khơng Ở đây, Jacobson vành R, ký hiệu rad R định nghĩa giao tất iđêan cực đại R Xuất phát từ mong muốn nghiên cứu mang tính thời lý thuyết vành mơđun ứng dụng nó, định chọn đề tài với tên gọi Các định lý phân tích vành mơđun để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu phân tích vành ứng dụng vào vành Artin Noether, số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu phân tích vành mơđun qua định lý tiếng ứng dụng vào lớp vành Artin Noether, tính chất chúng Nội dung luận văn chia thành chương: - Trong Chương 1, công cụ để nghiên cứu vành giới thiệu, số định nghĩa sở, nhiều tính chất ví dụ minh họa trình bày Một số khái niệm quan trọng đóng vai trị trung tâm lý thuyết vành nêu chương - Chương nhằm trình bày định lý phân tích vành Đặc biệt, nhiều ý cho phân tích Peirce hai phía vành Tiếp đến việc nghiên cứu môđun nửa đơn mà tạo thành lớp quan trọng mơđun đóng vai trị bật lý thuyết mơđun Đối với vành nửa đơn, giới thiệu Định lý Weddeburn-Artin cung cấp phân loại đầy đủ vành Trong chương đưa giới thiệu ngắn gọn lý thuyết dàn đại số Boole Chương giới thiệu vành khả phân hữu hạn tính chất chúng Đối với vành này, định lý phân tích sử dụng lý thuyết tổng quát đại số Boole lý thuyết phần tử lũy đẳng trình bày - Chương dành cho việc nghiên cứu vành môđun Noether Artin; đặc biệt định lý tiếng Jordan-Hölder định lý sở Hilbert Phần quan trọng chương nghiên cứu Jacobson tính chất Chương trình bày chứng minh Bổ đề Nakayama, kết đơn giản với ứng dụng mạnh mẽ Cuối trình bày tiêu chuẩn vành Noether Artin xét vành nửa nguyên sơ, chứng minh định lý tiếng Hopkin Levitzki, mà chứng tỏ vành Artin vành Noether Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn lý thuyết vành môđun Phạm vi nghiên cứu luận văn phân tích vành môđun ứng dụng vào vành Artin Noether qua định lý phân tích tiếng Phương pháp nghiên cứu 4.1 Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu định lý phân tích vành môđun, vấn đề quan trọng lý thuyết vành mơđun, sở phân tích, tổng hợp chứng minh chi tiết kết liên quan 4.2 Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chun gia lý thuyết vành mơđun Đóng góp đề tài 5.1 Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Các định lý tiếng phân tích vành mơđun, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho người bắt đầu nghiên cứu lý thuyết vành môđun 5.2 Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ CHƯƠNG CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH CHƯƠNG VÀNH ARTIN VÀ NOETHER CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Toàn khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2] [3] 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ Định nghĩa 1.1.1 Một vành tập hợp khác rỗng A với hai phép toán ký hiệu cộng nhân thỏa mãn điều kiện sau ∀ , , ∈ , +( + )=( + )+ (1) + (2) = + (Tính giao hốn phép cộng); (3) ∃0 ∈ , + = + (4) ∃ ∈ , + (Tính kết hợp phép cộng); = (Tồn phần tử không); = (Tồn phần tử đối); (5) ( + ) = + (Tính phân phối phải); (6) ( + ) = + (Tính phân phối trái) Chúng ta thường ký hiệu ∈ (4) Phần tử đối thay cho với a,b ∈ Phần tử đối thường ký hiệu – (A, +) nhóm Abel gọi nhóm cộng A Một ví dụ tầm thường vành vành có phần tử Vành gọi vành tầm thường hay vành khơng Ta thường xét vành có nhiều phần tử có phần tử khác phần tử không Các vành gọi vành khác không Vành ( là, ) = Vành = gọi kết hợp phép nhân thỏa mãn tính kết hợp: ( ), ∀ , , ∈ gọi giao hoán phép nhân có tính giao hốn, nghĩa , ∀ , ∈ Phần tử đơn vị vành phép nhân, tức = định nghĩa phần tử trung hòa = , ∀ ∈ ∈ Chú ý vành 87 Ngược lại, cho mơđun có chuỗi hợp thành độ dài Giả sử không Artin Khi có dây chuyền giảm thực mơđun + Rõ ràng, khơng thể bao hàm với phép bao hàm có độ dài chuỗi hợp thành độ dài Điều mâu thuẫn với định lí Jordan – H ̈lder Tương tự, chứng minh mơđun Noether Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 3.2.2 Một mơđun hạn gọi mơđun có độ dài hữu đồng thời Artin Noether Độ dài chuỗi hợp thành ký hiệu ( ) Các nhân tử chuỗi gọi độ dài môđun hợp thành gọi nhân tử đơn Theo định lí Jordan – H ̈lder, định nghĩa độ dài nhân tử đơn không phụ thuộc vào lựa chọn chuỗi hợp thành Hai mệnh đề kéo theo từ định lí Jordan – H ̈lder Mệnh đề 3.2.3 Cho mơđun mơđun Khi ( ) = ( ) + ( / ) Mệnh đề 3.2.4 Cho mơđun + có chuỗi hợp thành cho môđun môđun cho có chuỗi hợp thành Khi ( + ) + ( ∩ ) = ( ) + ( ) Mệnh đề 3.2.5 (Định lí Krull-Schmidt cho mơđun nửa đơn) Nếu = ⊕ …⊕ đơn = ⊕…⊕ hai phân tích mơđun nửa thành tổng trực tiếp mơđun đơn, vị thích hợp, ≃ với = 1, … , Chứng minh Rõ ràng, ⊂ ⊂ môđun ⊂ ⊕ ⊂ …⊂ với nhân tử đơn ⊂ ⊕ …⊕ ,…, mệnh đề từ định lí Jordan – H ̈lder ⊕ = = ⊂ …⊂ ,…, sau hoán ⊕ …⊕ = hai chuỗi hợp thành tương ứng Vì ta có 88 3.3 ĐỊNH LÍ CƠ SỞ HILBERT Cho biến vành Cùng với vành ta xét vành đa thức với hệ số vành Vành ký hiệu [ ] Mục tiêu phần chứng minh định lí sau Định lí 3.3.1 (Định lí sở Hilbert) Cho vành Noether phải Khi vành [ ] vành Noether phải Chứng minh Cho vành vành Noether phải cho iđêan phải tùy ý [ ] Rõ ràng, tập ={ ∈ ∶ + + …+ ∈ , ≠ 0} ∪ {0} tạo thành iđêan phải Theo Mệnh đề 3.1.5, iđêan hữu hạn sinh Vì có tập sinh hữu hạn { , … , } cho =< Ký hiệu ( ) đa thức với hệ số dẫn đầu 1, … , ) ký hiệu : ( )= số lớn tất số ,…, > + ⋯( = Cho ( ) đa thức tùy ý Ta chứng tỏ ( ) biểu diễn dạng: ( )= ( ) ( ) + … + ( ) ( ) + ℎ( ) Trong bậc