Chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địa phương hóa của môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CAO HUY BẰNG CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN -2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CAO HUY BẰNG CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN NGHỆ AN-2013 MỤC L ỤC Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa………………………………………… 1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic ………………… 1.3 Phổ, giá, độ cao, chiều Krull ……………………………………… 1.4 Iđêan nguyên tố liên kết …………………………………… 10 1.5 Iđêan nguyên tố gắn kết, môđun biểu diễn …………………… 11 1.6 Chiều Noether môđun Artin …………………………… …… 12 1.7 Hàm tử xoắn ………………………………………… 14 Chương Chiều độ rộng môđun compăc tuyến tính rời rạc đối địa phương hóa môđun Artin 16 2.1 Môđun compăc tuyến tính rời rạc .…… 17 2.2 Đối địa phương hóa môđun Artin … 23 2.3 Các ví dụ …………………………… 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Năm 1942, S Lefschetz đưa khái niệm không gian vectơ compă c tuyến tính nhằm nghiên cứu không gian ve ctơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky mở rộng khái niệm thành khái niệm môđun compăc tuyến tính Từ đến nay, lớp môđun compăc tuyến tính nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu trở thành hướng nghiên cứu quan trọng đại số, tôpô mà liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Chú ý rằng, lớp môđun c ompăc tuyến tính rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán Thậm chí lớp môđun môđun compăc tuyến tính mô đun compăc tuyến tính rời rạc chứa thực môđun Artin; chứa môđun Noether vành địa phương đầy đủ Trong [9], Lê Thanh Nhàn nghiên cứu chiều độ rộng hai lớp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính rời rạc đối địa phương hóa môđun Artin Trong báo này, phần đầu tác giả nghiên cứu chiều độ rộng môđun compă c tuyến tính rời rạc; phần nghiên cứu số kết chiều, độ rộng đối địa phương hóa môđun Artin từ đưa số áp dụng nghiên cứu cấu trúc môđun Artin; phần cuối tác giả báo đưa số ví dụ để làm sáng tỏ kết để giả thiết định lý bỏ Nội dung c luận văn trình bày lại cách chi tiết kết nói báo [9 ] Lê Thanh Nhàn Luận văn hoàn thành vào tháng 07 năm 2013 trường Đại học Sài Gòn hướng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người hướng dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tôi xin cám ơn quý thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học-Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn, đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Nghệ An, tháng 07 năm 2013 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn kí hiệu R vành Noether giao hoán, M R -môđun A R -môđun Artin Cho N môđun   M I iđêan R, ký hiệu N:M I = x  M : xI  N môđun M Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài ra, trích dẫn số kết có dạng tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Địa phương hóa 1.1.1 Vành địa phương hóa Cho vành R S tập R Tập hợp S gọi tập nhân đóng vành R 1 S a, b  S ab  S Giả sử S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề-các R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r , s    r , , s ,   t  S : t  rs ,  sr ,   Khi  quan hệ tương đương R  S Với (r,s)  R  S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r,s) S-1R tập thương R  S theo quan hệ tương đương : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S-1R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành S-1R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, I iđêan R Ta có S-1I = S-1R  I  S   Do S-1I iđêan thực S-1R I  S   Chú ý vành S-1R ký hiệu RS Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, 1 ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S p  a / s a  p, s  R \ p nên gọi địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.2 Môđun địa phương hóa Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S-1R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi:  m, s    m, , s ,   t  S : t  ms ,  sm,   Khi  quan hệ tương đương M  S Do M  S chia thành lớp t ương đương, ta ký hiệu tập thương M  S theo quan hệ tương đương  S-1M ký hiệu lớp t ương đương chứa (m,s) m / s Như S-1 M = { m / s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1 M r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1 R , m / s  S 1 M Khi S 1 M có cấu trúc mộ t S 1 R -môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S 1 M xem R-môđun với phép nhân vô hướng sau: r x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1 M Chú ý môđun S 1 M ký hiệu MS Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi môđun S 1 M gọi môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố p , ký hiệu Mp Như Mp xem Rp -môđun R-môđun Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m  vành địa phương Ta xét R vành tôpô với c sở lân cận phần tử i đêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý c sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  m t với t = 0, 1,2  định nghĩa Khi vành đầy đủ theo tôpô m  adic R ký hiệu R cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn    sn  dãy  rn  sn  dãy không Khi quan hệ  tập  tập lớp tương dãy Cauchy quan hệ t ương đương Ta ký hiệu R đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp t ương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn  sn    rn,  sn,   rn   sn  , tức  rn    rn,  ,  sn    sn  , ,  trang bị hai phép toán  rn sn    rn sn  Vì R  lập thành vành hai + đồng thời với hai phép to án này, R Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cau chy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành  R  R r   r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t  R  -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho M  , x   x , x ,   M  Ta có ax   a x , a x ,   M  a   a1 , a2 ,   R 1 2 1.3 Phổ, giá, độ cao, chiều Krull 1.3.1 Phổ Tập tất iđêan nguyên tố vành R ký hiệu Spec(R) gọi phổ vành Với iđêan I R, ký hiệu   V (I )  p  Spec(R) p  I   1.3.2 Giá Tập Supp R ( M )  p  SpecR | M p  Spec(R) gọi giá môđun M Với x  M, kí hiệu Ann R ( x)  a  R | ax  0 Ann R ( M )  a  R | aM  0  a  R | ax  0, x  M  Ta có Ann R ( x) Ann R ( M ) (hoặc viết gọn Ann( x) Ann( M ) ) iđêan vành R, Ann R ( M ) gọi linh hóa tử môđun M Hơn nữa, M R-môđun hữu hạn sinh Supp R ( M )  V(Ann R M ) 1.3.3 Độ cao Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên t ố R: p0  p1  p2   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  SpecR Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , kí hiệu ht(p) Nghĩa là, ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R ta định nghĩa ht( I )  inf{ht( p) | p  SpecR, p  I } 1.3.4 Chiều Krull Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Ta có dim R  sup ht( p) | p  SpecR Cho M R-môđun Khi dim( R / Ann R M ) gọi chiều Krull môđun M, kí hiệu dim R M (hoặc dim M không cần nhấn mạnh đến vành R) Như vậy, dim R vô hạn ht(p) vô hạn  dim M  dim R Chú ý dim M  dim M 1.4 Iđêan nguyên tố liên kết Cho M R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M, x ≠ cho p  (0 :R x)  Ann R ( x) Tập iđêan nguyên tố liên kết c M kí hiệu AssR (M) (hoặc Ass(M)) Như Ass(M) = { p  Spec(R) | tồn x  M, x  cho p = Ann(x)} Cho R vành Noether M R-môđun Khi đó, AssM  M  Hơn nữa, M R-môđun Noether tập AssM tập hữu hạn Chú ý AssM  SuppM Nếu p  SuppM p tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p  AssM 10 môđun đơn M Khi độ dài hai M - đối dãy tối đại a hữu hạn và (i) Nếu SocM  magM  WidthM  (ii) Trường hợp ngược lại ta có Width a M  inf{n  : TornR ( M ; R / a )  0} Chứng minh (i) Cho Soc M  Từ [11] ta suy magM  (0 :M xR )  với x  R thoả mãn xM  M Vì Width M  (ii) Dễ thấy SocM  (0 :M m ) Vì (0 :M m )  Do khẳng định (ii) hệ trực tiếp Định lý 2.1.10 Chú ý điều kiện (0 :M a)  Hệ 2.1.11, (ii) cần thiết (xem Ví dụ 2.3.1) 2.2 Đối địa phương hoá môđun Artin Khái niệm đối địa phương hóa L Melkersson P Schenzel [8] đưa năm 1995 2.2.1 Định nghĩa (i) Đối địa phương hóa R – môđun M tương ứng với tập đóng nhân S R RS - môđun Hom R ( RS ; M ) (ii) Tập Cos M  {p  SpecR | Hom R ( Rp ; M )  0} gọi đối giá M Để thuận tiện, ký hiệu S M thay cho môđun đối địa phương hoá Hom R ( RS ; M ) R-môđun M tương ứng với tập đóng nhân S Nếu S  R \ p , p iđêan nguyên tố R, ta kí hiệu p M cho môđun đối địa phương hoá Hom R ( Rp ; M ) 2.2.2 Bổ đề Các mệnh đề sau đúng: 23 (i) Cos M tập hợp tất iđêan nguyên tố chứa Ann M (ii) Với p  Cos M , đối địa phương hóa p M biểu diễn Att Rp ( p M )  {qRp : q  p, q  Att M } (iii) Giả sử  M '  M  M ' '  dãy khớp môđun Artin Khi S tập nhân đóng R dãy sau khớp  S M '  S M  S M ''  Chú ý đối địa phương hoá R-môđun Artin A tương ứng với tập đóng nhân S R thường không Rs-môđun Artin Thậm chí không Rs-môđun có chiều Go ldie hữu hạn vành R địa phương đầy đủ (một môđun gọi có chiều Goldie hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun con) Tuy vậy, kết Ooishi [10] độ rộng cho môđun Artin cho đối địa phương hoá 2.2.3 Định lý Cho p iđêan nguyên tố Cos A a  p iđêan R Nếu (0 :p A aRp )  độ dài p A - dãy đối quy aRp hữu hạn, hai p A - dãy đối quy tối đại aRp có chung độ dài Width aRp ( p A)  inf{n  : Torn p ( p A; Rp / aRp )  0} R Chứng minh Giả sử x1 , , xt p A dãy đối quy tuỳ ý aRp Dễ dàng kiểm tra (0 :p A x1Rp )  p((0 :A x1R )) Do môđun (0 :p A x1Rp ) p A biểu diễu Vì quy nạp theo t t  dim Rp ( p A) Vậy Width aRp ( p A)  dim Rp ( p A)   Giả sử x1 , , xn y1 , , ym , hai p A -dãy đối