đa thức ℎ( ) khơng vượt ( ) Cho hệ số dẫn đầu Nếu ≥ Ta có Rõ ràng, , với ( )= ( )− ( ) ∈ bậc ( ) vượt thức =∑ ,…, Hệ số lớn bậc định lí chứng minh ∈ Xét đa thức ( ) ( ) nhỏ hẳn m Nếu bậc đa thức − áp dụng để xây dựng đề cập ta có đa ( ) mà có bậc nhỏ hẳn bậc dạng cần tìm < − Cho ( ) Tiếp tục q trình ta có đa thức iđêan mà bậc chúng không − ( = 1, … , ), tạo thành iđêan vành Ký hiệu 89 ,…, hệ sinh iđêan = 1, … , ; với hệ số dẫn đầu ( ) đa thức bậc ký hiệu = 1, … , Dễ dàng kiểm tra đa thức ℎ( ) ∈ mà bậc chúng khơng q − 1, biễu diễn ( ) Vì hệ sinh iđêan tạo đa thức đa thức ( ), … , ( ) ( ) ( = 1, … , ; = 1, … , ) Định lí chứng minh Hệ 3.3.2 Nếu [ ,…, − vành Noether phải vành đa thức ] Noether phải Chứng minh Chứng minh có từ định lí trước cách qui nạp theo số biến n 3.4 CĂN CỦA MỘT MÔĐUN VÀ MỘT VÀNH Cho -môđun tùy ý Ký hiệu môđun cực đại Qui ước, = nghĩa ta có mơđun cực đại ⊂ cực đại / ⊂ -nguyên (với ∶ ( , ) = Rõ ràng, = môđun Ngược lại, với môđun ∶ → / với = {∩ đến tất môđun đơn} Chú ý Bao hàm ∈ ≃ mơđun đơn Do đó, ta cho định nghĩa Mệnh đề 3.4.1 vành số / -môđun đơn ta xây dựng phép chiếu tương đương với mơđun ( ) → , = Vì vậy, theo định lí đồng cấu, đơn Do khơng có mơđun cực đại, ta định Môđun gọi môđun Với đồng cấu khác không : = giao tất ∶ chạy khắp tất đồng cấu khơng ln ln thực Ví dụ, ký hiệu số nguyên tố), tức là, xem ( ) -mơđun, ( ) = 90 Mệnh đề 3.4.2 Cho : ( )⊂ ∈ Chứng minh Cho ∶ → , với Chứng minh Cho (⊕ : đến môđun đơn Gọi ∶ đến môđun đơn Do Cho ∈ =⊕ ∈ =∑ ∈ ∈ ∈ ( ( )= ) = 0, tức là, ( ∈ , ta kết luận M → U đồng cấu từ môđun → lên Khi đồng cấu thỏa mãn cơng thức ), với ∈ cho ∈ , ∀ ∈ = ( : phép chiếu ( ) Vì ∈ đồng cấu từ ) = ∀ ∈ Vì họ đồng cấu từ đến môđun đơn ( ∈ ) Xét đồng cấu ( )= ∈ Vì ) =⊕ vào ( )=∑ ∈ ∈ → bao hàm tự nhiên ∈ ( ) = Rõ ràng, đến mơđun đơn Mệnh đề 3.4.3 -mơđun Khi Ta cần chứng tỏ đồng cấu ( ) = 0, mong muốn =∑ đồng cấu môđun đơn, đồng cấu môđun từ ( )=∑ → từ , ta có đến định nghĩa ( ) = 0, Nhắc lại iđêan phải (tương ứng trái, hai phía) ℳ vành gọi cực đại khơng có iđêan phải (tương ứng trái, hai phía), khác với ℳ , cho ℳ ⊂ ⊂ Theo Mệnh đề 1.1.3, vành khác khơng có phần tử đơn vị luôn tồn iđêan phải (tương ứng trái) thực cực đại Khái niệm Jacobson đóng vai trò quan trọng lý thuyết vành Định nghĩa 3.4.1 Giao tất iđêan phải cực đại vành gọi Jacobson Ký hiệu = đơn giản là Jacobson vành Ta gọi Jacobson 91 Trong định nghĩa vành, ta sử dụng iđêan phải cực đại Vì thực gọi phải vành tương tự ta đưa khái niệm trái vành May mắn, định nghĩa phải trái trùng Tiếp theo cần chứng tỏ iđêan trái cực đại vành Theo Mệnh đề 3.4.1, vành với trùng với giao tất trùng với giao tất chạy khắp tất