quy tối đại aRp Giả sử n > m Khi theo Bổ đề 2.1.9 ta có 24 Torm p ( p A; Rp / aRp )   (0 :p A ( y1 , , ym ) Rp )  Rp Rp / aRp R Vì (0 :p A ( y1 , , ym ) Rp )  aRp (0 : p A ( y1 , , ym ) Rp ) Vì (0 :p A ( y1 , , ym ) Rp ) biểu diễn nên tồn ym1  aRp cho (0 :p A ( y1 , , ym ) Rp )  ym1 (0 : p A ( y1 , , ym ) Rp ) Lại (0 :p A aRp )  nên y 1,…, y m+1 p A -dãy đối quy aRp Điều mâu thuẫn với tính tối đại p A -dãy đối quy y 1,…, y m Phần lại định lý dễ dàng suy từ Bổ đề 2.1.9 Chú ý R -môđun hữu hạn sinh M , p iđêan nguyên tố R chứa AnnR M p  SuppR M M p  Theo Bổ đề Nakayama ta suy M / pM   p  M p / pM p     Do p  Supp M / pM , nghĩa p  AnnR M / pM Vì ta có   AnnR M / pM  p, với iđêan nguyên tố chứa AnnR M Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu có tính chất tương tự cho môđun Artin vành giao hoán hay không, nghĩa ký hiệu   V AnnR A tập iđêan nguyên tố R chứa AnnR A liệu có     đẳng thức AnnR :A p  p, p  V AnnR A hay không Câu trả lời cho   câu hỏi nhìn chung không với p  Var AnnR A , lớp môđun thỏa mãn tính chất gọi tính chất (*) hay tính chất linh hóa 25 tử Bổ đề sau cho ta tính chất linh hóa tử iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin   2.2.4 Bổ đề Cho p  AttR A Khi AnnR :A p  p Chứng minh Vì p  AttR A nên tồn ˆp  AttRˆ A cho ˆp  R  p Hơn   nữa, từ ˆp  Var AnnRˆ A , ta suy ˆp  AnnRˆ A Mà ta lại có   AnnRˆ A  AnnRˆ A  suy        ˆp AnnRˆ D A / ˆpD A Ta có  AnnRˆ :A ˆp  ˆp Do     p  AnnR :A p  AnnRˆ :A ˆp  R  ˆp  R  p   Vì vậy, Ann :A p  p Chú ý tồn môđun Artin vành địa phương không thoả mãn điều kiện (*) Tuy nhiên lớp môđun Artin thoả mãn điều kiện (*) phổ biến Ngoài ra, đối địa phươ ng hoá môđun Artin thoả m ãn điều kiện (*) “xấu” theo nghĩa thường không môđun Artin chí thường có vô hạn iđêan nguyên tố liên kết, có c hiều Goldie vô hạn (xem Ví dụ 2.3.2) 2.2.5 Hệ Cho (R, m) vành địa phương A R-môđun Artin thỏa mãn điều kiện (*) Cho p iđêan nguyên tố Cos A a iđêan R chứa p Khi độ dài p A -dãy đối quy aRp hữu hạn, hai p A -dãy đối quy tối đại aRp có chung độ dài Width aRp ( p A)  inf{n  : Torn p ( p A; Rp / aRp )  0} R 26 Chứng minh Theo Định lý 2.2.3, cần chứng tỏ (0 :p A aRp )  đủ Vì A thoả mãn điều kiện (*) nên Ann(0 :A a )  Ann(0 :A p)  p Vì ta có p  Cos (0 :A a ) Do p ((0 :A a ))  Từ ta suy (0 :p A aRp )  Chú ý Điều kiện (*) Hệ 2.2.5 cần thiết (xem Ví dụ 2.3.3, (i)) Cho (R, m) vành địa phương Roberts N  dim A  inf{t : x1 , , xt  m : (0 :A ( x1 , , xt ) R)  } Theo [5], N-dim A = dim A A thoả mãn điều kiện (*) Vì định lý sau [9] mở rộng kết Roberts cho môđun đối địa phương hoá 2.2.6 Định lý Cho (R, m) vành địa phương A R - môđun Artin thoả mãn điều kiện (*) Cho p iđêan nguyên tố Cos A Khi ta có dim Rp ( p A)  inf{t : x1 , , xt  pRp : dim Rp (0 : p A ( x1, , xt ) Rp )  0} Chứng minh Giả sử qRp iđêan nguyên tố Rp chứa Ann Rp( p A ) Khi q  Cos R ( p A) q  p Vì A thoả mãn điều k iện (*) nên ta phải có Ann R (0 :A q)  q Do q  Att R (0 :A q) Vì theo [4] ta có qRp  Att Rp (0 :p A qRp ) Từ ta suy Ann R (0 :p A qRp )  qRp Vì ta có Rad(Ann Rp (0 :p A xRp ))  Rad(xRp  Ann( p A)) với x  p Giả sử dim Rp ( p A)  d Ta chứng minh định