đồng cấu từ , -môđun phải đến tất -môđun đơn Mệnh đề 3.4.4 Căn vành Chứng minh Rõ ràng, iđêan hai phía mơđun phải nó) cho cơng thức ∈ Theo Mệnh đề 3.4.2, Mệnh đề 3.4.5 Căn ∈ (1 − cho phần tử − Chứng minh Cho 1− với ∈ , vành ∈ , → , với (là ∈ trùng với tập tất phần tử ∈ ∈ Xét iđêan phải (1 − khả nghịch phải Nếu (1 − ) Nếu ) ≠ ) chứa iđêan phải thực cực đại I Khi ∈ Vì ∈ Bây cho − ⊂ , ta có ∈ Mâu thuẫn khả nghịch phải với Nếu iđêan phải cực đại thực cho 1= ∈ ( )= khả nghịch phải với ) = , phần tử − (1 − ∶ iđêan phải Xét tự đồng cấu + phần tử = − ∉ Do ∉ tồn + = , tức là, không khả nghịch phải Mâu thuẫn Mệnh đề 3.4.6 Căn vành iđêan hai phía lớn (với phép bao hàm) số tất iđêan hai phía cho − khả nghịch hai phía với ∈ Chứng minh Theo mệnh đề trước, chứng tỏ tính khả nghịch − với chứa iđêan Ta ∈ Ta biết − khả nghịch phải, tức là, (1 − ) = Nó kéo theo − − (1 − ) = + khả nghịch phải, tức là, =− ∈ = Nhưng 92 (1 − ) = (1 − ) = , tức là, nghịch trái =1− phần tử − khả Theo tính chất đối xứng Mệnh đề 3.4.6 ta có kết sau: Mệnh đề 3.4.7 Căn vành trùng với giao tất iđêan trái cực đại Mệnh đề sau giúp ta tính vành nhiều trường hợp = Mệnh đề 3.4.8 Cho ∈ Chứng minh Giả sử ∈ − , phần tử Mệnh đề 3.4.5, phần tử − = ( ∈ =1− Khi = ma trận cấp hai: − = ) = ( )= ∈ ( ) Theo ∈ kéo vào bên phải = , tức là, − khả nghịch ∈ phần tử − = Biểu diễn phân tích ) = , với = = khả Đặt = với phân tích = + dạng − − Nhân − vào bên ta có (1 − vào bên phải ma trận phần tử − đó, 0 ) ) = Nhân ) Khi với Piere hai phía cho phần tử − phải ma trận = , tức là, ( − nghịch phải vành Ta chứng tỏ với khả nghịch phải Từ Theo Mệnh đề 3.4.5, Giả sử là khả nghịch phải vành bên trái đẳng thức ta có ( − phải )= , với cho (1 − theo tồn phần tử ( ∈ Khi ) = − Nhân (1 − ta có phần tử đơn vị vành Do khả nghịch Vì vậy, ta có Mệnh đề chứng minh ( ) ⊂ Do Mệnh đề sau thường sử dụng Mệnh đề 3.4.9 Cho Khi ⊂ -môđun phải cho vành 93 ∈ Với (1) = , ta định nghĩa đồng cấu Khi ( ) = 3.4.2 thuộc mơđun ∈ với = Mệnh đề 3.4.10 Cho vành : → công thức theo Mệnh đề , mong muốn ( ) vành tất ma trận vng cấp ( ) = có Khi ( ) Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo cấp = gọi Với đơn vị ma trận vành = Mệnh đề 3.4.8, ta có 0 Tương tự = 0 ( ) Viết + ∈ , suy = Do đó, = + …+ = Giả sử ; Khi theo giả thiết quy nạp ( ) theo ( ) Theo 0 = ( ) Cho = ∈ Khi ∈ Vì ( ) = , = ≥ + …+ ( ), ; ( ) Mệnh đề chứng minh = = = = = Bổ đề Nakayama sau đóng vai trị quan trọng nhiều trường hợp Bổ đề 3.4.11 (Bổ đề Nakayama) Cho = = Khi Chứng minh Cho khác không =∑ (1 − = = Vì )= , với +⋯+ ,…, + …+ ,…, -môđun hữu hạn sinh hệ sinh cực tiểu môđun , ∈ Đặc biệt, ∈ biểu diễn dạng = Vì phần tử − + …+ Kết quả, khả nghịch, ta có mâu thuẫn với tính chất cực tiểu Bổ đề Nakayama thường sử dụng công thức sau: Bổ đề 3.4.12 (Bổ đề Nakayama, phiên 2) Cho môđun hữu hạn sinh + = Khi môđun = Để chứng minh kết cần áp dụng bổ đề Nakayama cho môđun thương / 94 3.5 CĂN CỦA VÀNH ARTIN Khái niệm lần giới thiệu E.Cartan cho đại số không kết hợp hữu hạn chiều sau phát triển T.Molien J.H.M.Wedderburn cho việc nghiên cứu cấu trúc đại số kết hợp hữu hạn chiều trường Vài năm sau E.Artin xét lớp vành mà thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (các vành ngày gọi vành Artin) mở rộng lý thuyết Wedderburn khái niệm của vành I.M.Gel’fand giới thiệu khái niệm vành có chuẩn giao tất iđêan cực đại Cuối cùng, N.Jacobson giới thiệu suy rộng khái niệm vành tùy ý, Jacobson Đối với vành Artin, Jacobson trùng với Wedderburn cổ điển Vì vậy, thật thú vị để nghiên cứu tính chất vành Artin Định nghĩa 3.5.1 Một iđêan gọi lũy linh tồn số tự nhiên cho Lưu ý , ,…, ∈ = = nghĩa … Mệnh đề 3.5.1 (C.Hopkins) Căn Chứng minh Cho = với vành Artin phải vành iđêan phải ( ) = ≠ gọi cho = khả nghịch Vì ⊂ ≠ Vì ∈ cho Rõ ràng, ≠ Rõ ràng, ⊂ = và, ≠ với = ∈ với ∈ , theo Mệnh đề 3.4.6 phần tử = Mâu thuẫn Định nghĩa 3.5.2 Một phần tử nguyên dương = phần tử cực tiểu tập tất Ta có (1 − ) = Vì 1− lũy linh Xét tập tất lũy thừa tự nhiên Trong tập tồn phần tử cực tiểu = Giả sử phần tử gọi lũy linh tồn số = Một iđêan gọi iđêan linh tất phần tử lũy linh 95 Chú ý Tồn iđêan linh mà lũy linh, thấy từ ví dụ Ví dụ 3.5.1 Cho với số biến đếm thức { , ,…, = [ ,…, , ,…, , … ] vành đa thức trường , …và gọi iđêan sinh tập đa , … } Khi vành thương ̅ = / iđêan sinh ảnh (dưới phép chiếu tự nhiên → ̅) đa thức khơng có số hạng hằng, rõ ràng, iđêan linh khơng phải lũy linh Mệnh đề 3.5.2 Căn vành Chứng minh Cho )(1 + + + ⋯+ với ∈ Mệnh đề 3.4.5 ⊂ chứa tất iđêan linh phía phần tử lũy linh = Khi (1 − ) = − phần tử khả nghịch Do ∈ phần tử − khả nghịch theo Hệ 3.5.3 Căn Jacobson vành Artin phải iđêan lũy linh lớn chứa tất iđêan lũy linh phía Định nghĩa 3.5.3 Một vành gọi nửa nguyên thủy Jacobson không Vành số nguyên vành tất ma trận vuông vành chia nửa nguyên thủy Đồng thời, vành số -nguyên nửa nguyên thủy dù cấu trúc đơn giản Z Mệnh đề 3.5.4 Nếu nửa nguyên thủy ( ) là vành , vành thương / Định lí 3.5.5 Cho vành , kết sau tương đương: (a) nửa đơn; (b) Artin phải nửa nguyên thủy Chứng minh (a)⇒(b) Rõ ràng, môđun đơn không Vì theo Mệnh đề 3.4.3 ta có mệnh đề 96 = Khi ∩ (b)⇒(a) Cho = 0, với iđêan phải cực đại vành Bởi vành Artin phải, ta chọn số hữu hạn iđêan phải cực đại , … , phép chiếu tự nhiên vành ( ( ), … , ( )) Rõ ràng nửa đơn ⊕ chạy khắp tất lên / ( = 1, … , ) Đặt đơn cấu môđun phải / Theo Mệnh đề 2.2.4 môđun Định lí 3.5.6 Một vành Artin phải Chứng minh Xét vành thừa thương ⁄ , ⁄ : ⊃ , …, ⊃ = Ký hiệu cho ⋂ ⁄ ( )= vào môđun nửa đơn Noether phải dây chuyền giảm thực lũy ⊃ …⊃ ⊃ = Tất môđun Artin Đồng thời, chúng môđun vành ⁄ nửa đơn theo Định lí 3.5.5 Khi theo Định lí 2.2.5 Mệnh đề 3.1.10 mơđun phân tích thành tổng trực tiếp số hữu hạn môđun bất khả phân Vì vậy, chúng Noether Do đó, mơđun ⁄ 3.1.3, môđun = ∕ Noether Cho nên, theo Mệnh đề Noether Tiếp tục trình theo cách tương tự ta có tất mơđun , ,… , Noether, mong muốn Chú ý Lưu ý mệnh đề đảo khơng với ví dụ vành số nguyên Nhắc lại vành gọi đơn khơng có iđêan thực hai phía Mệnh đề 3.5.7 Một vành Artin phải đơn đẳng cấu với vành ma trận vuông vành chia ( ), với là Artin phải đơn Vì vành Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.3 suy vành chia đơn Ngược lại, cho vành iđêan hai phía đơn, = 0, tức ≃ nửa nguyên thủy Theo Định lí 3.5.5 nửa đơn Vì vậy, theo định lí Wedderburn-Artin, đẳng 97 cấu với tổng trực tiếp số hữu hạn vành ma trận đầy đủ vành chia Rõ ràng, hạng tử trực tiếp iđêan hai phía Vì vậy, ≃ ( ) với vành chia Lưu ý vành Artin phải lũy linh, ta có bổ đề tương tự bổ đề Nakayama môđun vành Cụ thể, phát biểu sau mà ta gọi bổ đề Nakayama vành Artin Bổ đề 3.5.8 (Bổ đề Nakayama vành Artin) Cho Artin phải, −môđun phải + = vành = Khi 3.6 MỘT TIÊU CHUẨN CỦA VÀNH LÀ ARTIN HOẶC NOETHER Trong phần ta đưa tiêu chuẩn hữu ích giúp ta định đâu vành Artin (hay Noether) Định lí 3.6.1 Cho =1− , Đặt vành tùy ý với lũy đẳng = , = , = phân tích Piere hai phía tương ứng vành Khi vành (Artin) phải vành -môđun hữu hạn sinh Chứng minh Cho ⊆ ⊆ Cho ( -môđun hữu hạn sinh ⊆ … iđêan Vì vành Noether phải ⊆ Noether (Artin) phải, ⊆ … iđêan phải vành dây chuyền ổn định, tức vậy, vành Noether ) Rõ ràng, ̅là iđêan phải vành Xét dây chuyền tăng chuyền liên kết ∈ vành Noether phải iđêan phải Đặt ̅= ( , = = = …, − mơđun mơđun , ) iđêan phải vành Giả sử -môđun dây Noether phải, = = … Vì Rõ ràng, = khơng phải hữu hạn sinh Khi xây dựng dây chuyền tăng thực 98 môđun : iđêan phải việc ⊆ ⊆ ⊆ … suy tồn dây chuyền tăng thực ⊆ … vành A Nhưng điều mâu thuẫn với Noether phải Tương tự chứng minh vành Noether phải Y − và môđun phải hữu hạn sinh Ngược lại, giả sử vành Noether phải môđun hữu hạn sinh Cho ̅là iđêan phải vành nằm Xét phân tích Piere iđêan phải ̅= ̅ ⊕ ̅ Rõ ràng, ̅ = iđêan phải ̅ = vành -môđun Xét dây chuyền tăng iđêan phải vành : tăng ⊆ ⊆ Noether nằm ⊆ … Sử dụng dây chuyền ta xây dựng hai dây chuyền ⊆ … ⊆ ⊆ … Chúng phải ổn định, suy iđêan phải Tương tự, ta chứng minh iđêan Noether Vì vậy, vành Noether phải tổng trực tiếp mơđun