lý quy nạp theo d Trường hợp d  hiển nhiên Cho d  Vì Att Rp ( p A) tập hữu hạn nên có hữu hạn p1Rp , , pk Rp  Att Rp ( p A) cho d  dim Rp / pi Rp với i = 1, 2, , k Vì d > nên tồn 27 x   pi 1i  k dim Rp (0 :p A xR p )  d  Theo giả thiết quy nạp, tồn x2 , , xd  p cho dim Rp (0 :p A ( x, x1 , , xd ) Rp )  Ngược lại, giả sử dim Rp (0 :p A ( x, x1 , , xt ) Rp )  với x1 , , xt  pRp Khi d  t Rp vành địa phương Định lý chứng minh Chú ý Định lý 2.2.6 không A không thoả mãn điều kiện (*) (xem Ví dụ 2.3.3, (ii)) Vì p A biể u diễn nên mag Rp( p A ) dimRp( p A ) với iđêan nguyên tố p R Tuy nhiên N-dimRp( p A ) dimRp( p A ) lại không Thêm nữa, từ tính chất dimRp( p A ) = suy  Rp ( p A)   (xem Ví dụ 2.3.4) Vì thế, mệnh đề cho ta biết môđun biểu diễn có độ dài hữu hạn 2.2.7 Mệnh đề Cho R vành Noether M R-môđun biễu diễn Khi có điều kiện sau tương đương (i) ( M )   ; (ii) N  dim M  ; (iii) dim M  M có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh (i) =>(ii) hiển nhiên (ii) => (iii) Giả sử N  dim M  Khi M môđun Noether Do mag M  Vì M biểu diễn nên dim M  mag M  (iii)=>(i) Vì dim M  nên Att M  {m1 , , m r } M  M   M r biểu diễn thứ cấp M, Mi mi - thứ cấp với  i  r Vì R vành Noether nên với i tồn số nguyên dương ni cho m ini M i  28 Mặt khác, dễ dàng kiể m tra m it M i  m it M i mi - thứ cấp với số nguyên t Vì , từ dãy khớp  m it 1M i  m it M i  m it M i / m it 1M i  với ý m it M i m it 1M i môđun biểu diễn có chiều Goldie hữu hạn ta suy m it M i / m it 1M i có chiều Goldie hữu hạn Vì m it M i / m it 1M i R/mi - không gian véctơ có chiều hữu hạn Do từ dãy  m ini M i  m ini 1M i   M i ta phải có  (Mi) <  với i = 1,…, r Vậy  (M) <  Hệ sau cho ta biết mối quan hệ chiều độ rộng đối địa phương hoá Kết tương tự môđun Noether 2.2.8 Hệ Cho p iđêan nguyên tố Cos A Khi ta có: (i) Width( p A)  dim( p A); (ii) dim( p A)  dim R / p  dim A Chứng minh (i) Hiển nhiên (ii) suy từ [4] Một môđun Artin A vành địa phương ( R, m) gọi đối Cohen Macaulay N-dim A = Width A Một môđun Artin A vành không thiết địa phương R gọi đối Cohen-Macaulay Am Rm-môđun đối Cohen-Macaulay với iđêan cực đại m Từ hệ ta có kết sau 2.2.9 Hệ Cho (R, m) vành địa phương A R-môđun Artin thoả mãn điều kiện (*) Khi ta có: 29 (i) Width p ( A)  Width( p A) (ii) Nếu A môđun đối Cohen-Macaulay tính chất sau (a) Width p ( A)  dim( p A) (b) dim( p A)  dim R / p  dim A Chứng minh (i) Giả sử x1 , , xt A-dãy đối quy tuỳ ý p Do A thoả mãn điều kiện (*) nên ta có Ann R (0 :A p)  p Từ suy Ann R (0 :A ( x1 , , xt ) R )  Ann R (0 :A p)  p Do đó, (0 :p A ( x1 , , xt ) Rp )  Vì thế, x1 , , xt  pRp p A - dãy đối quy Vậy Width p ( A)  Width( p A) (ii) suy từ (i) Hệ 2.2.8, (ii) 2.2.10 Hệ Cho (R, m) vành địa phương A R - môđun Artin thỏa mãn điều kiện (*) Khi A môđun đối Cohen -Macaulay dim(p A) = Width(p A) với p  Cos A Chứng minh Là hệ tức khắc Hệ 2.2.9 Chú ý Điều kiện (*) Hệ 2.2.10 cần thiết (xem Ví dụ 2.3.3, (iii)) Các ví dụ Trong mục trình bày ví dụ [9] nhằm minh họa cho giả thiết kết Mục 2.1 Mục 2.2 cần thiết bỏ Ví dụ sau cho thấy điều kiện (0 :M a)  Hệ 2.1.11, (ii) cần thiết 2.3.1 Ví dụ Tồn môđun M vành địa phương ( R, m) cho M compăc tuyến tính rời rạc 30 Width M  inf{t  : TortR ( M ; R / m )  0} Chứng minh Cho N môđun compăc tuyến tính rời rạc vành địa phương (R, m) cho SocN  mag N  Khi theo [11,1.4] tồn môđun tối tiểu M khác không N cho M môđun tối đại Vì N môđun compắc tuyến tính rời rạc nên M môđun compắc tuyến tính rời rạc Mặt khác, theo [11, tr 126] ta có mag M = 1, soc(M) = Coass M = Ass M Vì m  Cos M Tồn x  m cho xM  M Vì (0 :M xR)  theo [11,1.6] Vì vậy, phép nhân x M đẳng cấu Do x  m nên với i  ta có TortR ( M ; R / m ) = x TortR ( M ; R / m ) = Vậy inf{t  : TortR ( M ; R / m )  0}   Width M = 2.3.2 Ví dụ Tồn môđun đối địa phương hóa p A môđun Artin A vành địa phương (R, m) cho A thỏa mãn điều kiện (*), Ass Rp ( p A) tập hợp vô hạn Chứng minh Cho (R, m) vành địa phương có dim R> p  m iđêan nguyên tố R cho ht(p)>1 Cho A R-môđun Artin cho A chứa môđun đẳng cấu với bao nội xạ R/m Khi A thỏa mãn điều kiện (*) Từ [8, 4.1] ta có Ass( p A)  Spec( Rp ) Vì dim Rp ( Rp )  nên suy Spec( Rp ) tập hợp vô hạn Vì Ass( p A) tập hợp vô hạn Đặc biệt, A Rp -môđun có chiều Goldie vô hạn Rp - p môđun Artin 31 Ví dụ sau cho thấy điều kiện (*) Hệ 2.2.5, Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.10 quan trọng khôn g thể bỏ 2.3.3 Ví dụ Tồn môđun đối Cohen-Macaulay A vành địa phương (R, m) không thỏa mãn điều kiện (*) có tính chất sau (i) Tồn iđêan nguyên tố p Cos A cho R Width Rp ( p A )  inf{t : Tort p (Rp/pRp; p A )  0} (ii) Tồn iđêan nguyên tố p  Cos A cho dimRp( p A ) = không tồn x  pRp để dim Rp (0 :p A xRp )  (iii) Tồn iđêan nguyên tố p  Cos A cho WidthRp( p A ) = N  dim Rp ( p A)  dim Rp ( p A)  Chứng minh Lấy (R, m) miền nguyên địa phương chiều đư ợc xây dựng  có iđêan nguyên tố liên kết D Ferrand M Raynaud cho R chiều Kí hiệu A  H m1 (R) môđun đối đồng điều địa phương thứ R với giá iđêan cực đại m Khi A môđun Artin Theo [5; 4.1 4.4] ta có N-dim A = 1, dim A = A không thỏa mãn điều kiện (*) Cho  x  m Dễ kiểm tra thấy A 0-thứ cấp Do x A-đối quy Vì Width A = Suy A mô đun đối Cohen -Macaulay (i) Gọi p iđêan nguyên tố R cho p  p  m Lấy  x  p Vì (0 :A xR) có độ dài hữu hạn nên Cos(0 :A xR)  {m} Vì ta có (0 :p A xRp )  p (0 :A xR)  Do Width R ( p A)  Vì x phần tử A- đối p 32 quy nên x p A  p A Do đó, áp dụng tính chất khớp đối địa phương hoá môđun Artin ta có x( p A)  p A Vì (0 : A xRp )  x  p nên p Tort p ( Rp / pRp ; p A)  xTort p ( Rp / pRp ; p A)  R R với t Vì inf{t : Tort p ( Rp / pRp ; p A)  0}   R (ii) Kí hiệu p iđêan nguyên tố (i) Khi độ cao p Vì  Att R A nên theo [4] ta có  Att Rp ( p A) Vì ( p A) Rp - môđun biểu diễn nên Att Rp ( p A) giao tất iđêan nguyên tố Att Rp ( p A) Vì Att Rp ( p A)  Do dim Rp ( p A)  Lấy x khác phần tử tuỳ ý p Khi (0 :p A xRp )  Vì không tồn phần tử x pRp để dim Rp (0 :p A xRp )  (iii) Giả sử p iđêan nguyên tố (i) Khi Width Rp ( p A)  dim Rp ( p A)  theo (i) (ii) Thêm nữa, N  dim Rp ( p A)  giả sử ngược lại ta phải có ( p A) Rp - môđun Noether khác Lấy x   p Khi x( p A)  ( p A) Vì ( p A) môđun Noether theo Bổ đề Nakayama Mâu thuẫn 2.3.4 Ví dụ Tồn môđun Artin A vành địa phương R mà có môđun đối địa phương hoá p A với tính chất N  dim Rp ( p A)  0,dim Rp ( p A)   Rp ( p A)   Chứng minh Kí hiệu ( R, m ) miền địa phương Ví dụ 2.3.3 Gọi A bao nội xạ R / m Khi A R – môđun Artin Cho p iđêan (0) Khi Rp  K trường thương R p A không gian véc tơ 33 trường K Theo [8, trang 127], K - không gian véc tơ p A có chiều vô hạn Vì p A không Noether dim K ( p A)   Rp ( p A)   34 N  dim K ( p A)  Rõ ràng KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [9] Lê Thanh Nhàn Cụ thể hoàn thành việc sau Trình bày chứng minh số tính chất chiều độ rộng môđun compắc tuyến tính rời rạc (Mục 2.1) Trình bày chứng minh số kết chiều độ rộng đối địa phương hóa môđun Artin Những kết mở rộng kết Ooishi [10] (Mục 2.2) Trình bày số ví dụ để chứng tỏ giả thiết định lý hai mục bỏ (Mục 2.3) 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison – Wesley, Reading, Mass [4] N T Cuong and L T Nhan (2001), On representable linearly compact modules, Proc A M S, 130 (7), 1927-1936 [5] N T Cuong and L T Nhan (2002), On the Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J of Math 30 (2), 121-130 [6] D Kirby (1990), Dimension and length of Artinian modules , Quart J Math Oxford, 41, 419-429 [7] H Matsumura (1986), Theory of commutative rings, Cambridge university press [8] L Melkersson and P Schenzel (1995), The co-localization of an Artinian module, Proc Edinburgh Math Soc 38, 121-131 [9] L T Nhan (2001), Dimension and width of linearly compact modules and the co-localization of Artin modules, Vietnam J of Math 29 (2) 165177 36 [10] A Ooishi (1976), Matlis duality and the width of a module, Hiroshima Math J 6, 573-587 [11] H Zoschinger (1983), Linear-Compakte Modulenuber Noetherschen Ringen, Arch Math 41, 121-130 37 [...]... compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ Khái niệm môđun đối địa phương hoá được giới thiệu bởi L Melkersson và P Schenzel [8] Trong [9], Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu về chiều và độ rộng của hai lớp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địa phương hóa của. .. lại chi tiết các kết quả trong bài báo [9] của Lê Thanh Nhàn Cụ thể là chúng tôi đã hoàn thành những việc sau đây 1 Trình bày chứng minh một số tính chất về chiều và độ rộng của các môđun compắc tuyến tính rời rạc (Mục 2.1) 2 Trình bày chứng minh một số kết quả về chiều và độ rộng của đối địa phương hóa của môđun Artin Những kết quả này là mở rộng các kết quả của Ooishi [10] (Mục 2.2) 3 Trình bày một... môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địa phương hóa của môđun Artin Trong bài báo này, phần đầu tác giả nghiên cứu về chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính rời rạc; phần tiếp theo nghiên cứu một số kết quả về chiều, độ rộng của đối địa phương hóa của môđun Artin; phần cuối cùng tác giả bài báo đã đưa ra một số ví dụ để l àm sáng tỏ kết quả và cũng để chỉ ra rằng những giả thiết trong những định... quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Tor với hàm tử địa phương hóa 1.7.4 Mệnh đề Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu   S 1 TornR M , N   Đặc biệt, TornR M , N  p    Tor M , N  , S 1R n   S S R  Torn