Noether Vì vành Artin phải vành Noether phải, theo Mệnh đề 3.1.10, môđun hữu hạn sinh vành đồng thời Artin Noether Dùng điều chứng minh tương tự cho định lí trường hợp Artin Định lí chứng minh Hệ 3.6.2 Cho ⊂ trường cho = = ∞ Khi vành Noether phải Artin phải, Noether trái hay Artin trái Ví dụ 3.6.1 Cho Vì vành số ngun ( , 1,1) = vành Noether ( , 1,1) vành Noether phải trường số hữu tỉ Xét vành -môđun hữu hạn sinh, 99 Tuy nhiên, ( , 1,1) vành Noether trái −mơđun vơ hạn sinh Vì khơng phải vành Artin, vành Artin phải hay Artin trái ( , 1,1) Ví dụ 3.6.2 Xét vành sau: ( , 1,1) = Theo Hệ 3.6.2 vành Artin phải (và Noether phải) khơng phải Artin trái 100 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu định lý phân tích vành mơđun, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: · Tổng quan hệ thống cách đầy đủ khái niệm, kết ví dụ kiến thức sở vành môđun đồng cấu, định lý đẳng cấu cổ điển, tổng tích trực tiếp, mơđun tự mơđun hữu hạn sinh · Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm kết phân tích vành Cụ thể phân tích Piere hai phía vành, định lý Wedderburn-Artin, dàn, đại số Boole vành Boole, vành khả phân hữu hạn · Tìm hiểu nghiên cứu chi tiết vành Artin vành Noether Cụ thể vành, môđun Artin Noether, định lý Jordan-Hưlder, định lý sở Hilbert, mơđun vành, vành Artin Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu định lý phân tích vành môđun Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu vành Goldie vành nửa hồn chỉnh Đó hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 101 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết vành môđun, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Lê Văn Thuyết (2006), Cơ sở lý thuyết vành môđun, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TIẾNG ANH [3] M Hazewinkel, N Gubareni, V.V Kirichenko (2005), Algebras, Rings and Modules, Volume 1, Kluwer Academic Publishers [4] T.Y Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, SpringerVerlag, New York [5] T.Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, New York ... tầm thường vành vành có phần tử Vành gọi vành tầm thường hay vành không Ta thường xét vành có nhiều phần tử có phần tử khác phần tử không Các vành gọi vành khác không Vành ( là, ) = Vành = gọi... Boole hữu hạn Phần 2.4 giới thiệu lớp vành mà ta gọi vành khả phân hữu hạn (hoặc vành FD) vành đơn vị khả phân hữu hạn (hay vành FDI) chứng minh định lý phân tích vành Cuối sử dụng kết đại số Boole... thường Phân tích gọi phân tích Piere hai phía vành, phân tích Piere vành A Lưu ý rằng, theo Định lý 2.1.2, phần tử nhiên với đồng cấu từ Mệnh đề 2.1.3 Cho đến = đồng cách tự ⊕ …⊕ phân tích A- môđun