p M p, N p ,với mọi iđêan nguyên tố p của R 15 CHƯƠNG 2 CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ARTIN Năm 1942, S... rằng đối địa phương hoá của R -môđun Artin A tương ứng với tập đóng nhân S trong R thường không là Rs -môđun Artin Thậm chí nó có thể không là Rs -môđun có chiều Go ldie hữu hạn ngay cả khi vành R là địa phương đầy đủ (một môđun được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con) Tuy vậy, kết quả của Ooishi [10] về độ rộng cho các môđun Artin vẫn còn đúng cho đối. .. dư của nó có nghiệm Định nghĩa trên cho phép chúng ta có thể quên đi cấu trúc tôpô của những môđun này Chú ý rằng lớp các môđun co mpắc tuyến tính rời rạc chứa thực sự tất cả các môđun Artin Kết quả sau của H Zos chinger [11] cho thấy cấu trúc của môđun compắc tuyến tính rời rạc 17 2.1.3 Bổ đề Giả sử M là compắc t uyến tính rời rạc Khi đó: (i) Tồn tại môđun con Noether B của M sao cho M/B là Artin. .. này, độ dài của A là hữu hạn và vành R / Ann A là Artin (d) N  dim A  dim A Chú ý rằng tồn tại môđun Artin A trên vành địa phương Noether R mà N  dim M  dim M Hơn nữa, N -dimM luôn luôn hữu hạn, nhưng dimM có thể là vô hạn khi R là không địa phương Mặc dù lớp mô đun compăc tuyến tính rời rạc chứa thực sự tất cả các môđun Artin, nhưng kết quả sau đây của [9] cho thấy mối quan hệ giữa độ lớn, chiều. .. là R -môđun Artin và a là một iđêan của R sao cho (0 :A a )  0 thì độ dài của mỗi A -dãy đối chính quy trong a là hữu hạn và hai dãy đối chính quy tối đại trong a có chung độ dài và 21 Width a A  inf{t : TortR ( A; R / a )  0} Kết quả sau đây trong [9] cho thấy các kết quả nói trên của Ooishi vẫn còn đúng cho các môđun compắc tuyến tính rời rạc 2.1.10 Định lý Cho M là compắc tuyến tính rời rạc và. .. m )  0}   và Width M = 0 2.3.2 Ví dụ Tồn tại môđun đối địa phương hóa p A của một môđun Artin A trên vành địa phương (R, m) sao cho A thỏa mãn điều kiện (*), nhưng Ass Rp ( p A) là một tập hợp vô hạn Chứng minh Cho (R, m) là vành địa phương có dim R> 2 và p  m là iđêan nguyên tố của R sao cho ht(p)>1 Cho A là một R -môđun Artin sao cho A chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ của R/m Khi đó... quả ở Mục 2.1 và Mục 2.2 là cần thiết không thể bỏ đi được Ví dụ sau cho thấy điều kiện (0 :M a)  0 trong Hệ quả 2.1.11, (ii) là cần thiết 2.3.1 Ví dụ Tồn tại môđun M trên vành địa phương ( R, m) sao cho M là compăc tuyến tính rời rạc và 30 Width M  inf{t  0 : TortR ( M ; R / m )  0} Chứng minh Cho N là một môđun compăc tuyến tính rời rạc trên vành địa phương (R, m) sao cho SocN  0 và mag N  ... compăc tuyến tính rời rạc đối địa phương hóa môđun Artin Trong báo này, phần đầu tác giả nghiên cứu chiều độ rộng môđun compăc tuyến tính rời rạc; phần nghiên cứu số kết chiều, độ rộng đối địa phương. .. môđun Noether vành địa phương đầy đủ Trong [9], Lê Thanh Nhàn nghiên cứu chiều độ rộng hai lớp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính rời rạc đối địa phương hóa môđun Artin Trong... tố p R 15 CHƯƠNG CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ARTIN Năm 1942, S Leschetz đưa khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu